DISTÂNCIA12

` Calcular distâncias entre pontos, ponto e reta e ponto e plano.

` Calcular distância entre reta e plano, plano e plano e reta e reta.

Consideremos em 3V o sistema de referência (O, i  , j  , k  ), sendo E = ( i  , j  , k  ) a base ortonormal positiva e O(0,0,0) a origem.

12.1 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

A distância entre dois pontos AAABBB e A(,,)B(,,) xyzxyz de 3V é dada pelo módulo do vetor AB  e indicada por d(A,B) (ver Capítulo 6, “Base e sistema de referência”, item 6.4, “Bases ortonormais”). A B

Temos que AB  = BBBAAA (,,) xxyyzz .

Então, d(A,B) = 222 BBBAAA ()()() xxyyzz −+−+− (1)

Exemplo 12.1:

Obtenha a distância entre os pontos A(1,3,5) e B(2,3,2).

Solução:

Temos que AB  = (2-1) i  + (3-3)  + (2-5) k 

Então, d(A,B) = 222 (21)(33)(25) −+−+− = 109 ++ = 10 .

12.2 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

Dados um ponto 000 P(,,) xyz e uma reta AAA123 :(,,)(,,)(,,) rxyzxyzuuv λ = + , , queremos obter a distância de P a r, que será denotada por d(P,r). Entendemos

Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume 5 que a distância procurada é a menor medida dos segmentos de reta com origem em P e extremidade num ponto de r.

Tomemos um ponto AAA A(,,) xyz da reta r que tem direção 123 (,,)uuuu = 

A d(P,r) é igual à altura h do paralelogramo imaginário de base igual a u  , construído a partir do ponto A escolhido em r

Figura 12.1

Sabemos que a área do paralelogramo (Figura 12.1) é dada pelo produto da base u  pela altura h e também é dada pelo módulo do produto vetorial AP u ∧

, visto no Capítulo 8, “Produto vetorial”, item 8.2.3.

Assim, h. u  = AP u ∧

, isto é, d(P,r) = h =

Exemplo 12.2:

Obtenha a distância do ponto P(2,3,1) à reta r: (x,y,z) = (1,2,3) + λ (3,2,0), .

Solução:

Vamos escolher um ponto qualquer da reta r, por exemplo A(1,2,3), e construir o vetor AP

. Então, AP ijk

= (1,1,–2) e u  = (3,2,0) é o vetor direção da reta.

 = 112 320

= (4, –6, –1) e AP u

= 16361 ++ = 53 e, também, que  = (3, 2, 0) e u  = 940 ++ = 13

∧    u u

12.3 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E PLANO

Dados um ponto 000 P(,,) xyz e um plano :0 axbyczd β +++= na forma linear, queremos obter a distância de P a β , que será denotada por d(P, β ). A distância procurada é a menor medida dos segmentos de reta de origem em P e extremidade em β .

Seja AAA A(,,) xyz um ponto escolhido ao acaso em β e o vetor (,,) abc η =  normal a β.

Atribuindo valores para duas das variáveis na equação do plano β , por exemplo: A xx = e A yy = , obteremos A z . Assim, AAA A(,,) xyz β ∈ , isto é, AAA ...0 axbyczd+++=

Temos, também, que AP0A0A0A (,,) xxyyzz =

A distância de P ao plano é igual ao módulo da projeção de AP  na direção de

(ver Capítulo 7, “Produto escalar”, item 7.3, “Projeção ortogonal de um vetor u  na direção de 0 v ≠   ”). Portanto,