Carla Rojas Moscoso

Juan José Quispe Orcko∗

La relación de las artes y las matemáticas se conoce hace miles de años, pero entre todas las disciplinas la música es la única que tiene raíces puramente matemáticas, las notas musicales se han ido determinado a lo largo de la historia, buscando grabar al oído humano mediante relaciones numéricas, no es casualidad que tengamos siete notas musicales y añadamos cuando más para completar la escala y estas a la vez se agrupen en siete blancas y cinco negras, las negras estén separadas en grupos de dos y tres, nada se ha dejado al azar. Para entender la música actual tenemos que entender el desarrollo matemático y físico del sonido.

Una onda de sonido puro se representa mediante la función sinusoidal, donde existe sólo dos parámetros que podemos hacer variar: la amplitud de la onda que cambia el volumen del sonido y la frecuencia de la onda y cambia el tono del sonido de valores graves a agudos; sin embargo, esto no encaja con la vida real; porque al tocar una guitarra no sale un sonido puro, entonces algo más está pasando en la cuerda y la física lo sabe: una cuerda tensa fija en los extremos no pude vibrar libremente; porque los extremos siempre están quietos y esto hace que la cuerda sólo pueda vibrar de maneras determinadas, conocidas como armónicos y existen muchos de ellos: el primero se denomina armónico fundamental y es muy intuitivo, la cuerda se mueve para arriba y para abajo, el segundo tiene dos crestas subiendo y bajando, el tercero tiene tres y así sucesivamente.

La propiedad matemática más interesante que tienen los armónicos es, si el primero vibra a una cierta frecuencia, el segundo vibra a doble de frecuencia, el tercero al triple y así sucesivamente. Cuando se toca una cuerda

LA MÚSICA Y LAS MATEMÁTICAS

estamos haciendo vibrar todos sus armónicos a la vez; pero cada uno con una amplitud distinta; es decir, suenan todos los armónicos cada uno a un volumen y cuando la mezcla llega al oído nos suena como una guitarra. Si hacemos sonar una onda de sonido simple y estudiamos su composición, pues es más simple que un mecanismo de un lápiz; pero si estudiamos un sonido complejo como de un violín comprobamos que está formado por muchos sonidos simples, cada uno producido por un armónico vibrando. Entonces combinando sonidos simples se pude generar sonidos complejos y la combinación es muy particular, lo que hace que un instrumento suene como lo hace es el volumen de sus armónicos, si cambiamos convenientemente el sonido de estos sonidos simples, podemos hacer que una flauta suene como un violín, al final los armónicos tienen codificados el timbre de cada instrumento, son su carnet de identidad.

En cuanto a la física de las vibraciones de una cuerda es prácticamente la misma que las ondas de aire de un tubo, los instrumentos de cuerda y de viento generan armónicos muy particulares y notas muy parecidas, en física todo lo que vibra se puede asociar con algún tipo de armónico desde mecánica cuántica a los caracoles.

Ahora bien, ¿cómo aprovechamos toda esta información para generar notas musicales? Los griegos observaron que al reducir el tamaño de una cuerda a la mitad el sumidor restante encaja muy bien con la nota original, al observar los armónicos, las notas tienen muchos armónicos en común, en realidad se está escuchando los mismos sonidos simples en las dos situaciones, no hay sonidos desconocidos de la nueva nota, esta teoría sonora funciona también al revés: si dos notas no tienen

∗ Licenciado en Educación de la Normal "Simón Bolívar de Cororo", fue administrador, entrenador de varias disciplinas deportivas, curso varios diplomados, en la actualidad es docente de matemáticas del nivel secundario, Correo electrónico: jjqojuanjo@gmail.com

armónicos en común tendrán sonidos disonantes, al dividir la longitud de la cuerda por dos, es lo mismo multiplicar la frecuencia del sonido por dos, las notas que se crean con este método se denominan octavas y son la pieza clave de la teoría musical, se pude crear todas las octavas al multiplicar y dividir la longitud de una cuerda por dos o haciendo lo mismo con la frecuencia según el enfoque de los armónicos, las octavas suena bien; pero no aportan en la riqueza musical, porque son sonidos parecidos entre si que se considera la misma nota pero en distintas octavas, ante él aparece la quinta.

La quinta tiene una cuerda de 2/3 con relación a los armónicos hay muchos sonidos que son comunes y otros nuevos para el oído por eso también suenan bien, al multiplicar la longitud de la cuerda por 2/3 la frecuencia se divide por 2/3, las notas generadas de esta manera son las quintas. Y como antes podemos generar ondas con las quintas, multiplicando y dividiendo la longitud de una cuerda por 2/3 o haciendo lo mismo con la frecuencia.

Las octavas y las quintas generan todas las notas de la música actual, notas que le gusta al oído, para crearlas sólo hay que tener una cuerda y hacer octavas y quintas repitiendo el proceso muchas veces. En la actualidad se enfocan en las frecuencias y estos procesos se vuelven infinitos, ¿cuándo se para?

Sólo es de organización, por ejemplo; si tenemos frecuencias y buscamos las octavas se obtiene la misma nota, pero si creamos una quinta se obtiene una nueva nota, después se puede hacer sus octavas, esto crea notas distintas, para crear un nuevo sonido hacemos una quinta más y se busca las octavas, entonces se obtiene un patrón de frecuencias.

Con ello se puede crear notas, se obtiene una frecuencia y hacemos tres quintas, se termina de crear notas cuando la escala sea simétrica, visualmente es muy sencillo si al unir las notas obtenemos una estrella regular la escala simétrica y sirve para hacer música, por ejemplo: una escala de cuatro notas no es simétrica, no forma una estrella regular; pero una de cinco notas si es regular como la escala pentatónica.

La explicación matemática de las escalas simétricas se resume en buscar escalas que entre una nota y su quinta tengan siempre el mismo número de notas, lo que otorga es estabilidad a la música, también una escala de siete notas es simétrica; porque son las primeras quintas de una nota, sus notas son luminosas y abiertas porque tiene la escala es mayor. La escala menor tiene la distancia entre notas de manera distinta y con ella las melodías son más cerradas, más oscuras, otra escala es la dórica tiene distinto orden y distinta sensación, pero las mismas siete notas. La escala depende de las necesidades del ser humano que se encuentra sumido a la cultura.

Las siete notas corresponden con las teclas blancas del piano: DO, RE, MI, FA SOL, LA, SI. Si se sigue generando notas, la siguiente escala tiene 12 sonidos, la escala cromática con cinco notas nuevas caen intercaladas de las notas blancas y está es la posición que mantiene al construir el piano, negras y blancas, no es un diseño al azar, la escala cromática completa la tonalidad occidental con ella se completa los matices a la melodía y armonía de la música, no hace falta ninguna nota más, para escribir cualquier composición, la fórmula de la frecuencia de las notas es:

Es una simetría perfecta, es decir que la escala cromática es un éxito en la música occidental, todo esto lo explica la Teoría de las Escalas Bien Formadas, una rama matemática que aparece en la década de los 80, sólo generaliza las notas que se usaba en las civilizaciones antiguas como los árabes usaban 7 notas y chinos 53 notas; pero todas de alguna manera llegan a las 12 notas usando las matemáticas; sin embargo, así como se ha creado 12 notas, también se pueden romper y todo con las matemáticas.

Recepción: 14 de junio de 2021 Aprobación: 2 de julio de 2021 Publicación: julio 2021