Exercicis i problemes proposats

59 Un rectangle té els vèrtexs en els punts (0, 0), (a, 0), (0, b) i (a, b), on a > 0, b > 0 i, a més, el punt (a, b) està situat en la corba d’equació y = x 1 2 + 9.

D’entre tots els rectangles que complixen aquestes condicions, determina el rectangle d’àrea mínima i calcula aquesta àrea mínima.

60 Considera un triangle isòsceles la base del qual de 12 cm és el costat desigual i l’altura del qual és de 5 cm. Es vol determinar un punt A situat sobre l’altura a una distància x de la base, de manera que la suma de les distàncies del punt A als tres vèrtexs del triangle siga mínima. Observa la figura: A x 5 cm } 12 cm a) Demostra que la suma de les distàncies del punt A als tres vèrtexs del triangle ve donada per l’expressió f (x) = 5 – x + 2 x 36 2 + . b) Calcula el valor de x perquè la suma de les distàncies siga mínima. c) Calcula aquesta quantitat mínima. a) Demostra que l’àrea d’aquest triangle ve donada per A (x) = 12sin x, on x és l’angle que formen les manetes. b) Troba x perquè l’àrea del triangle siga màxima i calcula aquesta àrea. a) En quin instant de l’interval [0, 3] s’arriba a la velocitat màxima? b) Calcula lm í x ∞ " + v (t ) i interpreta el resultat.

61 Les manetes d’un rellotge mesuren 4 cm i 6 cm; unint els extrems es forma un triangle.

62 La velocitat d’una partícula en m/s, ve donada per la funció v (t ) = (t 2 + 2t)e –t amb t ≥ 0.

63 Donada f: [1, e] → Á definida per f (x) = x 1 + ln x, determina quines de les rectes tangents al gràfic de f tenen el màxim pendent.

64 Calcula les dimensions del triangle isòsceles d’àrea màxima, inscrit en una circumferència de 4 m de radi.

Qüestions teòriques

65 Comprova que f (x) = x 3 – 18x, definida en l’interval [0, 3 2 ], verifica les hipòtesis del teorema de Rolle i troba el valor c ∈ (0, 3 2 ) per al qual f ' (c) = 0.

66 La funció y = x 3 – 5x 2 + 3x – 2, complix les hipòtesis del teorema del valor mitjà en l’interval [0, 4]? En cas afirmatiu, digues quin és el x0 que complix la tesi.

67 Tenim la funció: f (x) = x 21 si

Prova que f satisfà les hipòtesis del teorema del valor mitjà en [–2, 0] i calcula el punt o els punts en els quals es complix el teorema.

68 És possible calcular a, b, c perquè la funció: f (x) = ≥ x ax bx x x 51 3 1 1 si si < 2 + ++ ) complisca el teorema de Rolle en l’interval [0, c]?

69 La funció f (x) = | cos x | pren en els extrems de l’interval [0, π] el valor 1. Complix el teorema de Rolle?

70 Siga f una funció contínua i derivable tal que f (0) = 3. Calcula quant ha de valdre f (5) per a assegurar que en [0, 5] hi ha un c tal que f ' (c ) = 8.

71 Calcula a i b perquè: f (x) = ≥ ax xx b x x 3 10 4 4 – si si < 2 + ) complisca les hipòtesis del teorema del valor mitjà en l’interval [2, 6]. On complix la tesi?

72 Siga f (x) = 1 – x 2/3 . Prova que f (1) = f (–1) = 0, però que f'(x) no és mai zero en l’interval [–1, 1]. Explica per què aquest resultat contradiu aparentment el teorema de Rolle.

73 La derivada de una funció f és positiva per a tots els valors de la variable. Hi pot haver dos nombres diferents, a i b, tals que f (a) = f (b)? Raona-ho.

74 Calcula a, b i c perquè la funció: f (x) = ≥ xaxb cx x x 1 2 2 si si < 2 ++ + ) complisca les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval [0, 4]. En quin punt es complix la tesi?

75 Fixa’t en la funció: f (x) = () () ln ln xx x 31020 –x 2 ++ + i demostra que hi ha un valor a ∈ (1, 2) tal que f ' (a) = 0. a) Una funció que no siga una recta pot tindre infinits punts en els quals la seua recta tangent siga y = 1. b) Si f ' (a) = 0, f '' (a) = 0, aleshores f no pot tindre ni màxim ni mínim en x = a c) Si un polinomi de grau 3 té un mínim en x = 2, aquest mínim no pot ser mínim absolut. d) Una funció contínua en [0, 5], que no és derivable en x = 3, no pot tindre un màxim en x = 3. e) Si y = f (x) és creixent en x = a, llavors y = –f (x) és decreixent en x = a f ) Si f ' (a) = 0, f té un màxim o un mínim en x = a. g) Si f ' (a) = 0, f '' (a) = 0 i f ''' (a) = –5, f té un punt d’inflexió en x = a. h) Si aquest és el gràfic de f ' (x), llavors f té un mínim en x = –1 i un màxim en x = 1.

Esmenta i justifica els resultats teòrics emprats.

76 Vertader o fals? Raona la resposta.

Per a aprofundir

77 En un experiment s’han realitzat cinc mesures del mateix objecte, que han donat els resultats següents: m1= 0,92; m2 = 0,94; m3 = 0,89; m4 = 0,90; m5 = 0,91

Es prendrà com a millor aproximació a la mesura real el valor de x tal que la suma dels quadrats dels errors siga mínima. És a dir, el valor per al qual la funció:

E(x) = (x – m1)2 + (x – m2)2 + … + (x – m5)2 aconseguix el mínim. Calcula aquest valor de x

78 Demostra que existix α ∈ (–1,3) tal que f ' (α) = 4 –1 sent f (x) = [( )] log xx x2 7 –x 22 4 3– 3 ++

Esmenta els resultats teòrics emprats i justifica’n l’ús.

79 Quan un globus és a 200 m sobre el terra i s’eleva a 15 m/s, un automòbil hi passa per davall amb velocitat de 45 km/h. Amb quina velocitat se separen cotxe i globus un segon després?

Tin en compte el següent:

— El globus està a 200 + 15t m d’altura en l’instant t

— El cotxe està a (45/3,6) · t m de la vertical del globus.

Troba la distància entre tots dos i esbrina la velocitat d’allunyament quan t = 1.

1 Troba els punts de la funció: f (x) = ln cos cos x x 1 1–+ en els quals la recta tangent siga paral·lela a la recta y = 2x – 3.

2 Calcula els extrems relatius i els intervals de creixement i de decreixement i els de concavitat i de convexitat de la funció següent: f (x) = x | x – 2 |

3 Estudia el creixement de la funció f (x) = e x (cos x + sin x) i determina els seus màxims i mínims per a x ∈ [0, 2π].

4 a) Estudia la curvatura de la funció següent: f (x) = x 2 ln x b) Escriu l’equació de la recta tangent que passa pel seu punt d’inflexió.

5 Determina a, b, c i d perquè la funció: g (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tinga un màxim relatiu en el punt (0, 4) i un mínim relatiu en el punt (2, 0).

6 Calcula el punt de la corba y = x 1 1 2 + en el qual el pendent de la recta tangent siga màxim

7 De tots els cilindres que es poden inscriure en una esfera de 9 cm de radi, troba l’altura i el radi del que té més volum.

8 La funció f (x) = 1 – | x | si x ∈ [–2, 2] verifica la igualtat f (–2) = f (2).

Justifica si és possible trobar algun c ∈ (–2, 2) tal que f ' (c) = 0.