Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной 18. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии
КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ НАПРАВЛЕНИЕ ВЫПУКЛОСТИ КРИВОЙ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА И ВЫПРЯМЛЕНИЯ КРИВИЗНА ПОНЯТИЕ ОБ ЭВОЛЮТЕ И ЭВОЛЬВЕНТЕ
КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ
Аналитическая геометрия ставила своей задачей изучение геометрических вопросов при помощи вычислительных средств. Однако ассортимент этих средств был очень невелик: мы ограничивались элементарной алгеброй и тригонометрией. Более сложная область математики, занимающаяся решением геометрических задач средствами дифференциального исчисления, называется дифференциальной геометрией. Мы рассмотрим лишь самые простые сведения из этой области, да и то, ограничиваясь лишь геометрией на плоскости. Имея в виду, что нам все время будет нужно использовать производные (различных порядков) от рассматриваемых функций, мы раз навсегда предположим, что все упоминаемые нами производные f ( x), f ( x), (t ), (t ) и т. п. существуют и непрерывны. Займемся, прежде всего, вопросом о проведении касательной к кривой
y f (x)
(1)
в точке M ( x0 , y 0 ) , лежащей на кривой (1). Ранее в разделе 1.8. где было дано определение касательной, мы установили, что угловой коэффициент касательной, о которой идет речь, равен f ( x0 ) . Иными словами, это значение производной ординаты по абсциссе, вычисленное при x x 0 , т. е. при абсциссе точки касания. (Здесь следует обратить внимание на различие между f ( x0 ) и f ( x0 ) . Первое есть значение производной f (x) , вычисленное для x x0 , а второе есть 0, поскольку f ( x0 ) есть постоянная величина. Полагая для краткости f ( x0 ) y 0 получаем уравнение касательной: y y 0 y ( x x0 )
Уравнение касательной
(2)
Пример 1 . Провести касательную к кривой y ln x в точке пересечения кривой с осью Ox . Решение. У точки касания должно быть y 0 . Полагая ln x 0 , находим x 1 . Итак, точка касания есть M (1, 0) . Кроме того,
y
1 x
откуда y 0 1 . Следовательно, уравнение касательной будет
y x 1 Пример 2. Найти точку кривой y 2 x 2 5 x 1 , в которой касательная параллельна прямой y 3x 11 . Решение. Угловой коэффициент касательной, как мы знаем, равен y 0 4 x0 5 , где x 0 – абсцисса точки касания. С другой стороны, угловой коэффициент данной прямой есть 3. Следовательно, 1
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной 4 x0 5 3 ,
откуда x0 2 . В таком случае уравнение кривой дает y 0 1 . Таким образом, искомая точка есть (2, 1) . Пример 3. Под каким углом пересекаются параболы y x 2 и y 2 x ? (Напомним, что углом между двумя линиями называется угол между их касательными, проведенными в точке пересечения самих линий.) Решение. Данные параболы пересекаются в точках A(0, 0) и B(1,1) . В точке A(0, 0) касательными к параболам y x 2 и y 2 x являются соответственно ось Ox и ось Oy . Следовательно, в этой точке параболы пересекаются под прямым углом. Этот результат можно получить и при помощи уравнения (2), если заметить, что для первой из рассматриваемых линий будет y 2x
и потому y 0 0 . Что касается линии y x 2 , то она распадается на две линии y x и y x , 1 1 каждая из которых имеет явное уравнение. Для этих линий будет y и y . В точке 2 x 2 x x 0 оба эти выражения обращаются в бесконечность. Это означает, что угол касательной и оси Ox есть прямой, и мы получаем тот же результат, что и выше. Для точки B(1,1) будет x 1 , и потому 1 угловые коэффициенты касательных к нашим параболам будут равны соответственно 2 и 2 (очевидно, через (1,1) проходит именно первая из кривых y x и y x ). По известной из аналитической геометрии формуле tg
m2 m1 1 m1 m2
будет 1 2 3. tg 11 4 2
Нормалью называется нечто вроде перпендикуляра к кривой. Точное определение этого понятия таково:
Нормаль Нормалью к кривой К в данной ее точке М называется перпендикуляр, восставленный в точке М к касательной, проведенной к кривой К в той же точке М (см. рис. 1)
Рис. 1 2
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Учитывая, что угловой коэффициент касательной в точке M ( x0 , y 0 ) к кривой y f (x) есть f ( x0 ) y 0 и вспоминая условие перпендикулярности двух прямых, находим уравнение нормали к линии (1) в точке M ( x0 , y 0 ) : y y0
1 ( x x0 ) y 0
(3)
Этим уравнением нельзя воспользоваться, когда y 0 0 . В этом случае касательная параллельна оси Ox . Следовательно, нормаль перпендикулярна оси Ox и (поскольку она проходит через M ( x0 , y 0 ) уравнение ее будет x x0
(4)
НАПРАВЛЕНИЕ ВЫПУКЛОСТИ КРИВОЙ
В некоторых задачах теории сопротивления материалов важную роль играет понятие «направления выпуклости» кривой. Представим себе линию K с уравнением y f (x) , имеющую в точке M ( x0 , y 0 ) определенную касательную Mt .
Выпуклость вверх Если все точки кривой, лежащие достаточно близко к точке M , расположены над касательной Mt (см. рис. 2), то говорят, что кривая в точке M обращена выпуклостью вверх (выпуклая кривая).
Рис. 2
Рис.3
Выпуклость вниз Если все точки кривой, лежащие достаточно близко к точке M , расположены под касательной Mt (см. рис. 3), то говорят, что кривая в точке M обращена выпуклостью вниз (вогнутая кривая). Замечание 1. Обратите внимание, что нас интересуют лишь те точки кривой, которые расположены вблизи точки касания M . Естественно было бы поставить вопрос об аналитическом признаке, по которому можно судить, в какую сторону кривая обращена выпуклостью. Предположим, что во всех точках M ( x, y) кривой, она обращена выпуклостью вниз (см. рис. 4).
Рис.4 3
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Возьмем на этой кривой две токи M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x 2 , y 2 ) , где x1 x 2 и проведем в них касательные к нашей кривой. Пусть 1 и 2 есть углы, образованные этими касательными с осью Ox . Из чертежа видно, что 1 2 . Но тогда и tg 1 tg 2 . С другой стороны, мы знаем tg 1 f ( x1 ) а tg 2 f ( x2 ) . Таким образом, получается, что f ( x1 ) f ( x 2 ) .
Поскольку мы вывели это неравенство из предположения, что x1 x 2 , ясно, что производная f (x) есть возрастающая функция. Но тогда ее производная, т.е. вторая производная f (x) должна быть положительна на рассматриваемом промежутке изменения аргумента: f ( x) 0 . Совершенно аналогично, рассматривая кривую y f (x) , обращенную выпуклостью вверх, и беря на ней точки M 1 ( x1 , y1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) с x1 x 2 (см. рис. 5), последовательно получаем, что:
1 2 tg 1 tg 2 f ( x1 ) f ( x2 ) .
Рис.5 Это приводит нас к заключению, что функция f (x) на рассматриваемом промежутке убывает, и, следовательно, к неравенству f ( x) 0 . Таким образом, нами установлена
Теорема Если кривая обращена выпуклостью вниз, то вторая производная ординаты по абсциссе y f (x) положительна: f ( x) 0
Вогнутость
Если кривая обращена выпуклостью вверх, то вторая производная ординаты по абсциссе y f (x) отрицательна: f ( x) 0
Выпуклость
Эта теорема обратима, т. е. знание знака второй производной позволяет ответить на вопрос о том, куда направлена выпуклость кривой. Действительно, если, например, f ( x) 0 , то первая производная f (x) возрастает вместе с x . Это означает, что при увеличении абсциссы x будет увеличиваться и угол, образованный осью Ox и касательной к кривой, проведенной в точке M ( x, y) . Иными словами, при движении по кривой слева направо будет увеличиваться крутизна наклона кривой. 4
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Все сказанное можно подытожить с помощью таблички: Направление вогнутости кривой
Знак f (x)
вверх вниз
–
Замечание 2. Содержание доказанной нами теоремы можно проиллюстрировать геометрически. Рассмотрим кривую y f (x) , обращенную выпуклостью вверх (см. рис.6). Производная f (x) равна тангенсу угла наклона касательной в точке с абсциссой x , т.е. f ( x) tg . Поэтому f ( x) tg x . Если f ( x) 0 для всех x на интервале (a, b) , то это значит, что tg убывает с возрастанием x . Геометрически нагляден тот факт, что если tg убывает с возрастанием x , то соответствующая кривая выпукла. Аналогичным образом иллюстрируется случай вогнутости.
Рис.6
ТОЧКИ ПЕРЕГИБА И ВЫПРЯМЛЕНИЯ
Конечно же, на своем протяжении кривая не всегда обращена выпуклостью в одну и ту же сторону. Обычно дело обстоит немного сложнее: промежуток изменения абсциссы x распадается на части, на которых кривая обращена выпуклостью попеременно то вверх, то вниз.
Точка перегиба Точка кривой, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.
Иногда точкой перегиба называют не только самую точку M , лежащую на кривой, но и ее абсциссу x 0 . Пусть, например, кривая y f (x) рассматривается для a x b и промежуток [a, b] точкой x 0 ( a x0 b ) разлагается на части a x x0 и x0 x b , на первой из которых наша кривая обращена выпуклостью вниз, а на второй – вверх (рис. 7).
