VBTL 4 D-4u - Vectoren, goniometrie en ruimtemeetkunde - inkijk methode

LEERBOEK

Vectoren i Goniometrie Ruimtemeetkunde D-finaliteit 4 uur

Philip Bogaert Filip Geeurickx Marc Muylaert Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx CARTOONS Dave Vanroye

Vectoren I Goniometrie Ruimtemeetkunde

1

Vectoren 1.1 Het gepunte vlak πO �������������������������������������������������������� 9 −→ 1.2 Verband tussen vector AB en − − de puntvectoren A en B ������������������������������������������ 10 1.3 Coördinaat van een vector in πO ��������������������� 10 1.4 Coördinaat van een vector in ����������������������� 12 1.5 Norm van een vector ���������������������������������������������������� 13 1.6 Hoek tussen twee vectoren ���������������������������������� 13 1.7 Inproduct van twee vectoren ����������������������������� 14 1.8 Analytische uitdrukking van het inproduct ������������������������������������������������������������������������ 15 1.9 Grafische betekenis van het inproduct van een vector met een eenheidsvector 16 1.10 Toepassingen ���������������������������������������������������������������������� 16 1.11 Kenmerk van de loodrechte stand ��������������� 19 1.12 Coördinaat van het midden van een lijnstuk ���������������������������������������������������������������������������� 20 1.13 Coördinaat van het zwaartepunt van een driehoek ������������������������������������������������������������������������� 21 Extra’s ������������������������������������������������������������������������������������������������������ 27

2

Goniometrie 2.1 Goniometrische getallen ���������������������������������������� 33 2.2 Goniometrische getallen van verwante hoeken ������������������������������������������������������������ 49

3

Extra’s ...................................................................................................... 66

Ruimtemeetkunde 3.1 Punten, rechten, vlakken ����������������������������������������� 71 3.2 Evenwijdige stand van rechten en vlakken �������������������������������������������������������� 90 3.3 Loodrechte stand van rechten en vlakken �������������������������������������������������������� 98 Extra’s .................................................................................................... 107

Oplossingen 111

Trefwoordenregister 117

1

Vectoren

Wat Julian Richardson in het zand verwezenlijkt, zal ook lukken in de sneeuw, moet Simon Beck gedacht hebben. Deze Engelsman, die in de winter vooral huist in het Franse skigebied Les Arcs, maakt prachtige geometrische vormen en tekeningen door gewoon door de sneeuw te lopen.

De grondige (wiskundige) planning neemt het meest tijd in beslag; aan de uitvoering zelf besteedt hij – gewapend met sneeuwlaarzen en wat muziek – minimaal 11 uur. Misschien een idee voor je volgende skivakantie?

1

Vectoren 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Het gepunte vlak πO ........................................................ 9 −→ Verband tussen vector AB en − − de puntvectoren A en B ......................................... 10 Coördinaat van een vector in πO .................... 10 Coördinaat van een vector in ....................... 12 Norm van een vector .................................................... 13 Hoek tussen twee vectoren ................................... 13 Inproduct van twee vectoren ............................. 14 Analytische uitdrukking van het inproduct ........................................................................ 15 Grafische betekenis van het inproduct van een vector met een eenheidsvector . 16 Toepassingen ....................................................................... 16 Kenmerk van de loodrechte stand ................ 19 Coördinaat van het midden van een lijnstuk ............................................................................ 20 Coördinaat van het zwaartepunt van een driehoek ......................................................................... 21 Samenvatting ...................................................................... 22 Oefeningen ............................................................................. 23

Extra’s

Vaardigheden : wiskunde en fysica ........................... 27 Wat moet je kennen en kunnen? ............................... 28 Herhalingsoefeningen .......................................................... 29

8

2

Goniometrie

In Dunedin (Nieuw-Zeeland) vind je de steilste straat ter wereld (of toch als we Guinness World Records mogen geloven). Op het steilste punt krijg je een hellingspercentage van 35% voorgeschoteld. Hieronder zie je hoe wij dat op een Belgisch verkeersbord zouden voorstellen. Bij ons merk je dat de zwarte driehoek geen correcte wiskundige weergave is. Zo moet de rechte hoek onderaan zitten en hoort het getal 35 bij de kortste rechthoekszijde en het getal 100 bij de andere rechthoekszijde. Maar zo’n correcte weergave zou de borden plots minder leesbaar maken. Met al die gegevens is het mogelijk om ook alle hoeken van de driehoek terug te vinden. Die driehoeksmeting lukt dankzij de kennis van de goniometrische getallen: sinus, cosinus en tangens.

2

Goniometrie 2.1 Goniometrische getallen 1

Hoofdwaarde van een georiënteerde hoek .......................................... 33 2 De goniometrische cirkel ....................................... 34 3 Goniometrische getallen : sinus en cosinus ............................................................... 34 4 Goniometrische getallen : tangens ............... 35 5 Goniometrische getallen : cotangens .......... 37 6 Identiteiten bewijzen .................................................. 39 7 Bijzondere hoeken ......................................................... 40 8 Grondformule van de goniometrie .............. 41 9 Rico van een rechte en tangens van de hellingshoek ................................................................ 42 10 Samenvatting ...................................................................... 43 11 Oefeningen ............................................................................. 44

2.2 Goniometrische getallen van verwante hoeken 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Gelijke hoeken ................................................................... 49 Tegengestelde hoeken ............................................... 50 Supplementaire hoeken .......................................... 52 Antisupplementaire hoeken ............................... 54 Complementaire hoeken ........................................ 56 Anticomplementaire hoeken .............................. 58 Herleiden naar het eerste kwadrant .......... 59 Samenvatting ...................................................................... 60 Oefeningen .............................................................................. 61

Extra’s

Vaardigheden : de oppervlakte van een driehoek berekenen als twee zijden en de ingesloten hoek gegeven zijn ........... 66 Wat moet je kennen en kunnen ? ............................... 67 Herhalingsoefeningen .......................................................... 68

32

3

Ruimtemeetkunde

Als je dit kasteeltje goed bekijkt, dan zie je al snel dat er hier en daar iets niet klopt met het perspectief. Een pionier in dergelijke onmogelijke figuren was de Zweed Oscar Reutersvärd, hij tekende er meer dan 2500. Hij beperkte zich wel tot puur geometrische vormen, terwijl de Nederlandse kunstenaar M.C. Escher bewoonde werelden creëerde waarin dergelijke figuren verwerkt zaten.

Een van de meest bekende onmogelijke figuren is de Penrose-driehoek.

Die werd genoemd naar een Engelse wiskundige die de driehoek publiceerde in 1958, hoewel hij bijna 25 jaar eerder was ontdekt door Reutersvärd.

3

Ruimtemeetkunde 3.1 Punten, rechten, vlakken 1 2

Vlakke voorstellingen van ruimtefiguren . 71 Een driedimensionale situatie voorstellen op een tweedimensionale manier .......................................................................................... 71 3 Parallelprojectie ................................................................ 74 4 Grondbegrippen ................................................................ 75 5 Een vlak bepalen .............................................................. 75 6 Onderlinge ligging van twee rechten .......... 77 7 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak ..................................................................................... 78 8 Onderlinge ligging van twee vlakken ......... 79 9 Constructie van de snijlijn van twee vlakken ........................................................................ 80 10 Snijpunt van een rechte met een vlak ...... 81 11 Samenvatting ...................................................................... 82 12 Oefeningen ............................................................................. 83

3.2 Evenwijdige stand van rechten en vlakken 1

2 3 4

70

Evenwijdige rechten – rechte evenwijdig met een vlak ...................... 90 Evenwijdige vlakken ..................................................... 92 Samenvatting ...................................................................... 94 Oefeningen ............................................................................. 95

3.3 Loodrechte stand van rechten en vlakken 1 2 3

4 5 6 7 8 9

Hoek tussen twee rechten ..................................... 98 Loodrechte stand van twee rechten ........... 99 Loodrechte stand van een rechte en een vlak ............................................................................. 99 Enkele eigenschappen ........................................... 100 Kenmerk van loodrechte stand van een rechte en een vlak ............................................ 101 Loodrechte stand van twee vlakken ........ 102 Enkele eigenschappen ........................................... 102 Samenvatting ................................................................... 103 Oefeningen .......................................................................... 104

Extra’s

Vaardigheden : wiskundige taalvaardigheid . 107 Wat moet je kennen en kunnen ? ........................... 108 Herhalingsoefeningen ....................................................... 109

3

Ruimtemeetkunde

3.1

Punten, rechten, vlakken 1 Vlakke voorstellingen van ruimtefiguren In de vlakke meetkunde (planimetrie) werken we met vlakke tweedimensionale figuren (vierkant, driehoek, cirkel …).

In de ruimtemeetkunde (stereometrie) gaat het over driedimensionale figuren (kubus, piramide, bol …).

Een vlakke figuur kunnen we in ware vorm (eventueel op

kubus

balk

prisma

cilinder

schaal) tekenen. Voor het tekenen van een ruimtelijk voorwerp moeten we wel de overgang maken van de drie dimensies van het voorwerp naar de twee dimensies van het tekenblad. In de eerste graad heb je al kunnen vaststellen

piramide

kegel

bol

dat bij de voorstelling van de ruimte in een vlak informatie verloren gaat (bijvoorbeeld de loodrechte stand of de hoek) omdat de werkelijke vorm van een ruimtefiguur vervormd wordt. Je kunt hierbij verschillende methodes gebruiken, waarbij die van het perspectief, de parallelprojectie en de centrale projectie de meest bekende zijn.

2 Een driedimensionale situatie voorstellen op een tweedimensionale manier Je maakte eerder al kennis met deze voorstelling van ruimtefiguren in een vlak, gemaakt met behulp van perspectief.

a Natuurlijk perspectief Een getrouwe weergave van de werkelijkheid. Je maakt gebruik van de horizon of de ooglijn, dat is een lijn op ooghoogte. De lijnen komen

horizon

samen in twee of meerdere vluchtpunten op die horizon.

b Cavalièreperspectief De vorm en de grootte van het voorvlak worden bewaard. De andere vlakken worden gevormd met vluchtlijnen die een hoek van 45° maken met de horizontale lijn.

De horizontale en verticale lijnen worden op werkelijke grootte getekend. Van de andere lijnen wordt de lengte gehalveerd.

45˚

c Isometrisch perspectief Een verticale wordt vooraan getekend. De vluchtlijnen van de vlakken vormen een hoek van 30° met de horizontale lijn. Elk lijnstuk wordt op werkelijke grootte getekend.

De vorm komt meer overeen met het werkelijke perspectief en wordt dus veel toegepast.

30˚

30˚

71

d Projectie op drie vlakken

VA

We projecteren het huis op drie vlakken (de drie dimensies) en we krijgen: –

LA: linkerzijaanzicht

–

VA: vooraanzicht

–

BA: bovenaanzicht

LA

Op die manier brengen we ruimtefiguren in beeld in één vlak, iets wat vaak door architecten wordt toegepast. In andere vakken zoals techniek, en later technisch tekenen, ga je op deze leerstof verder in.

BA Bij gebruik van perspectief schetsen we de ruimtefiguren zoals we die zien. De tekening die hierdoor ontstaat, is vergelijkbaar met een foto.

Maar voor deze natuurlijke aanblik wordt belangrijke meetkundige informatie opgeofferd, zoals: –

de gelijkheid van lijnstukken;

–

de grootte van een hoek;

–

de evenwijdigheid van rechten.

Je krijgt bij een voorstelling van een meetkundig lichaam niet altijd alle informatie, of zelfs correcte informatie over het lichaam.

Voorbeeld 1: een kubus in cavalièreperspectief Hier kun je de correcte lengte van een ribbe afmeten.

De lengte van elke ribbe is 3 cm.

Alle hoeken zijn 90°. Merk op dat sommige hoeken op de tekening een grootte hebben van 45° of 135°.

In werkelijkheid zijn die hoeken recht. Sommige ribben zijn ook maar 1,5 cm lang. Maar omdat dit een kenmerk is van het cavalièreperspectief leid je ook hieruit af dat een ribbe in werkelijkheid 3 cm lang is.

Voorbeeld 2: een balk in isometrisch perspectief Ook bij een balk kun je alle maten correct te weten komen.

Alle hoeken zijn steeds rechte hoeken (90°). De lengte is 4 cm, de breedte is 2 cm en de hoogte 2,5 cm.

Alle lijnen die evenwijdig zijn op de tekening zijn dat ook in de werkelijkheid.

h

l

Voorbeeld 3: een prisma

b

Welk perpectief je ook neemt, bij dit rechte prisma kun je niet alle maten correct aflezen. Alleen van de rechtopstaande ribben kun je correct de lengte bepalen.

Je weet ook dat de opstaande vlakken rechthoeken zijn.

De lengte van de ribben van grond- en bovenvlak kun je niet aflezen.

Daarom zal je voor deze meetkundige lichamen meer gebruikmaken van de projectievoorstellingen. Ook al zijn niet alle vlakken op de projecties zichtbaar, we kunnen ze toch reconstrueren.

72

Ruimtemeetkunde

Via het bovenaanzicht (BA) krijgen we informatie over de lengte van de ribben van grond- en bovenvlak.

VA

LA

BA

LA

VA

BA

Voorbeeld 4: kubusblokjes VA

Als we van een stapeltje kubusblokjes een cavalièrevoorstelling krijgen, zijn we niet LA zeker van het aantal gebruikte blokjes.

Het kan zijn dat er achteraan nog blokjes tegen plakken.

Als we enkel de projectievoorstellingen krijgen van kubusblokjes, kan dat ook resulteren in meerdere oplossingen.

Deze aanzichten kunnen zowel horen bij de bovenstaande constructie als bij de constructie eronder.

VA

LA

BA

1 BA

Om één mogelijkheid over te houden kun je ook het bovenaanzicht geven met in elk hokje een getal. Dat getal is het aantal blokjes dat daar op elkaar gestapeld is.

2

3

3

2

73

3

3 Parallelprojectie De zon maakt op het tekenblad een tweedimensionale afbeelding van een driedimensionale figuur, namelijk onder de vorm van de schaduw van de figuur.

De zon is een lichtbron op een oneindige afstand van de voorwerpen die ze beschijnt.

Zonnestralen kunnen we ons voorstellen als rechten die vertrekken op oneindig. Het zijn dus evenwijdige rechten. Het schaduwbeeld dat je krijgt, noemen we de parallelprojectie van de figuur op een plat vlak.

De natuurlijke aanblik gaat grotendeels verloren, maar dat verlies wordt gecompenseerd door het behoud van: –

evenwijdigheid van de rechten;

–

de verhouding van lijnstukken die dezelfde richting hebben.

Ook bij deze methode gaat de gelijkheid van (niet-evenwijdige) lijnstukken verloren, evenals de grootte van de hoeken.

Dankzij de parallelprojectie kunnen we zeer vlug aanschouwelijke afbeeldingen van figuren tekenen.

Voorbeeld: Neem een kubus gemaakt van staafjes (bv. met mikado) en een blad stevig tekenpapier.

Plaats het blad verticaal, zodat het volledig beschenen wordt door de zon.

Plaats de kubus zodat het ondervlak (en dus ook het bovenvlak) horizontaal is en twee van de overige 4 zijvlakken evenwijdig zijn met het tekenblad. Teken de gevormde schaduw van de kubus over op het tekenblad.

De volgende figuur is zo’n tekening, bekomen uit de schaduw van een kubus met ribben die 6 cm lang zijn.

Enkele vaststellingen: 1

Evenwijdige ribben zijn nog altijd evenwijdig.

2

De schaduwbeelden van de vierkanten AEHD en BFGC die evenwijdig met het tekenblad lopen, zijn even grote vierkanten. Zij worden dus op ware grootte afgebeeld.

3

4

F

E

G

H

De ribbe [ AB] (niet evenwijdig met het tekenblad) •

staat loodrecht op [ AD] en [ AE];

•

is 6 cm lang.

B 3

De schaduw van die ribbe: •

is 3 cm lang

⟹

30°

30°

maakt een hoek α = 30° met bv. de schaduw van [ AD].

Die hoek wordt de wijkhoek genoemd.

•

C

cm

A

6 cm

D

0,5 is dus de vervormingsfactor.

De wijkhoek en de vervormingsfactor zijn afhankelijk van de stand van de zon t.o.v. het tekenblad.

Besluit: We stellen vast dat elke methode haar voor- en nadelen heeft. Daarom zullen we in dit boek tamelijk vrije schetsen van ruimtefiguren weergeven, waarbij de volgende afspraken worden nageleefd: –

evenwijdige lijnstukken en rechten blijven op de tekening evenwijdig;

–

even lange lijnstukken die evenwijdig zijn, worden als even lange lijnstukken getekend.

Bovendien spreken we af dat: –

onzichtbare lijnen in streepjeslijn worden getekend;

–

rechten die noch evenwijdig noch snijdend zijn (en die we later kruisende rechten zullen noemen) worden getekend met een onderbreking in hun schijnbaar snijpunt (zie in de kubus de rechten ED en AF).

74

3

Ruimtemeetkunde

4 Grondbegrippen De ruimtemeetkunde werkt in de ons omliggende ruimte. In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen van ruimtelijke voorwerpen (denk bv. aan een kubus): –

punten (hoekpunten van een kubus): benoemen we met hoofdletters;

–

rechten (ribben van een kubus, als delen van rechten): benoemen we met kleine letters;

–

vlakken (zijvlakken van een kubus, als delen van vlakken): worden benoemd met Griekse letters.

Omdat rechten en vlakken zich oneindig ver uitstrekken, kunnen we slechts een deel ervan voorstellen op een tekening. Van een rechte zal je slechts een (lijn)stuk tekenen. Een vlak wordt voorgesteld door een parallellogram. a C A

B

α

A ligt op a

of

A∈a

C ligt in α

of

C∈α

B ligt niet op a

of

B∉a

C ligt niet in b

of

C∉b

b

Punten die tot eenzelfde rechte behoren, worden collineaire punten genoemd.

