Universidad Central de Venezuela Facultad de Medicina Escuela de Bioanálisis Cátedra de Matemática y Bioestadística Asignatura: Matemática I
Guía Teórica. U1.1
FUNCIONES
Definición y notación de funciones. Condiciones y cálculo de dominio y rango. Álgebra de Funciones y Funciones compuestas. Grafica de funciones notables. Transformaciones de funciones.
PROF. Y. ARAUJO
Definición y notación de funciones. La definición de función para Swokowski (1989):
Se entiende entonces, que la función es una relación entre dos conjuntos que cumplen dos condiciones: a) todos los elementos del conjunto de partida tienen imágenes en el conjunto de llegada, y b) cada elemento del conjunto de partida tiene una sola imagen en el conjunto de llegada. Larson (2006) explica sobre la Notación de Funciones que Gottfried Wilhelm
Leibniz fue el primero que empleó la palabra “función” en 1694 para denotar cualquier cantidad relacionada con una curva, como las coordenadas de uno de sus puntos o su pendiente. Cuarenta años más tarde, Leonhard Euler empleó la palabra “función” para describir cualquier expresión construida con una variable y varias constantes, fue él quien introdujo la notación 𝑦 = 𝑓(𝑥). Las funciones se pueden asociar con el funcionamiento de una máquina procesadora, tal y como se ilustra en la imagen siguiente:
Asimismo, Larson (2006) define la función real de variable real de la siguiente forma Sean X y Y conjuntos de números reales, una función real 𝑓 de una variable real “x” de X a Y es una correspondencia que asigna a cada número “x” de X exactamente un número “y” de Y.
MATEMÁTICA I - PROF. ARAUJO - BIOANÁLISIS UCV
En un diagrama sagital de la función, se pueden identificar los elementos principales de la función: dominio,
codominio,
rango,
imágenes
y
preimágenes, pero cuando se tiene la expresión analítica de la función, se deben realizar procesos analíticos para determinar el dominio y rango de una función para que esté definida dentro de las condiciones de una función real de variable real.
Para calcular el dominio de una función algebraica, se deben considerar las siguientes condiciones: Si la variable se encuentra en un denominador, entonces ésta debe ser distinta de cero.
Si la variable se encuentra en la cantidad subradical de una raíz de índice par, entonces ésta debe ser mayor o igual a cero.
En cuanto al rango, también llamado recorrido o ámbito, es el conjunto de valores que, dependiendo de los valores de la variable independiente, puede tomar la función. Para determinarlo analíticamente se despeja la variable independiente en la ecuación y se efectúa el mismo análisis empleado para determinar el dominio. No siempre el despeje es elemental, entonces se puede hacer por inspección de la gráfica o de la expresión analítica
Sobre el álgebra de funciones, Larson (2006) nos explica que es posible combinar dos funciones de varias formas para crear nuevas funciones; por ejemplo, dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 ∧ 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1, se pueden construir las siguientes funciones: (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 3) + (𝑥 2 + 1) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 2
suma
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 3) − (𝑥 2 + 1) = −𝑥 2 + 2𝑥 − 4
DIFERENCIA
(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 3)(𝑥 2 + 1) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 − 3
(𝑓/𝑔)(𝑥) =
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
PRODUCTO
(2𝑥−3)
= (𝑥 2 +1)
COCIENTE
Funciones Compuestas o composición de funciones. Dadas dos funciones 𝑓(𝑥) ∧ 𝑔(𝑥), la función compuesta de ellas, que se denota de la forma siguiente: ( 𝑓 ○ 𝑔)(𝑥) se define de la forma siguiente:
( 𝑓 ○ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥 ))
Larson (2006) nos comparte algunos gráficos de funciones notables en su forma básica que se deben manejar y conocer muy bien:
Es importante también destacar el gráfico de las funciones trascendentes exponencial y logarítmica:
Algunas familias de gráficas tienen esencialmente la misma forma, ya que pueden ser transformaciones de una misma función básica, como las que se muestran a continuación, tomadas de Larson (2006)
Las cuatro gráficas arriba representadas son transformaciones de la misma función básica 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . En forma general, los tipos de transformaciones se pueden resumir de la forma siguiente:
Cátedra de Matemática y Bioestadística. Ciudad Universitaria de Caracas, 2022
Materiales Consultados:
Larson, R. & Hostetler, R. (2006): Cálculo con geometría analítica. 8va edición. Mc Graw Hill.
Swokowski E.(1989): Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica.