Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия Раздел математики, занимающийся изучением свойств геометрических фигур с помощью алгебраического анализа, называется аналитической геометрией, а использование для этой цели координат называется методом координат. Основная задача аналитической геометрии – исследование методами алгебраического анализа формы, расположения и свойств данной линии. Если мы имеем на плоскости некоторую линию, то тот факт, что числа х и у являются координатами точки, лежащей на этой линии, аналитически можно записать в виде некоторого уравнения. Это уравнение называется уравнением линии на плоскости. Линия на плоскости обычно задается как множество точек, обладающих свойствами, исключительно им присущими. Например, окружность радиуса r есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние r от некоторой ее точки О, называющейся центом окружности. Аналитически этот факт записывается в виде x2 y2 r 2 ,
где x и y координаты любой точки, лежащей на окружности, так называемые текущие координаты. Обобщим все сказанное в следующем боксе.
Уравнение линии Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение, которое удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Первичным в геометрии является понятие прямой линии. Из аксиом геометрии мы знаем, что через две точки проходит единственная прямая линия, и через точку, лежащую на прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. 1. Уравнения прямой линии
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
Зададим в плоскости прямоугольную систему координат x, y и прямую линию L , не параллельную оси y . Обозначим угол, который она составляет с положительным направлением оси Ox через , а отрезок OB , который она отсекает от оси Oy через b (см.рис.1). Очевидно, что любая точка М этой прямой может быть определена как сумма
y NC CM
(1)
Рис.1
1
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия Выразим NC и CM через x и известный нам параметр . Как видно из чертежа
CM tg . BC Обозначим tg k . Тогда
CM BC tg x k
(т.к. ВС х , а tg k ).
Далее из чертежа видно, что NC OB b . Тогда уравнение (1) можно записать в виде
y kx b
Уравнение с угловым коэффициентом
(2)
Параметр k называется угловым коэффициентом, отрезок b OB начальным отрезком, а само уравнение (2) уравнением прямой с угловым коэффициентом. Очевидно, что в случае, когда прямая будет составлять с положительным направлением оси Ox тупой угол, можно провести те же рассуждения. Обобщим все сказанное в следующем боксе.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение вида
y kx b
(2)
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом где: k угловой коэффициент равный тангенсу угла наклона этой прямой к оси Ox :
k tg ,
b начальный отрезок, т.е. отрезок, отсекаемый этой прямой от оси Oy , x и y текущие координаты, т.е. координаты любой точки этой прямой.
Пример 1. Составить уравнение прямой, осекающей от оси ординат отрезок b 3 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол / 6 . Решение. Находим угловой коэффициент: k tg / 6 1 / 3 . Воспользовавшись уравнением (2) прямой с угловым коэффициентом, получаем
y 1/ 3 x 3 .
Задача для самостоятельного решения 1. Составить уравнение прямой, осекающей от оси ординат отрезок b 5 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол / 4 .
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Рассмотрим уравнение
2
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия
Ax By C 0 ,
Общее уравнение
(3)
где А, В и С – заданные числа, причем А и В одновременно не равны нулю. Решим это уравнение относительно у:
By Ax C A C y x B B Положив
A C k, и b B B
получим уравнение вида
y kx b .
(2)
Совершенно очевидно, что уравнения (3) и (2) эквивалентны. Тогда любая точка ( x, y ) , удовлетворяющая уравнение (2) будет удовлетворять и уравнение (3). Вновь обобщим наши рассуждения в боксе.
Общее уравнение прямой Равенство вида
Ax By C 0
(3)
где А, В и С заданные числа и при этом А и В одновременно не равны нулю, при B 0 , есть уравнение прямой, наклоненной к положительному направлению оси Ох под углом , тангенс которого равен A/ B ( tg A / B ), и пересекающей ось Oy в точке C / B ( b C / B ).
Пример 2. Определить какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс прямая 2x 2 y 5 0 . Решение. Разрешив уравнение относительно у, получим:
2 y 2 x 5
y x
5 2
Здесь k tg 1, и, следовательно, 135 . Задача для самостоятельного решения 2. Определить какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс прямая x y 3 0 . Рассмотрим частные случаи расположения прямой, определяемой общим уравнением. 1. При B 0 , A 0 и C 0 уравнение (3) примет вид
3
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия
Ax C 0 или ( a C / A ).
xa
Как видно это также уравнение прямой линии, причем расположенной параллельно оси Oy . Именно на этой прямой расположены все точки ( x, y) абсциссы которых равны одному и тому же числу а. На рисунке 2 изображена такая прямая при a 0 .
Рис.2 2. При A 0 , B 0 и C 0 уравнение (3) примет вид
By C 0 Или
y
C B
а это есть уравнение прямой параллельной оси Ох. 3. При C 0 , A 0 и B 0 прямая, определяемая уравнением Ax By 0 , проходит через начало координат. 4. При A C 0 и B 0 прямая, определяемая уравнением By 0 , совпадает с осью Ox . 5. При B C 0 и A 0 прямая, определяемая уравнением Ax 0 , совпадает с осью Oy .
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ НА ОСЯХ
Рассмотрим общее уравнение прямой
Ax By C 0
( A, B, C 0 )
Преобразуем его следующим образом:
Ax By C A B x y 1 C C x y 1 C C A B
4
(3)
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия Положим
C C a, b A B Тогда уравнение (3) примет вид
x y 1 a b
Уравнение прямой в отрезках
(4)
Уравнение прямой в отрезках на осях Уравнение
x y 1 a b
(4)
называется уравнением прямой в отрезках на осях, а a и b есть отрезки, которые эта прямая отсекает от осей Ox и Oy соответственно. Таким образом, эта прямая пересекает ось Ox в точке (a, 0) , а ось Oy в точке (0, b) .
Пример 3. Составить уравнение прямой, осекающей на осях координат отрезки a 2 / 5 и b 1/ 10 . Решение. Воспользовавшись уравнением (4) прямой в отрезках на осях, имеем
x y 1. 2 / 5 1 / 10 Это уравнение можно переписать в виде
5 x 10 y 1 2 или
5x 20 y 2 0
Общее уравнение прямой
Задача для самостоятельного решения 3. Составить уравнение прямой, осекающей на осях координат отрезки a 5 и b 3 .
НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Пусть на плоскости дана какая-нибудь прямая линия. Проведем через начало координат прямую l перпендикулярную данной и выберем на ней положительное направление от начала координат в сторону данной прямой (см.рис.3). Очевидно, чтобы охарактеризовать положение данной прямой достаточно указать два параметра: ее расстояние р от начала координат и угол между осью Ох и осью l .
5
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия
Рис.3 Возьмем на данной прямой произвольную точку B с координатами ( x, y) . Рассмотрим ломаную линию ОАВС и возьмем ее проекцию на направление ОС. Так как проекция ломаной на какую-либо ось равна проекции ее замыкающей, будем иметь Пр (ОАВС) = Пр (ОС) . С другой стороны известно, что проекция ломаной равна сумме проекций ее звеньев: Пр (ОА) + Пр (АВ) + Пр (ВС) = Пр (ОС) .
(5)
Так как проекция отрезка равна самому отрезку, умноженному на косинус угла между положительным направлением оси проекции и той прямой, на которой лежит отрезок, то Пр (ОА) x cos
(Как видно из чертежа OA x )
Пр (АВ)= y cos y sin 2 Пр (ВС) = 0 Пр (ОС) = р.