Rechten die door eenzelfde punt gaan, heten concurrente rechten.

Punten die tot eenzelfde vlak behoren, worden coplanair genoemd.

5 Een vlak bepalen Gaat er door twee punten juist één vlak?

F

G

Beschouw twee hoekpunten van een kubus, bijvoorbeeld A en D. We onderzoeken of er maar één vlak bestaat waarin A en D liggen.

–

De punten A en D liggen beide in het vlak waarvan AEHD

E

H

een deel is.

–

De punten A en D liggen ook in het vlak waarvan grondvlak ABCD een deel is.

–

Zijn er nog vlakken die door A en D gaan?

B

C

We moeten besluiten dat er door twee punten oneindig veel vlakken gaan.

A

D

Twee verschillende punten bepalen precies één rechte.

Door een rechte gaan oneindig veel vlakken.

75

F

G

E

Beschouw in de kubus drie hoekpunten, bv. A, D en C. We onderzoeken of er maar één

H

B

A

Gaat er door drie punten (niet op een rechte gelegen) juist één vlak? vlak bestaat waarin A, D en C liggen.

C

D

–

De drie punten A, D en C liggen in het vlak waarvan zijvlak ABCD een deel is.

–

Kun je nog een ander vlak voorstellen waartoe A, D en C behoren?

We moeten besluiten dat door drie gegeven niet-collineaire punten juist één vlak gaat.

Je kunt die basiseigenschap vaak in de praktijk vaststellen. Zo zal een krukje met drie poten op een vlakke vloer nooit wiebelen, maar een stoel met vier poten soms wel.

F

G

E

Beschouw in de kubus de punten A, B, C en D. De rechten AD en BC zijn evenwijdig.

H

B

A

C

G

E

De rechten AD en BC liggen in het vlak waarvan het grondvlak ABCD een deel is.

–

Kun je nog een ander vlak voorstellen dat de rechten AD en BC samen bevat?

Een rechte en een punt – twee snijdende rechten De drie punten A, C en D liggen juist in één vlak. Teken een rechte door A en D. De com-

H

binatie ‘drie punten A, C en D’ is omgevormd tot de combinatie ‘een punt C en de rechte C

B

–

We besluiten dat twee evenwijdige (niet-samenvallende) rechten in juist 1 vlak liggen.

D F

Twee evenwijdige rechten

AD’. Teken een tweede rechte, door C en A. De combinatie ‘drie punten A, C en D’ is omgevormd tot de combinatie ‘twee snijdende rechten AD en AC’.

A

Besluit:

D

Een vlak bepalen Een vlak is dus eenduidig bepaald door: a

drie niet-collineaire punten;

b twee evenwijdige rechten (niet samenvallend); c

een rechte en een punt niet op die rechte gelegen;

d twee snijdende rechten.

Naamgeving voor een vlak. vlak bepaald door

notatie

de niet-collineaire punten A, B en C

vl(ABC)

de snijdende rechten a en b

vl(a, b )

de rechte a en het punt A ∉ a

vl(a, A)

de evenwijdige rechten k en l

vl(k , l )

voorstelling A C

B

a

C b A

a

k l

Opmerking: In een vlak van de ruimte gelden de eigenschappen van de vlakke meetkunde.

α Voorbeeld: Is α een willekeurig vlak, bepaald door een rechte a en een punt A ∉ a, dan geldt: in α bestaat precies één rechte b die A bevat en evenwijdig is met a (axioma van Euclides).

76

b

A a

3

Ruimtemeetkunde

6 Onderlinge ligging van twee rechten Volgens de vlakke meetkunde bestaan in elk vlak de volgende mogelijkheden voor wat betreft de ligging van twee rechten a en b : a en b zijn evenwijdig (parallel) a en b vallen samen en zijn

a en b snijden elkaar.

en vallen niet samen. Ze hebben

evenwijdig.

S is het snijpunt.

geen punt gemeenschappelijk: ze zijn strikt evenwijdig.

a

a b

S

α

a

b

α

α a ∩b =a =b

b

a ∩b =∅

a ∩ b = { S}

Opmerking: Voor evenwijdigheid van rechten wordt uitdrukkelijk geëist dat die rechten in eenzelfde vlak liggen (notatie: a ⫽ b ).

Mag je uit voorgaande besluiten dat twee rechten

a

die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben, b

altijd evenwijdig zijn?

Bekijk de rechten a en d op de foto van de container. Ze snijden elkaar niet en zijn ook niet evenwijdig.

We noemen a en d kruisende rechten.

A

Ze liggen niet in hetzelfde vlak. d a

α c

We vatten het samen in deze overzichtstabel:

d

Notatie evenwijdige rechten

a en b

a en b

zijn samenvallend.

a ⃫b

snijdende rechten a en b a snijdt b

a=b

a∩b =a=b

a en b zijn

a

a∩b =∅

strikt evenwijdig.

b

a en b zijn coplanair

b a

a en b zijn snijdend.

Ze hebben juist 1 punt S

S

gemeenschappelijk.

a ∩ b = { S} a en b zijn coplanair

a kruisende rechten a en b

a en b zijn kruisend.

a∩b =∅

Ze zijn niet evenwijdig en a kruist b

a en b zijn niet coplanair

hebben geen snijpunt. b

77

7 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak Als we een rechte en een vlak beschouwen, dan kunnen we drie situaties onderscheiden:

De rechte en het vlak hebben geen

De rechte en het vlak hebben juist

De rechte ligt volledig in het vlak.

enkel punt gemeenschappelijk,

1 punt gemeenschappelijk.

Alle punten behoren tot het vlak.

ze zijn evenwijdig.

Ze zijn snijdend.

Besluit: Voor een rechte a en een vlak α zijn er dus drie mogelijkheden.

➀ De rechte a heeft twee of meer punten gemeen met het vlak α en ligt in α. We zeggen ook dat a evenwijdig is met α en er een

a A

deelverzameling van is.

a α

en

a ∩α = a

⇐⇒

α

a ⊂α

We onthouden de eigenschap: Een rechte behoort tot het vlak als en slechts als ze twee punten met dat vlak gemeen heeft.

AB ⊂ α

⇐⇒

A, B ∈ α a

➁ De rechte a heeft geen enkel punt gemeen met α. a is strikt evenwijdig met α.

a α

en

a ∩α = ∅

α

➂ De rechte a heeft met het vlak α juist één punt gemeen.

De rechte a snijdt het vlak α in het punt S.

a

S

a ∩ α = { S} S is het snijpunt van a met α.

α

Notaties: a α ⇐⇒ α ⇐⇒ a

78

a ⊂ α of a ∩ α = ∅ a ∩ α = {S}

3

Ruimtemeetkunde

8 Onderlinge ligging van twee vlakken Als we gaan tekenen, werken we in het vlak: ons tekenblad, het bord …

In de ruimte kun je werken met meerdere vlakken. In het klaslokaal bijvoorbeeld zijn de muren, de vloer en het plafond delen van verschillende vlakken. Kijk even om je heen en zoek telkens twee vlakken die elkaar snijden.

Wijs de verschillende snijlijnen van die vlakken aan. Normaal zul je geen snijlijn vinden tussen de vloer en het F G plafond. Waarom niet?

EFGH .

Beschouw de kubus ABCD E H Welke is de snijlijn van het grondvlak (ABCD) met het zijvlak (DHGC)?

Hebben de vlakken ABCD en EFGH ook een snijlijn?

B

Twee vlakken snijden elkaar volgens een snijlijn of zijn evenwijdig!

Besluit:

C

D

A evenwijdig en niet

samenvallend

snijdend

samenvallend

b

α α=b b

d

α

α en b zijn evenwijdig en samenvallend.

α∩b=α=b

α en b hebben geen enkel punt

α en b zijn snijdend.

Als twee vlakken α en b drie

gemeen, ze zijn strikt evenwijdig.

De rechte d is de snijlijn

niet-collineaire punten gemeen

α∩b=∅

van de vlakken.

α∩b=d

hebben, dan vallen ze samen.

Notaties: α β ⇐⇒ α = β of α ∩ β = ∅ α β ⇐⇒ α ∩ β = d

Twee verschillende vlakken die een punt gemeen hebben, snijden elkaar en hun snijlijn gaat door dat punt.

Gegeven:

α≠b A ∈ α∩b

b

Te bewijzen: A ∈ d en d = α ∩ b

A

α

Bewijs:

d

voor de vlakken α en b zijn er 3 mogelijkheden wat betreft de onderlinge ligging.

➀ α∩b=α=b

➁ α ⫽ b en α ∩ b = ∅

➂ α∩b=d

Dat is uitgesloten omdat de

Dat is uitgesloten omdat A

Deze mogelijkheid blijft over.

vlakken verschillend zijn.

een gemeenschappelijk punt

Het punt A behoort tot α en b,

van α en b is.

dus A ∈ α ∩ b

of: A ∈ d Hier hebben we een voorbeeld van een exhaustiebewijs of een bewijs door uitputting.

