MATEMATIKK 8 frå CAPPELEN DAMM Grunnbok
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen
Nynorsk
Fotografi:
Getty Images: cookelma s. 13, FatCamera s. 16, Grafissimo s. 21, JoselgnacioSoto s. 25, Bettman s. 33, DanielPrudek s. 36, michellegibson s. 45, dblight s. 47, NicoElNino s.53, fcafotodigital s. 57, TuiPhotoengineer s. 60, pidjoe s. 80, miodrag ignjatovic s. 83, Marcus Lindstrom s. 96, Mladen Zivkovic s. 97, PicturePartners s. 123, maleraposo s. 129, Kwanchai Lerttanapunyaporn / EyeEm s. 137, Javier Fernández Sánchez s. 151, dusanpetkovic s. 161, piola666 s. 169, Eva Blanco / EyeEm s. 170, olrat s. 191, Happy_vector s. 199, DNY59 s. 208, mphillips007 s. 212, Rawpixel s. 228, smuay s. 236, Meybruck s. 241, Chalabala s. 271, Schaef1 s. 280, patat s. 282, donwogdo s. 285, Sjo s. 289. NASA: s. 75, s. 273. Unsplash: Enrica Tancioni s. 87, Balaji Malliswamy s. 92, Dong Zhang s. 94, Adolfo Félix s. 117, Karina Vorozheeva s. 119, Lorenzo Herrera s. 159, Ankit Dembla s. 195, Loic Leray s. 217, Marvin Meyer s. 233, milan degraeve s. 237, Soroush Karimi s. 255, Anna Kaminova s. 261, Jarand K. Løkeland s. 277. © CAPPELEN DAMM AS, Oslo 2020 Materialet i denne publikasjonen er omfatta av føresegnene i åndsverklova. Utan særskild avtale med CAPPELEN DAMM AS er det berre tillate å framstille eksemplar av dette verket eller gjere innhaldet tilgjengeleg dersom det er heimla i lov eller tillate gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettshavarar til åndsverk. Utnytting i strid med lov eller avtale kan føre til erstatningsansvar og inndraging, og kan straffast med bøter eller fengsel. Matematikk 8 Grunnbok frå Cappelen Damm er laga til fagfornyinga i faget matematikk og er til bruk på ungdomstrinnet på grunnskulen. Illustrasjonar: Maciej Sidorowicz Design: Bøk Oslo AS Omslagsdesign: Tank Design AS / Maciej Sidorowicz Sats og teknisk illustrasjon: AiT Bjerch AS, Arnvid Moholt Forlagsredaktør: Asbjørn Hageli Biletredaktør: Asbjørn Hageli Omsetjing til nynorsk: Eirik Ulltang Birkeland Trykk og innbinding: Livonia Print SIA, Latvia, 2021 Bidragsytar: Anja Glad von Zernichow Utgåve 1 Opplag 2 ISBN 978-82-02-56097-3 www.skolen.cdu.no Dette er ei TROY®-innbunden bok. Ei TROY®-innbunden bok har forsterka omslag. Testar viser at denne innbindinga toler vesentleg hardare bruk over tid samanlikna med bøker utan denne forsterkinga. TROY® er eit registrert varemerke og er patentert av Cappelen Damm AS.
Hei til deg som skal bruke Matematikk 8! Dette er Matematikk 8 grunnbok. Til grunnboka høyrer det ei oppgåvebok der du kan trene meir på dei ulike emna i grunnboka. Her ser du Arkimedes og Platon, som skal følgje deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet. Gjennom heile boka vil du finne nokre fellesoppgåver som er merkte med symbola og . Dette er spørsmål vi stiller til deg som elev, eller til klassen, og det er spørsmål til diskusjon. Kvart kapittel i grunnboka har tre delar: Lærestoff og oppgåver Undervegsvurdering
Det er lov å hoppe mellom vanskegradane dersom du synest oppgåvene blir for lette eller for vanskelege.
Oppgåve til tverrfagleg tema Bakarst i boka finn du ei lita rettleiing i bruk av rekneark og GeoGebra. Nokre av oppgåvene i grunnboka og alle oppgåver i oppgåveboka er merkte med desse symbola: Nivå 1 Nivå 2 Nivå 3 Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennande å lære! Vi har laga ei bok som vil hjelpe deg med å nå måla for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet! Helsing forfattarane Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen
Innhald 1 Tal og talforståing . . . . . . . . . 6
2 Delelege tal og brøk . . . . . . 98
Reknestrategiar . . . . . . . . . . . . . . . 8 Addisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Subtraksjon . . . . . . . . . . . . . . 11 Multiplikasjon . . . . . . . . . . . . 14 Divisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Fleire rekneartar på ein gong . . . 22 Positive og negative tal . . . . . . . . 28 Rekning med negative tal . . . 31 Å trekkje frå eit negativt tal . . 34 Multiplikasjon og divisjon med negative tal . . . . . . . . . . 37 Desimaltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Rekning med desimaltal . . . . 48 Avrunding av svar med desimaltal . . . . . . . . . . . 54 Samansette måleiningar . . . . 58 Overslagsrekning. . . . . . . . . . 62 Potensar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Rekning med potensar . . . . . . . . 69 Multiplikasjon og divisjon av potensar . . . . . . . . . . . . . . 72 Kvadrattal og kvadratrot . . . . . . . 77 Kvadratrot . . . . . . . . . . . . . . . 81 Rekning med parentesar . . . . . . . 84 Reknerekkjefølgja . . . . . . . . . . . . 88 Undervegsvurdering 1 . . . . . . . . . 93 Tverrfagleg oppgåve 1 . . . . . . . . 96
4
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Delelege tal . . . . . . . . . . . . . . . . Samansette tal og primtal . . . . . . . . . . . . . . Faktorisering og primtalsfaktorisering . . . . . . . . . Utviding og forkorting av brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samanhengen mellom brøk og desimaltal . . . . . . . . . . Utvide eller forkorte brøken slik at nemnaren blir 10, 100 eller 1000 . . . . . . . . . . . Frå desimaltal til brøk . . . . . Samanhengen mellom prosent, brøk og desimaltal . . . . . . . . . . Addisjon og subtraksjon av brøkar med lik nemnar . . . . . . . Addisjon og subtraksjon av brøkar med ulik nemnar . . . Metodar for å finne fellesnemnar . . . . . . . . . . . . Brøk og multiplikasjon . . . . . . . Divisjon av brøk . . . . . . . . . . . .
100 104 108 112 120
124 127 130 134 139 141 146 152
Undervegsvurdering 2 . . . . . . . . 157 Tverrfagleg oppgåve 2 . . . . . . . 160
3 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Algebraiske uttrykk . . . . . . . . . . . Setje inn verdiar i algebraiske uttrykk . . . . . . . . Lage algebraiske uttrykk . . . . Addisjon og subtraksjon av algebraiske uttrykk . . . . . . . . . . . Potensar i algebraiske uttrykk . . . Multiplikasjon og divisjon av algebraiske uttrykk . . . . . . . . . Parentesar i algebraiske uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mønster i tal . . . . . . . . . . . . . . . . Skildre mønster algebraisk . . . . . . . . . . . . . . . Å løyse eit problem ved hjelp av teikning . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne den ukjende . . . . . . . Likningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å løyse likningar ved hjelp av addisjon og subtraksjon . . Å løyse likningar ved hjelp av multiplikasjon og divisjon . . . Likningar med fleire brøkar . . Å kontrollere løysinga på ei likning . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemløysing og likningar . . . .
164 165 168 171 175 179 183 187 192 196 200 204 206 211 216 221 226
Undervegsvurdering 3 . . . . . . . . . 234 Tverrfagleg oppgåve 3 . . . . . . . . 236
4 Funksjonar . . . . . . . . . . . . . . 238 Finne eit punkt . . . . . . . . . . . . . Koordinatsystem . . . . . . . . . Koordinatar som dannar ein graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frå situasjon til funksjonsuttrykk . . . . . . . . . . . . Teikne grafar ved hjelp av eit funksjonsuttrykk. . . . . Teikne grafar ved hjelp av digital grafteiknar . . . . . . Avlesing og tolking av diagram . . . . . . . . . . . . . . . .
240 246 251 257 262 268 275
Undervegsvurdering 4 . . . . . . . . 286 Tverrfagleg oppgåve 4 . . . . . . . 290
Manual for digitale verktøy . . 292 Rekneark. . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Kapittel Kapittel Kapittel Kapittel
1 2 3 4
................. ................. ................. .................
302 311 318 325
Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
5
1
Tal og talforståing
MÅL:
OMGREP:
I dette emnet skal du få lære om . ulike reknestrategiar med dei fire rekneartane . negative tal og rekning med negative tal . reknerekkjefølgje og parentesrekning . desimaltal og overslagsrekning . potensar og kvadratrot
. . . . . .
negative tal overslag potens kvadratrot parentesrekning reknerekkjefølgje
Kva for strategiar brukar du når du reknar med tal?
Reknestrategiar Når vi reknar, tenkjer vi ofte på ulike måtar. Det finst fleire metodar å bruke for å komme fram til rette svar. Nokre gonger er det lettast å rekne i hovudet, medan andre gonger må vi skrive. Dersom du kan nokre reknestrategiar, kan du rekne raskt og på enkle måtar. Å tenkje i tiarvener er ein slik reknestrategi.
Ledd + ledd = sum
Addisjon Når vi skal addere tal, er det ofte lurt å dele opp tala og setje dei saman igjen på ein ny måte. Kva metode som er lurast å bruke, er avhengig av kva tal du skal leggje saman.
Korleis kan det vere lurt å dele opp desse tala når du skal rekne i hovudet? a) 18 þ 12 b) 33 þ 49
8
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
DØME 1.1 Rekn ut 58 þ 74. Løysing Metode 1 Vi deler opp i tiarar og einarar.
58 þ 74 ¼ 50 þ 8 þ 70 þ 4 ¼ 50 þ 70 þ 8 þ 4 ¼ 120 þ 12 ¼ 132 Metode 2 Vi adderer 2 og subtraherer 2.
58 þ 74 ¼ 58 þ 2 þ74 2 ¼ 60 þ 72 ¼ 132 Metode 3 Vi deler opp tala for å få ledd med 50, og adderer.
58 þ 74 ¼ 50 þ 8 þ 50 þ 24 ¼ 50 þ 50 þ 8 þ 24 ¼ 100 þ 32 ¼ 132
Kvifor er det lurt å addere 2 og subtrahere 2 i metode 2?
1 TAL OG TALFORSTÅING
9
OPPGÅVER
10
1.1
På kva måte synest du det er best å dele opp desse tala når du skal rekne i hovudet? a) 28 þ 34 c) 135 þ 74 b) 44 þ 67 d) 32 þ 348
1.2
Rekn ut i hovudet. Kva for ein strategi brukar du? Skriv ned metoden, eller forklar han til ein medelev. a) 19 þ 49
b) 18 þ 32
c) 36 þ 16
a) 48 þ 64
b) 74 þ 68
c) 124 þ 57
a) 163 þ 56
b) 753 þ 39
c) 428 þ 681
1.3
Rekn ut i hovudet. Kva for ein strategi brukar du? Skriv ned metoden, eller forklar han til ein medelev. c) 72 þ 153 a) 27 þ 54 b) 46 þ 38 d) 418 þ 22 þ 54
1.4
Du hjelper til med vaffelsalet på ein handballkamp med IK Start. Den første timen sel du 37 vaflar, og den andre timen sel du 58 vaflar. a) Kor mange vaflar sel du til saman? b) Cornelius sel 15 fleire vaflar enn deg. Kor mange vaflar sel han? c) Kor mange vaflar sel de til saman?
