Representació de funcions polinòmiques

Les funcions polinòmiques, y = P (x), són derivables (i, per tant, contínues) en tot Á.

No tenen asímptotes de cap tipus. Tenen branques parabòliques en –∞ i en +∞ Coneixent aquestes dues branques infinites i els punts singulars, es poden representar amb molta precisió. Si es volen perfilar millor, es poden obtindre els punts de tall amb els eixos i els punts d’inflexió.

Poden presentar simetries:

• Si només tenen termes de grau parell, són simètriques respecte de l’eix Y

Per exemple: y = 2x 4 – 3x 2 + 5

• Si només tenen termes de grau imparell, són simètriques respecte de l’origen de coordenades.

Per exemple: y = x 5 – 4x 3 + 2x

Per a representar una funció polinòmica y = P (x):

• S’observa si té algun tipus de simetria.

• Es troben les seues dues branques infinites: ∞ lm í x – " f (x), ∞ lm í x " + f (x)

• Es resol l’equació P' (x) = 0.

Les seues solucions, si n’hi ha, són les abscisses dels seus punts singulars. A continuació, se n’obtenen les ordenades.

• Els punts obtinguts s’unixen entre si i amb les branques infinites, tenint cura de no dibuixar més punts singulars que els obtinguts. D’aquesta manera s’esbrina quins són els màxims i mínims relatius

• Si es pot, convé obtindre també els punts d’inflexió i els punts de tall amb els eixos per a aconseguir major precisió en la representació.

Exercicis resolts

1 Representar la funció següent: f (x) = x 3 – 6x 2 + 9x + 5

Recorda

És important reconéixer les funcions polinòmiques i saber, a priori, què en podem esperar.

Tin En Compte

Amb els punts singulars i les branques infinites s’aprecia clarament la forma de la corba.

➜ Representa funcions polinòmiques.

➜ anayaeducacion.es Exercicis per a repassar la representació de funcions polinòmiques

Simetries: No és simètrica ni respecte de l’eix Y ni respecte de l’origen de coordenades.

Branques infinites: ∞ lm í x – "

Punts singulars: f

5)

" + = +∞

Talls amb els eixos:

Talla l’eix Y en (0, 5) i l’eix X entre –1 i 0, ja que f (–1) = –11 i f (0) = 5.

Punts d’inflexió: x = 2 → (2, 7)

Amb aquestes dades podem dibuixar la corba.

Exercicis resolts

2 Representar la funció següent:

= 3x 5 – 20x 3

Simetries: Observem que tots els termes són de grau imparell. Per tant, és simètrica respecte de l’origen de coordenades. (Recorda que aquestes funcions es diuen imparelles).

3 Representar la funció:

= x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9

Els punts singulars són (–2, 64), (0, 0) i (2, – 64). Aquestes dades són suficients per a representar el gràfic.

Simetries: No és ni parella ni imparella. Per tant, no és simètrica respecte de l’eix Y ni respecte de l’origen de coordenades. Branques infinites:

Punts singulars:

(x) = 4x 3 + 24x 2 + 44x + 24. Com que és un polinomi de tercer grau, hem de localitzar algunes de les seues arrels temptejant amb els divisors del terme independent (24). A més, com que tots els coeficients són positius, només pot tindre arrels negatives. Provem amb x = –1:

Una arrel és x = –1, i les altres dues arrels s’obtenen resolent l’equació 4x 2 + 20x + 24 = 0.

1 Representa aquestes funcions:

Talls amb els eixos:

Dos dels punts singulars estan en l’eix X Si fem un esbós de la corba, observem que no talla l’eix X en més punts.

L’eix Y el talla en el punt (0, 9).