79

9 Constructie van de snijlijn van twee vlakken Om de snijlijn van twee vlakken te construeren, zoeken we twee verschillende punten die tot beide vlakken behoren.

Bepaal de snijlijn van vl( AFG) en vl( BEH).

F

G H

E

Q P

C

B A

D

Het punt P is het snijpunt van de diagonalen [ AF] en [ EB]. Het punt Q is het snijpunt van de diagonalen [ HC] en [DG]. Beide punten behoren dus tot de vlakken AFG en BEH. De rechte PQ is dus de snijlijn van beide vlakken.

Toepassing met ICT:

Het vlak α wordt bepaald door het vlak te tekenen door M, N en P (dat zijn de middens van de ribben van het prisma).

Het vlak β = vl( JHB).

De snijlijn van die twee vlakken is de rechte NQ waarbij Q ook het midden van een ribbe is.

80

Ruimtemeetkunde

10 Snijpunt van een rechte met een vlak We willen het snijpunt bepalen van de rechte PQ met het gearceerde vlak. a

S F

De rechte ligt in een zijvlak van de kubus E

We bepalen het snijpunt S van PQ met HG.

Q

G

P

H

C

B A

D

b De rechte ligt niet in een zijvlak van de kubus F

P

F

G H

E

G H

E

Q

P

Q C

B A

B

D

A

C

R D

S Hiervoor gaan we als volgt te werk: 1

Projecteer PQ loodrecht op het grondvlak ( ABCD). Je bekomt AR als beeld.

2

Het gevraagde punt S is het snijpunt van de rechte PQ met AR.

Toepassing met ICT: Op de tekening hieronder is het snijpunt S getekend van de rechte PQ met het bovenvlak van de kubus.

81

3

11 Samenvatting •

Je kent het verschil tussen vlakke meetkunde en ruimtemeetkunde en weet hoe een natuurlijk, cavalièreen isometrisch perspectief opgebouwd is. Je kunt aanduiden welke informatie je kunt afleiden of welke informatie onbekend blijft bij een bepaalde projectie van een meetkundig lichaam. Je kent de betekenis van parallelprojectie en centrale projectie.

•

Je weet wanneer een vlak bepaald is en je kunt het aanduiden en voorstellen.

VLAK BEPAALD DOOR

•

de niet-collineaire punten A, B en C

vl(ABC)

de snijdende rechten a en b

vl(a, b )

de rechte a en het punt A ∉ a

vl(a, A)

de strikt evenwijdige rechten k en l

vl(k , l )

VOORSTELLING A

a ⫽b

a en b zijn strikt evenwijdig.

snijdende rechten

a en b zijn snijdend.

a en b

Ze hebben juist 1 punt S

a

C b A

a

k l

a en b zijn samenvallend.

rechten a en b

B

C

Je kunt alle mogelijke liggingen weergeven van twee rechten a en b . evenwijdige

NOTATIE a∩b =a=b

a=b a

a∩b =∅

b

a en b zijn coplanair

b a

a ∩ b = { S}

S

a en b zijn coplanair

gemeenschappelijk.

a snijdt b

a

kruisende rechten

a∩b =∅

a en b zijn kruisend. Ze zijn

a en b

a en b zijn niet

niet evenwijdig en hebben geen snijpunt.

a kruist b •

NOTATIE

coplanair

b

Je kunt alle mogelijke liggingen weergeven van een rechte en een vlak. a is evenwijdig met het vlak α

a snijdt het vlak α

a ⃫ α en a ∩ α = ∅

a ⃫ α en a ∩ α = a

a ∩ α = { S}

a is strikt evenwijdig met α.

a

a a S

A

α

•

α

α

Je kunt alle mogelijke liggingen weergeven van twee vlakken. het vlak α is evenwijdig met het vlak b

α ⫽b en α ∩ b = α = b

het vlak α snijdt het vlak b

α ⫽b en α ∩ b = ∅ α is strikt evenwijdig met b.

α∩b=d b

α α

α=b

d

b

•

82

Je kunt de snijlijn van twee vlakken en het snijpunt van een rechte met een vlak construeren.

Ruimtemeetkunde

12 Oefeningen 1

Vervolledig het natuurlijk perspectief van dit huis.

Teken een deur in de voor- en zijgevel en een venster in het zijdak.

Verklaar waarom de rechterzijgevel in het huis van deze oefening een rechthoek is.

2

a

F

Welke figuur krijg je als je de getekende balk snijdt

G

met het vlak EFCD? 4 cm

b Teken die figuur op ware grootte.

E

H B

C 6 cm

A

3

Kleur de gevraagde vlakken in de gegeven kleur. a

vl( BCG) ⟶ geel

c

b vl( AG, H) ⟶ groen

vl( AH, ED) ⟶ blauw

d vl( BH, CE) ⟶ oranje

F

G

E

H

B

C

A

4

7 cm

D

D

In volgende kubussen zijn telkens twee rechten getekend. Ga na of die rechten snijdend, evenwijdig of kruisend zijn. Controleer met ICT. a

b a

c

b

a

b

d

a b b a

83

3

5

Vul aan.

F

G H

E

P B

C D

A

a P . . . vl(CDE)

g DE . . . HC

b K . . . vl(CDE)

h DE . . . vl(FGC)

c

i

DC . . . vl(ABD)

d DF . . . DC

j

K . . . vl(ACD)

e GH . . . vl(CDE)

k vl(HGC) . . . vl(A, EB)

f

l

DF . . . vl(CDE)

AG . . . vl(CDE)

vl(DE, DF) . . . vl(P, FC)

K

6

Duid in elke figuur telkens twee evenwijdige rechten aan (a en b ), twee snijdende rechten aan (a en c ) en twee kruisende rechten aan (a en d ).

T

a

b F

G H

E

C

B A

7

B

D

A

C D

Zullen de twee getekende rechten door de aangeduide punten elkaar snijden? Controleer met ICT. a

c

b

d

84

3

Ruimtemeetkunde

8

a

9

Gegeven:

Duid op de foto twee snijdende rechten aan.

een balk

b Duid op de tekening twee kruisende rechten aan.

EFGH ABCD

K is het midden van [ EF] L is het midden van [ BF]

//

Gevraagd:

K

bepaal de ligging van de rechte HC t.o.v. CD, BE, KL, EG en EF.

F — L — B G

// E

C A

H

D

10

Hebben de volgende rechten een schijnbaar of een reëel snijpunt?

F

G H

E

C

B A

a

DE en BG

D

d DF en BG

b EC en DF

e

AD en FC

c

f

AG en DE

BG en FH

85

11

Zal de getekende rechte door de twee aangeduide punten het gekleurde vlak snijden? Controleer met ICT. a

12

b

Beschouw de kubus

EFGH ABCD

c

d

F

.

G

Bepaal de ligging van de rechten BD, DG, EG, EA, FM en HD t.o.v. het vlak (AFC).

E

H

Verklaar telkens je antwoord.

B

C M

A

13

D

EFGH

Gegeven:

een balk

Gevraagd:

Onderzoek of de volgende vlakken evenwijdig,

F

ABCD

G K

samenvallend of snijdend zijn.

Bepaal in het laatste geval ook hun snijlijn. a

E

H

vl(EFG) en vl(FB, HD)

b vl(L, AD) en vl(BCD) c

B

C

vl(BFHD) en vl(AEGC) (dat zijn 2 diagonaalvlakken)

L

d vl(EH, HD) en vl(BC, CG) e

14

Beschouw een kubus

EFGH ABCD

A

D

.

F

De rechte XY snijdt het grondvlak (ABCD) in een punt dat buiten het vierkant ABCD ligt.

G

//

X is het midden van [ EF] en Y is het midden van [ EA]. //

*

vl(AEGC) en vl(AEHD)

X

E

H

//

a

Construeer het snijpunt S van de rechte XY Y

met het vl(ABCD). met het grondvlak ABCD. c

15

Controleer met ICT.

B

A

//

Gegeven:

zie figuur

Gevraagd:

bepaal het snijpunt S van de rechte BH met het diagonaalvlak ACG; controleer met ICT.

C

//

b Construeer daarna de snijlijn van het vl(XYZ)

Z

//

D

G

F E

H B

86

A

C D

Ruimtemeetkunde

16

Teken in de onderstaande figuur de gevraagde rechten en vlakken.

F

a

G

c Q

E

e

twee kruisende rechten die in twee snijdende vlakken liggen.

