Exercicis i problemes resolts

3. Representació d’una funció racional amb asímptotes obliqües

Estudiar el domini, les asímptotes i els punts singulars d’aquesta funció: f (x) = x 42x –2

Representar-ne el gràfic.

• Està definida en Á – {0} i és contínua en tot el seu domini. La seua expressió sembla indicar que serà derivable en tot el domini.

• Simetria: f (–x) = () x x x x 42 42 –––2 2 = = –f (x)

És simètrica respecte de l’origen de coordenades.

• Asímptota vertical: x = 0

• Asímptota obliqua: y = –2x

L’obtenim efectuant el quocient: x x42 –2 = –2x + x 4

• Punts singulars: a partir de l’esbós de la corba que hem fet amb les asímptotes, ens quedem amb la impressió que no tindrà ni màxims ni mínims. Ho comprovem estudiant la derivada:

FES-HO TU

Representa la funció següent: f (x) = () ()xx x 21 2 3

4. Representació d’una funció racional amb branques parabòliques

Estudiar el domini de definició, les asímptotes i els intervals de creixement i de decreixement, màxims i mínims de la funció: f (x) = () x x 31 3 + Després, representar-la.

• Domini de definició: Á – {–1}. No té simetries

• Asímptota vertical: x = –1

•

FES-HO TU

Estudia el domini, les asímptotes, els intervals de creixement i de decreixement, els màxims i els mínims per a representar aquesta funció: f (x) = () x x 1 –2 3

5. Funció amb valor absolut

Dibuixar la gràfica d’aquesta funció:

= | x + 3 | + | x – 1 | – | 2x + 4 |

Indicar abans la funció a trossos corresponent.

Expressem cada un dels valors absoluts com a funció definida a

6. Funció logarítmica

Representar el gràfic d’aquesta funció:

(x) = ln x x 1 3

• La funció està definida si x x 1 3 –– > 0. Domini: (–∞, 1) ∪ (3, +∞).

• Comportament de la funció en les proximitats de x = 1 i x = 3: Si

• Les rectes x = 1 i x = 3 són asímptotes verticals.

• y = 0 és una asímptota horitzontal, ja que:

FES-HO TU

Representa aquesta funció sabent que per a x ≥ 0, f ' (x) només s’anul·la en x = 1,98: