Guía Teórica. U3.1
DERIVACIÓN Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica de la derivada. Reglas de Derivación. Derivadas de orden superior. Regla de L´Hopital.
A. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. La derivada de una función 𝑓(𝑥) es la función denotada por 𝑓´(𝑥) y definida por:
Siempre que el límite exista. Dada una función 𝑦 = 𝑓´(𝑥), si 𝑓´(𝑥) existe se dice que 𝑓 es diferenciable o derivable y 𝑓´(𝑥) se llama la derivada de 𝑓 en 𝑥. El proceso que se usa para encontrar la derivada de una función se llama diferenciación ó derivación. La derivada de 𝑓 en 𝑥 se puede notar con cualquiera de las siguientes expresiones: 𝒅𝒚 ; 𝒅𝒙
𝑫𝒙 𝒚
; 𝒚´
; 𝒇´(𝒙) ;
𝒅𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
B. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Si la derivada 𝑓´(𝑥) se puede evaluar en un punto específico (𝑥 = 𝑥1 ); 𝑓´(𝑥1 ) se llama derivada de 𝑓 en 𝑥1 , y se define así:
𝑓(𝑥1 + ℎ) − 𝑓(𝑥1 ) ℎ→0 ℎ
𝑓´(𝑥1 ) = lim
Si el límite existe se dice que 𝑓es diferenciable en 𝑥1 .
C. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO Dada 𝑓(𝑥) una función definida en un intervalo abierto o cerrado, se define su derivada teniendo en cuenta lo siguiente: En el intervalo (𝑎, 𝑏) 𝑓(𝑥) es diferenciable en (𝑎, 𝑏) y se puede hallar 𝑓´(𝑥) para todo 𝑥 en (𝑎, 𝑏). En el intervalo [𝑎, 𝑏] 𝑓(𝑥) es diferenciable en [𝑎, 𝑏], si es derivable en el intervalo abierto (𝑎, 𝑏) y si existe la derivada por derecha de 𝑎 y la derivada por izquierda de 𝑏. Esto es si existen: lim+
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) ∧ ℎ
lim−
ℎ→0
𝑓(𝑏 + ℎ) − 𝑓(𝑏) ℎ
D. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA La derivada es una herramienta del Cálculo Diferencial muy útil dentro de la Geometría Analítica, alguna de sus interpretaciones se muestran a continuación:
a. Rectas Secantes La ecuación
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ
con ℎ = 𝑥1 − 𝑥
determina la pendiente de la recta secante a 𝑓(𝑥) que pasa por los puntos (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥1 , 𝑓(𝑥1 )).
b. Rectas Tangentes La pendiente de la recta tangente a la curva 𝑓(𝑥) en el punto de coordenadas (𝑥, 𝑓(𝑥)) es 𝑓´(𝑥). Es decir, la derivada de la una función 𝑓(𝑥) se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente a 𝑓(𝑥) en el punto (𝑥, 𝑓(𝑥)).
c. Rectas Normales Dada 𝑓(𝑥) se dice que la pendiente de la recta normal a dicha función en el punto P, viene dada por la siguiente expresión:
𝑚𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = −
1 𝑓´(𝑥)
Además, la ecuación de esta normal es: 𝑦 − 𝑦1 = −
1 𝑓´(𝑥)
(𝑥 − 𝑥1 )
E. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. Es importante tener presente las siguientes observaciones: Si 𝑓´(𝑥) existe, entonces 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥.
Si una función 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 𝑎, entonces la función no siempre es derivable en dicho punto. Existen funciones no continuas y no derivables. En el modelaje de procesos naturales que son aleatorios y caóticos, aparecen curvas que no son derivables en ningún punto, como es el caso de la trayectoria de una molécula de agua en un vaso de vidrio, o las costas de Maine y de Washington. También hay funciones que son discontinuas y por tanto no derivables en un punto o intervalo, para saberlo se debe comprobar su diferenciación en dicho intervalo, como la función 𝑔(𝑥) =
1 𝑥−2
que no derivable en 𝑥 = 2, y la función de Dirichlet,
definida como: 𝑓(𝑥) = 1, 0,
𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑥 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
que no tiene límite en ningún punto, por tanto no es diferenciable en ningún punto.