B

C

P

S

A

17

een vlak evenwijdig met vl( PSC);

d een rechte in vl( BCR) die de rechte DP kruist;

R

H

een vlak evenwijdig met vl( EHP);

b een rechte evenwijdig met vl( PQC);

D

Bepaal het eventuele snijpunt van de gegeven rechte met het gearceerde vlak. a

G

F

e

H

E

G

F

Q

H

E

P

Q P B A b

B

C A

D G

F

Q

P

B

P

H

E

Q

B A

G

D

g

H

E

C

P

D F

G

F

C

A c

D

f

H

E

C

F

G H

E P

C

B A

Q

d

G H

C

B A

Q

P

D

h

D F

A

G

P H

E

Q

C

Q

A

D

F E

B

B

C D 87

3

18

Bepaal de snijlijn van de gegeven vlakken: vl( ADC) en vl(DHC)

a

b vl( F, HG) en vl(H, AB) vl( FGH) en vl(ADC)

c

d vl( EH, BC) en vl(AD, FG) G

F H

E

B C A

19

D

Op welke eigenschap uit de ruimtemeetkunde steun je om je antwoord te formuleren? a

Waarom kan een stoeltje met drie poten nooit wiebelen?

b Hoe moeten de houten palen van de schutting t.o.v. elkaar staan opdat de schutting tussen de steunpalen kan worden gezet?

c

Op hoeveel manieren kun je een deur open laten staan?

Op hoeveel manieren kun je de deur in het slot brengen?

88

Ruimtemeetkunde

20

Met zes puzzelstukken wordt een holle 4 × 4 × 4-kubus gemaakt. Hier zie je twee aanzichten van de kubus.

Welke vorm heeft het gele puzzelstuk, dat niet volledig zichtbaar is in de aanzichten?

(A)

(B)

(C)

(D)

(A)

(E)

(B)

(C)

(D)

JWO 2018 eerste ronde, vraag 9 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

21

Hoeveel congruente kubussen moet je minimaal aan de constructie toevoegen om de ruimtelijke kronkel te sluiten door de kubussen met de zijvlakken aan elkaar te kleven?

(A)

6

(B)

7

(C)

8

(D)

9

(E)

10

VWO 2020 eerste ronde, vraag 6 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

22

Vier van onderstaande afbeeldingen zijn aanzichten van eenzelfde kubus met verschillend gekleurde zijvlakken.

Welke afbeelding is geen aanzicht van die kubus?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

JWO 2021 eerste ronde, vraag 5 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

23

Een vis zwemt in een aquarium dat gemaakt is van vierkante glazen tegels.

In de figuren zien we een steen (het zwarte bolletje) en de weg die de vis aflegt in vooraanzicht en in zijaanzicht. Welke weg legt de vis af als je van bovenuit naar het aquarium kijkt?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

JWO 2020 eerste ronde, vraag 16 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

89

3

3.2

Evenwijdige stand van rechten en vlakken 1 Evenwijdige rechten - rechte evenwijdig met een vlak Beschouw de kubus –

EFGH ABCD

F

.

G

De rechte BF snijdt het vlak BGD. In welk punt?

De rechte EA is evenwijdig met de rechte FB. Zal de rechte EA het vlak BGD snijden?

–

E

H

De rechte EH is evenwijdig met de rechte AD van het grondvlak.

EH is ook evenwijdig met het grondvlak.

Is FH evenwijdig met het grondvlak?

Zie je in het grondvlak een rechte die evenwijdig is met FH?

–

B

FB is evenwijdig met HD want BFHD is een rechthoek.

C

Maar FB is evenwijdig met EA en EA is op zijn beurt evenwijdig met HD. Mag je algemeen besluiten dat: a ⫽ b en b ⫽ c ⟹ a ⫽ c ?

–

A

D

Zoek in de kubus een rechte die evenwijdig is met twee snijdende vlakken. Zal de gegeven rechte evenwijdig zijn met de snijlijn van die vlakken?

Zoals in de vlakke meetkunde hebben we ook in de ruimtemeetkunde een aantal eigenschappen. We illustreren er een aantal. eigenschap 1 in woorden: Als een vlak één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt dat vlak ook de andere rechte. a

b

F

G

H

E

De rechten a en b zijn evenwijdig.

De rechte a snijdt het vlak α in A. De rechte b snijdt het vlak α dus ook.

B

C

α A

in symbolen: a b

90

D

en

α a

=⇒

α b

Ruimtemeetkunde

eigenschap 2 in woorden: Een rechte is evenwijdig met een vlak als ze evenwijdig is met een rechte van dat vlak.

G

F H

E

b

De rechte b is evenwijdig met vl( ABC), want a ⊂ α en b ⫽ a .

B

C

α

a

A

D

in symbolen: a ⊂ α

en

b a

=⇒

b α

b a

b a

α

α

eigenschap 3 in woorden: Twee rechten die evenwijdig zijn met een derde rechte zijn onderling evenwijdig.

G

F H

E

a

c

B C b A

D

in symbolen: a ⫽b

en

b ⫽c

⟹

a ⫽c

91

3

eigenschap 4 in woorden: Als een rechte evenwijdig is met twee snijdende vlakken, dan is ze evenwijdig met de snijlijn van die vlakken.

F E

H

α

d

G

d is de snijlijn van α en β en a α en a β

b

a d

B C a A

D

a

α

in symbolen:

α ∩ b =d

en

a ⫽α

en

a ⫽b

⟹

a ⫽d

b d

2 Evenwijdige vlakken eigenschap 5 in woorden: Als twee snijdende rechten van een vlak evenwijdig zijn met een ander vlak, dan zijn die vlakken evenwijdig.

F α E

a H

G

b

a b en a β en b β

B C

b A in symbolen:

D

 

a ∩ b = {S} =⇒ α β a ⊂ α en b ⊂ α  a β en b β

92

α β

a

S

α

b

b

Ruimtemeetkunde

eigenschap 6 in woorden: Twee vlakken zijn evenwijdig als twee snijdende rechten van het ene vlak evenwijdig zijn met twee snijdende rechten van het andere vlak.

Toepassing: Construeer door een punt P een vlak dat evenwijdig is met een gegeven vlak α.

Oplossing:

c

P

Construeer in α twee snijdende rechten a en b .

d

b

a ∩ b = { S} Trek nu door P de rechte c zodat c ⫽ a en de rechte d zodat d ⫽ b .

De rechten c en d vallen niet samen. Waarom?

Dus zijn c en d snijdende rechten en bepalen ze een vlak b = vl(c , d ). b is het gevraagde vlak omdat: P ∈ b

a

S b

α

b⫽ α eigenschap 7 in woorden: Door een punt dat niet in een vlak α ligt, bestaat er juist één vlak b dat evenwijdig is met α. Alle rechten door dat punt die evenwijdig zijn met α, liggen in dat evenwijdige vlak b.

F .A

G H

E

Het bovenvlak van de kubus is het enige vlak dat door het punt E gaat en evenwijdig is met het grondvlak.

B C

α A

D

Gevolgen: 1

Als een vlak één van twee

2

Als een rechte één van twee

3

Als een rechte evenwijdig is

evenwijdige vlakken snijdt,

evenwijdige vlakken snijdt,

met een vlak, dan gaat er door die

dan snijdt dat vlak ook het

dan snijdt die rechte ook het

rechte precies één vlak

andere vlak.

andere vlak. a

evenwijdig met het gegeven vlak.

g

a b

α

b

α

b

b

α

93

3

eigenschap 8 in woorden: De snijlijnen van twee evenwijdige vlakken met een derde vlak zijn evenwijdig.

F

a

α β en

H

α

E

G

α ∩ γ = a en β ∩ γ = b

a b

g B b

A

b

γ

C

a

D

α

in symbolen:

α ⫽ b en α ∩ γ = a en b ∩ γ = b

⟹

a⫽b b b

3 Samenvatting •

Om de evenwijdigheid van rechten en vlakken te onderzoeken, beschik je over volgende eigenschappen: –

Als een vlak één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt dat vlak ook de andere rechte.

– –

a b

evenwijdig is met een rechte van dat vlak.

a ⊂α

Twee rechten die evenwijdig zijn met een

a ⫽b

Een rechte is evenwijdig met een vlak als ze

en

en en

α a

=⇒

α b

b a

=⇒

b α

b ⫽c

⟹

a ⫽c

derde rechte zijn onderling evenwijdig.

–

Als een rechte evenwijdig is met twee

α ∩ b =d

en

a ⫽α

en

a ⫽b

⟹

a ⫽d

snijdende vlakken, dan is ze evenwijdig met de snijlijn van die vlakken.

–

Als twee snijdende rechten van een vlak evenwijdig zijn met een ander vlak, dan zijn die vlakken evenwijdig.

–

Twee vlakken zijn evenwijdig als twee snijdende rechten van het ene vlak

 a ∩ b = {S}  =⇒ α β a ⊂ α en b ⊂ α  a β en b β

evenwijdig zijn met twee snijdende rechten van het andere vlak.

–

Door een punt dat niet in een vlak α ligt, bestaat er juist één vlak b dat evenwijdig is met α.

Alle rechten door dat punt die evenwijdig zijn met α, liggen in dat evenwijdige vlak b.

–

De snijlijnen van twee evenwijdige vlakken met een derde vlak zijn evenwijdig.

94

α ⫽ b en α ∩ γ = a en b ∩ γ = b

⟹

a⫽b

Ruimtemeetkunde

4 Oefeningen 1

a

Teken de snijlijnen van het parallellepipedum

EFGH ABCD

met het vlak ADG en noteer in de tabel.

b Welke snijlijnen lopen evenwijdig?

