Exercicis i problemes proposats

Qüestions teòriques

39 Què podem dir del grau d’una funció polinòmica amb dos màxims i dos mínims relatius? En aquesta funció, pot estar un dels mínims més alt que els màxims?

40 Una funció f (x) té les característiques següents:

Dom f = Á – {0} i és contínua i derivable en tot el seu domini.

∞ lm í x – " f (x) = – ∞ ∞ lm í x " + f (x) = +∞ lm í x 0 –" f (x) = +∞ lm í x 0 " + f (x) = – ∞

Indica quines de les afirmacions següents són segures, quines són probables i quines són impossibles: a) f (x) és parella. b) f (x) és imparella c) No té màxims ni mínims. d) Té un màxim i un mínim. e) Talla l’eix X en dos punts. f ) Talla l’eix X almenys en dos punts. g) Té, almenys, una asímptota vertical. h) Té només una asímptota vertical. i) Té una asímptota obliqua. j) És còncava en x < 0 i convexa en x > 0.

41 Quants punts d’inflexió pot tindre, com a màxim, una funció polinòmica de quart grau?

42 Comprova que y = || x x 1 + té dues asímptotes horitzontals.

43 Sobre el gràfic de y = | x 2 – 4 | indica els intervals de concavitat, de convexitat i els seus punts d’inflexió

44 y = x x 1 1 –2 + no està definida en x = 1 ni en x = –1; però, té només una asímptota vertical. Justifica-ho quin gràfic correspon a aquestes altres:

45 Quantes asímptotes verticals pot tindre una funció? I horitzontals?

46 Dóna un exemple d’una funció que tinga un mínim en x = 1 i que no siga derivable en aquest punt. Representa-la.

47 Dóna un exemple d’una funció derivable en x = 1 amb f ' (1) = 0 que no tinga màxim ni mínim en aquest punt.

48 Si és possible, dibuixa una funció contínua en l’interval [0, 4] que tinga, almenys, un màxim relatiu en (2, 3) i un mínim relatiu en (3, 4). Si la funció fóra polinòmica, quin hauria de ser, com a mínim el seu grau?

49 Té f (x) = x + e –x alguna asímptota? Si és així, troba-la.

50 Quin tipus de simetria tenen les funcions següents?

Per a aprofundir

54 Encara que la paraula asímptota l’hem aplicada a rectes que s’aproximen a un gràfic, té un significat més ampli: es diu que dues corbes són asimptòtiques quan, en allunyar-se de l’origen, la distància entre aquestes tendix a zero.

Per exemple, la paràbola y = x 2 + 1 és asimptòtica a la funció y = x x 1 –2 4 (revisa’n el gràfic en la pàgina 313), ja que y = x x x x 1 1 1 1 2 4 2 2 =+ + i, a més, x 1 1 –2 tendix a 0 quan x → ± ∞ pren valors positius, de manera que el gràfic de y = f (x) queda per damunt de la paràbola

Aquest resultat permet representar la funció de forma més precisa recolzant-nos en la representació de la paràbola: paràbola asimptótica rectes asimptótiques

55 Estudia la posició relativa entre aquestes corbes i les seues paràboles asimptòtiques. Representa la informació obtinguda:

56 En l’Exercici resolt 1 de l’apartat 11.5, vam veure un procediment senzill per a calcular les asímptotes de la funció y = xx 2 –2 mitjançant els passos següents:

() || xx xx21 –≈11 –22 = de manera similar, les asímptotes d’aquestes funcions:

Indica la posició de cada corba respecte de les asímptotes.

57 Si una funció, f, és periòdica, també ho és g [ f (x)] qualsevol que siga g (x), ja que si f és periòdica de període

T, aleshores f (x + kT ) = f (x). Per tant: g [f (x + kT )] = g [f (x)], és a dir g ° f és periòdica a) Troba la paràbola asimptòtica a y = x xx x 28 –32 ++ b) Representa la funció usant aquestes dades, així com la asímptota vertical i el punt singular (únic, en x = 2).

No obstant això, en general, f [g (x)] no és periòdica, ja que f [ g (x + kT )] ≠ f [g(x)] perquè g(x + kT) ≠ g(x).

Segons aquestes afirmacions, indica quines de les funcions següents són o no periòdiques.

Determina la posició de la corba respecte d’aquesta.

1 Dibuixa la gràfica d’una funció f de la qual sabem:

∞ lm í x " + f (x) = +∞ , ∞ lm í x – " f (x) = –3, lm í x –3 " f (x) = – ∞ f ' (–5) = 0; f ' (0) = 0; f (–5) = 0; f (0) = 2

2 Descriu les funcions següents: y= x a) y = 2sin x b) y = sin2 x c) y = sin x2 d) y = snix e) y = sin x f ) y = sin 2x

3 Dibuixa una funció contínua en Á que tinga un mínim relatiu en (1, 6) i un màxim relatiu en (6, 2). Si és un polinomi, quin serà, com a mínim, el seu grau?

* Recorda que si una funció f és periòdica de període T, aleshores també és periòdica f(mx + n), i el seu període és T/m.

4 Representa les funcions següents:

5 Representa aquestes funcions:

() x e 1 x

2 +

6 Calcula els punts de tall amb els eixos i els punts singulars de la funció y = ln (–x 2 + 1). Determina els intervals de creixement i de decreixement i esbossa el gràfic.

7 Troba els màxims i els mínims de f (x) = x x 3 + Indica si té asímptotes i representa-la gràficament: a) 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 b) y = sin 2x + 2cos x

8 Estudia aquestes funcions i representa-les gràficament.