Exercicis i problemes proposats

Per a practicar

Recta tangent

1 Troba l’equació de la recta tangent a les corbes següents en els punts que s’hi indiquen: a) y = ln (tg 2x) en x = 8 r b) y = snix 5 en x = 6 r c) x 2 + y 2 – 2x – 8y + 15 = 0 en x = 2 d) y = (x 2 + 1)sin x en x = 0

2 Troba les tangents a la corba: y = x x 1 2 –paral·leles a la recta 2x + y = 0.

3 Obtín l’equació de la recta tangent paral·lela a l’eix d’abscisses en les corbes següents: a) y = x ln x b) y = x 2 e x c) y = sin 2x

4 Troba el punt del gràfic de y = 2 x en el qual la tangent forma un angle de 60° amb l’eix X. Escriu l’equació d’aquesta tangent.

5 a) Troba l’equació de la recta tangent al gràfic de la funció f (x) = x 3 – 3x 2 + 2x + 2 en x = 3. b) Hi ha alguna altra recta tangent al gràfic de f que siga paral·lela a la que has trobat? En cas afirmatiu, troba-la.

6 Troba l’equació de la recta tangent a la corba: y = 4x 3 – 2x 2 – 10 en el seu punt d’inflexió.

7 Troba els punts de la corba: y = 3x 2 – 5x + 12 en els quals la recta tangent a aquesta passe per l’origen de coordenades.

8 Troba els punts de la corba: y = 4 1 x 2 + 4x – 4 en els quals la recta tangent a aquesta passe pel punt (0, –8). Escriu les equacions de les rectes tangents en aquests punts

9 Troba, en cada cas, les equacions de les rectes tangents paralleles a l’eix X: a) y = () x x 31 –3 b) y = ln x x 2 c) y = e xx 2 x 2 +

Màxims i mínims. Punts d’inflexió

10 Troba els màxims, els mínims i els punts d’inflexió de les funcions següents: a) y = x 3 – 6x 2 + 9x b) y = ()xx 12 38 –3 c) y = x 4 – 2x 3 d) y = x 4 + 2x 2 e) y = x 1 1 2 + f) y = e x (x – 1)

11 Troba els intervals de creixement i de decreixement, i els màxims i els mínims de les funcions següents: a) y = ()xx x 2 83 –– b) y = x x 1 1 –2 2 + c) y = x x 1 –2 3 d) y = x xx 2 23 ––2 e) y = x x 1 –2 f ) y = ()xx 3 8 –2

12 Estudia la concavitat, la convexitat i els punts d’inflexió de les funcions següents: a) y = x 3 – 3x + 4 b) y = x 4 – 6x 2 c) y = (x – 2)4 d) y = x e x e) y = x x 1 2–+ f) y = ln(x + 1)

13 Estudia si les funcions següents tenen màxims, mínims o punts d’inflexió en el punt d’abscissa x = 1: a) y = 1 + (x – 1)3 b) y = 2 + (x – 1)4 c) y = 3 – (x – 1)6 d) y = –3 + 2(x – 1)5

14 Determina els màxims i mínims de les funcions següents: a) f (x) = x + () x 1 4 –2 b) f (x) = x ln x c) f (x) = sin x – cos x d) f (x) = e –x2

15 Fixa’t en les funcions: f (x) = ≤ xx x x x 21 42 1 1 ––si si > 2 + ) g (x) = ≥ xx xx x x 74 23 2 2 –si si < 2 2 + + * a) Comprova que són derivables en Á. b) Determina’n els intervals de creixement i de decreixement i els màxims i els mínims.

16 Estudia els intervals de creixement i de decreixement de la funció f (x) = x | x |. Té màxims o mínims?

Determina els intervals de concavitat i de convexitat. Té algun punt d’inflexió?