α ∩ vl (ADG)

ZIJVLAK α

F

G

vl(ABCD)

H

E

vl(DHGC) vl(AEHD)

B

C

A

vl(AEFB) vl(EFGH)

D

vl(BFGC)

Een parallellepipedum is een prisma waarvan het grondvlak een parallellogram is.

2

Bepaal en kleur voor de onderstaande figuren twee evenwijdige vlakken die elk een van de aangeduide rechten bevatten. a E

F

G

R

S

H B

C

A

Q

P

b

D

F

E G

H A

B C

D

3

EFGH

Gegeven:

kubus

Gevraagd:

bepaal in de kubus een vlak α

ABCD

dat door C gaat en evenwijdig is

G

F H

E

met twee kruisende rechten.

B A *

4

C D

Gegeven zijn de vlakken α, b en γ en de rechten a en b . Welke van de volgende uitspraken zijn altijd waar? Welke zijn soms waar (geef dan een concreet voorbeeld) en welke uitspraken zijn nooit waar? Formuleer telkens in woorden wat er staat.

a b c d e f g

α β en β γ =⇒ α γ a α en b α =⇒ a b a ⊂ α en a β =⇒ α β a α en α β =⇒ a β a α en a β =⇒ α β a α en a ⊂ β en α ∩ β = b =⇒ a b α ∩ β = a en a γ =⇒ γ α en γ β 95

3

5

Onderzoek of de volgende uitspraken waar of vals zijn.

Tip: maak een schets (bijvoorbeeld van een kubus of een balk) om je redenering te ondersteunen. a

Als een rechte evenwijdig is met een vlak en je trekt door een punt van dat vlak een rechte evenwijdig met de gegeven rechte, dan ligt die tweede rechte in dat vlak.

b Als twee vlakken evenwijdig zijn met een rechte, dan zijn die vlakken evenwijdig. c

Als een rechte evenwijdig is met een vlak, dan is ze evenwijdig met elke rechte van dat vlak.

d Twee vlakken zijn evenwijdig als een rechte van het ene vlak evenwijdig is met het andere vlak. e f

*

6

Alle rechten die een gegeven rechte a snijden en evenwijdig zijn met een rechte b (a ⫽ b ) liggen in eenzelfde vlak.

Als twee snijdende vlakken α en b respectievelijk evenwijdig zijn met twee snijdende vlakken α′ en b′, dan

zijn hun snijlijnen d en d ′ evenwijdig.

Twee kruisende rechten liggen niet in één vlak,

F

G

want rechten in eenzelfde vlak zijn snijdend of evenwijdig.

In de balk hiernaast zijn AF en DC kruisende rechten. a

In welke twee evenwijdige vlakken liggen AF en DC?

b In welke twee evenwijdige vlakken liggen EG en DC? E Dat doet vermoeden dat elk paar kruisende

H

B

C

rechten verpakt kan worden in twee evenwijdige vlakken.

A

7

Gegeven: Gevraagd:

kubus

D

EFGH ABCD

G

F

teken een vlak α door AB

H

E

en een vlak β door DH zodat α ⫽ β.

B

C

A *

8

D F

In deze figuur verdeelt het vlak PQR de balk in twee delen.

Waar snijdt dat vlak de ribbe CG?

P

E

Q

G B

H

A

C R D

*

9

Bepaal het snijpunt van PQ met vl(EFG).

P

Controleer met ICT.

F

E

G H

B

C Q

A 96

D

Ruimtemeetkunde

10

aangegeven is. a

Bereken de lengte van de zijden van de driehoek PQR en teken die driehoek op ware grootte.

G

F

Van een houten kubus wordt een stuk afgezaagd zoals op de figuur 5 cm

P Q

E

H

b Hoe moet je zagen om een gelijkzijdige driehoek te verkrijgen met 6 cm als zijde? c

Bereken het volume van de afgesneden piramide

7 cm

die je bekomt in a.

Controleer met ICT. B

R

A

11

6 cm

C

D

Juist of fout? Illustreer met behulp van een kubus. a

Twee rechten evenwijdig met een derde rechte zijn onderling evenwijdig.

b Twee rechten die kruisen met een derde rechte, zijn onderling kruisend. c

Als een rechte een van twee evenwijdige rechten snijdt, snijdt ze ook de tweede rechte.

d Als twee strikt evenwijdige rechten evenwijdig zijn met een vlak, dan is het vlak bepaald door die rechten ook evenwijdig met dat vlak. e

Als twee rechten elkaar kruisen, dan gaat er juist één vlak door de ene rechte dat evenwijdig is met de andere rechte.

97

3

3.3

Loodrechte stand van rechten en vlakken 1 Hoek tussen twee rechten –

Als de rechten a en b snijdend zijn, dan liggen ze in eenzelfde vlak. Uit de vlakke meetkunde weten we dat de hoek tussen a en b de scherpe of de rechte hoek is die in hun snijpunt wordt gevormd. a

a

b b

a

a

b b

Als de hoek tussen a en b recht is, dan zeggen we dat a en b elkaar loodrecht of orthogonaal snijden.

–

De hoek van twee evenwijdige rechten is altijd de nulhoek (en dus gelijk aan 0°).

–

In de ruimte zijn er ook rechtenparen die noch snijdend, noch evenwijdig zijn, nl. kruisende rechten.

Twee kruisende rechten vormen geen hoek, want ze hebben geen snijpunt (hoekpunt). Toch willen we een betekenis geven aan de hoek van twee kruisende rechten: de hoek van twee kruisende rechten bekomen we door een van de rechten te verschuiven (evenwijdig met zichzelf ) tot ze de andere rechte snijdt.

hoek tussen twee kruisende rechten b

a a′

98

S

, b a , b = a

met

a a

en

a ∩ b = {S}

Ruimtemeetkunde

2 Loodrechte stand van twee rechten loodrechte rechten in woorden: Twee rechten staan loodrecht op elkaar als hun hoek recht is. in symbolen: a ⊥b ⇐⇒

a , b = 90 ◦ F

G

Als in de ruimte twee rechten loodrecht staan op elkaar, dan kunnen ze elkaar loodrecht snijden of elkaar loodrecht kruisen.

H

E

6 cm

Voorbeeld: In de kubus tonen we aan dat DF loodrecht staat op AC. We verschuiven AC tot in D, zo ontstaat het parallellogram ACDS.

, AC = FD , DS = FDS =⇒ DF We berekenen de zijden van de driehoek FDS.

√

| DS | = | AC | = 6 2 √ √ √ √ | DF | = | AF |2 + | AD |2 = 72 + 36 = 108 = 6 3 √ √ √ √ | FS | = | BF |2 + | BS |2 = 36 + 144 = 180 = 6 5 2

2

B

C

A

D

S

stelling van Pythagoras in ∆AFD stelling van Pythagoras in ∆FBS

2

Hieruit volgt dat: | FS | = 180 en | DS | + | DF | = 72 + 108.

Dus: | FS |2 = | DS |2 + | DF |2 =⇒ ∆FDS is rechthoekig in D. = 90 ◦ en bijgevolg zijn de rechten DF en AC loodrecht kruisend. =⇒ FDS

3 Loodrechte stand van een rechte en een vlak Een verlichtingspaal staat (lood)recht op de grond (het grondvlak) en een toren meestal ook. De toren hiernaast bv. begon na de bouw van de derde verdieping niet meer loodrecht op het grondvlak te staan.

Beschouw een loodlijn p op een vlak. Denk bijvoorbeeld aan een potlood op een tafel.

Met behulp van een tekendriehoek kun je de hoek bepalen tussen het potlood en een rechte op je tekenblad. Door de tekendriehoek rond het potlood te draaien kun je nagaan dat eender welke lijn op het tafelblad die door het voetpunt S van de loodlijn p wordt getrokken, een hoek van 90° vormt met het potlood. p

We kunnen die vaststelling veralgemenen: Als een rechte loodrecht staat op een vlak, dan staat ze loodrecht op elke rechte van dat vlak die door haar voetpunt gaat.

Als a een rechte is van het vlak die niet door S gaat, beschouw dan de evenwijdige a′ aan a door S.

De rechte p zal loodrecht op a′ staan en dus ook

S a′

a

loodrecht op a.

Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als ze loodrecht staat op elke rechte van dat vlak.

De rechte a staat loodrecht op het vlak α :

a

Notatie: a ⊥ α We noemen a de loodlijn op α en noemen α het loodvlak op a.

Het snijpunt S van a en α noemen we het voetpunt van de loodlijn.

S

α 99

3

4 Enkele eigenschappen

EFGH Beschouw de kubus .

ABCD

F

G

E –

Hoeveel rechten door F staan loodrecht op het grondvlak?

–

Welke ribben van de kubus staan loodrecht op het grondvlak?

–

Wat weet je over hun onderlinge stand?

–

Hoeveel vlakken gaan door D en staan loodrecht op GC? Welke?

–

Welke zijvlakken van de kubus staan loodrecht op DC?

–

Wat weet je over de onderlinge stand van die zijvlakken?

H

C

B

A

D

Algemeen gelden de volgende eigenschappen: 1

Er bestaat juist één loodlijn uit een punt op een vlak.