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Subtraksjon Når vi skal subtrahere tal, er det også lurt å dele dei opp. Ein strategi er å dele opp tala i einarar, tiarar og hundrarar slik at tala blir lettare å rekne med. Ein annan metode er å leggje til, eller trekkje frå, like mykje i begge ledda.
Ledd – ledd = differanse
DØME 1.2 Rekn ut 64 37. Løysing Metode 1 Vi subtraherer 4 og adderer 4.
64 37 ¼ 64 4 37 þ 4 ¼ 60 33 ¼ 27
Metode 2 Vi adderer 3 og subtraherer 3.
64 37 ¼ 64 þ 3 37 3 ¼ 67 37 3 ¼ 30 3 ¼ 27
1 TAL OG TALFORSTÅING
11
Korleis kan det vere lurt å dele opp desse tala når du skal rekne i hovudet? a) 42 17 b) 119 29
DØME 1.3 Rekn ut 162 58. Løysing Metode 1 Vi subtraherer er 2 og adderer 2.
162 58 ¼ 162 2 58 þ 2 ¼ 160 56 ¼ 104 Metode 2 Vi deler opp tala.
162 58 ¼ 100 þ 62 58 ¼ 100 þ 4 ¼ 104
Kva for ein av metodane ovanfor passar best for deg? Grunngi korleis leis du tenkjer.
12
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
OPPGÅVER 1.5
På kva måte synest du det er best å dele opp desse tala når du skal rekne i hovudet? Finn svaret. a) 143 32 b) 52 29 c) 73 17 d) 345 246
1.6
Rekn ut i hovudet. Kva for ein strategi brukar du? Skriv ned metoden, eller forklar han til ein medelev. b) 84 37 c) 118 79 d) 104 46 a) 58 32
1.7
Rekn ut i hovudet. Kva for ein strategi brukar du? Skriv ned metoden, eller forklar han til ein medelev. a) 48 22
b) 32 18
c) 67 35
a) 78 43
b) 64 47
c) 101 63
a) 87 49
b) 124 45
c) 503 368
1.8
Til bursdagen din får du 800 kr. Du kjøper ei bok til 180 kr og sparar 550 kr. Kor mange kroner har du att?
1.9
Du har spart 5500 kr. Så brukar du 3980 kr på ein ferietur til Lofoten. Kor mykje har du att etter at ferieturen er betalt?
1 TAL OG TALFORSTÅING
13
Multiplikasjon Når vi skal multiplisere to tal, kan det vere lurt å bruke ulike strategiar. Vi kan til dømes . dele opp faktorane i tiarar og einarar .
doble den eine faktoren og halvere den andre
.
bruke arealteikning
.
stille opp utrekninga på eit ark Det er lurt å sjå nøye på tala før du vel strategi. Når vi multipliserer to faktorar med kvarandre, er det det same i kva rekkjefølgje vi gjer det. Det vil til dømes seie at 8 21 ¼ 21 8.
HUGS Dersom a og b står for kva to tal som helst, gjeld dette alltid: a b¼b a
14
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Faktor · faktor = produkt
DØME 1.4 Rekn ut 5 13. Løysing Metode 1 Vi deler 13 i opp i 10 + 3, og multipliserer.
5 13 ¼ 5 10 þ 5 3 ¼ 50 þ 15 ¼ 65 Metode 2 Å gå vegen om ti: Vi multipliserer med 2 og dividerer med 2.
5 13 ¼ 5 2 13 : 2 ¼ 10 13 : 2 ¼ 130 : 2 ¼ 65
1 TAL OG TALFORSTÅING
15
DØME 1.5 Rekn ut 84 12. Løysing Metode 1 Vi brukar ei arealteikning for å illustrere korleis vi kan multiplisere. 84 12
¼ 800 þ 160 þ 40 þ 8 ¼ 1008
80
4
10
800
40
2
160
8
Metode 2 Utrekning ved hjelp av oppstilling.
1
+
1
84 · 1 2
1 68 84
= 1 0 0 8
16
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
OPPGÅVER 1.10 Korleis kan det vere lurt å tenkje når du multipliserer desse tala? Forklar korleis du tenkjer. a) 23 4 b) 58 5 c) 40 12 d) 230 15 1.11 Rekn i hovudet. Kva for ein strategi brukar du? Skriv ned metoden, eller forklar han til ein medelev. b) 140 9 c) 33 7 d) 19 50 a) 5 61 1.12 Ein volleyball kostar 199 kr. Du kjøper 6 ballar. Kor mykje må du betale? 1.13 Rekn ut. a) 25 8
b) 125 4
c) 25 25
d) 20 50
a) 14 78
b) 53 37
c) 125 34
d) 636 79
a) 25 20
b) 525 4
c) 400 500
d) 543 578
1.14 Påmelding til ei volleyballturnering kostar 180 kr per person. Ei drakt kostar 350 kr per person, og mat kostar 240 kr per person. a) Kor mykje kostar turneringa med drakt og mat for éin person? b) Kor mykje kostar berre påmeldinga for eit heilt lag med 10 personar? 1.15 Tenk på eit tal. a) Multipliser det med 2. Legg til 6. Trekk frå talet du tenkte på. Legg til 4. Trekk frå talet du tenkte på, éin gong til. Kva for eit svar får du? b) Kall talet for t. Skriv opp eit uttrykk som skildrar rekneoperasjonane. Kva er det som gjer at du får same svar uansett kva for eit tal du tenkjer på?
1 TAL OG TALFORSTÅING
17
Divisjon Når vi skal dividere eit stort tal, kan det vere lurt å dele opp talet i ein sum av to tal. Kvar for seg er dei to tala lettare å dele. Ein annan strategi er å dividere talet med 2 fleire gonger, dersom det er mogleg. Du kan også gjere divisjonen ved hjelp av oppstilling.
Dividend : divisor = kvotient
DØME 1.6 a) Rekn ut 84 : 3. b) Rekn ut 648 : 4. Løysing
a) Vi skriv dividenden 84 som 60 þ 24. 84 : 3 ¼ 60 : 3 þ 24 : 3 ¼ 20 þ 8 ¼ 28 b) Sidan 4 ¼ 2 2, kan vi dividere med 2 først éin gong, og så ein gong til. 648 : 4 ¼ 648 : 2 : 2 ¼ 324 : 2 ¼ 162
18
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
DØME 1.7 Rekn ut 936 : 6. Løysing Metode 1 Vi deler opp dividenden 936 i 600 + 300 + 36.
936 : 6 ¼ 600 : 6 þ 300 : 6 þ 36 : 6 ¼ 100 þ 50 þ 6 ¼ 156 Metode 2 Vi utfører utrekning ved hjelp av oppstilling.
9 36 : 6= 1 56 – 6 33 -3 0 36 - 36 0
1 TAL OG TALFORSTÅING
19
OPPGÅVER 1.16 Korleis kan det vere lurt å tenkje når du dividerer desse tala? Skildre korleis du tenkjer, og finn svaret. a) 880 : 2 b) 412 : 4 c) 175 : 25 d) 400 : 50 1.17 Rekn ut. a) 68 : 4
b) 330 : 10
c) 440 : 20
d) 600 : 30
a) 228 : 4
b) 144 : 12
c) 550 : 25
d) 330 : 15
a) 640 : 8
b) 275 : 25
c) 636 : 3
d) 345 : 15
1.18 På ein påsketur er de seks personar som skal fordele desse utgiftene: hytteleige 3300 kr, matutgifter 1500 kr og skikort 2520 kr. Kor mykje må kvar av dykk betale?
20
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
1.19 Fire vener kjøper kinobillettar for til saman 440 kr. I tillegg kjøper dei fire popkorn for til saman 180 kr. a) Kor mykje må kvar person betale for kinobilletten? b) Kor mykje må kvar person betale for kinobillettar og popkorn? c) Når dei fire venene gjer opp mellom seg, betalar kvar av dei 180 kr. I tillegg til billettar og popkorn har dei fire kjøpt kvar sin drikke. Kor mykje kosta drikken? 1.20 Ein klasse skal på busstur til ein leirskule på fjellet. Leige av bussen kostar 25 000 kr. a) Kva blir prisen per person dersom dei er 25 personar på bussen? b) Kva blir prisen per person dersom dei er 50 personar på bussen? c) Kva er samanhengen mellom talet på elevar på bussen og prisen dei må betale?
1 TAL OG TALFORSTÅING
21
Korleis har dei tenkt, og kven har tenkt rett?
Fleire rekneartar på ein gong Når vi har fleire rekneartar i eitt reknestykke, må vi rekne ut i ei spesiell rekkjefølgje. Tenk deg at du kjøper tre flasker vatn til 15 kr per flaske og to skulebrød til 22 kr per stykk. Då kan du setje opp dette reknestykket for å finne ut kor mykje du skal betale til saman: 3 vassflasker þ 2 skulebrød gir reknestykket 3 15 kr þ 2 22 kr. Det er talet på flasker og talet på skulebrød som avgjer kor mykje du skal betale til saman. Det vil seie at du må multiplisere før du adderer. Når det er fleire rekneartar i same reknestykke, må vi alltid rekne ut i denne rekkjefølgja: 1) multiplikasjon og divisjon 2) addisjon og subtraksjon
22
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
DØME 1.8 Rekn ut 4 þ 5 7. Løysing
4þ5 7 ¼ 4 þ 35 ¼ 39
Thea og Sana reknar ut 12 þ 6 : 3 þ 1. Thea får 7, og Sana får 15. Kven reknar rett, og kvifor blir det andre svaret feil?
DØME 1.9 Anja kjøper 3 kg appelsinar til 18 kr per kilogram, og 2 kg eple til 15 kr per kilogram. Set opp reknestykket, og rekn ut kor mykje ho må betale. Løysing
3 18 þ 2 15 ¼ 54 þ 30 ¼ 84 Ho må betale 84 kr.
HUGS Reknerekkjefølgje: Først multiplisere og dividere, så addere og subtrahere.
1 TAL OG TALFORSTÅING
23
OPPGÅVER 1.21 Rekn ut. a) 14 þ 6 2 b) 80 5 7
c) 20 56 : 8 d) 25 þ 75 : 3
e) 36 36 : 6 f) 18 þ 5 3 4 2
Arild kjøper brød og tre liter mjølk. Mjølka kostar 17 kr per liter, og han betalar 119 kr til saman. Kor mange brød trur du han kjøper?
