Exercicis i problemes proposats

Per a practicar

Descripció d’un gràfic

1 Representa una funció contínua i derivable en Á tal que:

∞ lm í x " + f (x) = +∞ ∞ lm í x – " f (x) = – ∞ f (2) = 1, f ' (x) ≥ 0 per a qualsevol x, f ' (2) = 0

2 D’una funció y = f (x) tenim la informació següent:

D = Á – {1, 4} lm í x 1 –" f (x) = +∞ lm í x 1 " + f (x) = – ∞ lm í x 4 –" f (x) = – ∞ lm í x 4 " + f (x) = +∞

∞ lm í x ± " f (x) = 0 si x → +∞ , f (x) > 0 si x → – ∞ , f (x) < 0 f ' (2) = 0, f (2) = –1; f ' (–1) = 0, f (–1) = –1

Representa-la.

3 Dibuixa el gràfic d’una funció contínua i derivable en Á de la qual es coneixen les dades següents:

∞ lm í x – " f (x) = – ∞ ∞ lm í x " + f (x) = +∞ f ' (x) = 0 si x = –2, x = 0, x = 3, x = 4 f (–2) = 2; f (0) = 0; f (3) = 5; f (4) = 4

4 Descriu les funcions següents indicant-ne el domini, les simetries (si en tenen), les asímptotes i les branques infinites, els punts singulars i els intervals de creixement i de decreixement. Fes-ho donant valors de la funció, de la seua derivada i de certs límits.

Característiques de les funcions

6 Indica el domini de cada una de les funcions següents: a) y = xx25 –42 + b) y = 3 – x x 1 2 + c) y = xx34 –2 ++ d) y = x 321 1 – e) y = ln (4 – x ) f) y = () ln x 1 9– 2 g) y = tg x 1 h ) y = tg x 1 1 –2

7 Estudia la simetria de les funcions següents: a) y = x 2 + 1 b) y = x x 3 –2 c) y = tg πx d) y = e | x | e) y = || xx x 2 –2 f ) y = 2cos x 2

8 Determina el període de cada una d’aquestes funcions: a) y = sin 3x b) y = sin 2πx c) y = tg πx d) y = sin x + cos 2x e) y = cos x 2 r bl · sin x f ) y = sin (x 2 + 1)

9 Troba les asímptotes verticals d’aquestes funcions i indica la posició relativa de cada corba respecte a aquestes:

1 cos x 2

10 Troba les asímptotes horitzontals i indica la posició relativa de cada corba respecte d’aquestes.

5 Descriu la funció següent:

2 2 a) y = x x 2 1 –2 + b) y = x x 2 3 1 –– c) y = x x 2 1–2 + d) y = e e 2 3–|| x x 1 –

11 Troba les asímptotes obliqües d’aquestes funcions i indica la posició relativa de cada corba respecte d’aquestes: a) y = x xx32 –2 + b) y = x x x 23 52 –2 + + c) y = (/ ) x x 12 2 –2

2 + d) y = x 35 2 +