Costa de Washington
F. REGLAS DE DERIVACIÓN. En el siguiente recuadro se resumen las principales reglas de derivación: Derivada de una Función Funciones Algebraicas
Funciones Trascendentes
Regla de la Constante 𝑓(𝑥) = 𝑐 ⇒ 𝑓´(𝑥) = 0
Logarítmicas
Regla de la Potencia 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 ⇒ 𝑓´(𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1 Regla de Variable 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝑓´(𝑥) = 1 Regla de la Raíz Cuadrada 1 𝑓(𝑥) = √𝑥 ⇒ 𝑓´(𝑥) = 2 √𝑥 Regla de la Raíz Cúbica 1 3 𝑓(𝑥) = √𝑥 ⇒ 𝑓´(𝑥) = 3 3√𝑥 2 Regla del Múltiplo Constante 𝑡(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥) ⇒ 𝑡´(𝑥) = 𝑐𝑓´(𝑥) Regla de la Suma y la Resta 𝑡(𝑥) = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) ⇒
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥) = log 𝑏 𝑥 ⇒
1 𝑓´(𝑥) = 𝑥 1 1 𝑓´(𝑥) = ∙ 𝑥 ln 𝑏
Exponenciales 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ⇒ 𝑓´(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 ⇒
𝑓´(𝑥) = 𝑎 𝑥 ln 𝑎
Trigonométricas 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 ⇒ 𝑓´(𝑥) = cos 𝑥 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 ⇒ 𝑓´(𝑥) = −sen 𝑥 𝑓(𝑥) = tg 𝑥 ⇒ 𝑓´(𝑥) = sec 2 𝑥 𝑓(𝑥) = csc 𝑥 ⇒
𝑓´(𝑥) = −csc𝑥 ctg 𝑥
𝑓(𝑥) = sec 𝑥 ⇒ 𝑓´(𝑥) = sec 𝑥 tg 𝑥 𝑓(𝑥) = ctg 𝑥 ⇒ 𝑓´(𝑥) = −csc 2 𝑥
𝑡´(𝑥) = 𝑓´(𝑥) ± 𝑔´(𝑥)
Regla del Producto 𝑡(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑐) ⇒ 𝑓´(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑔´(𝑥)𝑓(𝑥)
Regla del Cociente 𝑓(𝑥) 𝑡(𝑥) = ⇒ 𝑔(𝑥) 𝑓´(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑔´(𝑥)𝑓(𝑥) 𝑡´(𝑥) = [𝑔(𝑥)]2
Trigonométricas Inversas 𝑓(𝑥) = arcsen 𝑥 ⇒
𝑓´(𝑥) =
𝑓(𝑥) = arccos 𝑥 ⇒
𝑓´(𝑥) =
𝑓(𝑥) = arctg 𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥) = arccsc 𝑥 ⇒
1 √1 − x 2 −1 √1 − x 2
𝑓´(𝑥) = 𝑓´(𝑥) =
1 1 + 𝑥2 −1
|𝑥|√𝑥 2 − 1
Funciones Compuestas
𝑓(𝑥) = arcsec 𝑥 ⇒
Regla de la Cadena 𝑑 𝑑 [(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)] = [𝑓(𝑔(𝑥))]𝑔´(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑓´(𝑥) =
𝑓(𝑥) = arcctg 𝑥 ⇒
1
|𝑥|√𝑥 2 − 1 −1 𝑓´(𝑥) = 1 + 𝑥2
𝑑 [𝑔(𝑥)]𝑛 = 𝑛[𝑔(𝑥)]𝑛−1 𝑔´(𝑥) 𝑑𝑥 Derivada de una Función dada por sus
Derivada de Funciones Implícitas
ecuaciones paramétricas
Si 𝑥 = 𝑓(𝑡) ∧ Si 𝑦 = 𝑓(𝑥), considerar 𝑦´ =
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑔(𝑡), considerar 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡
G. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. La derivada de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es, en general una función de 𝑥, y como tal, puede admitir derivada. La derivada mencionada al comienzo recibe el nombre de primera derivada de la función y se representa, como ya se indicó, por: 𝑦´ = 𝑓´(𝑥) =
𝑑𝑦 𝑑𝑥
.
