Exercicis i problemes guiats

Descriure el gràfic següent donant els elements necessaris perquè un company el puga representar a partir de la descripció.

• Indica on està definida la funció i referix-te a la continuïtat i la derivabilitat.

• Descriu, mitjançant un límit, l’asímptota horitzontal, i la posició de la corba respecte a aquesta.

• Descriu, mitjançant límits, l’asímptota vertical i la posició de la corba tant a l’esquerra com a la dreta.

• Descriu l’asímptota obliqua mitjançant límits. Referix en un d’aquests la posició de la corba respecte a l’asímptota.

• Descriu la condició per la qual s’obtenen els punts singulars. Afegix condicions per a saber quins són màxims i mínims.

• Completa la informació dels punts singulars amb les seues ordenades.

Solució: Dom f = Á – {1}; derivable en tot el seu domini.

Asímptota horizontal para x → – ∞: y = 4. Asímptota vertical: x = 1. Asímptota obliqua per x → + ∞: y = x – 2. Màxim relatiu en (3, 2). Mínims relatius en (–1, –1) i (5, –2). Talls amb els eixos en (–2, 0), (0, 0), (2, 0), (4, 0) i (6, 0).

Representar la funció següent: f (x) = ax3 + bx2 + cx + d

Estudia si és simètrica. Indica el seu Solució: momini de definició i si és derivable en tot aquest.

Troba els elements necessaris per a la seua representació: asímptotes, punts singulars, etc.

Calcular els paràmetres a, b, c i d perquè la corba de f tinga dos extrems relatius en (1, 0) i (0, 1).

Representar la funció.

• Amb l’expressió de la funció, f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, i les dades que tenim, f (0) = 1, f (1) = 0, f' (0) = 0 i f ' (1) = 0, formem un sistema de 4 incògnites i 4 equacions.

• Resol-ho i representa la funció.

Calcular el valor del paràmetre k perquè la funció: f (x) = xx xk 41 2 + ++ tinga y = 4x + 5 com a asímptota obliqua.

Representar la funció.

Per a trobar l’equació de l’asímptota obliqua, fes aquesta divisió:

(4x 2 + x + 1) : (x + k)

Calcula el valor de k que fa que el quocient coincidisca amb l’equació de l’asímptota, y = 4x + 5.

Representa la funció.

Solució: