Limes
Zadaci i rješenja za Kantonalnog takmičenja 1. 1. 1. 1. 1.
24
2. 2. 2. 2. 2.
Neka su su 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 ii 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 različiti različiti realni realni brojevi brojevi takvi takvi da da je je 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + +1 1≠ ≠0 0 ii neka neka su: su: Neka Neka su 𝑥𝑥𝑥𝑥 i 𝑦𝑦𝑦𝑦 različiti realni brojevi takvi da je 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 ≠ 0 i neka su: 2 2 2 Neka su 𝑥𝑥𝑥𝑥 i 𝑦𝑦𝑦𝑦 različiti 6𝑥𝑥𝑥𝑥 realni 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦22 + i neka 6𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − −takvi 1 da je𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 11) 1)≠− −0𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 1) 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 brojevi 2 −su: 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 − − 1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = realni ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦2 + 1𝑥𝑥𝑥𝑥≠−0𝑦𝑦𝑦𝑦i neka Neka su 𝑥𝑥𝑥𝑥 i 𝑦𝑦𝑦𝑦 različiti 2brojevi 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 +𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦1 1 −takvi ++ 1 da je𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1) 1) 6𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 −su: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1 ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 1) − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − 1) 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 2 2 Odrediti koji je broj veći, 𝐴𝐴𝐴𝐴 ili 𝐵𝐵𝐵𝐵. 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − 1) 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1) 6𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦++𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦1 − 1 Odrediti koji je broj ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 =veći, 𝐴𝐴𝐴𝐴 ili 𝐵𝐵𝐵𝐵. 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 +1 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 Odrediti koji je broj veći, 𝐴𝐴𝐴𝐴 ili 𝐵𝐵𝐵𝐵. Odrediti koji je broj veći, 𝐴𝐴𝐴𝐴 ili 𝐵𝐵𝐵𝐵. Rješenje: Rješenje: Odrediti koji je broj veći, 𝐴𝐴𝐴𝐴 ili 𝐵𝐵𝐵𝐵. Rješenje:
učenika IX razreda 2018. godine
Rješenje: datih algebarskih razlomaka dobijamo: Sređivanjem Sređivanjem datih algebarskih razlomaka dobijamo: Rješenje: Sređivanjem datih algebarskih razlomaka dobijamo: 2 2 Sređivanjem datih algebarskih 6𝑥𝑥𝑥𝑥 razlomaka dobijamo: − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − −1 1 6𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 + 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = razlomaka Sređivanjem datih algebarskih dobijamo: 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 +−1 12𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1 6𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 +2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 + 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦(2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1)+−1 (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦(2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1) − (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1) = 6𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 +2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦−+1 1) 1)++ −11 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦(2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦(2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1)+ (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 1)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 −+−11) 1) 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 1(2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1) (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + − = = = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − −1 1 = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦(2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 + 1) − + 1) 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 − 1) == 1 = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1 (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 +2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 1 −+1) = = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1 (2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 + 1)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) Analogno dobijamo dobijamo ii = Analogno = 3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 Analogno dobijamo i Analogno dobijamo (𝑥𝑥𝑥𝑥33 − (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥22 − − 1) 1)i − − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦22 − − 1) 1) 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥33 − − 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 − − 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦33 + + 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦33 )) − − (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦) 𝑦𝑦𝑦𝑦) 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐵𝐵𝐵𝐵 = = = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = = = Analogno dobijamo 𝑥𝑥𝑥𝑥i − − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − 1) 𝑥𝑥𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − − 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦3 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 3 − 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥3 )− −−𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦) 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 1) 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 1)2 − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 2 −21) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 3 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = (𝑥𝑥𝑥𝑥 3 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 3 ) − (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦2 )) − − (𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝐵𝐵𝐵𝐵==(𝑥𝑥𝑥𝑥 −2𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + = 3− 𝑦𝑦𝑦𝑦) = 3 2 3 = 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦−21) 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥3 )−−𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦) 𝑥𝑥𝑥𝑥 −+𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 ) −=(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦) 𝐵𝐵𝐵𝐵 =(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = = (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥22 − 2) 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − − 𝑦𝑦𝑦𝑦) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥2 − − 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦−+ +𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦2 − − 1) 1) (𝑥𝑥𝑥𝑥 2 2 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 = = = 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥2 − − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + + 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦2 − −1 1 = (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 22𝑥𝑥𝑥𝑥−−𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦−+𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 22 ) − (𝑥𝑥𝑥𝑥= − 𝑦𝑦𝑦𝑦) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 = = (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − 1 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 𝑥𝑥𝑥𝑥 −𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − 1 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)(𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) Kako bi bi=odredili odredili koji koji je je broj broj veći, veći, posmatrajmo posmatrajmo razliku brojeva 𝐵𝐵𝐵𝐵 ii 𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝐴𝐴𝐴𝐴. Kako razliku = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2brojeva − 1 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 Kako bi odredili koji je broj veći, posmatrajmo razliku brojeva 𝐵𝐵𝐵𝐵 i 𝐴𝐴𝐴𝐴. 2 2 razliku (3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 Kako bi odredili koji je𝐵𝐵𝐵𝐵 brojeva (𝑥𝑥𝑥𝑥posmatrajmo 𝐵𝐵𝐵𝐵broj − 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 veći, = (𝑥𝑥𝑥𝑥 1) − − (3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝐵𝐵𝐵𝐵 1)i 𝐴𝐴𝐴𝐴. 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 − − = − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) − 1) Kako bi odredili koji je𝐵𝐵𝐵𝐵 broj brojeva 𝐵𝐵𝐵𝐵 i 𝐴𝐴𝐴𝐴. 2 22𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 = 2 razliku (𝑥𝑥𝑥𝑥1) = 𝑥𝑥𝑥𝑥22 (𝑥𝑥𝑥𝑥 −posmatrajmo −− 𝑦𝑦𝑦𝑦)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 −= 𝐴𝐴𝐴𝐴 veći, = − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 2 ≥ 0− 1) (𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 ++ 𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑦𝑦𝑦𝑦= − 𝑦𝑦𝑦𝑦) ≥0 2 2 𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 =2 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 +2𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) − (3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 − 1) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)2 ≥ 0 2 2 2 𝐵𝐵𝐵𝐵 − = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = − 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + (𝑥𝑥𝑥𝑥1) 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − da 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦<2𝑦𝑦𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵. =− −− 𝑦𝑦𝑦𝑦)(3𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 ≥ 0− 1) Budući da je 𝑥𝑥𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦𝑦𝑦, zaključujemo je 𝐴𝐴𝐴𝐴 Budući da je 𝑥𝑥𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦𝑦𝑦, zaključujemo da je 𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐵𝐵𝐵𝐵. = 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2 = (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦)2 ≥ 0 Budući da je 𝑥𝑥𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦𝑦𝑦, zaključujemo da je 𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐵𝐵𝐵𝐵. Budući je 𝑥𝑥𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦𝑦𝑦, zaključujemo je 𝑎𝑎𝑎𝑎𝐴𝐴𝐴𝐴 ≠<0,𝐵𝐵𝐵𝐵.𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0) za koga važi 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9 Odreditida trocifren trocifren broj 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, ((𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 da ≠ 0, 0, ≠ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0) za koga važi 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9 Odrediti broj Budući da2je 𝑥𝑥𝑥𝑥 ≠2𝑦𝑦𝑦𝑦, zaključujemo da3jePrve 𝐴𝐴𝐴𝐴 < 𝐵𝐵𝐵𝐵. Naučno-istraživački matematički klub 2 3 Odrediti broj 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, ≠𝑎𝑎𝑎𝑎30,+𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎≠33 .bošnjačke 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0) gimnazije za koga Sarajevo važi 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9 9𝑎𝑎𝑎𝑎 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎2trocifren 2 − 6𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 3(𝑎𝑎𝑎𝑎 9𝑎𝑎𝑎𝑎 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 − 6𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 . (𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0) za koga važi 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9 Odrediti trocifren broj 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, 9𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 2 − 6𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 3 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 3 . Odrediti trocifren broj 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, (𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0) za koga važi 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 9 9𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 2 + 9𝑎𝑎𝑎𝑎 2 − 6𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 3 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 3 .
ii i i i