A

Het voetpunt A′ van de loodlijn uit A op α noemen we ook de loodrechte

a is de loodlijn uit A op α (a ⊥ α).

2

A′

B

projectie van A op α.

α a

Er bestaat juist één loodvlak uit een punt op een rechte.

α is het loodvlak uit B op a.

3

Loodlijnen op eenzelfde vlak zijn evenwijdig. a ⊥ α en

b⊥α ⟹

b

a

a ⫽b

α

4

Loodvlakken op eenzelfde rechte zijn evenwijdig.

α⊥p

en

b⊥p

⟹ α⫽b

α

p

b

5

Staat een van twee evenwijdigen loodrecht op een vlak, dan staat ook de andere loodrecht op dat vlak. a ⫽b

6

en

a ⊥α ⟹

b ⊥α

Staat een van twee evenwijdige vlakken loodrecht op een rechte, dan staat ook het andere vlak loodrecht op die rechte.

α⫽b

100

en

α⊥p

⟹

b⊥p

3

Ruimtemeetkunde

5 Kenmerk van loodrechte stand van een rechte en een vlak Omgekeerd stelt zich de vraag: wanneer kunnen we met zekerheid beweren dat een rechte a loodrecht op een vlak α staat?

We kunnen onmogelijk nagaan of a loodrecht op alle rechten van α zou staan.

We gaan onderzoeken op hoeveel rechten van α de rechte a loodrecht moet staan opdat a een loodlijn op α zou zijn.

EFGH Beschouw de kubus .

ABCD F G – Op hoeveel rechten door A, gelegen in het grondvlak, staat AF loodrecht?

–

Welke?

–

Staat AF loodrecht op het grondvlak?

H

E

We zien dat de loodrechte stand van een rechte t.o.v. één rechte in een vlak niet volstaat opdat de eerste loodrecht op dat vlak zou staan.

–

B

C

De rechte AE staat loodrecht op de rechten AB en AD. We weten dat AE loodrecht staat op het grondvlak.

A

D

Opdracht: Teken op een blad papier twee snijdende rechten a en b . Leg je tekendriehoek in het vlak van het blad zodanig dat een rechthoekszijde langs a valt. t

11

b a

10 9 8 30

40

50

60

20

7

10

70

6

80

b

3

80

4

90

5

a

70

2

60

1 1

50

0 40

2 30

3 20

4 5 6

10

7 8 9 10 11

t

De andere rechthoekszijde t van de tekendriehoek staat dus loodrecht op a, maar niet loodrecht op b . Je ziet duidelijk dat t niet loodrecht op het vlak (of het blad) staat. Draai nu de tekendriehoek rond a totdat hij ook loodrecht staat op b .

Je merkt dat t nu wel loodrecht op het vlak staat. kenmerk loodrechte stand rechte - vlak in woorden: Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als ze loodrecht staat op twee snijdende rechten van dat vlak. in symbolen:

a,b ⊂ α p ⊥a

en {S} = a ∩ b en p ⊥ b

⇐⇒ p ⊥ α

a S

α

b p

101

6 Loodrechte stand van twee vlakken Als de hoek van twee vlakken 90° is, zeggen we dat de twee vlakken loodrecht op elkaar staan.

Zo zie je dat alle zijvlakken van de balk ofwel evenwijdig zijn, ofwel loodrecht op elkaar staan.

F Het bovenvlak (EFGH) staat loodrecht op het voorvlak (AEHD).

G

E

vl(EFGH) ⊥ vl(AEHD) Merk op dat de rechte AE een loodlijn is op dat bovenvlak.

H B

Je kunt ook nagaan dat alle vlakken die de rechte AE bevatten loodrecht zullen staan op het bovenvlak.

C

A

loodrechte vlakken

D

in woorden: Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als het ene vlak een loodlijn op het andere vlak omvat. in symbolen:

α ⊥ b ⟺ ∃ a : a ⊂ α en a ⊥ b Twee vlakken die loodrecht op elkaar staan, noemen we loodvlakken.

α

a

b

7 Enkele eigenschappen

In de balk bovenaan staat het grondvlak (ABCD) loodrecht op het voorvlak (AEHD). Maar ook het bovenvlak (EFGH) staat loodrecht op het voorvlak (AEHD). Wat weet je over de onderlinge ligging van het bovenvlak en het grondvlak? eigenschap 1 Een vlak dat loodrecht staat op een ander vlak, staat ook loodrecht op elk daarmee evenwijdig vlak.

α ⊥ b en b ⫽ g ⟹ α ⊥ g a

α b In de balk bovenaan staan de vlakken (AEFB) en (AEHD) loodrecht

g

op het grondvlak. Wat weet je over de onderlinge ligging van de snijlijn van het vlak (AEFB) met het vlak (AEHD) en het grondvlak? eigenschap 2 De snijlijn van twee loodvlakken op eenzelfde vlak staat loodrecht op dat vlak.

α ⊥ g en b ⊥ g en α ∩ b = d

⟹

d ⊥g

Nog steeds in dezelfde balk staat EH ⊥ vl(AEFB),

d

want EH ⊥ … en EH ⊥ … ⟹ EH ⊥ vl(AEFB).

α

Ook in deze figuur staat GC ⊥ vl(ABCD), want GC ⊥ … en GC ⊥ … ⟹ GC ⊥ vl(ABCD).

Maar: vl(AEFB) ⊥ vl(ABCD) Waarom?

En EH ⊥ GC. Waarom? g 102

b

Ruimtemeetkunde

eigenschap 3 Staan twee vlakken loodrecht op elkaar, dan staan twee rechten die respectievelijk loodrecht staan op die vlakken, ook loodrecht op elkaar.

α ⊥ b en a ⊥ α en b ⊥ b ⟹ a ⊥ b Ook het omgekeerde van de eigenschap is waar.

α

eigenschap 4

a

Staan twee rechten loodrecht op elkaar, dan staan twee vlakken die b

respectievelijk loodrecht op die rechten staan, ook loodrecht op elkaar. a ⊥b

en α ⊥ a

en

b⊥b

⟹ α⊥b

b

8 Samenvatting •

Je weet hoe je de hoek van twee rechten moet vinden in de ruimte.

1

b

a a′

2 •

S

a ⊥ b ⇐⇒ a , b = 90 ◦

, b a , b = a met a a en a ∩ b = {S} en a , b 90 ◦

Je weet dat een rechte loodrecht staat op een vlak als en slechts als ze loodrecht staat op elke rechte van dat vlak.

•

Je weet dat twee vlakken loodrecht staan op elkaar als en slechts als het ene vlak een loodlijn op het andere vlak omvat.

•

Je kent de eigenschappen i.v.m. de loodrechte stand van een rechte en een vlak.

1

Er bestaat juist één loodlijn uit een punt op een vlak.

2

Er bestaat juist één loodvlak uit een punt op een rechte.

3

Loodlijnen op eenzelfde vlak zijn evenwijdig.

4

Loodvlakken op eenzelfde rechte zijn evenwijdig.

5

Staat een van twee evenwijdigen loodrecht op een vlak, dan staat ook de andere rechte loodrecht op dat vlak.

6

Staat een van twee evenwijdige vlakken loodrecht op een rechte, dan staat ook het andere vlak loodrecht op die rechte.

•

Je kent het kenmerk van loodrechte stand van een rechte en een vlak.

Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als ze loodrecht staat op twee snijdende rechten van dat vlak.

•

Je kent de eigenschappen i.v.m. de loodrechte stand van twee vlakken.

1

Een vlak dat loodrecht staat op een ander vlak, staat ook loodrecht op elk daarmee evenwijdig vlak.

2

De snijlijn van twee loodvlakken op eenzelfde vlak staat loodrecht op dat vlak.

3

Staan twee vlakken loodrecht op elkaar, dan staan twee rechten die respectievelijk loodrecht staan op die vlakken, ook loodrecht op elkaar.

4

Staan twee rechten loodrecht op elkaar, dan staan twee vlakken die respectievelijk loodrecht op die rechten staan, ook loodrecht op elkaar.

103

3

9 Oefeningen 1

Twee vlakken α en b staan loodrecht op elkaar. We snijden α en b met een derde vlak g en we noemen a en b de snijlijnen. Geldt a ⊥ b ?

2

We beschouwen de loodlijnen a en b uit een punt P op twee snijdende vlakken α en b met snijlijn d .

Wat besluit je van de stand van het vlak van die twee loodlijnen t.o.v. de rechte d ?

