Exercicis i problemes proposats

Funcions dependents de paràmetres

17 Donada la funció f (x) = 1 + x a x 6 2 + , calcula a sabent que f (x) té un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 3. Es tracta d’un màxim o d’un mínim?

18 De la funció f (x) = ax 3 + bx sabem que passa per (1, 1) aquest punt té tangent paral·lela a la recta 3x + y = 0. Troba a i b.

19 Troba una funció f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c que tinga un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 2 i un punt d’inflexió en P (1, 2).

20 Calcula els coeficients a, b i c de la funció f (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx, sabent que: a) L’equació de la recta tangent a f en x = 0 és y = x. b) Té un extrem relatiu en el punt (–1, 0).

21 Troba a, b, c i d perquè f (x) = ax3 + bx2 + cx + d tinga un màxim relatiu en el punt (0, 4) i un mínim relatiu en el punt (2, 0).

22 Les funcions f (x) = x 4 + ax 2 + bx y g(x) = x – cx 2 passen pel punt (1, 0). Determina els coeficients a, b i c perquè tinguen la mateixa recta tangent en aquest punt i calcula-la.

23 Donada la funció y = ax 4 + 3bx 3 – 3x 2 – ax, calcula els valors de a i b sabent que té dos punts d’inflexió, un en x = 1 i un altre en x = 1/2.

24 La corba y = x 3 + ax 2 + bx + c talla l’eix d’abscisses en x = –1 i té un punt d’inflexió en el punt (2, 1). Calcula a, b i c.

25 Sabent que la funció f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c verifica que f (1) = 1, f ' (1) = 0 i que f no té extrem relatiu en x = 1. Calcula a, b i c

26 Siga f (x) = x 3 + ax 2 + bx + 5. Troba a i b perquè la corba y = f (x) tinga en x = 1 un punt d’inflexió amb tangent horitzontal.

27 Troba el valor de c de manera que la funció y = xc e x 2 + tinga un únic punt crític.

Es tracta d’un màxim, d’un mínim o d’un punt d’inflexió?

28 a) Calcula els valors dels paràmetres a i b perquè siga derivable la funció:

Per a resoldre

29 Troba l’equació de la recta tangent i la de la recta normal a la corba x 2 – y 2 + 2x – 6 = 0 en els punts d’ordenada y = 3.

30 Determina els punts de la circumferència (x – 3)2 + (y + 2)2 = 16 en els quals la recta tangent a aquesta és paral·lela a la bisectriu del primer quadrant.

31 Escriu l’equació de la recta tangent a la corba y = arc tg x x 1 1 –+ que és paral·lela a la recta x – 2y + 3 = 0.

32 Troba l’equació de la tangent a la corba y = x x/2 en el punt d’abscissa x = e.

33 Troba l’angle que formen les rectes tangents a les funcions f (x) i g (x) en el punt d’abscissa 2: f (x) = 2x – x 2 g (x) = x 2 – x – 2

34 Fixa’t en la funció f (x) = | x – 3|(x + 1) i troba els punts on les tangents són paral·leles a la recta y = 6x – 2.

35 Donada la funció f (x) = 4 – x 2 es demana: a) El punt d’aquesta corba en què la tangent és paral·lela a la corda que unix els punts (–1, 3) i (2, 0). b) Les rectes que passen pel punt (–2, 1) i són tangents a la corba.

36 Troba l’equació de la tangent a la corba f (x) = x 3 + 3x 2 – 1 amb pendent mínim.

37 Donada la corba y = x 3 1 2 + : a) Expressa la funció m(x) que dona el pendent de la recta tangent a la corba en cada punt x b) Calcula el valor de x on s’aconseguix el màxim pendent.

38 Troba el domini de definició i els intervals de creixement i de decreixement de la funció: f (x) = ln x x 1 1 –2 2 + e o

39 Estudia els intervals de creixement i els màxims i els mínims de la funció donada per: y = |x 2 + 2x – 3| b) Troba els extrems relatius en el cas a = –2, b = 1.