1.22 Rekn ut. a) 11 3 3
b) 8 4 : 2
c) 3 9 9 3
a) 34 12 : 4
b) 8 5 þ 6 7
c) 64 : 8 8
a) 25 5 2 3
b) 81 : 9 þ 7 8
c) 11 3 6 2 3
1.23 Til ein hagefest blir det kjøpt inn 16 korger jordbær for totalt 720 kr. Kor mykje kostar 4 korger jordbær?
1.24 Theo kjøper fire par sokkar, to badeshorts og tre badehandkle. Set opp eit reknestykke, og rekn ut kor mykje han må betale.
24
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
1.25 Rekn ut. a) 2 3 þ 4 5
b) 7 8 3 6
c) 46 : 2 4 2
a) 8 5 4 6
b) 17 3 þ 13 3
c) 6 5 : 3 þ 2 5
a) 500 : 25 144 : 12 b) 120 : 4 þ 120 : 5 c) 16 8 : 4 þ 3 11 3 1.26 Reisebyrået Mayareiser har tilbod på ei 2-vekers reise til Mexico: Vaksne: 15 990 kr Barn: 7 990 kr Kor mykje kostar reisa for 2 vaksne? Kor mykje kostar reisa for 2 vaksne og 2 barn? Kor mykje kostar ei reise for 2 vaksne og 3 barn dersom det eine barnet får reisa til halv pris?
Kukulkanpyramiden i ruinbyen Chichen Itza i Mexico
Ein møbelsnikkar lagar krakkar med 3 bein og bord med 4 bein. I løpet av ein dag monterer ho totalt 35 bein. Kor mange krakkar og kor mange bord kan ho ha laga?
1.27 Johannes kjøper to typar lodd. Den eine typen kostar 25 kr per lodd, og den andre typen kostar 40 kr per lodd. a) Kor mykje må han betale for fem av dei billegaste lodda og fire av dei dyraste? b) Ein gong kjøpte han åtte av dei billegaste og betalte 320 kr til saman. Kor mange av dei dyraste lodda hadde han kjøpt då? 1.28 Du skal bake bollar. Oppskrifta ser du her. Kor mykje veg tørrvarene til saman i gram og kilogram? Du skal bake 40 bollar. Kor mange desiliter (dl) mjølk og kor mange kilogram kveitemjøl treng du? Du skal bake 30 bollar. Kor mange kilogram tørrvarer treng du?
a þ b ¼ b þ a og a b ¼ b a blir kalla den kommutative lov og gjeld for addisjon og multiplikasjon. Vis ved hjelp av fire–fem taleksempel at lova stemmer.
26
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
1.29 Til ein dugnad steikjer og sel du og nokre vener nybakte bollar. Prisen for bollane er 15 kr og eit tillegg på 5 kr for syltetøy. Kor mange kroner tener de dersom de sel 55 bollar utan syltetøy og 20 bollar med syltetøy? Før dugnaden kjøper de inn varer for til saman 132 kr, og under dugnaden sel de 84 bollar. Kvar fjerde selde bolle er med syltetøy. Kor mange kroner forteneste får de? Før dugnaden steikjer du nokre bollar. Under dugnaden steikjer du 15 ferske bollar og sel 34 bollar. Når dugnaden er over, har du 7 bollar att. Kor mange bollar steikte du på førehand?
Forklar kvifor a þ b er det same som b þ a, mens a b ikkje er det same som b a.
1 TAL OG TALFORSTÅING
27
Kor lang kan ei tallinje vere, og korleis vil de dele henne inn?
Positive og negative tal Tal som er mindre enn null, kallar vi for negative tal. Vi brukar til dømes negative tal i samband med kuldegradar på eit termometer. Dei negative tala har forteiknet minus, som i 4 og 273. På tallinja finn vi dei negative tala til venstre for null og dei positive tala til høgre for null.
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
Negative tal
28
1
2
3
4
Positive tal
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
5
6
7
8
9 10
DØME 1.10 Løysing
På tallinja ser vi at 3 er fem mindre enn 2. –3
–2
–1
0
1
2
Differansen er 5.
DØME 1.11 Set < eller > mellom tala. a) 2 & 7 b) 2 & 7
c) 8 & 3
Løysing –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Jo lenger til venstre på tallinja eit tal er, dess mindre er talet. a) 2 < 7
b) 2 > 7
c) 8 < 3
HUGS Jo større tørre talverdien til eit negativt tal er, dess mindre er talet. Det vil seie at 3000 er mindre enn 2000.
1 TAL OG TALFORSTÅING
29
OPPGÅVER 1.30 Skriv av og set inn < eller > mellom tala. a) 3 & 7 c) 0 & 5 e) 1000 & 1001 b) 3 & 7 d) 10 & 0 f) 1000 & 2 1.31 Teikn av tallinjene og plasser tala nøyaktig på linja. 2, 4 og 1 0
10, 40 og 70 0
0,5, 1,5 og 2,0 0
1.32 Finn ut om påstandane er rette eller feil. A: 4 og þ4 er det same. B: 8 er mindre enn 7. C: Skilnaden mellom 5 og 5 er 10. D: Jo større talverdi eit negativt tal har, desto mindre er talet. 1.33 Teikn ei tallinje frå 8 til 2, plasser tala på tallinja, og finn skilnaden mellom tala. a) 2 og 0
b) 7 og 1
c) 5 og 4
a) 2 og 2
b) 6 og 4
c) 4 og 6
a) 2 og 8
b) 2,5 og 3,5
c) 3,5 og 2,5
Kva vil det seie at Dødehavet har ei høgd på omkring 430 m over havet ved overflata, og at det har ei djupn på omkring 330 m?
30
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Rekning med negative tal Ein ettermiddag viser eit termometer 5 °C. I løpet av natta går temperaturen ned åtte gradar, og morgonen etter viser termometeret 3 °C. Dette kan vi setje opp som eit reknestykke: 5 8 ¼ 3 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
–8
Når 5 8 ¼ 3, vil det også seie at 8 þ 5 ¼ 3. Dette kan vi undersøkje på ei tallinje: –9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
+5
DØME 1.12 Rekn ut. a) 2 8 b) 20 30 c) 36 þ 36 Løysing
a) 2 8 ¼ 6 b) 20 30 ¼ 50 c) 36 þ 36 ¼ 0
1 TAL OG TALFORSTÅING
31
OPPGÅVER 1.34 Rekn ut. a) 10 10
b) 23 17
c) 10 15
a) 72 89
b) 2 3
c) 10 25
a) 100 109
b) 58 58
c) 42 þ 28
1.35 Vulkanfjellet Mauna Kea på Hawaii strekkjer seg 10 100 m opp frå havbotnen. 4207 m av fjellet er over havoverflata. Kor djupt er havet ved Mauna Kea? 1.36 Bruk det du har lært, til å finne svara. Amelia Earhart var den første kvinna som flaug åleine over Atlanterhavet. Ho blei fødd i 1897, og i 1937 forsvann ho under ein flytur over Stillehavet. Kor gammal var ho då ho forsvann? Marie Curie var den første som vann to nobelprisar, ein i fysikk og ein i kjemi. Ho døydde 67 år gammal i 1934. Kva år blei ho fødd? Den første romerske keisaren, Augustus, døydde i år 14 etter vår tidsrekning. Han blei 77 år gammal. Når blei han fødd? 1.37 Eit termometer viser 8 °C. Kva viser termometeret dersom temperaturen d) går ned fire gradar a) stig ni gradar b) stig tre gradar e) går ned åtte gradar c) stig åtte gradar f) går ned tolv gradar
32
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Amelia Earhart (1897–1937)
Å trekkje frå eit negativt tal Vi kan sjå på negative tal som motsette av positive tal. Altså kan vi seie at 4 er det motsette talet til þ4. Vi kan sjå dette på ei tallinje.
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
4
2
3
4
5
4
Kva ser vi om vi brettar tallinja om 0-punktet? Når vi subtraherer, trekkjer vi eit tal frå eit anna. Jo mindre talet vi trekkjer frå er, dess større blir svaret. Det vil til dømes seie at 4 1 gir eit større svar enn 4 3. Vi kan undersøkje denne samanhengen ved hjelp av ein utrekningstabell. 4 3¼1 4 2¼2 4 1¼3 4 0¼4 4 ð 1Þ ¼ 5 4 ð 2Þ ¼ 6 4 ð 3Þ ¼ 7 4 ð 4Þ ¼ 8 4 ð 5Þ ¼ 9
Prøv å skildre korleis svara endrar seg nedover i tabellen.
34
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
DØME 1.13 a) Rekn ut 9 ð 6Þ. b) Rekn ut 12 ð 8Þ. Løysing
a) 9 ð 6Þ ¼9þ6 ¼ 15 b) 12 ð 8Þ ¼ 12 þ 8 ¼ 4
HUGS Å subtrahere eit negativt tal er det same som å addere det motsette, positive talet.
1 TAL OG TALFORSTÅING
35
OPPGÅVER 1.38 Rekn ut. a) 5 ð 4Þ b) 9 ð 9Þ c) 10 ð 5Þ
d) 50 ð 100Þ e) 12 þ ð 15Þ f) 20 ð 20Þ
g) 14 ð 6Þ h) 1 ð 1Þ i) ð 1Þ ð 1Þ
a) 5 2
b) 5 þ ð 2Þ
c) 20 þ ð 12Þ
a) 6 8
b) 7 þ ð 5Þ
c) 20 ð 12Þ
a) 9 þ ð 13Þ
b) 3 ð 3Þ
c) 3 ð 3Þ
1.39 Rekn ut.
1.40 Rekn ut. Kva slags regel kan du lage ut frå mønsteret du ser? a) 12 þ ð 3Þ c) 12 ðþ3Þ b) 12 ð 3Þ d) 12 þ ðþ3Þ 1.41 Mount Everest i Nepal er 8848 m høgt. Challengerdjupet i Stillehavet er 11 034 m djupt. Kva er differansen mellom høgda til Mount Everest og djupna til Challengerdjupet?
36
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
1.42 Teikn ei tallinje frå 5 til þ5 og vis reknestykket. a) 3 3 b) 3 ð 3Þ 1.43 Under eit forsøk i naturfag blanda de is med salt for å senke smeltepunktet til isen. Starttemperaturen var sju kuldegradar. Etter at de hadde blanda i saltet, gjekk temperaturen ned med 14 gradar. Kva blei den nye temperaturen på blandinga?
Multiplikasjon og divisjon med negative tal Multiplikasjon er det same som gjenteken addisjon. Det vil seie at vi kan skrive reknestykket 7 þ 7 þ 7 ¼ 21 som 7 3 ¼ 21. På same måten kan vi skrive 7 7 7 ¼ 21 slik: 7 3 ¼ 21 Dersom vi multipliserer eller dividerer eit negativt tal med eit positivt tal, blir svaret negativt. 7 3 ¼ 21 21 : 3 ¼ 7 Svaret blir det same om vi byter forteikn på tala. 7 ð 3Þ ¼ 21 21 : ð 3Þ ¼ 7 Når vi multipliserer eller dividerer eit positivt tal med eit negativt tal, blir svaret eit negativt tal.
HUGS Dersom a og b er kva tal som helst, får vi denne regelen: a b ¼ ða bÞ og a : b ¼ ða : bÞ Divisjonen kan vi også skrive slik:
a a a ¼ ¼ b b b
1 TAL OG TALFORSTÅING
37
Vi skal no undersøkje kva som skjer når vi multipliserer to negative tal med kvarandre. Det gjer vi ved bell. å setje opp ein utrekningstabell. 3 ð 7Þ ¼ 21 2 ð 7Þ ¼ 14 1 ð 7Þ ¼ 7 0 ð 7Þ ¼ 0 1 ð 7Þ ¼ 7 2 ð 7Þ ¼ 14 3 ð 7Þ ¼ 21
Prøv å skildre korleis svara endrar seg nedover i tabellen.
Den same forteiknsregelen gjeld når vi dividerer to negative tal med kvarandre. Då blir svaret (kvotienten) positivt. 21 : ð 7Þ ¼ 3 14 : ð 7Þ ¼ 2 7 : ð 7Þ ¼ 1 0 : ð 7Þ ¼ 0 7 : ð 7Þ ¼ 1 14 : ð 7Þ ¼ 2 21 : ð 7Þ ¼ 3 Dette vil seie at når vi multipliserer eller dividerer to negative tal med kvarandre, blir svaret positivt.
HUGS Dersom a og b er kva tal som helst, får vi denne regelen: a ð bÞ ¼ þða bÞ ¼ a b a : ð bÞ ¼ þða : bÞ ¼ a : b Divisjonen kan vi også skrive slik:
38
a a ¼ b b
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
DØME 1.14 Rekn ut. a) 5 ð 4Þ b) 5 ð 4Þ Løysing
a) 5 ð 4Þ ¼ 20 b) 5 ð 4Þ ¼ 20
DØME 1.15 Rekn ut. a) 20 : 4 b) 20 : ð 4Þ Løysing
a) 20 : 4 ¼ 5 b) 20 : ð 4Þ ¼ 5
1 TAL OG TALFORSTÅING
39
OPPGÅVER 1.44 Rekn ut. a) 5 ð 6Þ
b) 4 6
c) 3 ð 7Þ
d) 5 ð 10Þ
1.45 Rekn ut. a) 25 : ð 5Þ
b) 25 : 5
c) 30 : ð 6Þ
d) 42 : 7
HUGS Når vi multipliserer eller dividerer to tal med like forteikn med kvarandre, blir svaret eit positivt tal. Når vi multipliserer eller dividerer to tal med ulike forteikn med kvarandre, blir svaret eit negativt tal.
1.46 Bruk det du har lært, til å finne svara. Du låner 50 kr av tante, 100 kr av onkel og 200 kr av bestefar. Kor mange kroner har du lånt til saman? Under ein klassetur legg skulen ut desse summane: buss 3600 kr, overnatting 6300 kr og mat 4200 kr. Det er totalt 30 elevar med på turen. Kor mykje skuldar kvar elev dersom utgiftene skal delast likt på alle? Du og fire vener går på kino. Du legg ut for fem kinobillettar på til saman 550 kr. Ein av dei andre kjøper popkorn og vatn til alle. Ho betalar 425 kr. De har blitt einige om at du skal betale 25 kr mindre enn dei andre. Dei fire andre skal betale like mykje. Korleis kan de gå fram når de skal gjere opp? 1.47 Rekn ut. a) 3 ð 6Þ
40
b) 4 ð 20Þ c) 3 15
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
d) 10 ð 37Þ
1.48 Rekn ut. a) 3 ð 3Þ b) 3 3 ð 3Þ
c) ð25 : 5Þ ð 2Þ d) ðð 2Þ 25Þ : 5
a) 2 2 ð 2Þ b) ð40 : 5Þ ð 2Þ
c) ð64 : 8Þ ð 4Þ d) ð64 : ð 8ÞÞ ð 4Þ
a) ð 2Þ 2 ð 2Þ b) ð49 : ð 7ÞÞ ð 3Þ
c) ð 2Þ ð 2Þ ð 2Þ d) ðð 16Þ : ð 2ÞÞ : ð 2Þ
1.49 Rekn ut. a) 15 ðþ17Þ b) 2 ðþ2Þ c) 50 ð 50Þ þ ð 25Þ d) 100 ðþ100Þ ð 100Þ þ ð 100Þ 1.50 Til teltplassen på ei øy kom det 10 gjester den første dagen teltplassen var open for sesongen. 2 gjester drog tilbake den same kvelden. Den andre dagen kom det 12 gjester, men 3 drog tilbake same kveld. Dette mønsteret heldt fram. Kor mange gjester var det på teltplassen på slutten av den sjuande dagen?
1 TAL OG TALFORSTÅING
41
Korleis vil du forklare korleis talsystemet vårt er bygd opp?
Desimaltal Når vi tel, brukar vi dei naturlege tala. Det er heile tal som er større enn 0. I dagleglivet får du bruk for desimaltal i tillegg til dei de naturlege atu ege tala. ta a. Prisen på varer er ofte ført opp med desimaltal. Desimaltala finn vi mellom dei heile tala. Her ser du to døme på ei tallinje frå 0 til 2. Delt inn i tidelar: 0
1,0
2,0
1,1
1,5
1,8
Delt inn i hundredelar: 0
1,0
2,0
1,23
1,75
Det er uendeleg mange desimaltal mellom kvart einaste heile tal.
42
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Desimaltal kan vere negative. Negative desimaltal finn vi til venstre for 0 på tallinja. Her ser du ei tallinje frå –2,0 til 2,0. -2,0
-1,0
–1,8 –1,5
0
1,0
2,0
–1,1
Som du ser på tallinja, er 1,8 mindre enn 1,5, og 1,1 er større enn 1,5.
DØME 1.16 Lag ei tallinje frå 2,0 til 2,0 og plasser desse tala på tallinja. 1,7
–1,7
–1,2
0,5
Løysing
-2,0
-1,0
–1,7
–1,2
0
1,0
0,5
2,0
1,7
1 TAL OG TALFORSTÅING
43
OPPGÅVER 1.51 Teikn av tallinja og plasser tala. 1,4
0,7
1,9
0
1,0
2,0
1.52 Teikn ei tallinje frå 0 til 2 med inndeling i tidelar. Plasser desse tala på linja. a) 0,5 b) 0,8 c) 1,2 d) 1,7 1.53 Skriv eit tal som er a) større enn 5 og mindre enn 6 b) større enn 7,9 og mindre enn 8 a) større enn 2,99 og mindre enn 3 b) større enn 4,97 og mindre enn 4,98 a) større enn 5,69 og mindre enn 5,70 b) større enn 0 og mindre enn 0,001 1.54 Teikn ei tallinje frå 2 til 0 med ei inndeling på 0,1. Plasser desse tala på tallinja. 1,5
0,5
0,9
–2,0
1.55 Skriv av a) 1,0 b) 1,0 c) 1,95 d) 0,5
44
1,9 1.0
og fyll 1,5 1,1 1,96 0
inn dei 2,0 & & &
tala som manglar. & & & 4,0 & & 1,5 & 1,99 & & & 2,0
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
0
1.56 Sorter tala etter storleik. Start med det minste talet. 4,52
3,96
15
4,09
0,9
0,10
0,09
0,15
0,02
0,019
0,021
0,018
Stigande: frå minst til størst Minkande: frå størst til minst
1.57 Sorter tala etter storleik. Start med det minste talet. 3,5
–2,9
15
4,1
0,1
–0,25
0,09
0,15
–0,05
–0,017
–0,035
–0,18
1.58 Seks elevar spring 60-meteren i kroppsøvingstimen. Sorter resultata i stigande rekkjefølgje. Arve Berit Cecilie Doris Tarik Fredrik
9,2 s 8,7 s 9,1 s 10,0 s 8,5 s 9,0 s
1.59 Nedanfor ser du høgda til nokre av dei høgaste byggverka i verda. Sorter tala i minkande rekkjefølgje. Kheopspyramiden 146,5 m Notre-Dame i Paris 141,0 m Empire State Building 381,9 m Burj Khalifa 828,0 m Eiffeltårnet 300,5 m 1.60 Set rett teikn, < eller >, mellom tala. a) 2 & 0 d) 2,6 & 2,7 b) 2 & 3 e) 1,09 & 1,09 c) 2,6 & 2,7 f) 2,09 & 2,10
46
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Burj Khalifa i Dubai
Rekning med desimaltal Vi kan addere eller subtrahere desimaltal på same måten som heile tal. Då må vi passe på at desimalteikna blir plasserte under kvarandre når vi stiller opp reknestykket.
Ledd + ledd = sum Ledd – ledd = differanse
DØME 1.17 Rekn ut. a) 12,4 þ 6,05 b) 87,4 6,05 Løysing
a)
b)
10
1 2, 4 0 +
6, 0 5
= 1 8, 4 5
48
8 7, 4 0 –
6, 0 5
= 8 1, 3 5
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Når vi multipliserer to desimaltal med kvarandre, utfører vi multiplikasjonen på same måten som med heile tal. Talet på desimalar i produktet skal vere lik summen av talet på desimalar i dei Faktor · faktor = produkt faktorane vi multipliserer. Dividend : divisor = kvotient
DØME 1.18 Rekn ut 13,42 2,3. Løysing To desimalar 1
1
1
1 3, 4 2 · 2, 3
Faktor · faktor
4026
+ 2684 = 3 0, 8 6 6
Produkt
Tre desimalar
1 TAL OG TALFORSTÅING
49
Når vi dividerer eit tal med eit desimaltal, må vi gjere om divisoren til eit heilt tal. Det gjer vi ved å multiplisere med 10, 100 eller 1000. Deretter utfører vi divisjonen.
DØME 1.19 a) Rekn ut 31,50 : 6. b) Rekn ut 2,94 : 1,4. Løysing
a)
3 1, 5 0 : 6 = 5, 2 5
Dividend : divisor = kvotient
–3 0 1 5
Hundredelar
– 1 2
Tidelar
30
Einarar
–30 0 b) 2,94 : 1,4 ¼ ð2,94 10Þ : ð1,4 10Þ
Multipliserer begge tala med 10.
¼ 29,4 : 14
2 9, 4 : 1 4 = 2, 1 –28 1 4 – 1 4 0
50
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
OPPGÅVER 1.61 Rekn ut utan å bruke kalkulator. a) 6,5 þ 10,15 c) 89,21 þ 10,8 b) 45,7 þ 10,42 d) 45,6 23,8
e) 100 34,5 f) 123,1 97,8
1.62 Rekn ut utan å bruke kalkulator. a) 3,5 þ 38,05 c) 75,02 þ 5,99 b) 5,98 þ 0,02 d) 3,5 2,45
e) 5 2,47 f) 100,1 1,09
1.63 Bruk penn og papir og rekn ut. Kontroller svara etterpå med kalkulator. a) 2,3 4 c) 2,2 3,4 e) 0,25 16,4 b) 8,5 7 d) 8,5 6,4 f) 0,08 0,92 1.64 Bruk penn og papir og rekn ut. Kontroller svara etterpå med kalkulator. a) 27,5 : 11 c) 1,56 : 1,2 e) 79,5 : 15 b) 24,0 : 15 d) 48,3 : 0,21 f) 0,72 : 0,09 1.65 Bruk penn og papir og rekn ut. Kontroller svara etterpå med kalkulator. a) 4,0 4,5
b) 3,2 2,5
c) 12,4 2,5
a) 18,01 2,1
b) 12,4 6,5
c) 43,0 6,6
a) 29,05 29
b) 2,14 0,750
c) 0,012 234
1.66 Familien Bakkland lader opp elbilen sin på ein hurtigladestasjon. Dei lader i 28 minutt, og prisen er 2,50 kr per minutt. Kor mykje må familien betale for å få ladd bilen?
