RETA 10

` Apresentar as formas vetorial, paramétrica e simétrica das retas.

` Discutir a posição relativa entre duas retas: intersecção, perpendicularismo e ângulos entre elas.

10.1 INTRODUÇÃO

Consideremos em 3V o sistema de referência (O, i  , j  , k  ), sendo E = ( i  , j  , k  ) a base ortonormal positiva e O(0,0,0) a origem.

Apresentaremos três tipos de equações de retas: vetorial, paramétrica e simétrica.

10.2 EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA

Podemos associar cada ponto P(x, y, z) do espaço a um vetor cujo representante tem origem em O e extremidade no ponto P, indicado por OP

= x i  + y j  + z k  ou, também, por OP(,,) xyz =

.

Sabemos que por dois pontos A e B distintos, existe uma só reta r que “passa” por eles. Os pontos A e B definem a direção da reta.

Uma equação da reta é obtida quando se conhecem as coordenadas de dois pontos fixos distintos ou, então, as coordenadas de um ponto fixo e a sua direção. A direção de uma reta é dada pela direção de um vetor 0 v ≠   paralelo a ela.

Seja A o ponto fixo de uma reta r e P um ponto qualquer de r. O vetor OP é a soma dos vetores OA

O sentido e o comprimento de u variam conforme a localização de P em r.

Se v  tem a direção de r, então v // u  Assim, existe λ real tal que u  = λ v  , que, substituído na sentença acima, resulta em: denominada equação vetorial da reta r

Vemos, pela equação vetorial, que a cada valor do parâmetro λ corresponde um só ponto P de r.

Sendo OP

= (x, y, z), OA

=

Observação 10.1 então equação vetorial de r é descrita por

Se forem dados dois pontos distintos da reta r : A AAA (,,) xyz e B BBB (,,) xyz , podemos tomar o vetor v  como que a equação da reta não depende do módulo ou sentido de v

==−−− percorre os valores em ℝ.

Exemplo 10.1:

Obtenha a equação vetorial da reta r, conhecendo-se os seus pontos A(2,1,0) e B(5,0,1).

Solução:

Temos que v  = AB  = (3,–1,1). Utilizando o ponto fixo A, segue de (1) que r: (x, y, z) = (2,1,0) + λ (3,–1,1), λ∈ � ℝ.

10.3 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA

Partindo da equação vetorial (1), temos que: r: (x, y, z) = (xA + λa, yA + λb, zA + λc),

Estabelecendo a igualdade das respectivas coordenadas, teremos as equações: denominadas de equações paramétricas de r.

Exemplo 10.2:

Partindo da solução do Exemplo 10.1 , dê as equações paramétricas da reta r

10.4 EQUAÇÃO SIMÉTRICA DA RETA

entre as componentes de u

` Apresentar as equações vetorial, paramétrica e geral dos planos.

` Discutir a posição relativa entre retas e planos e suas possíveis intersecções.

` Obter a projeção ortogonal de uma reta em um plano.

11.1 INTRODUÇÃO

Consideremos em 3V o sistema de referência (O, i  , j  , k  ), sendo E = ( i  , j  , k  ) a base ortonormal positiva e O(0,0,0) a origem.

Apresentaremos as equações do plano: equação vetorial, equações paramétricas, equação geral e linear do plano.

11.2 EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO

Sabe-se que existe um só plano que contém um conjunto de três pontos distintos A, B e C, não pertencentes a uma mesma reta. Entendemos que os três pontos determinam a posição do plano no espaço euclidiano.

Um plano β é identificado, de modo único, se forem conhecidos A, um de seus pontos, e dois vetores u  e  não nulos e não paralelos entre si, mas paralelos ao plano β Veja representantes u  e v  do plano β na Figura 11.1.

Os vetores u  e v  indicam uma família de planos paralelos a eles, e o ponto A define qual deles é o plano β . O comprimento e o sentido desses vetores são irrelevantes.

Os pontos A, B e C, distintos e não colineares, também definem o plano que os contém, de modo análogo ao de um ponto e dois vetores não nulos e não paralelos, pois se podem considerar o ponto A e os vetores u  = AB  e v  = AC 

Temos, na Figura 11.1, os pontos A AAA (,,) xyz , B BBB (,,) xyz e C CCC (,,) xyz , não colineares e P(x,y,z) um ponto qualquer do plano β

Os vetores u  = AB  = BBBAAA (,,) xxyyzz = 123 (,,) uuu e v =  AC =  CACACA (,,) xxyyzz = 123 (,,) vvv dão a orientação de β

Vemos que: OP  = OA  + AP

Sabemos que a cada posição de P existem λ e γ reais tais que AP

Portanto, tem-se:

Essa equação denomina-se equação vetorial do plano β

Vemos, pela equação vetorial, que a cada par de valores dos parâmetros λ e γ corresponde um só ponto P de β .

.

Sendo OP

= (x,y,z), OA

= AAA (,,) xyz , u  = 123 (,,) uuu e v  = 123 (,,) vvv , então a equação vetorial é dada por: β : (x,y,z) = AAA (,,) xyz + λ 123 (,,) uuu + γ 123 (,,) vvv , , . (2)

Exemplo 11.1:

1. Obtenha a equação vetorial do plano β , sabendo-se que A(2,1,0) pertence a β e que β tem a orientação dos vetores u  = (2,1,3) e v  = (4,3,1) .

Solução:

Os vetores u  e v  são não nulos (os seus módulos são diferentes de zero) e não paralelos (as correspondentes coordenadas não são proporcionais). Utilizando o ponto A fixo de β , segue de (2), que: β : (x,y,z) = (2,1,0) + λ(2,1,3) + γ (4,3,1), ,

2. Obtenha a equação vetorial do plano β , conhecendo-se os seus pontos A(2,1,0) e B(5,0,1) e C(3,2,5).

Solução:

Tomemos u  = AB  = (3,–1,1) e v  = AC  = (1,1,5) que não são nulos ou paralelos. Utilizando o ponto fixo A, segue de (2) que: β : (x, y, z) = (2, 1, 0) + λ (3, –1, 1) + γ (1, 1, 5), , .

11.3 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO

Partindo da equação vetorial do plano β : (x,y,z) = AAA (,,) xyz + λ 123 (,,) uuu + γ 123 (,,) vvv , , , temos que: β : (x,y,z) = A11A22A33 (,,) uvuvuvxyzλγλγλγ ++++++ , , .

Estabelecendo a igualdade das respectivas coordenadas, obtêm-se as equações:

Essas equações denominam-se equações paramétricas de β .

Exemplo 11.2: x y z

23 :1 ,, 05 x y z

 = 123 (,,) uuu

 = AAA (,,) xxyyzz .

≠

não