DETERMINANTES2

` Conceituar determinante.

` Calcular o determinante de matriz quadrada de ordem 2 e ordem 3.

` Calcular o determinante de matriz quadrada de ordem superior a 3.

2.1 INTRODUÇÃO

Queremos associar a cada matriz quadrada um número real, que será denominado determinante da matriz.

Tomemos, para ilustrar nossa apresentação, uma matriz quadrada de terceira ordem

111213 212223 3132333x3

Consideremos: a) Todos os produtos formados por três elementos distintos da matriz, de modo que em cada um desses produtos haja um único elemento de cada linha e de cada coluna.

Forma de estabelecer os produtos dos três elementos distintos em A:

1º) Considerar os indexadores do produto dos elementos da diagonal principal como referência e permutar apenas os seus índices referentes às colunas para se obter novos produtos:

112233aaa

Portanto, temos os produtos:

Matemática com aplicações tecnológicas – Geometria analítica – Volume

Dizemos que os elementos dos produtos formados possuem inversões sempre que a sequência dos números das colunas não estiver em ordem numérica natural.

Veja que no produto ( 112332aaa ) os elementos das colunas são 1, 3 e 2, e há uma só inversão (permuta índices 3 e 2), e no produto ( 122331aaa ) os elementos das colunas são 2, 3 e 1, e há duas inversões (permutam índices 2 e 1 e, também, 3 e 1).

Diz-se que as inversões são de classes pares ou classes ímpares conforme o número de inversões seja em quantidade par ou ímpar:

Logo, ( 112332aaa ) é de classe ímpar e ( 122331aaa ) é de classe par.

2º) Obter as duas classes pares e ímpares de produtos com três elementos distintos em A: b) os produtos de classe par serão multiplicados por (+1) e os de classe ímpar por (–1).

Os produtos ( 112233aaa ) , ( 122331aaa ) e ( 132132aaa ) são de classe par e os produtos ( 132231aaa ), ( 112332aaa ) e ( 122133aaa ) são de classe ímpar.

A soma algébrica dos produtos acima formados será denominada determinante da matriz A.

Logo, o determinante da matriz A quadrada de terceira ordem é dado por:

Notação usual para o determinante da matriz A:

Dizemos que a ordem de um determinante é igual à de sua matriz. O exemplo acima apresentado é um determinante de terceira ordem:

O procedimento para se obter o determinante de uma matriz de ordem ,2,nn ≥ é o mesmo que foi descrito acima. Os cálculos demandam muito trabalho e atenção!

Uma forma prática de se obter o determinante de uma matriz quadrada de terceira ordem é dada pela regra de Sarrus:

Pierre Fr D Ric Sarrus

Nascido em Saint-Affrique em 10 de março de 1798 e falecido em 20 de novembro de 1861, foi um matemático francês, membro da Académie des Sciences, em Paris. É autor de vários tratados, incluindo uma solução de equações numéricas com múltiplas incógnitas, outra com múltiplas integrais e suas condições integrantes. Ele também descobriu uma regra mnemônica para solucionar o determinante de uma matriz 3×3, chamada regra de Sarrus, um método fácil para a resolução de uma matriz 3×3.

2.1.1 REGRA DE SARRUS

(VÁLIDA SOMENTE PARA DETERMINANTES DE ORDEM 2 E 3)

Procedimento para obter determinantes de ordem 3:

1112131112

2122232122

3132333132 a) dispor as duas primeiras colunas do determinante (1) ao lado da terceira coluna; b) somar os produtos dos três elementos de cada uma das transversais paralelas à diagonal principal: [a a a32]; c) somar os produtos dos três elementos de cada uma das transversais paralelas à diagonal secundária: [

; e d) subtrair o valor obtido em (c) do obtido em (b), resultando o determinante da matriz A, isto é,

Comparando este resultado com (2), vemos confirmado que o determinante da matriz A é a diferença entre a soma dos produtos de classe par e a soma dos produtos de classe ímpar.