Lag ei rekneoppgåve med minst tre desimaltal, som gir 75,50 kr til svar.
1 TAL OG TALFORSTÅING
51
1.67 Bruk det du har lært, når du løyser oppgåva. Eit kilogram eple kostar 14 kr. Kor mykje kostar 1,5 kg eple? Ein lastebil køyrer to lass med stein som veg 3,5 tonn og 2,85 tonn. Kor mykje tyngre er det første lasset enn det andre lasset? 2,5 kg druer kostar 73,75 kr. Kor mykje kostar 1 kg druer? 1.68 Anja kjøper 1,5 kg eple og 2,5 kg appelsinar. Epla kostar 14 kr per kilogram. Anja betalar i alt 61 kr for varene. Kor mykje kostar 1 kg appelsinar? 1.69 Bruk det du har lært, når du løyser oppgåva. Hanna kjøper frukt for 35,90 kr, pålegg for 123,50 kr og frysevarer for 98,70 kr. Kor mykje må ho betale for varene? Lotte kjøper 1,4 kg eple til 18,90 kr per kilogram og 1,2 kg appelsinar til 23,50 kr per kilogram. Kor mykje må ho betale for varene? Herman kjøper bringebær, blåbær og jordbær for til saman 144 kr. Kva kosta blåbæra når dei var halvparten så dyre som bringebæra og ein tredel så dyre som jordbæra? 1.70 Far til Herman jobbar på ein vêrstasjon i Antarktis. På måndag måler dei 38,4 °C, og på tysdag måler dei 41,9 °C. Kor mykje kaldare var det på tysdag enn på måndag? Forklar kvifor 2,5 0,4 gir det same svaret som 25 4 : 100.
52
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Avrunding av svar med desimaltal Når vi reknar med desimaltal, får vi ofte eit uendeleg tal desimalar i svaret. Då må vi runde av. Vi rundar av til eit heilt tal, eller til så mange desimalar som vi vil ha i svaret. Sjå på avrundingane nedanfor. Avrunding til eit heilt tal: 1,500 2 17,40 17 99,49 99 300,7 301
≈ tyder tilnærma lik.
Avrunding til éin desimal: 4,03 4,0 4,08 4,1 4,16 4,2 4,25 4,3 Avrunding til to desimalar: 2,433 2,43 1,245 1,25 0,597 0,60 1,995 2,00 Når vi rundar av, er det smart å finne avrundingssifferet. Om vi ønskjer å runde av til eit heilt tal, er det sifferet på einarplassen som er avrundingssifferet. Dersom sifferet på plassen etter avrundingssifferet er 5 eller større, aukar vi verdien til avrundingssifferet med 1. Dersom sifferet er 4 eller mindre, lèt vi avrundingssifferet stå uforandra.
Prøv å formulere ein avrundingsregel for eit desimaltal med tre desimalar.
54
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
DØME 1.20 a) Rund av 97,6 til eit heilt tal. b) Rund av 2,53 til eit tal med éin desimal. c) Rund av 0,1049 til eit tal med to desimalar. Løysing
a) Her er avrundingssifferet 7. Sifferet bak er større enn 5. 97,6 98 b) Her er avrundingssifferet 5. Sifferet bak er mindre enn 5. 2,53 2,5 c) Her er avrundingssifferet 0. Sifferet bak er mindre enn 5. 0,1049 0,10
HUGS Dersom talet etter avrundingssifferet er 5 eller større, rundar vi av oppover. Dersom talet etter avrundingssifferet er mindre enn 5, lèt vi avrundingssifferet stå uforandra.
1 TAL OG TALFORSTÅING
55
OPPGÅVER 1.71 Rund av til éin desimal. a) 2,34 b) 4,65
c) 7,86
d) 5,46
1.72 Rund av til to desimalar. a) 4,567 b) 6,367
c) 6,777
d) 2,224
1.73 Rund av til tre desimalar. b) 4,8996 c) 0,0005 a) 1,5555
d) 7,9995
1.74 Rund av til eit heilt tal. a) 14,49 b) 5,50
d) 99,62
c) 9,51
1.75 Rund av til to desimalar. a) 5,586
b) 1,596
c) 4,895
a) 4,703
b) 8,999
c) 0,099
a) 5,995
b) 0,0049
c) 9,995
1.76 Espen kjøper 2,4 kg kjøtdeig til 34,80 kr per kilogram. Han betalar med kontantar. Kor mykje må Espen betale? 1.77 Rekn ut ved hjelp av ein kalkulator, og rund av svaret til seks desimalar. b) 2 : 7 c) 3 : 7 a) 1 : 7 d) Kva samanheng ser du mellom svara du har fått? 1.78 I ein butikk kostar klementinar 17,90 kr per kilogram. Rekn ut og rund av svaret til nærmaste heiltal. Kor mykje kostar 2 kg klementinar? Kor mykje kostar 1,75 kg klementinar? Du betalar 63 kr for ein pose med klementinar. Kor mange kilogram har du kjøpt?
56
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Samansette måleiningar Ei måleining er ei eining vi brukar i samband med måling. Nedanfor ser du forkortinga for nokre av dei vanlegaste måleiningane vi brukar. Lengd: Areal: Volum: Vekt: Tid: Energi :
cm, dm, m, km cm2 , dm2 , m2 , km2 cm3 , dm3 , m3 , km3 L, dL, cL, mL g, hg, kg, tonn s, min, h, dag W, kW, kcal, kJ
Ei samansett måleining er ei måleining vi brukar når to målingar blir sette saman til éi måling for å fortelje samanhengen mellom dei. Døme på det er km/h som er ei eining for fart, eller kr/kg som er ei eining for pris per kilo. Her ser du nokre av dei vanlegaste samansette måleiningane:
Veit du om fleire samansette måleiningar?
58
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Dersom vi ser på nemninga for fart (kilometer per time) blir oppsettet slik: Fart =
strekning km ¼ ¼ km/h tid h
Her har vi målt strekninga i kilometer (km) og tida i timar (h). Men vi kan også måle strekninga og tida i andre einingar, som meter (m) og sekund (s). I samansette måleiningar brukar vi som regel teiknet / i staden for brøkstrek, som i km/h, kr/kg, m/s osv.
DØME 1.21 Ein sjåfør køyrer 480 km i elbil frå Oslo til Bergen. Sjåføren brukar 7,5 timar på turen. Totalt brukar bilen 91 kW på turen, og prisen for 91 kW på ein hurtigladar er 163,80 kr. a) Kva blir gjennomsnittsfarten til bilen på turen (km/h)? b) Kva blir prisen per kilowatt (kr/kW)? Løysing
a) Vi finn gjennomsnittsfarten ved å dividere strekninga med tida. 480 km Fart = ¼ 64 km/h 7,5 h b) Vi finn prisen for 1 kW ved å dividere prisen med forbruket. 163,80 kr Pris per kW = ¼ 1,80 kr/kW 91 kW
Kvifor er x minutt er det same som
x timar? 60
1 TAL OG TALFORSTÅING
59
OPPGÅVER 1.79 Gjer om til kilometer (km). a) 2000 m b) 40 mil
c) 350 m
d) 5,2 mil
1.80 Gjer om til timar (h). a) 30 min b) 15 min
c) 6 min
d) 54 min
1.81 Rekn ut gjennomsnittsfarten. a) Frode syklar 50 km på 2 timar. b) Sara køyrer 24 mil på 3 timar. c) Hassan spring 10 km på 60 minutt. 1.82 Familien Olsen er på biltur. Dei køyrer ei strekning på 240 km. Kva blir gjennomsnittsfarten dersom dei brukar a) 3 timar på turen b) 4 timar på turen a) 3,5 timar på turen b) 3 timar og 15 minutt på turen a) 3 timar og 12 minutt på turen b) 3 timar og 48 minutt på turen 1.83 Oda joggar på tredemølle i treningssenteret. Ho held på i 20 minutt. Energiforbruket er 180 kilokaloriar (kcal). a) Kor mange kilokaloriar forbrenner Oda på 1 minutt? b) Rekn ut kaloriforbruket per time.
1.84 Finn prisen per kilogram (kr/kg) for desse varene når potetene kostar 19,75 kr, gulrøtene 19,08 kr og tomatane 27,60 kr.
1.85 Til ein klassefest kjøper læraren 3,2 kg smågodt for 412,80 kr. a) Kva blir prisen per kilogram? b) Kva blir prisen per hektogram? 1.86 Beaufort-skalaen er ein vindskala som går frå 0 til 12. Nedanfor ser du namn og middelverdien til fire vindfartar. Finn dei vindfartane i m/s og km/h som manglar. Beaufort-tal
Nemning
Vindfart i m/s
4
Laber bris
6
Liten kuling
12
9
Liten storm
22
12
Orkan
Vindfart i km/h
25
120
1.87 Ein murar betalar 248 kr for 800 kg sand. Kva blir prisen per tonn?
Forklar kvifor 3 km/min er like raskt som 180 km/h.
1 TAL OG TALFORSTÅING
61
Overslagsrekning Til dagleg har vi ofte berre bruk for å finne eit svar som er omtrent rett. Slik er det til dømes når vi gjer eit overslag over kor mykje vi må betale for varer vi skal kjøpe. Då rundar vi av tala, slik at det blir lettare å finne svaret ved hovudrekning.
DØME 1.22 a) Du kjøper noko som veg 5,1 kg. Prisen per kilogram er 88,90 kr. Omtrent kor mykje må du betale? b) Onkel Jens kjøper 8,6 liter bensin til motorsykkelen sin. Han betalar 136,74 kr. Gjer eit overslag for å finne prisen per liter. Løysing
a) Vi rundar av 5,1 kg til 5 kg, og 88,90 kr til 90 kr: 5,1 88,90 5 90 ¼ 450 Vi må betale ca. 450 kr. b) Vi rundar av 136,74 kr til 150 kr, og 8,6 liter til 10 liter: 136,74 : 8,6 150 : 10 ¼ 15 Prisen per liter er ca. 15 kr.
HUGS Ved multiplikasjon blir overslaget best når vi rundar av det eine talet oppover og det andre talet nedover. Ved divisjon blir overslaget best når vi rundar av begge tala oppover eller begge tala nedover.