( AB y )
Подставляя эти значения в равенство (5), получим
x cos y sin p или уравнение
x cos y sin p 0 ,
Нормальное уравнение
(6)
которое называется нормальным или нормированным уравнением прямой. Если прямая задана общим уравнением
Ax By C 0 , то его можно привести к нормальному виду, умножив на число M
1 A B2 2
,
Нормирующий множитель
(7)
знак которого выбирается противоположным знаку С. Число M называется нормирующим множителем. Пример 4. Дано общее уравнение прямой 12 x 5 y 65 0 . Выписать нормальное этой прямой.
6
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия Решение. Находим нормирующий множитель M
1 A B 2
2
1 12 ( 5) 2
2
1 . 13
Умножив обе части общего уравнения прямой на этот множитель, получим нормальное уравнение прямой
(12 / 13) x (5 / 13) y 5 0 . Здесь cos 12 / 13 , sin 5 / 13 , p 5 . Задача для самостоятельного решения 4. Дано общее уравнение прямой 2 x 3 y 5 0 . Выписать нормальное уравнение этой прямой.
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ
Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку ( x0 , y 0 ) . Решение. Выпишем уравнение прямой с угловым коэффициентом
y kx b .
(8)
Так как точка ( x0 , y 0 ) должна находиться на этой прямой, ее координаты x 0 , y 0 должны удовлетворять уравнение (8), т.е. должно выполняться равенство y0 kx0 b .
(9)
В уравнении (9) все параметры кроме b известны, следовательно, мы можем из него определить b . Сделав это получим b0 y 0 kx0 .
Подставив полученное выражение b в уравнение (8), получим y kx y 0 kx0 ,
или в более удобном виде y y 0 ( x x0 ) k .
Это и есть искомое уравнение y y 0 k ( x x0 )
(10)
прямой с угловым коэффициентом k проходящей через точку ( x0 , y 0 ) . В виде (10) может быть записано уравнение всякой прямой, не параллельной оси Оу. А уравнение прямой, проходящей через данную точку ( x0 , y 0 ) параллельно оси Оу, как мы уже знаем будет иметь вид (см.рис.2)
7
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия х х0 .
Задача 2. Записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки ( x1 , y1 ) и ( x2 , y 2 ) . Решение. Пусть x1 x 2 . Тогда, очевидно, искомая прямая не параллельна оси Oy (сделайте чертеж, чтобы убедиться в этом) и поэтому может быть записана в виде y y1 k ( x x1 ) .
(11)
Как мы знаем из решения задачи 1, уравнение (11) выражает, что прямая проходит через точку ( x1 , y1 ) . Очевидно, для того, чтобы она проходила и через точку ( x 2 , y 2 ) нужно, чтобы выполнялось равенство y 2 y1 k ( x2 x1 ) .
(12)
Из этого равенства нужно определить значение k и подставить его в уравнение (11), как мы сделали в предыдущей задаче 1. Но можно и просто разделить (11) на (12). Сделав это, получим y y1 x x1 . y 2 y1 x2 x1
(13)
Это и есть уравнение прямой, проходящей через точки ( x1 , y1 ) и ( x 2 , y 2 ) . Задача 3. Найти угол между прямыми y k1 x b1
и
y k 2 x b2 .
Решение. Как видно, в данных уравнениях k1 tg1
и
k 2 tg 2 ,
где 1 и 2 углы образованные прямыми с положительным направлением оси Ox (см.рис.4).
Рис.4 Так как внешний угол 2 1 , то 2 1 . Тогда tg tg ( 2 1 )
tg 2 tg 1 k k1 2 , 1 tg 2 tg 1 1 k 2 k1
(14)
и мы получили формулу угла между прямыми:
8
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия tg
k 2 k1 . 1 k 2 k1
(15)
Если речь идет об угле между двумя прямыми и не указан порядок, в котором они рассматриваются, то можно устанавливать этот порядок произвольно. Изменение порядка просто повлечет за собой изменение знака для тангенса угла. Отсюда можно получить условие параллельности прямых. Очевидно, что прямые будут параллельны в том и только том случае, если равны тангенсы углов их наклона к оси Ох, т.е. tg1 tg 2
или
k1 k 2 .
