Exercicis i problemes proposats

Funcions polinòmiques

12 Estudia i representa les funcions següents: a) y = x 3 + 3x 2 b) y = x 3 – 3x 2 + 5 c) y = x 4 2 9 –4 x 2 + 10 d) y = xx 64 5–45 e) y = x 5 – 5x 3 f ) y = (x – 1)3 – 3x g) y = x 4 – 4x 2 h) y = 1 – (x – 1)3

13 Estudia les branques infinites, intervals de creixement i de decreixement, màxims, mínims i punts d’inflexió de les funcions següents. Representa-les gràficament: a) y = 3 + (2 – x)3 b) y = 2 – (x – 3)4 c) y = (x + 1)6 – 5 d) y = 3 – (1 – x)3 e) y = x (x – 1) (x + 3) f ) y = (x – 2)2 (x + 1) x 3

14 Representa les funcions següents: a) y = x 2 – x4 b) y = 3x 4 + x3 – 1 c) y = x 3 – x2 d) y = 2x 3 + 3x2 – 12x

Funcions racionals

15 En les funcions següents, estudia’n el domini, les asímptotes i la posició de la corba respecte d’aquestes, i representa-les a partir dels resultats obtinguts: a) y =

Funcions amb valor absolut i funcions a trossos

18 Representa aquesta funció: si si *

* a) y = () ()xx13 1 b) y = () () () xx x x 34 1 ––+

16 Representa aquestes funcions estudiant-ne prèviament el domini, les asímptotes, les branques infinites i els extrems relatius.

17 Representa les funcions racionals següents:

Recorda que si se simplifica una fracció dividint numerador i denominador per (x – a), hi ha una discontinuïtat evitable en x = a

0 0 – x x 1 1 1

< 2 + +

Estudia’n els intervals de creixement i de decreixement, els extrems relatius i la curvatura.

21 Dibuixa el gràfic de les funcions següents i indica en quins punts no són derivables: a) y = x + | x + 2 | b) y = 2x – | x – 3 | c) y = | x | + | x – 3 | d) y = x | x – 1 |

22 Considera la funció f (x) = x 2 | x – 3 |: a) Troba els punts on f no és derivable. b) Calcula els màxims i mínims. c) Representa-la gràficament.

23 Representa gràficament cada una de les funcions següents: a) y = || x 2 1 –b) y = || x x 1 2 2 + c) y = || || x x 1 3 + + d) y = –|x 3 – x 2 + 2|

Altres tipus de funcions

24 Estudia i representa les funcions següents: a) y = x 4– 2 3 b) y = xx –2 c) y = xx45 –2 + d) y = x x 1 –2 2

25 Estudia i representa les funcions següents: a) y = e x x b) y = ln x x c) y = x ln x d) y = (x – 1) e x e) y = e x–2 f ) y = x 2 e –x g) y = ln x x 3 h) y = ln (x 2 – 1)

26 Estudia i representa les funcions següents: a) y = sin x + cos x b) y = 2sin x – cos 2x c) y = cos 2x – cos 4x d) y = 3sin πx + 2 e) y = sin πx – 2 f ) y = tg πx + cos 2πx

Per a resoldre

27 Estudia el domini de definició, les asímptotes i els extrems de cada una d’aquestes funcions i, amb aquesta informació, relaciona-les amb els gràfics respectius:

32 La recta y = 2x + 6 és una asímptota obliqua de la funció: f (x) = xk x 21 –2 + a) Calcula el valor de a perquè aquesta funció tinga un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 2. b) Classifica els extrems relatius quan a = 2.

Troba el valor de k i representa la funció obtinguda així.

33 Siga la funció f (x) = x 2 · e –ax amb a ≠ 0.

34 Donada la funció: f (x) = ax + b + x 8 calcula a i b perquè el gràfic de f passe pel punt (–2, – 6) i tinga, en aquest punt, tangent horitzontal. Per a aquests valors de a i de b, representa la funció.

35 Troba els valors de a, b i c per als quals la funció: f (x) = x ax bx c 4 –2 2 ++ té com a asímptota horitzontal la recta y = –1 i un mínim en el punt (0, 1).

36 Una partícula es mou al llarg del gràfic de la corba d’equació y = x x 1 2 –2 per a x > 1.

En el punt P (2, –4/3) la deixa i es desplaça al llarg de la recta tangent a aquesta corba a) Troba la funció a trossos que en descriu la trajectòria. b) Si el desplaçament és d’esquerra a dreta, troba el punt en el qual la partícula talla l’eix X.

28 Recorda que el sinus hiperbòlic i el cosinus hiperbòlic es definien així: ee

Etudia els màxims, els mínims i els punts d’inflexió d’aquestes funcions i representa-les gràficament.

29 Determina les asímptotes de les funcions següents: a) y = x x 3 1– b) y = x xx 1 2 ++

30 Fes un estudi i representa cada una de les funcions següents: a) y = ln x x 1 1 –2 2 + eo b) y = e e 1 1 –x x + c) y = ln x x 1 + bl d) y = xx e 23 –|| x 2 1 –+

31 Calcula el valor de a, b i c, sabent que aquesta funció és del tipus y = a + b cos c xr bl

37 La concentració (en %) de nitrogen d’un compost ve donada, en funció del temps t ∈ [0, +∞) mesurat en segons, per la funció:

N (t ) = e12 60 t–+ a) Comprova que la concentració de nitrogen creix amb el temps. Per a quin t la concentració de nitrogen és mínima i quina és aquesta concentració? b) A quin valor tendix la concentració de nitrogen quan el temps tendix a infinit?

38 El benefici d’una empresa, en centenars de milers d’euros, amb el pas del temps, t (en anys), durant els 5 últims anys, ve donat per aquesta funció: b (t) = () si [, ] si (, ] t t t t

2 6 2 3 03 35 ––2 ! ! * a) Indica quan ha crescut el benefici i determina en quins moments hi va haver màxims i mínims locals i quins en van ser els valors corresponents. b) Quan va tindre un benefici de 500 000 €? c) Representa la funció b(t).