Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Теорема В точках перегиба вторая производная ординаты по абсциссе равна нулю: f ( x0 ) 0
(5)
Эта теорема, однако, необратима: из того, что в некоторой точке x 0 выполняется соотношение (4), вовсе не следует, что x 0 есть точка перегиба. Рассмотрим, например, кривую y x 4 . Здесь y 12x 2 , и потому y 0 для всех x , кроме x 0 , для которого y 0 . Следовательно, наша кривая на всем своем протяжении обращена выпуклостью вверх и при x 0 никакого перегиба не имеет, хотя для этого x и будет y 0 . Тем не менее, точки кривой y f (x) , для которых справедливо (5), представляют и чисто геометрический интерес. В связи с этим всякую точку M ( x0 , y 0 ) (а также ее абсциссу x 0 ), в которой выполнено (5), условимся называть точкой выпрямления кривой y f (x) (происхождение этого выражения станет ясным ниже при изучении кривизны линий). Таким образом, всякая точка перегиба является ее точкой выпрямления, но не наоборот. Изучение выпуклости кривой сходно с исследованием функции на экстремум, только вместо знаков первой производной f (x) приходится обращать внимание на знаки второй производной f (x) . В связи с этим рекомендуется следующее
Правило для изучения выпуклости кривой Чтобы изучить характер выпуклости кривой y f (x) надо: 1. Найти f (x) . 2. Положить f ( x) 0 и решить это уравнение. Его корни x1 x2 ... xm будут точками выпрямления кривой. 3. Нанести точки x1 , x 2 , ..., x m на числовую ось и определить знаки на получившихся участках оси.
Пример 4. Исследовать на выпуклость кривую y x 4 14 x 3 60 x 2 8 x 9
Решение. Последовательно находим y 4 x 3 42 x 2 120 x 8 y 12 x 2 84 x 120
Полагая y 0 и сокращая на 12, приходим к уравнению
x 2 7 x 10 0 с корнями x1 2 , x 2 5 . Ось разбивается на участки (, 2) , (2, 5) , (5, ) . Чтобы установить знаки y на этих участках, рассуждаем таким образом: когда x очень велико по абсолютной величине, то x 2 значительно превосходит x , и потому в составе y основное значение будет иметь слагаемое
12x 2 , а оно 0 . Значит, на участках (, 2) и (5, ) будет y 0 . Полагая x 3 , находим 6