Universidad Central de Venezuela Facultad de Medicina Escuela de Bioanálisis Cátedra de Matemática y Bioestadística Asignatura: Matemática I
Guía Teórica. U1.2
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Función Exponencial: características principales. Aplicaciones de la función exponencial. Función Logarítmica: características principales. Aplicaciones de la función logarítmica.
PROF. Y. ARAUJO
Función Exponencial: características principales. Algunas características principales de la FUNCIÓN EXPONENCIAL son:
Dados 𝑎 > 0 y x un número real, (𝑎 ∈ ℝ+ , 𝑥 ∈ ℝ), la función exponencial de base a se define como: 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
Como x puede tomar cualquier valor real, el dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales, ℝ: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ
Como 𝑎 > 0, el valor de la función es positivo, independientemente del valor de x, luego, el rango de la función exponencial es el conjunto de los reales positivos ℝ+ : 𝑅𝑔𝑜(𝑓) = ℝ+
Cuando 𝑎 = 𝑒 ≅ 2,71828, 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 se denomina función exponencial natural.
Algunas aplicaciones de la función exponencial. Son múltiples las aplicaciones que tiene la función exponencial en las ciencias, sin duda es una estupenda herramienta matemática que ayuda a describir y estudiar muchos comportamientos naturales y sociales; algunas de ellas se describen a continuación: 1. QUÍMICA, BIOLOGÍA: El número de partículas que emite una sustancia radioactiva viene dado por la función 𝑁(𝑡) = 𝑁𝑜 ∗ 𝑒 −𝛼𝑡 . 𝛼 es una constante que depende del material y las condiciones particulares. La misma ecuación se aplica para el crecimiento de células en su etapa exponencial. 2. MEDICINA, CIENCIAS DE LA SALUD: Los artefactos médicos empleados por los pediatras para calcular la estatura de un niño entre los 3 meses y los 6 años 𝑒
de
3,261−0,993𝑥
edad,
utilizan
la
función
exponencial
ℎ = 79,041 + 6,39𝑥 −
, donde x es la edad del infante expresada en años y h la altura
expresada en centímetros.
MATEMÁTICA I - PROF. ARAUJO - BIOANÁLISIS UCV
Para manejar el concepto de función logarítmica es conveniente recordar la forma logarítmica:
Algunas propiedades sobre los logaritmos se ilustran a continuación:
La FUNCIÓN LOGARÍTMICA es la función
inversa de la función exponencial, llamaremos
función
logarítmica
de
base “a” a la función f: ℝ → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ∈ ℝ+ − {1}. +
Cuando la base es 10, se llama función logarítmica decimal y se denota así: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥; cuando la base es e, se llama función logarítmica natural y se denota así: 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥.
PROPIEDADES GENERALES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 1. El dominio de la función logarítmica es 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑥 ∈ (0, ∞). La variable sólo puede tomar valores positivos, es decir, no existen los logaritmos de los números negativos y del cero. 2. El rango comprende todo el conjunto de los números reales. 𝑅𝑔𝑜(𝑓) = 𝑦 ∈ ℝ. 3. La curva logarítmica pasa siempre por el punto (1,0), lo que quiere decir que el logaritmo en cualquier base de la unidad es siempre cero. 4. La curva logarítmica pasa por el punto (a,1), lo que quiere decir que el logaritmo de la base es igual a la unidad.
Algunas aplicaciones de la función LOGARÍTMICA. Son múltiples las aplicaciones de los logaritmos en general en muchos campos de estudios de ciencias naturales y sociales, incluso poseen gran importancia en los estudios superiores. Para el nivel del presente curso, se tomarán algunas de las más elementales: 1. FÍSICA: La Ley de Enfriamiento de Newton. 2. BIOLOGÍA: Es muy común cuando se busca determinar las funciones del crecimiento bacteriano (Como la Escherichia coli) y la y la concentración de las sustancias psicotrópicas o medicamentos en el torrente sanguíneo.
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3. ARQUEOLOGÍA-BIOLOGÍA: Es muy útil en la estimación de la edad de los
fósiles, gracias a que la cantidad de carbono 12 permanece en el organismo aún después de miles de años muerto y que las plantan fijan el carbono 14 y 12 en la misma proporción que está en el aire, lo esto permite predecir la cantidad inicial de carbono 14, asumiendo que la composición del aire ha permanecido en el tiempo. 4. QUÍMICA: En este campo son muy numerosas las aplicaciones, las principales son el cálculo de (pH) y la el decrecimiento de las sustancias radioactivas.
PROPIEDADES PARTICULARES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA SI 𝑎 > 1 1.
Si 0 < 𝑎 < 1
La función logarítmica es
1. La
función
logarítmica
es
positiva en el intervalo (1, ∞) del
negativa en el intervalo (1, ∞) del
dominio. Esto significa que los
dominio. Esto significa que los
números mayores que la unidad
números mayores que la unidad
tienen logaritmo 𝑥 > 1 ↔ log 𝑎 𝑥 > 0
positivo.
tienen logaritmo 𝑥 > 1 ↔ log 𝑎 𝑥 < 0
2.
(0,1)
En
el
intervalo
la
2.
negativo.
En el intervalo (0,1) la función
función es negativa. Los números
es positiva. Los números menores
menores que la unidad tienen
que la unidad tienen logaritmos
logaritmos negativos. 1 ↔ log 𝑎 𝑥 < 0
positivos. 0 < 𝑥 < 1 ↔ log 𝑎 𝑥 > 0
0<𝑥<
3.
La función logarítmica es 3. La función logarítmica es creciente: mientras mayor es el decreciente: mientras mayor es número, mayor es su logaritmo. el número, menor es su logaritmo.
Cátedra de Matemática y Bioestadística. Ciudad Universitaria de Caracas, 2022
Materiales Consultados:
Larson, R. & Hostetler, R. (2006): Cálculo con geometría analítica. 8va edición. Mc Graw Hill.
Araujo, Y. (2019). Selección de Ejercicios y Problemas de Matemáticas de 4to año. Caracas: Colegio Santo Tomás de Aquino.