Si la primera derivada es a su vez una función derivable, su derivada se denomina: derivada segunda ó segunda derivada de la función
original,
y
se
representa
nomenclaturas: 𝑦´´ = 𝑓´´(𝑥) =
𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2
mediante
las
siguientes
.
La derivada de esta segunda derivada, si existe, es la tercera derivada
de
la
función.
Este
proceso
puede
continuarse
indefinidamente hasta obtener la derivada de cualquier orden “n”.
H. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN. Dada la función 𝑦 = 𝑓(𝑥), se define: dx, que se lee “diferencial de equis” por la relación 𝑑𝑥 = ∆𝑥 dy, que se lee “diferencial de ye” por la relación 𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 Es decir, el diferencial de una variable independiente es, por definición, el incremento que experimenta; pero el diferencial de una variable dependiente, o función, no es igual a su incremento, sino a la derivada de la función multiplicada por el diferencial de equis. I. PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON DERIVADAS. Dentro de las múltiples aplicaciones de las derivadas, se toman las siguientes: a. Problemas de Razón de Cambio. Para resolver estos tipos de problemas, se sugieren los siguientes pasos: 1. Dibujar un diagrama si es posible, e introducir la notación adecuada. 2. Escribir una ecuación que relacione las diferentes cantidades el problema. 3. Derivar las ecuaciones respecto al tiempo para hallarla relación entre las razones de cambio de las cantidades
4. Resolver la ecuaciones o las ecuaciones. Pueder ser necesario referirse a la ecuación original para hacer sustituciones correctas en la ecuación final. b. Problemas de Optimización. Aunque los problemas son variados y no hay un procedimiento general para resolverlos, a continuación se plantea una estrategia: 1. Trazar un esquema, cuando sea posible, para ilustrar el problema. 2. Escribir
la
expresión
algebraica
de
la
función
teniendo en cuenta los datos. 3. Si la función depende de más de una variable, se deben buscar relaciones para expresar en función de una sola. 4. Hallar los números críticos de la función obtenida y determinar
cuáles
son
máximos
y
cuáles
son
mínimos (utilizando el criterio de la primera y segunda derivada) 5. Verificar si algún valor extremo de la función se alcanza en alguno de los extremos del dominio. c. Problemas de Movimiento Rectilíneo. Para resolver estos tipos de problemas, se sugiere considerar lo siguiente: 1. La velocidad es la primera derivada de la posición con respecto al tiempo. 2. La aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo.
J. REGLA DE L´HOPITAL. Esta regla fues propuesta por el matemático francés
Guillaume
Francois
L´Hopital(1661-1704),
también
Antoine llamado
de el
marqués de Saintemesme, es conocido por ser el noble que escribió el primer texto de cálculo. La regla es válida para resolver límites laterales y límites en el infinito aplicando las reglas de derivación.
a. Caso cero sobre cero Sea 𝑎 un número y sean 𝑓 y 𝑔 derivables sobre algún intervalo abierto (𝑎, 𝑏). Supongamos además que 𝑔´(𝑥) es distindo de cero en todo 𝑥 de ese intervalo Si lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 0
∧
lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 0 , entonces
𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑎) = 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑔´(𝑎) lim
b.
Caso infinito sobre infinito
Sean 𝑓 y 𝑔 definidas y derivables para todos los 𝑥 mayores que cierto número fijo. Si lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = ∞
∧
lim𝑥→∞ 𝑔(𝑥) = ∞ , entonces
𝑓(𝑥) 𝑓´(𝑎) = lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔´(𝑎) lim
Científicos en guerra: Newton, Leibniz y el cálculo infinitesimal Antonio J. Durán. (16/agosto/2017) La pelea mostró al Newton colosal, vengativo y complejo; nos mostró al científico, aunque leyendo entre líneas se puede advertir también al mago y, sobre todo, al místico. La disputa más célebre de la historia de la ciencia la protagonizaron Isaac Newton y Gottfried Leibniz hace 300 años. El objeto de la ardua pelea, que marcó el procedimiento para resolver –o al menos intentarlo– conflictos posteriores de este tipo, fue determinar la prioridad en el descubrimiento del cálculo infinitesimal. En esta polémica, Newton estableció la después tan repetida sentencia: "Los segundos inventores no tienen derechos" El cálculo infinitesimal es una herramienta científica y tecnológica de primer nivel, sin duda la más potente y eficaz para el estudio de la
naturaleza
que
hayan
desarrollado
los
matemáticos. Se considera que Newton y Leibniz lo descubrieron porque: (1) sintetizaron dos conceptos, que hoy denominamos derivada e integral, (2) desarrollaron manejarlos,
las (3)
herramientas
mostraron
que
que
permiten
son
conceptos
inversos –a esto se le llama el teorema fundamental del cálculo–, y (4) enseñaron cómo utilizarlos para resolver de forma unificada un enorme catálogo de problemas
que
hasta
entonces
habían
venido
estudiándose caso a caso. El cálculo infinitesimal convierte en meros ejercicios que podría resolver un estudiante de Bachillerato problemas que, hasta entonces, para su solución necesitaron del genio de un Arquímedes, un Galileo, un Fermat o un Pascal. El objeto por el que Newton y Leibniz disputaron merecía desde luego la pelea. La polémica fue áspera, y muy sucia por momentos. Reflejó la singularidad de sus protagonistas y puso de manifiesto algunas de las más apasionantes complejidades de estos dos genios de la ciencia y el pensamiento. La pelea mostró al Newton colosal, vengativo y complejo; nos mostró al científico, aunque leyendo entre líneas se puede advertir también al mago y, sobre todo, al místico. En los escritos que Newton dedicó al tema, se escenifica una especie de adelanto del juicio final donde cada cual rinde cuentas y son sus hechos pasados los que lo salvan o condenan. Percibimos, casi en cada palabra que Newton escribió sobre la controversia, la profunda religiosidad con que Newton entendía cada hecho de la vida, incluido el hecho científico. Mientras Newton, «cuando atacaba, agachaba la cabeza y cargaba», Leibniz fue más sibilino e incisivo, aunque menos obsesivo e, incluso, se permitió bromear sobre el asunto de la polémica. La guerra científica finalizó con la muerte de Newton en 1727, y no llegó a aclarar cabalmente la cuestión de la prioridad; entre otras cosas porque algunos documentos fundamentales no fueron de dominio público hasta siglos después de acabada la contienda. Lo cierto es que Newton y Leibniz habían descubierto el cálculo de forma independiente. Newton entre 1666 y 1669, y para 1671 ya tenía escritos dos libros. Los dio a conocer sólo a un grupo de colegas, pero no los publicó –le daba pánico que sus obras pudieran ser criticadas–; de hecho el primer de esos libros no se publicó hasta 1704 y el segundo hasta 1736 –¡nueve años después de muerto Newton!–. Leibniz descubrió el cálculo unos años más tarde que Newton, entre 1675 y 1676, en los dos últimos de los casi cinco años que pasó en París. Pero publicó sus descubrimientos antes, en 1684 y 1686. Las versiones del cálculo de Newton y Leibniz fueron conceptualmente distintas, y sus conceptos fundamentales ligeramente diferentes a los nuestros. Lo que hace tan versátil al cálculo infinitesimal es la gran variedad de procesos matemáticos, físicos, tecnológicos, económicos y de otra muy diversa índole que se modelizan con derivadas e integrales. La derivada es, por ejemplo, un concepto fundamental de la física, pues da cuenta de velocidades y aceleraciones instantáneas, y fuerzas. Otro ejemplo, de muchos posibles, de la versatilidad del cálculo lo vemos cuando nos hacen una resonancia magnética o una tomografía. Esos procedimientos consisten en ondas que entran y salen de nuestro cuerpo y, en cierta forma, lo que cada onda hace cuando nos atraviesa es una integral, cuyo valor es la diferencia de intensidad con la que la onda sale después de habernos atravesado respecto de la que tenía al entrar; lo que la máquina hace es adivinar el interior de nuestro cuerpo teniendo en cuenta los valores de todas esas integrales.
Materiales Consultados:
Álvarez, Perozo, Bautista y otros (2008). Asapchi (2000). Díaz Gómez (2005)
Araujo, Y. (2019). Selección de Ejercicios y Problemas de Matemáticas de 4to año. Caracas: Colegio Santo Tomás de Aquino.