Тофик М. Расулов Интегральное исчисление 1. Неопределенный интеграл
ПЕРВООБРАЗНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ПЕРВООБРАЗНАЯ
Основной задачей дифференциального исчисления является задача дифференцирования, т. е. задача нахождения скорости изменения какой-нибудь функции. На практике часто бывает важно решить обратную задачу: зная скорость изменения функции (по отношению к аргументу), найти эту функцию. Иными словами, здесь нам надо найти функцию, зная ее производную. Эта операция называется интегрированием. Определим этот термин подробнее. Первообразная Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) , если эта последняя является производной от F (x) : f ( x) F ( x) .
Например, x 3 есть первообразная для 3x 2 , так как ( x 3 ) 3 x 2 . Точно так же ln x есть 1 первообразная для . x Действие нахождения первообразной для какой-нибудь функции f (x) называется 1 интегрированием этой функции. Таким образом, выше мы проинтегрировали 3x 2 и . x Естественно возникает вопрос: у всякой ли функции f (x) имеется первообразная, т. е. всякая ли функция f (x) является производной какой-нибудь другой функции. Ответ дает
Теорема 1 Если функция непрерывна на каком-нибудь промежутке, то она имеет на нем первообразную.
Мы не будем доказывать эту теорему.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Выше мы сказали, что функция y x 3 есть первообразная для 3x 2 , так как y 3x 2 . Но ведь z x 3 5 также будет первообразной для 3x 2 , так как и z 3x 2 . Вообще, любая функция x 3 C имеет производную 3x 2 и потому является для 3x 2 первообразной. Еще более общим образом мы можем утверждать, что наряду с F (x) , являющейся первообразной для f (x) , любая функция F ( x) C также будет первообразной для f (x) , так как
F ( x) C F ( x) f ( x) .
1
Тофик М. Расулов Интегральное исчисление Естественно возникает вопрос: исчерпывается ли множество всех первообразных для данной функции f (x) выражениями вида
F ( x) C ,
(1)
где F (x) – одна из них, или же у f (x) имеются первообразные, не получающиеся из (1) ни при каком постоянном значении С. Ответ дает Теорема 2 Никаких других первообразных, кроме (1), у f (x) нет.
Действительно, пусть F1 ( x) есть какая-то первообразная для f (x) . Тогда F1( x) f ( x) . Но ведь и F (x) , фигурирующая в (1), также есть первообразная для f (x) , а потому F ( x) f ( x) . Введем в рассмотрение разность F1 ( x) F ( x) , обозначив ее через R(x) . Тогда R ( x) F1( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0 .
На основании известного признака постоянства функции из соотношения R ( x) 0 следует, что R(x) есть величина постоянная. Обозначим эту постоянную через А. Тогда F1 ( x) F ( x) A и F1 ( x) F ( x) A .
Иначе говоря, функция F1 ( x) получается из (1) при значении C A , что и требовалось доказать. Таким образом, (1) представляет собой общий вид или, как говорят, полное семейство первообразных для f (x) , т.е. две первообразные отличаются лишь на постоянную C . Неопределенный интеграл Если F (x) есть какая-то первообразная для f (x) , то выражение
F ( x) C , где С может принимать любое постоянное значение, называется неопределенным интегралом функции f (x) и обозначается через
f ( x)dx .
(2)
Таким образом,
f ( x)dx F ( x) C
(3)
Слагаемое С, входящее в правую часть (3), называют произвольной постоянной, функцию f (x) — подынтегральной функцией, а f ( x) dx — подынтегральным выражением. Нетрудно убедиться в справедливости соотношений
e dx e x
x
C,
cos x dx sin x C, x dx
x2 C, 2 2
Тофик М. Расулов Интегральное исчисление каждое из которых, представляет собой иллюстрацию данного только что определения. Из самого определения неопределенного интеграла следует Теорема 3 Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции т.е.
f ( x)dx f ( x)
(4)
Действительно, равенство y f ( x)dx означает, что y F ( x) C , где F (x) есть одна из
первообразных для f (x) , а C const. Но тогда y F ( x) f ( x) , что и требовалось доказать. Пример 1. Убедимся, что
dx
ln x x 2 m C
x m 2
(5)
Полагая
y ln x x 2 m C
найдем
y
1 x x2 m 1
1 x2 m x x2 m x x2 m x2 m x
Отсюда y
1 x m 2
и (5) доказано.
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Для выработки умения интегрировать необходимо знать следующие формулы.
1. dx x C 3.
dx ln x C x
x a 1 C (a 0) a 1 ax 4. a x dx C ln a 2.
a x dx
5. e x dx e x C
6. cos x dx sin x C
7. sin x dx cos x C
8.
9.
dx
sin
2
x
dx
cos
2
x
tg x C
ctg x C 3
Тофик М. Расулов Интегральное исчисление
dx
2
2
arcsin
x C a
(a 0) a x dx 1 x 11. 2 arctg C (a 0) 2 a x a a dx 1 xa ln C (a 0) 12. 2 2 x a 2a xa dx ln x x 2 m C 13. 2 x m
10.
Чтобы проверить каждую из формул, надо продифференцировать ее правую часть и убедиться, что получается подынтегральная функция левой части. Теперь поясним, почему неопределенный интеграл для f (x) записывают в виде (2), а не просто как
f (x)
(6)
Дело в том, что приняв обозначение (6) мы бы не знали чему равен
1 Равен ли он x, y, z, t , u , зависело бы от того, какой из этих букв обозначена независимая переменная (см. формулу 1).
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
При интегрировании почти постоянно приходится пользоваться двумя теоремами, которые мы докажем ниже.
Теорема 4 Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.
f ( x) g ( x) h ( x)dx f ( x) dx g ( x) dx h ( x) dx
(7)
Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости равенства (7) продифференцируем его правую часть. Так как здесь мы имеем алгебраическую сумму нескольких слагаемых, то в результате дифференцирования получим
f ( x) dx f ( x) dx h( x) dx
(8)
По Теореме 2.1.2. имеем
f ( x) dx f ( x), g ( x) dx g ( x), h ( x) dx h ( x) 4
Тофик М. Расулов Интегральное исчисление Следовательно (8) есть не что иное, как f ( x) g ( x) h( x) . Итак дифференцирование правой части (7) приводит к подынтегральной функции левой части этого же равенства, что и требовалось доказать. Теорема 5 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
a f ( x) dx a f ( x) dx
(9)
Доказательство этой теоремы аналогично предыдущему. Именно, положив
y f ( x) dx имеем
y a f ( x) dx a
f ( x) dx a f ( x) ,
чем и доказано (9). Пример 2.
I (2 x 2 9 x 5) dx 2 x 2 dx 9 x dx 5 dx
Все три интеграла справа табличные. Значит x3 x2 2 9 I 2 C1 9 C 2 5 x C 3 x 3 x 2 5 x C 3 2 3 2
C 2C1 9C 2 5C3 . где Заметим, что обычно при вычислении отдельных интегралов, произвольных не вводят, а приписывают в конце всей выкладки.
Пример 3. 2
3 9 2 x dx 4 x 12 dx 2 x 2 12 x 9 ln x C x x
5