40 Estudia l’existència de màxims i de mínims relatius i absoluts de la funció y = | x 2 – 4| .

41 Troba el valor que ha de tindre a perquè la funció f (x) = x 2 ln a x , a > 0, tinga un punt singular en x = e

42 Es considera la funció: f (x) =

≤ ln ax bx c xx x x 0 0 si si > 2 ++ ) .

Determina a, b i c perquè siga contínua, tinga un màxim en x = –1 i la tangent en x = –2 siga paral·lela a la recta y = 2x

43 a) Fixa’t en la funció: f (x) =

51 Es desitja tancar un terreny rectangular usant 100 m d’una tela metàl·lica. S’ha decidit deixar una obertura de 20 m sense tancar en un dels costats de la parcel·la per col·locar-hi una porta. Calcula les dimensions de tots els costats de la parcel·la rectangular d’àrea màxima que pot tancar-se d’aquesta manera. Calcula també el valor d’aquesta àrea màxima.

52 Es vol construir un recipient cònic de generatriu 10 cm i de capacitat màxima. Quin ha de ser el radi de la base?

2 2 + ++

≤ xpx xmxn x x 1 1 –si si > i calcula els valors de m, n i p perquè f siga derivable en Á i tinga un extrem relatiu en x = 2 1 – b) És un màxim o un mínim? c) Comprova si hi ha altres punts singulars i representa la funció.

44 Siga f la funció definida per f (x) = ≤ xe ab x x x 20 0 –si si > x–+ * a) Determina el valor de a i b sabent que f (x) és derivable en x = 0. b) Té punts singulars?

45 Troba els punts de la paràbola y = x 2 – 1 que es troben a distància mínima del punt A 2, 2 1 dn .

46 Calcula els extrems relatius, els intervals de creixement i de decreixement i els de concavitat i de convexitat de les funcions següents: a) f (x) = x 2 + | x – 2 | b) f (x) = 3e –2| x | b) Té h (x) algun extrem absolut? h

47 Calcula el màxim i el mínim absoluts en l’interval [–2, 3] de la funció f (x) = ln (x 2 + 1) + (x – 3).

48 a) Sent h (x) la suma de les coordenades del punt P (x, f (x)) del gràfic de f (x) = x 4 + x 3 + x 2 – x + 1. Calcula els extrems relatius de h (x).

49 El punt P (x, y) recorre l’el·lipse x y 25 9 2 2 + = 1.

Deduïx les posicions del punt P per a les quals la distància al punt (0, 0) és màxima i també aquelles per a les quals la distància és mínima.

50 Siguen x i y dos nombres positius el producte dels quals val 16. Pot x + y ser menor que 7? Raona la resposta.

53 En un quadrat de costat 10 cm volem recolzar la base d’un cilindre que té una àrea lateral de 50 cm2. Quin ha de ser el radi del cilindre perquè el volum siga màxim?

10 cm r

10 cm

54 En un triangle isòsceles de base 12 cm (el costat desigual) i altura 10 cm, s’inscriu un rectangle de manera que un dels seus costats estiga sobre la base del triangle i dos dels seus vèrtexs sobre els costats iguals: a) Expressa l’àrea, A, del rectangle en funció de la seua base, x, i digues quin és el domini de la funció. b) Troba el valor màxim d’aquesta funció.

55 Meta 7.3. Volem fer un envàs amb forma de prisma regular de base quadrada i capacitat 80 cm3. Per a la tapa i la superfície lateral, usem un determinat material, però per a la base, hem d’emprar un material un 50 % més car. Troba les dimensions d’aquest envàs perquè el preu siga el menor possible.

56 Dos pals de 12 m i 18 m d’alçària disten entre si 30 m. Es desitja estendre un cable que unisca un punt del terra entre els dos pals amb els extrems d’aquests. On cal situar el punt del terra perquè la longitud total del cable siga mínima?

57 De totes les rectes que passen pel punt (1, 2), troba la que determina amb els eixos de coordenades, i en el primer quadrant, un triangle d’àrea mínima.

58 Cada una de les pàgines d’un llibre ha de tindre 600 cm2 de superfície, amb els marges al voltant del text de 2 cm en la part inferior, 3 cm en la part superior i 2 cm a cada costat. Calcula les dimensions de la pàgina que permeten que la superfície impresa siga el més gran possible.