Representació de funcions 11

Concepte de funció

En els segles xv i xvi es van establir les bases de la simbologia algebraica que van permetre un maneig molt pràctic de les matemàtiques, la qual cosa va obrir camí a la diferenciació entre les variables d’una funció i les incògnites d’una equació, essencial per a arribar a establir la noció de funció.

A principis del segle xvii, Galileu va utilitzar per primera vegada l’experimentació quantitativa com a font d’informació. Va començar a relacionar de manera funcional les causes i els efectes. Això va ser fonamental per a determinar la concepció de variable dependent. Les investigacions de Galileu sobre les relacions matemàtiques entre dues variables (x i y, causes i efectes) són un antecedent molt clar del concepte de funció que va prenent forma al llarg del segle xvii

Una de les idees més fecundes i brillants del segle xvii va ser la de la connexió entre el concepte de funció i la representació gràfica d’una corba.

La representació gràfica mitjançant diagrames cartesians va permetre la visualització de les funcions. D’aquesta manera, el concepte de funció es va generalitzar a qualsevol relació numèrica que responga a un gràfic sobre uns eixos de coordenades. Però els matemàtics d’aquella època només admetien com a funcions els gràfics que responien a una fórmula. Va ser a mitjan segle xix quan Dirichlet va ampliar el concepte de funció a relacions d’uns certs tipus donades gràficament (o d’una altra manera), encara que no hi haguera una «fórmula» que les descriguera.

Els conceptes i els procediments del càlcul de límits i derivades permeten, en l’actualitat, indagar còmodament i eficaçment sobre les característiques més rellevants de funcions donades mitjançant fórmules i, en conseqüència, procedir a la seua representació gràfica. Amb una calculadora o un ordinador s’aconseguix de manera automàtica i instantània.

Dirichlet

La seua definició del concepte de funció va servir per a afermar els fonaments de l’anàlisi. Però Gustav Dirichlet, professor a Berlín, va fer moltes altres aportacions a les matemàtiques i a la física de manera que, en morir Gauss el 1855, tots van pensar en Dirichlet com el seu digne successor i va ser l’elegit per a ocupar la càtedra de Göttingen.

Una estranya funció i un savi contrariat Dirichlet, amb la finalitat de posar un exemple de funció que no fora contínua en cap dels seus punts, va definir això:

D (x) = x x 1 0 si si ! ! )

Funcions així d’estrafolàries es van dissenyar per perfilar el concepte de funció. Poincaré, considerat com el matemàtic més important del moment a principis del segle xx, es queixava d’«aquestes estranyes funcions inventades amb la finalitat de mostrar que el raonament dels nostres antecessors va ser erroni» i les contraposava a les «funcions honestes que servixen per a alguna cosa».

Dues corbes interessants tractriu

Sobre l’eix X, a 4 m de l’origen hi ha una bola lligada a una corda de 4 m. Una persona subjecta l’extrem de la corda i camina al llarg de l’eix Y, arrossegant la bola. La trajectòria que recorre la bola és una corba, anomenada tractriu, que és tangent a la corda en cada punt. L’equació és: catenària

Si es lliguen els extrems d’una cadena de 2,35 m a sengles pals d’1,54 m d’altura separats entre si 2 m, la cadena forma una corba anomenada catenària. Situant els eixos de manera adequada, l’equació és:

Resol

Límits i derivades per a representar una funció

• Taça uns eixos de coordenades sobre paper quadriculat i representa una corba, tan senzilla com siga possible, que complisca les condicions següents:

• Descriu, amb el mínim de dades i de forma similar a l’exercici anterior, la funció següent:

• f és derivable en tot Á, excepte en x