Guía Teórica. U2.2
CONTINUIDAD Definición de Continuidad. Condiciones de Continuidad en un punto Propiedades de la Continuidad. Tipos de Discontinuidad.
A. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) se dice que es continua para el valor de 𝑥0 = 𝑥0 (o en el punto 𝑥 = 𝑥0 ), si está definida en cierto entorno del punto 𝑥0 (incluido dicho punto) y si lim∆𝑥→0 ∆𝑦 = 0. (Piskunov, 1978) De esta definición se deduce que la gráfica de una función continua en un intervalo consta de una curva ininterrumpida.
B. CONDICIONES DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO. Las condiciones que debe cumplir o satisfacer una función 𝑓(𝑥) para que sea continua en un punto "𝑎" son:
𝑓(𝑎) existe, es decir, “𝑎” pertenece al dominio de 𝑓.
El límite existe, es decir, lim𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
C. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ABIERTO. Una función es continua en un intervalo abierto (a,b), si es continua en cada punto del intervalo. Una función continua en la recta de los número reales enteros (-∞, ∞), es continua en todas partes. De modo informal, se podría decir que una función es continua en un intervalo abierto si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. (Larson et. al, 2006) D. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO. Una función 𝑓(𝑥) es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] si es continua en el intervalo abierto (𝑎, 𝑏) y se cumple: lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎+
∧
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏)
𝑥→𝑏−
E. PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD Si "𝑏" es un número real y 𝑓 ∧ 𝑔 son funciones continuas en 𝑥 = 𝑐, entonces las siguientes funciones también son continuas en c: 1. Múltiplo escalar: 𝑏𝑓 2. Suma y diferencia: 𝑓 ± 𝑔
3. Producto: 𝑓𝑔 𝑓 4. Cociente: , (con 𝑔(𝑐) ≠ 0) 𝑔
Larson et al. (2006) nos reseña lo siguiente sobre la continuidad de las funciones frecuentes:
F. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA. Si 𝑔 es una función continua en “c” y 𝑓 es una función continua en 𝑔(𝑐), entonces la función compuesta dada por (𝑓 ○ 𝑔)(𝑥) es continua en “c”. G. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO. Si 𝑓 es continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y 𝑘 es cualquier número entre 𝑓(𝑎) ∧ 𝑓(𝑏), existe al menos un número “c” en [𝑎, 𝑏], tal que 𝑓(𝑐) = 𝑘. H. TIPOS DE DISCONTINUIDAD.
1. Discontinuidad Evitable o Esencial: se da cuando no existe la imagen, pero si existe el límite.
2. Discontinuidad no esencial o inevitable: se da en dos casos: a) cuando no existe el límite, pero si la imagen (salto de función) y b) cuando no existen ni la imagen ni el límite. I. FUNCIONES DE INTERÉS PARA ESTUDIAR CONTINUIDAD. A continuación se presentan dos funciones que representan un elemento de interés en el estudio de la continuidad. Se invita a estudiar la continuidad en los puntos de salto: 1. Función Signo: 1, 𝑠𝑖 𝑥 > 0 𝑠𝑔𝑛(𝑥) = { 0, 𝑠𝑖 𝑥 = 0 −1, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
2. Función escalón de Heaviside:
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝐻(𝑥) = { 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Materiales Consultados:
Larson, R., Hostetler, R. y Edwards, R. (2006): Cálculo con geometría analítica. 8va edición. Mc Graw Hill.
Piskunov, N.(1978): Cálculo Diferencial e Integral. Noriega Editores.
Araujo, Y. (2019). Selección de Ejercicios y Problemas de Matemáticas de 4to año. Caracas: Colegio Santo Tomás de Aquino.