Условие параллельности
Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Условие параллельности прямых Если
k1 k 2 ( tg 0 ), то прямые будут параллельны друг другу.
Пример 5. Показать, что прямые 4 x 6 y 7 0 и 20 x 30 y 11 0 параллельны. Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получим
y (2 / 3) x 7 / 6
и
y (2 / 3) x 11 / 30 .
Как видно, угловые коэффициенты этих прямых равны: k1 k 2 2 / 3 ,
и, следовательно, прямые параллельны. В случае перпендикулярности прямых можно считать, что
2 1
2
.
Отсюда следует, что
2 1
2
или
9
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия
tg 2 tg 1 ctg 1 , 2 откуда, умножив обе части на tg 1 , получим tg1tg 2 1
или окончательно k1 k 2 1 .
Условие перпендикулярности
Таким образом, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно – 1.
Условие перпендикулярности прямых Если 1 k1 k 2 0 , или k1 k 2 1 ,
то прямые будут перпендикулярны друг другу. Пример 6. Показать, что прямые 3x 5 y 7 0 и 5x 3 y 10 0 перпендикулярны. Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получим
y (3 / 5) x 7 / 5
и
y (5 / 3) x 10 / 3 .
Здесь k1 3 / 5 ,
k 2 5 / 3 .
Так как k1 k 2 1, то прямые перпендикулярны. И в заключение напомним известный из курса линейной алгебры факт. Координаты точки пересечения прямых A1 x B1 y C1 0
и
A2 x B2 y C2 0
если A1 B1 A2 B2
находятся путем совместного решения уравнений этих прямых. Пример 7. Показать, что прямые 3x 2 y 1 0 и 2x 5 y 12 0 пересекаются и найти координаты точки их пересечения. Решение. Приведем уравнения данных прямых к виду с угловым коэффициентом:
10
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия
2 у 3х 1 5 у 2 х 12
Так
как
3 1 у 2х 2 2 12 у х 5 5
3 / 2 (2) / 5 , то прямые пересекаются. Решив систему
3x 2 y 1 0 2 x 5 y 12 0
любым известным нам методом, находим x 1 , y 2 , то есть прямые пересекаются в точке (1,2).
ЗАДАЧИ
1.Уравнение прямой задано в виде x 2 5 / 4 y 2 5 / 2 0 . Написать: (А) Общее уравнение прямой. (Б) Уравнение прямой с угловым коэффициентом. (В) Уравнение прямой в отрезках. (Г) Нормальное уравнение прямой. 2.Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс прямая 2 x 2 y 5 0 ? 3.Определить площадь треугольника, образованного прямой 4 x 3 y 36 0 с осями координат. 4.Можно ли уравнение прямой 20 x 21y 0 записать в отрезках? 5.Построить прямые: (А) 4x 5 y 15 0 (Б) 2 x y 0 (В) 7 x 10 0 (Г) 4x 3 0 6.Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b 1 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол 2 / 3 . 7.Прямая отсекает на осях координат равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой с осями координат, равна 8 кв.ед. 8.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2, 5) и отсекающей на оси ординат отрезок b 7 . 9.Составить уравнение прямых, проходящих через точку M (3,4) и параллельных осям координат. 10.Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат равные отрезки, если длина отрезка прямой, заключенного между осями координат равна 5 2 . Ответы 1. (А) x 2 y 2 5 0 ,
(Б) y (1 / 2) x 5 ,
(В) x / 2 5 y / 5 1 , (Г) (1 / 5 ) x (2 / 5) y 2 0 2. 135 o 6. 3 x y 1 0 8. 3x 2 y 0 10. x 3 0 , y 4 0
3. 54 кв.ед. 4. Нет. 7. x y 4 0 9. x y 7 0 11. x y 5 0 , x y 5 0
11