62
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
OPPGÅVER 1.88 Gjer overslag ved å runde av tala til heile tal. a) 9,2 4,3 c) 19,1 21,1 e) 97,5 12,3 b) 6,1 11,9 d) 0,9 5,9 f) 106,9 93,7 1.89 Gjer overslag ved å runde av tala til heile tal. a) 26,1 : 5,8 c) 19,5 : 0,9 e) 63,1 : 7,3 b) 103,2 : 11,1 d) 41,1 : 6,7 f) 198,3 : 48,7 1.90 Martin kjøper 3,2 kg pølser til 48,00 kr per kilogram. Gjer eit overslag over kor mykje Martin må betale for pølsene. 1.91 Hanna jobbar i ein skobutikk på laurdagar. Ho tener 469,50 kr på 3 timar. Gjer eit overslag over kor mykje ho tener per time. 1.92 Simen kjøper desse varene i butikken: 1,8 kg eple 2 hg smågodt 0,9 kg appelsinar 2 flasker iste
a) Lag eit overslag over kor mykje Simen må betale for kvar av dei ulike varene. b) Omtrent kor mykje må Simen betale for alle varene? c) Bruk kalkulator og rekn ut nøyaktig kor mykje Simen må betale.
1 TAL OG TALFORSTÅING
63
1.93 Bruk overslagsrekning og finn omtrentlege svar. 1,9 kg pærer kostar 41,20 kr. Omtrent kor mykje kostar 1 kg pærer? 3 hg smågodt kostar 34,50 kr. Omtrent kor mykje kostar 2 hg smågodt? 35,0 L diesel kostar 542,50 kr. Omtrent kor mykje kostar 50 L diesel?
1.94 Sara og Leo er i butikken og handlar inn for klassen. Dei kjøper desse varene: 9 pakkar pølser 4 pakkar lomper 2 sekkar grillkol 1 flaske tennvæske
a) Omtrent kor mykje må dei betale for varene? b) Bruk kalkulator og rekn ut nøyaktig kor mykje dei må betale. 1.95 Vurder desse overslaga. Dersom du er ueinig, skal du grunngi kvifor. På ei reise i Italia ser Anna Karin ein suvenir som kostar 21 euro. Anna Karin reknar ut at suveniren kostar ca. 200 kr fordi 1 euro kostar 9,70 kr. René køyrer båten sin med ein fart på 12 knop. Han reknar ut at det er ca. 200 km/h, fordi 1 knop = 1,852 km/h. I ein butikk kostar 22 gulrøter 48 kr. Iris reknar ut at 1 gulrot kostar ca. 0,50 kr.
64
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Kva er skilnaden mellom uttrykka 3 þ 4, 3 4 og 34 ?
Potensar Dersom vi multipliserer fleire like store tal med kvarandre, kan vi bruke ein kortare skrivemåte: 3 3 3 3 3 ¼ 35 Uttrykket 35 kallar vi ein potens. Vi les uttrykket slik: «tre i femte potens» eller ofte berre «tre i femte». I denne potensen er 3 grunntalet og 5 eksponenten.
Grunntal
35
Eksponent
Eksponenten i ein potens fortel kor mange gonger grunntalet skal multipliserast med seg sjølv. 35 vil seie at grunntalet 3 skal multipliserast fem gonger. 3 ffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl 3 3 ffl3} 35 ¼ 3|fflfflfflfflfflfflfflffl 3 multiplisert 5 gonger
1 TAL OG TALFORSTÅING
65
Vi kan rekne ut verdien av ein potens slik: 35 ¼ 3|fflfflfflfflfflfflfflffl 3 ffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl 3 3 ffl3} ¼ 243 5 gonger
DØME 1.23 a) Skriv potensen «seks i fjerde» med tal. b) Skriv uttrykket 7 7 7 7 som éin potens. ens. 3 c) Rekn ut potensen 4 . Løysing
a) 64 b) 7 7 7 7 ¼ 74 c) 43 ¼ 4 4 4 ¼ 64
OPPGÅVER 1.96 Skriv potensane med tal. a) To i tredje b) Fem i fjerde
c) Sju i sjuande d) Tolv i femte
1.97 Kva er grunntalet og kva er eksponenten i desse potensane? c) 35 a) 28 e) x3 d) 67 b) 43 f) ð2aÞ4 1.98 Skriv av tabellen og fyll inn det som manglar. Grunntal
Eksponent
3
2 64
6 5 1
35
8 4
66
Potens
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
2,34
1.99 Bruk det du har lært, til å finne svaret. a) Blir 5 5 5 5 5 potensen 55 eller 65 ? b) Blir 8 8 8 8 potensen 48 eller 84 ? c) Kan du skrive 3 þ 3 þ 3 þ 3 som éin potens eller som éin multiplikasjon?
HUGS Eit produkt der alle faktorane er like, kan vi skrive som ein potens. Eksponenten fortel kor mange gonger grunntalet er ein faktor i ein multiplikasjon.
1.100 Skriv som éin potens. a) 2 2 2 2 b) 3 3 3 3 c) 10 10 10
d) 7 7 7 7 7 e) 5 5 5 5 5 5 f) x x x x x x
1.101 Rekn ut potensane. a) 23 c) 53 b) 35 d) 105
e) 73
1.102 Set inn <, > eller =. a) 12 & 21 c) 42 & 24 b) 23 & 32 d) 34 & 43
Korleis kan du skrive desse uttrykka på ein enklare måte? A) 5 5 5 5 5 5 5 5 B) 5 þ 5 þ 5 þ 5 þ 5 þ 5 þ 5 þ 5 C) x x x x x x x x D) x þ x þ x þ x þ x þ x þ x þ x
1 TAL OG TALFORSTÅING
67
1.103 Skriv rekneuttrykka anten som potens eller som multiplikasjon. g) 10 10 10 10 10 10 a) 4 4 4 4 4 h) 2 4 2 4 b) 4 þ 4 þ 4 þ 4 þ 4 i) 4 4 4 4 16 c) 7 7 7 j) ð6 þ 6 þ 6Þ ð6 þ 6 þ 6Þ d) 3 3 3 3 3 k) 10 millionar 10 millionar e) 3 3 l) x x x x x f) 5 þ 5 þ 5 þ 5 1.104 Undersøk og finn ut. a) Skriv av tabellen og rekn ut potensane. Potensar
Tal
101 102 103 104 105 106 107
b) Kva samanheng ser du mellom eksponenten og kor mange nullar det er i talet? c) Kor mange nullar er det i 1 milliard (109 )? 1.105 Skriv tala som potensar med 10 som grunntal. e) Ti millionar a) 100 c) 100 000 d) 1 000 000 f) Éin milliard b) 1000
Blir uttrykket a a a multiplikasjonen 3 a eller potensen a3 ?
68
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Korleis vil du gå fram for å finne svaret?
Rekning med potensar Når vi skal addere eller subtrahere potensar, må vi først rekne ut den enkelte potensen. Deretter adderer og subtraherer vi tala. 43 þ 52 ¼4 4 4þ5 5
33 62 ¼3 3 3 6 6
¼ 64 þ 25 ¼ 89
¼ 27 36 ¼ 9
Når vi reknar med potensar og andre rekneartar i same reknestykke, må vi rekne i denne rekkjefølgja: 1) rekne ut potensar 2) multiplisere og dividere 3) addere og subtrahere
1 TAL OG TALFORSTÅING
69
DØME 1.24 Rekn ut. a) 42 72 b) 103 þ 102 c) 12 23 6 Løysing
a) 42 72 ¼4 4 7 7 ¼ 16 49 ¼ 33 b) 103 þ 102 ¼ 10 10 10 þ 10 10 ¼ 1000 þ 100 ¼ 1100 c) 12 23 6 ¼ 12 2 2 2 6 ¼ 12 48 ¼ 36
70
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
OPPGÅVER 1.106 Rekn ut. a) 42 þ 42 b) 103 þ 102
c) 33 52 d) 3 42 þ 2
1.107 Rekn ut. a) 3 2 2 2 b) 5 23
c) 52 þ 23 d) 32 þ 22 52
a) 24 33 b) 52 þ 42
c) 32 þ 43 72 d) 42 52 32
a) 103 101 b) 35 53 þ 82
c) 102 : 5 þ 72 33 d) 103 5 2,52
1.108 Rekn ut. a) 22 þ 12 5 b) 103 102 þ 10
c) 32 þ 23 42 d) 10 52 þ 2 32
1.109 Prøv å lage ein regel for korleis du kan rekne ut 104 104 på ein enklare måte.
Set opp ein tabell og finn verdien til potensane 104 , 103 , 102 og 101 . Kva trur du verdien til 100 og 10 1 blir?
1 TAL OG TALFORSTÅING
71
Multiplikasjon og divisjon av potensar Vi skal no undersøkje kva som skjer når vi multipliserer to potensar som har same grunntal. 23 24 ¼ 2|fflfflffl{zfflfflffl} 2 2 2|fflfflfflfflffl 2ffl{zfflfflfflfflfflffl} 2 2 ¼ 23þ4 ¼ 27 3
4
Når vi multipliserer potensar som har same grunntal, kan vi addere eksponentane. Dersom a, m og n står for tal, får vi denne regelen: am an ¼ amþn Når vi skal dividere ein potens med ein potens som har same grunntal, kan vi gjere det på denne måten: 56 6 2 6 2 ¼ 54 2 ¼ 5 : 5 ¼5 5 Ettersom grunntala er like, kan vi subtrahere eksponentane.
56 5 5 5 5 6 5 6 5 54 ¼ ¼ 54 ¼ 52 1 65 65 Dersom a, m og n står for tal, får vi denne regelen: am ¼ am n an
72
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Når vi skal dividere to like potensar med kvarandre, kan vi setje det opp på to måtar: 53 : 53 ¼ 53 3 ¼ 50 53 : 53 ¼
5 5 5 125 ¼ ¼1 5 5 5 125
Det må tyde at 50 ¼ 1. Alle potensar som har eksponenten 0, er lik 1.
DØME 1.25 Skriv svaret som éin potens dersom det er mogleg. Dersom det ikkje er mogleg, reknar du ut svaret på potensane. a) b) c) d)
22 25 46 : 42 32 43 34 : 34
Løysing
a) Her er grunntala like, og vi kan addere eksponentane. 22 25 ¼ 22þ5 ¼ 27 b) Her er grunntala like, og vi kan subtrahere eksponentane. 46 : 42 ¼ 46 2 ¼ 44 c) Her er ikkje grunntala like, og vi må rekne ut potensane. 32 43 ¼ 3 3 4 4 4 ¼ 9 64 ¼ 576 d) Her er grunntala like, og vi kan subtrahere eksponentane. 34 : 34 ¼ 34 4 ¼ 30 ¼ 1
1 TAL OG TALFORSTÅING
73
OPPGÅVER 1.110 Skriv svaret som éin potens. a) 32 35 c) 22 23 b) 52 52 d) 52 54
e) 102 103 f) 72 73
HUGS Når vi multipliserer potensar som har same grunntal, lèt vi grunntalet vere det same og adderer eksponentane. Det kan vi skrive slik: am an ¼ am þ n
1.111 Skriv svaret som éin potens. a) 132 133 c) 122 123 b) 52 5 d) 102 104
e) 100 105 f) x2 x3
1.112 Skriv svaret som éin potens. a) 32 : 3 c) 28 : 28 b) 152 152 d) 103 105 10
e) 7 73 70 72 f) x2 x0 x3
Korleis kan vi skrive talet 61 som ein sum av to potensar?
HUGS Når vi dividerer potensar som har same grunntal, lèt vi grunntalet vere det same og subtraherer eksponentane. Det kan vi skrive slik: am ¼ am n an
74
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Hugs at brøkstrek er det same x som divisjonsteikn. (x : x = x )
1.113 Skriv svaret som éin potens. 27 106 a) 4 c) 2 102 65 b) 2 6
312 d) 8 3
1.114 Skriv svaret som éin potens. a) 55 : 52 c) 35 : 34 b) 105 : 103 d) 74 : 73
e)
55 52
35 32 f) 34
e) 155 : 153 f) 109 : 109
HUGS Alle potensar som har eksponenten 0, er lik 1. Det kan vi skrive slik: a0 ¼ 1
Andromedagalaksen er rundt 2,5 · 106 lysår unna vår galakse, Mjølkevegen.
1.115 Skriv svaret som éin potens dersom det er mogleg. Dersom det ikkje er mogleg, reknar du ut. a) 95 : 92 b) 34 þ 33
c) 26 24 d) a2 a3
a) 104 þ 103
c) 34 þ 24
b) 12 : 12 12
b2 b2 d) b4
a) 84 44
c) 3 52 þ 5 32
b) 5 42 16
d)
6
3
c2 c c4 c7
1.116 Skriv svaret som éin potens dersom det er mogleg. Dersom det ikkje er mogleg, reknar du ut. a) 32 35 31
c) 42 23 22
e) 82 8 þ 8
b) 52 53 : 52
d) 52 102
f)
104 103 102
1.117 Titalssystemet er bygd opp med plassverdiar som vi kan skrive som potensar med 10 som grunntal. Million-plassen og hundretusen-plassen blir då 106 og 105 . Skriv dei neste fire plassane som er mindre enn hundre tusen. Skriv dei neste fem plassane som er mindre enn hundre tusen. Skriv dei neste åtte plassane som er mindre enn hundre tusen.
Dersom 1 million er 106 , kva er då 10 6 ?
76
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Korleis kan vi skildre noko som er kvadratisk?
Kvadrattal og kvadratrot Vi kan leggje ut brikker i kvadratform på denne måten:
Figur 1
Figur 2
Figur 3
Figur 4
Figur 5
Sjå på reknestykka nedanfor. 1 1¼1 2 2¼4 3 3¼9 4 4 ¼ 16 Korleis trur du tabellen held fram?
1 TAL OG TALFORSTÅING
77
Tala 1, 4, 9, 16, 25 osv. kallar vi kvadrattal. Dei kan skrivast som eit produkt av to like heile tal. Vi kan illustrere desse tala i eit kvadratisk mønster som vist på førre side. Alle kvadrattal kan skrivast som ein potens med eksponent lik 2, slik: 1 ¼ 1 1 ¼ 12 4 ¼ 2 2 ¼ 22 9 ¼ 3 3 ¼ 32 16 ¼ 4 4 ¼ 42 25 ¼ 5 5 ¼ 52
DØME 1.26 a) Lag ei teikning som illustrerer kvadrattalet 16. b) Rekn ut kvadrattal nummer 10. c) Kva for eit tal har vi multiplisert med seg sjølv for å få kvadrattalet 81? Løysing
a)
b) 102 ¼ 10 10 ¼ 100 c) 9 fordi 92 ¼ 9 9 ¼ 81
78
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
OPPGÅVER 1.118 Kva for nokre av desse tala er kvadrattal? 4
9
7
8
16
25
35
49
1.119 Kva for kvadrattal illustrerer desse figurane? a) b) c)
Kvifor vil x2 alltid vere eit kvadrattal dersom x er eit naturleg tal?
1.120 Lag ei teikning som illustrerer kvadrattala. a) 4 b) 9 c) 16 d) 25
HUGS Dersom x er eit heilt tal, er x x ¼ x2 eit kvadrattal.
1.121 Rekn ut kvadrattalet x2 når x er a) 5 c) 10 b) 8 d) 15
e) 20 f) 100
1.122 81 brikker blir lagde ut som eit kvadrat. Kor mange brikker er det langs sidene av kvadratet?
1 TAL OG TALFORSTÅING
79
1.123 Stolane i ein kinosal er plasserte som eit kvadrat. Det er 625 plassar i salen. Kor mange stolar er det i kvar rad? 1.124 Finn ut kva tal som er multiplisert med seg sjølv for å få kvadrattalet. a) 16
b) 36
c) 64
d) 100
a) 81
b) 49
c) 100
d) 10 000
a) 169
b) 144
c) 400
d) 6400
Plasser tala frå 1 til 6 i trekanten slik at summen langs kvar av sidene blir den same.
80
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Kvadratrot 9 er eit kvadrattal fordi 9 ¼ 3 3. Motsett seier vi at 3 er kvadratrota av 9. pffiffiffi pffiffiffi Teiknet for kvadratrot er , og vi skriv kvadratrota av 9 slik: 9 ¼ 3 pffiffiffiffiffi På same måten er 25 ¼ 5 fordi 5 5 ¼ 25. Vi må bruke hjelpemiddel når vi finn kvadratrota av tal som ikkje er kvadrattal.
DØME 1.27 a) Rekn ut kvadratrota av 81. b) Rekn ut kvadratrota av 161,29. Løysing
a)
pffiffiffiffiffi 81 ¼ 9
b) Her må vi bruke hjelpemiddel:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 161,29 ¼ 12,7
Vi treng ofte kalkulator for å finne kvadratrot.
1 TAL OG TALFORSTÅING
81
OPPGÅVER 1.125 Finn kvadratrota av a) 9 c) 16 b) 25 d) 36
e) 81 f) 100
1.126 Rekn ut. pffiffiffiffiffi a) 25 pffiffiffiffiffi b) 36
c)
pffiffiffiffiffiffiffi 144 pffiffiffiffiffiffiffi d) 400
e)
1.127 Rekn ut. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 25 þ 81 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi b) 36 þ 100
c)
pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 25 þ 16 pffiffiffi pffiffiffiffiffi d) 9 þ 36
e)
pffiffiffiffiffi 85 pffiffiffiffiffiffiffi f) 128 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 81 36 pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi f) 100 121
Undersøk kva kvadratrota av x2 og x4 blir.
1.128 Du har ein kvadratisk grasplen. a) Kva blir arealet av grasplenen når sidene er 10 m? b) Kva blir lengda av sidene til grasplenen når arealet er 81 m2 ? a) Kva blir lengda av sidene til grasplenen når arealet er 49 m2 ? b) Kva blir lengda av sidene til grasplenen når arealet er 23,04 m2 ? a) Du deler grasplenen i to like delar, og arealet av kvar del blir då 24,5 m2 . Kva blir lengdene av sidene på plenen? b) Summen av arealet til to ulike kvadratiske grasplenar er 145 m2 . Kor lange er sidene til dei to grasplenane?
82
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
1.129 Ei handballbane har form som eit rektangel som er dobbelt så langt som det er breitt. Arealet av handballbana er 800 m2 . Rekn ut lengda og breidda av handballbana.
Finn talet! . Talet har to faktorar som også er primtal. .
Kvadratrota av talet er mindre enn 10.
.
Talet har tverrsummen 13.
1.130 Eit kvadrat har sider med lengd x. Du finn arealet av kvadratet ved å rekne ut x x eller x2 . Kva blir arealet når a) x ¼ 5 m? b) x ¼ 50 dm? c) x ¼ 500 cm? d) Kva er samanhengen mellom svara i a), b) og c)?
x
x
1 TAL OG TALFORSTÅING
83
Korleis kan vi uttrykkje kor mykje vi må betale, på ein annan måte?
Rekning med parentesar Vi kan bruke parentesar for å vise rekneuttrykk som høyrer saman. Dersom vi skal kjøpe 3 flasker vatn til 15 kr per flaske og to skulebrød til 21 kr per stykk, kan vi rekne ut samla betaling ved å setje opp reknestykket slik: ð3 15 krÞ þ ð2 21 krÞ Når vi har parentesar i eit rekneuttrykk, k, må vi rekne ut parentesane først. Utrekninga blir då: ð3 15 krÞ þ ð2 21 krÞ ¼ ð45 krÞ þ ð42 krÞ ¼ 87 kr
84
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Eit anna døme kan vere 52 ð62 : 32 Þ ¼ 52 ð36 : 9Þ ¼ 25 4 ¼ 21 Legg merke til at vi reknar ut potensane og parentesane før vi subtraherer.
DØME 1.28 Rekn ut. a) 5 ð2 þ 12Þ b) 5 þ 3 4 þ 23 c) 3 32 3 4 Løysing
a) 5 ð2 þ 12Þ ¼ 5 14 ¼ 70 b) 5 þ 3 4 þ 23 ¼ 5 þ 3ð4 þ 8Þ ¼ 5 þ 3 12 ¼ 5 þ 36 ¼ 41 c) 3 32 3 4 ¼ 3ð9 3Þ 4 ¼ 3 6 4 ¼ 18 4 ¼ 22
1 TAL OG TALFORSTÅING
85
OPPGÅVER 1.131 Rekn ut. a) 3 ð7 þ 8Þ b) ð5 þ 25Þ 4
c) 2 ð9 15Þ þ 7 d) ð4 þ 24Þ þ ð3 38Þ
1.132 I ein butikk kjøper du tre pakkar pølser til 38,50 kr per pakke og tre pakkar lomper til 11,90 kr per pakke. a) Lag eit parentesuttrykk som viser kva du må betale. b) Rekn ut kor mykje du må betale til saman.
HUGS Dersom du multipliserer eller dividerer eit positivt tal med eit negativt tal, blir svaret negativt. a b ¼ ab Dersom du multipliserer eller dividerer eit negativt tal med eit negativt tal, blir svaret positivt. a ð bÞ ¼ þab
1.133 Rekn ut.
86
a) 7ð8 4Þ b) ð12 þ 13Þ 4
c) 3ð5 6Þ þ 5 d) ð2 þ 8Þ ð13 3Þ
a) 4ð5 9Þ b) 2ð4 þ 6Þ
c) 5ð15 5Þ 8 d) ð35 5Þ ð3 þ 7Þ
a) 9ð 7 þ 3Þ b) ð14 þ 14Þ þ ð6 8Þ
c) 10 ð14 þ 6Þ3 d) ð28 3Þ ð3 6Þ
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
1.134 Klasse 8A planlegg ein tur til Oslo. Bussbillettane kostar 240 kr per elev. Inngang på museum kostar 60 kr per elev, og teaterbillettane kostar 540 kr per elev. a) Kva blir totalprisen for buss for 20 elevar? b) Kva blir totalprisen for buss og museum for 20 elevar? a) Kva blir totalprisen for buss og museum for 25 elevar? b) Kva blir totalprisen for buss, museum og teater for 25 elevar? a) Kva blir totalprisen for buss, museum og teater for 28 elevar? b) Lag eit uttrykk som viser kor mykje x elevar må betale for buss, museum og teater. 1.135 I kantina på skulen sel dei bagettar til 15 kr, jus til 13 kr og mjølk til 12 kr. a) Lag eit uttrykk som viser kva to bagettar og to mjølk kostar. b) Lag eit uttrykk som viser kva tre bagettar, éi mjølk og to jus kostar. c) Lag eit uttrykk som viser kva fem bagettar, fem mjølk og fem jus kostar. d) Rekn ut uttrykka i a), b) og c).