Verklaar je antwoord. d

a

b

α

b

P

3

Welke van de volgende uitspraken zijn altijd waar? Welke uitspraken zijn soms waar (geef dan een concreet voorbeeld) en welke uitspraken zijn nooit waar? Formuleer telkens in woorden wat er staat. a

α ⊥ b en b ⊥ g ⟹ α ⊥ g

b a ⊥ α en α ⊥ b ⟹

a ⫽b

a ⫽ α en b ⊥ α ⟹

b⊥a

c

d a ⫽ b en α ⊥ a en b ⊥ b

4

⟹

⟹

α⫽b

e

d ⊥ f en e ⊥ f

d ⊥e

f

a, b ⊂ α en a ⫽ b en d ⊥ a en d ⊥ b

g

d ⊥ f en d ⊥ e ⟹

⟹

d ⊥α

e ⫽f

Onderzoek of de volgende uitspraken waar of vals zijn. Controleer met ICT. Tip: maak een schets om je redenering te ondersteunen, bijvoorbeeld in een kubus of balk. a

Staan twee vlakken loodrecht op elkaar en trek je door een punt van het ene vlak de loodlijn op de snijlijn van beide vlakken, dan staat die loodlijn loodrecht op het andere vlak.

b Staan twee vlakken loodrecht op elkaar en trek je door een punt van het ene vlak de loodlijn op het andere vlak, dan ligt die loodlijn in het eerste vlak. c

Als twee loodrechte vlakken gesneden worden door een derde vlak, dan staan de snijlijnen ook loodrecht op elkaar.

d Als een rechte loodrecht staat op de snijlijn van twee vlakken, dan staat ze loodrecht op beide vlakken. e

Door een punt, niet op een rechte gelegen, bestaan er verschillende loodlijnen op die rechte die de gegeven rechte loodrecht snijden of kruisen.

104

Ruimtemeetkunde

5

Toon aan dat AF ⊥ vl(BEHC) in deze kubus.

F

G

E

H

B A

6

C D

Bewijs dat de diagonaalvlakken van de balk loodrecht staan op elkaar als AEFB een vierkant is. Controleer met ICT. F

G

E

H

B

A

7

D

EFGH

Gegeven:

kubus

Gevraagd:

Waar of vals? Verklaar je antwoord. a

C

ABCD

AC ⊥ FH

G

F H

E

b BD ⊥ BF c

AC ⊥ vl( BFH)

d vl( ABC) ⊥ vl( BDH) B

C

A

8

D

Zijn volgende uitspraken altijd waar, soms waar of nooit waar?

EFGH .

Illustreer met een voorbeeld aan de hand van kubus ABCD G

F a

Als een rechte loodrecht staat op een vlak, dan staat ze loodrecht op elke rechte van dat vlak.

H

E

b Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde vlak, dan zijn die rechten evenwijdig. c

B

Twee rechten die loodrecht staan op eenzelfde derde rechte zijn

C

onderling evenwijdig.

A d Als twee evenwijdige vlakken loodrecht staan op eenzelfde derde vlak,

D

dan zijn de snijlijnen ook evenwijdig. e

Als twee vlakken loodrecht staan op elkaar, dan staat elke rechte van het ene vlak loodrecht op het andere vlak.

105

3

9

Toon aan dat FD ⊥ AC. G

F H

E

B A

10

C D

In de kubus hiernaast zijn twee rechten a en b getekend die elk door 2 hoekpunten gaan.

Er geldt: (A)

a en b zijn snijdend met een snijpunt binnen de kubus.

(B)

a en b zijn snijdend met een snijpunt buiten de kubus.

(C) a en b zijn evenwijdig.

(D) a en b zijn kruisend, maar niet loodrecht kruisend.

(E)

a

a en b zijn loodrecht kruisende rechten.

Controleer met ICT.

b

VWO 2010 eerste ronde, vraag 10 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

11

Er is ’s middags een gezellige drukte in de bijenkast. Tegen de avond komt nog eens de helft van het oorspronkelijke aantal aanwezige bijen aangevlogen. Even later komt daar nog eens de helft van het op dat moment aanwezige aantal bijen bij. Als datzelfde nog één keer gebeurt, telt de kast 50 625 bijen. Hoeveel bijen waren er in het begin ’s middags aanwezig in de bijenkast?

106

Ruimtemeetkunde

Vaardigheden | Wiskundige taalvaardigheid Mooi zo! Je hebt weer heel wat nieuwe en nuttige begrippen geleerd die netjes passen in je wiskundige rugzak.

In de volgende puzzel zoeken we begrippen die je in dit boek zeker terugvindt.

FASE 1:

Zoek de namen van de begrippen die we zoeken. De eerste letter krijg je cadeau.

FASE 2:

Zoek al je antwoorden in het rooster onderaan (zowel horizontaal, verticaal als diagonaal in beide richtingen). Elk vakje met een letter van een gevonden woord kleur je groen.

FASE 3:

De letters in de niet-ingekleurde vakjes vormen een vraagzin. Gevonden? Beantwoord dan ook die vraag.

C ___________

De ... van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische cirkel.

C ___________

Omgekeerde van de tangens van een hoek (als die niet 0 is).

C ___________

Perspectief waarbij schuine zijden half zo lang zijn als in werkelijkheid en getekend worden met een hoek van 45°.

C ___________

Zo noem je punten die tot hetzelfde vlak behoren.

C ___________

Zo zijn rechten die door eenzelfde punt gaan.

C ___________

Zo noem je twee hoeken die samen 90° vormen.

I ____________

Het product van de normen van twee vectoren met de cosinus van hun ingesloten hoek.

L ___________

Vormen een hoek van 90°.

N ___________

Lengte van een vector.

S ___________

De ... van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische cirkel.

S ___________

Zo noem je twee hoeken die samen 180° vormen.

V ___________

Lijnstuk met een oriëntatie.

N

O

R

M

H

O

E

V

E

V

S

E

L

I

V

R

I

A

N

A

L

P

O

C

U

E

E

R

N

T

C

O

N

C

U

R

R

E

N

T

S

C

C

P

H

H

I

L

L

E

N

D

I

E

D

I

A

T

R

C

G

O

N

A

A

L

S

V

L

A

K

K

E

O

E

N

C

A

V

A

L

I

E

R

E

H

E

E

D

R

F

S

U

N

I

S

O

C

T

E

E

N

K

U

D

U

S

N

E

G

N

A

T

O

C

B

U

S

C

O

C

O

M

P

L

E

M

E

N

T

A

I

R

T

O

R

I

A

T

N

E

M

E

L

P

P

U

S

?

L

107

3

ik ken het !

❒

Ik kan een driedimensionale situatie voorstellen op een tweedimensionale manier.

71

 

❒

Ik ken de betekenis van collineaire punten, concurrente rechten en coplanaire punten.

75

 

❒

Ik weet hoe een vlak bepaald wordt.

76

 

❒

Ik kan de onderlinge ligging van twee rechten onderzoeken.

77

 

❒

Ik kan de onderlinge ligging van een rechte en een vlak onderzoeken.

78

 

❒

Ik kan de onderlinge ligging van twee vlakken onderzoeken.

79

 

❒

Ik ken de eigenschappen in verband met rechten, vlakken en onderlinge evenwijdigheid.

90

 

❒

Ik kan de loodrechte stand van twee rechten in ruimtelijke situaties onderzoeken en visualiseren.

99

 

99

 

❒

Ik kan de loodrechte stand van een rechte en een vlak in ruimtelijke situaties onderzoeken en visualiseren.

oké voor examen

pagina

Ruimtemeetkunde

dit moet ik leren

WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?

3

❒

Ik ken de eigenschappen in verband met rechten en vlakken en hun onderlinge loodrechte stand.

100

 

❒

Ik ken het kenmerk van de loodrechte stand rechte-vlak.

101

 

❒

Ik ken de betekenis van vlakken die loodrecht op elkaar staan.

102

 

❒

Ik ken de eigenschappen in verband met de loodrechte stand van vlakken.

102

 

108

Ruimtemeetkunde

Naam

Klas

1

Nummer

Gegeven: balk

Datum

Totaal

Punten

Orde / Stiptheid

Correctheid

EFGH

…… / 3

ABCD

M is het midden van [ EG] G

F M H

E

B C A

D

Gevraagd: Zijn volgende uitspraken juist of fout? a

DF snijdt EG

b EG ⫽ vl( AFH) c

AE snijdt CM

d vl( FMG) ⊥ DH

2

e

MF kruist HD

f

vl( EGD) snijdt vl( EFG)

…… / 2

Zijn onderstaande uitspraken juist of fout?

Illustreer telkens aan de hand van vlakken en/of rechten EFGH . bepaald door de kubus ABCD

G

F H

E

B A a

C

D

a ⊂ α en a ⫽ b ⟹ α ⫽ b

b a ⊥ α en b ⊥ α ⟹ a ⫽ b

109

HERHALINGSOEFENINGEN

3

3

…… / 2

Bepaal telkens het snijpunt S van de gegeven rechte met het gearceerde vlak. a

Q

F E

G

G

b

T

H P G H B

C

A

4

a

C

C B

D

Gegeven is een kubus

EFGH ABCD

D E F

A

…… / 2

.

G

F

Hoe liggen vl( AFH) en vl( DBG) ten opzichte van elkaar?

Op welke eigenschap steun je?

b Welke driehoek is ΔDBG? Waarom?

H

E

B

C

A

5

Gegeven is een kubus Gevraagd:

EFGH ABCD

D

…… / 2

.

F

construeer een vlak door AH

G

en een vlak door FD zodanig dat die vlakken loodrecht op elkaar staan.

H

E

B

A 110

C

D