1 TAL OG TALFORSTÅING
87
Kan vi alltid rekne frå venstre mot høgre?
Reknerekkjefølgja I dei førre kapitla har du repetert addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. I tillegg har du mellom anna lært om potensar, kvadratrot og rekning med parentesar. Du skal no arbeide med meir samansette oppgåver der du må bruke det du har lært. Hugs at når har du har fleire ulike rekneartar i det same reknestykket, må du rekne potensar, kvadratrøter og løyse opp parentesar før du multipliserer og dividerer. Til slutt utfører du addisjon og subtraksjon. Vi reknar i denne rekkjefølgja når vi har fleire rekneartar i same uttrykk: 1) potensar, kvadratrøter og parentesar 2) multiplikasjon og divisjon 3) addisjon og subtraksjon
88
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
DØME 1.29 Rekn ut. a) 8 2 42 þ 90 b) 42 : 7 þ 2ð4 þ 12Þ
pffiffiffiffiffi 16
Løysing
a) 8 2 42 þ 90 ¼ 8 2 16 þ 90 ¼ 8 32 þ 90 ¼ 66 pffiffiffiffiffi b) 42 : 7 þ 2ð4 þ 12Þ 16 pffiffiffiffiffi ¼ 42 : 7 þ 2ð16Þ 16 ¼ 6 þ 32 4 ¼ 34
OPPGÅVER 1.136 Rekn ut. a) 2 þ 2 2 b) 3 4 2 þ 12 c) 49 : 7 2 7
d) 42 þ 2 33
pffiffiffiffiffi e) 3 9 2 25 f) 12 þ 82 6 2
Undersøk desse reknestykka og skriv ein regel ved hjelp av a, b og c når bokstavane representerer kvart sitt tal. 2 ð3 4Þ 3 ð2 4Þ 4 ð3 2Þ
1 TAL OG TALFORSTÅING
89
1.137 Rekn ut. a) 2 þ 7ð4 3Þ
pffiffiffiffiffi b) 33 42 : 6 þ 49 c) 24 : 6 þ 72 þ ð3 9Þ
a) 24 : 8 þ 4ð8 3Þ pffiffiffiffiffi b) 64 þ 42 ð5 þ 3Þ c) 62 þ 3 22 32 þ 12 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a) 50 : 2 þ 6 102 52 10 b) 33 þ 32 62 þ 3 5 pffiffiffiffiffi c) 62 61 3 81 þ ð56 : 8Þ 1.138 I ei fruktbod kjøper du 5 eple, 5 appelsinar, 3 pærer og 4 bananar. Lag eit rekneuttrykk som viser kva du må betale, og rekn ut.
90
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
1.139 Bruk informasjonen i annonsen til å løyse oppgåvene. a) Kor mange euro må ein person betale for fly tur-retur, ein 10-dagarstur og 12 netter på hotell? b) Kva blir prisen for fire personar i kroner når 1 € = 9,75 kr? c) Ein dag har Inkareiser selt 10-dagarsturar for til saman 7110 €. Kor mange personar har betalt for ein 10-dagarstur? d) Inkareiser tilbyr 10-dagarsturen til ungar for halv pris. Kva kostar 10-dagarsturen for ungar i euro? e) Ein annan dag har Inkareiser selt 10-dagarsturar for til saman 5530 €. Kor mange vaksne og barn kan ha bestilt turen? ða þ bÞ þ c ¼ a þ ðb þ cÞ og ða bÞ c ¼ a ðb cÞ blir kalla den assosiative lov og gjeld for addisjon og multiplikasjon. Vis ved hjelp av fire–fem taleksempel at lova stemmer.
1 TAL OG TALFORSTÅING
91
1.140 Kvadratet til høgre er sett saman av fire mindre kvadrat. a) Kor stor brøkdel utgjer dei små kvadrata av det store kvadratet? b) Omkrinsen til eit lite kvadrat er 20 cm. Kva blir omkrinsen av det store kvadratet? a) Arealet av eit lite kvadrat er 25 cm2 . Kva blir arealet av det store kvadratet? b) Kva blir omkrinsen av det store kvadratet når arealet av eit lite kvadrat er 25 cm2 ? a) Kva blir omkrinsen av eit lite kvadrat dersom omkrinsen av det store kvadratet er 64 cm? b) Kva blir arealet av eit lite kvadrat når arealet av det store kvadratet er 64 cm2 ? 1.141 Summen av to tal er 13, og produktet av dei same tala er 36. Kva er differansen mellom dei to tala? 1.142 Ved oppstarten av eit sjakk-kurs er det 13 jenter og 23 gutar som deltek. Kvar veke kjem det 9 nye jenter og 6 nye gutar. a) Kor mange veker tek det før det er fleire jenter enn gutar på kurset? b) Kor mange veker har det gått når det er over 100 jenter på kurset?
UNDERVEGSVURDERING 1 1
Still opp og rekn ut utan å bruke kalkulator. Vis tydeleg kva reknestrategiar du har brukt. a) 35 12 b) 130 52 c) 248 : 8 d) 630 : 6
2
Still opp og rekn ut utan å bruke kalkulator. a) Du kjøper to flasker vatn til 21 kr per stykk og tre bananar til 6 kr per stykk. Kor mykje må du betale til saman? b) Hanna kjøper fire julegåver på nettet som kostar 58 kr kvar, og tre gåver som kostar 124 kr kvar. I tillegg må ho betale frakt på 49 kr. Kor mykje må ho betale til saman?
3
Rekn ut. a) 2 þ 2 2 b) 3 þ 30 : 3 3 c) 8 24 : 3 5
4
Rekn ut. a) 2 þ ð 5Þ b) 5 ð 10Þ c) 28 ð 12Þ 48
5
Rekn ut. a) 5 ð 4Þ b) 48 : ð 8Þ c) ð 2Þ ð 24Þ : ð 3Þ
6
Rekn ut utan å bruke kalkulator. a) 4,5 3,6 b) 2,4 : 3 c) 3,2 : 0,8
1 TAL OG TALFORSTÅING
93
7
Bruk avrundingsreglane og rund av til to desimalar. a) 5,544 b) 14,755 c) 9,995
8
Linea kjøper 12 hg smågodt for 190,80 kr. a) Kva blir prisen per hektogram? b) Kva blir prisen per kilogram?
9
På veg til Trolltunga ved Ringedalsvatnet i Skjeggedal stoppar ein familie for å lade bilen og handle litt. Etter 22 minutt dreg familien vidare. Dei har då kjøpt: . 22 min lading til 1,95 kr/min .
1,8 kg appelsinar til 21,90 kr/kg
.
0,9 hg smågodt til 28,90 kr/hg
.
4 flasker vatn til 24,50 per stykk
.
8 bollar til 39,90 kr Gjer eit overslag og finn ut omtrent kor mykje familien måtte betale.
94
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
10
11
Skriv som éin potens. a) 8 8 b) 10 10 10
c) x x x
Skriv som éin potens eller rekn ut. a) 42 43 b) 32 þ 32
c) 54 : 52 43 2
12
Bruk det du kan om kvadrattal og kvadratrot, når du løyser oppgåvene. a) Skriv opp dei fem første kvadrattala. b) Finn kvadratrota av 100 og 400.
13
Eit kvadratisk lappeteppe er sett saman av 81 små lappar som har form som eit kvadrat. Kvar lapp har sider på 5 cm. a) Kva blir arealet av éin lapp? b) Kor lange er sidene på lappeteppet?
14
Rekn ut. a) 3 þ ð5 4Þ b) 3ð2 4Þ þ 5 c) ð7 9Þ þ ð30 : 6Þ
15
I kantina på skulen sel dei bagettar til 15 kr, jus til 10 kr og mjølk til 8 kr. a) Lag eit parentesuttrykk som viser kva to bagettar og to mjølk kostar. b) Lag eit parentesuttrykk som viser kva fem bagettar, fem mjølk og fem jus kostar. c) Rekn ut uttrykka i a) og b) og finn prisen i kroner.
16
Rekn ut. a) ð32 22 Þ þ ð30 : 6Þ pffiffiffiffiffi b) 42 32 : 8 þ 16 c) 48 : 6 þ 62 ð4 8Þ
1 TAL OG TALFORSTÅING
95
Tverrfagleg oppgåve 1 Berekraftsmåla til FN omfattar 17 hovudmål og gjeld for alle landa i verda. Måla skal hjelpe oss med å gjere verda til ein betre stad for alle menneske som lever no, utan å øydeleggje for dei som kjem seinare. Det kallar vi berekraftig utvikling.
Mål 1:
Utrydde alle former for fattigdom i heile verda
I 1990 levde om lag 2,5 milliardar menneske i ekstrem fattigdom. Sidan då har prosentdelen ekstremt fattige blitt meir enn halvert. I dag reknar vi med at om lag 750 millionar menneske lever under fattigdomsgrensa. Denne grensa er på 1,90 dollar dagen. Målet er at ingen skal leve i ekstrem fattigdom i 2030.
96
.
Skriv 2,5 milliardar og 750 millionar med tal.
.
Kor mange færre ekstremt fattige er det i dag samanlikna med i 1990?
.
1 dollar er verd omkring 8,50 kr (2018). Kva blir fattigdomsgrensa i kroner?
.
Kva blir fattigdomsgrensa i kroner per veke, månad (30 dagar) og år (365 dagar)?
MATEMATIKK 8 GRUNNBOK FRÅ CAPPELEN DAMM
Å definere fattigdom i Noreg kan vere vanskeleg. Er ein fattig dersom ein til dømes ikkje kan reise på ferie kvar sommar? Europa har definert ei eiga fattigdomsgrense. Ho er sett til halvparten av gjennomsnittsinntekta i det landet du bur i. I Noreg låg ei gjennomsnittsinntekt på 43 300 kr per månad i 2016. .
Kva er fattigdomsgrensa i Noreg per månad etter den europeiske definisjonen? . Kor mykje får ein person med gjennomsnittsinntekt i Noreg utbetalt per månad dersom det blir trekt 13 000 kr i skatt per månad? . Kor mykje kan ein person med ei gjennomsnittsinntekt i Noreg bruke per dag i september? . Kor mykje meir er dette samanlikna med fattigdomsgrensa som FN har sett? Finn informasjon om utviklinga av fattigdom i verda. . Kva tyder alle former for fattigdom i mål nr. 1? .
Finn ut kva det tyder å mangle materielle og sosiale gode, og om lag kor mange menneske som manglar desse goda i dag. . Korleis er utviklinga frå 1990? Vurder tala – kva tenkjer de om å nå mål nr. 1 fram mot 2030? Er det mogleg? . Lag eigne spørsmål ut frå informasjonen de finn.
TVERRFAGLEG OPPGÅVE
97
2
Delelege tal og brøk
MÅL:
OMGREP:
I dette emnet skal du få lære om . delelege tal og primtalsfaktorisering av tal . utviding og forkorting av brøkar . samanhengen mellom brøk, desimaltal og prosent . addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon med brøkar
. . . . . .
tverrsum faktor primtal faktorisering fellesnemnar samansette tal