Рис.7 Тогда вторая производная y f (x) при переходе x из промежутка [a, x0 ] в промежуток [ x 0 , b] должна менять знак с + на – . Поскольку эта вторая производная непрерывна, ясно, что при x x 0 она должна обратиться в нуль: f ( x0 ) 0 . Аналогично обстоит дело для любой точки перегиба. Итак, верна
5
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Теорема В точках перегиба вторая производная ординаты по абсциссе равна нулю: f ( x0 ) 0
(5)
Эта теорема, однако, необратима: из того, что в некоторой точке x 0 выполняется соотношение (4), вовсе не следует, что x 0 есть точка перегиба. Рассмотрим, например, кривую y x 4 . Здесь y 12x 2 , и потому y 0 для всех x , кроме x 0 , для которого y 0 . Следовательно, наша кривая на всем своем протяжении обращена выпуклостью вверх и при x 0 никакого перегиба не имеет, хотя для этого x и будет y 0 . Тем не менее, точки кривой y f (x) , для которых справедливо (5), представляют и чисто геометрический интерес. В связи с этим всякую точку M ( x0 , y 0 ) (а также ее абсциссу x 0 ), в которой выполнено (5), условимся называть точкой выпрямления кривой y f (x) (происхождение этого выражения станет ясным ниже при изучении кривизны линий). Таким образом, всякая точка перегиба является ее точкой выпрямления, но не наоборот. Изучение выпуклости кривой сходно с исследованием функции на экстремум, только вместо знаков первой производной f (x) приходится обращать внимание на знаки второй производной f (x) . В связи с этим рекомендуется следующее
Правило для изучения выпуклости кривой Чтобы изучить характер выпуклости кривой y f (x) надо: 1. Найти f (x) . 2. Положить f ( x) 0 и решить это уравнение. Его корни x1 x2 ... xm будут точками выпрямления кривой. 3. Нанести точки x1 , x 2 , ..., x m на числовую ось и определить знаки на получившихся участках оси.
Пример 4. Исследовать на выпуклость кривую y x 4 14 x 3 60 x 2 8 x 9
Решение. Последовательно находим y 4 x 3 42 x 2 120 x 8 y 12 x 2 84 x 120
Полагая y 0 и сокращая на 12, приходим к уравнению
x 2 7 x 10 0 с корнями x1 2 , x 2 5 . Ось разбивается на участки (, 2) , (2, 5) , (5, ) . Чтобы установить знаки y на этих участках, рассуждаем таким образом: когда x очень велико по абсолютной величине, то x 2 значительно превосходит x , и потому в составе y основное значение будет иметь слагаемое
12x 2 , а оно 0 . Значит, на участках (, 2) и (5, ) будет y 0 . Полагая x 3 , находим 6
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной y (3) 24 , откуда видно, что на (2, 5) будет y 0 . Итак, кривая обращена выпуклостью вверх для x 2 и x 5 и вниз для 2 x 5 . Точки x 2 , x 5 оказываются точками перегиба.
КРИВИЗНА
Теперь ознакомимся с важной характеристикой кривых линий: их кривизной. Кривизна линии это есть измеритель степени изогнутости линии. Возьмем какую-нибудь прямую L (см. рис. 8).
Рис. 8 Она сама себе служит касательной во всех своих точках. Поэтому, если мы выделим из L любой отрезок AB , то касательные к L в точках A и B будут совпадать. Мы можем выразить это, сказав, что направление прямой не меняется при переходе из одной точки прямой в другую. Не так обстоит дело с кривыми линиями. Если (рис. 9) в точках A и B кривой линии L провести касательные, то они образуют некоторый угол .
Рис. 9 Можно сказать, что при переходе из A в B касательная к L (а с ней и сама кривая L ) повернулась на угол . Ясно, что величина этого угла поворота дает некоторое представление о степени изогнутости L на дуге AB : чем больше угол , тем сильнее изогнута L . Однако сама по себе величина угла еще не может служить мерой упомянутой изогнутости. Действительно, одно дело, если линия L поворачивается на 50° на участке длиной в 100 см, а другое дело, если она поворачивается на тот же угол на участке 200 см. В первом случае на 1 см приходится 0,5°, а во втором – вдвое меньше. Таким образом, важна не сама по себе величина угла , а то какая доля этого угла приходится
в среднем на единицу длины дуги AB . Эти соображения приводят нас к следующему определению.
Средняя кривизна дуги
Средней кривизной дуги AB линии L называется отношение угла , на который поворачивается
касательная к L при переходе из A в B , к длине дуги AB K cp
(6)
AB
Замечания: 1. В формуле (6) знак угла не учитывается: угол берется по абсолютной величине. Поэтому средняя кривизна всегда не отрицательна. 7
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной 2. Единицей измерения углов при вычислении Кср всегда служит радиан. Следовательно, если
AB 100 см и при переходе из A в B касательная поворачивается на 50°, то 50 180 K cp 0,0087 . 100 360 Так как в формулах, где фигурирует угол в радианах, наименование угла опускается, то размерность кривизны есть 1 . Следовательно, в нашем примере надо писать длина
K cp
1 1 . 0,0087 360 см см
Рис.10 Нетрудно понять, что одна и та же кривая на разных участках может иметь разную среднюю
кривизну. Так на рис. 10 средняя кривизна дуги AB значительно больше, чем дуги PQ . Для того, чтобы охарактеризовать степень изогнутости линии L в данной ее точке M , вводят следующее определение.
Истинная кривизна линии Истинной кривизной линии L в данной ее точке M называется предел средней кривизны бесконечно малой дуги, стягивающейся в точку M .
Обычно, впрочем, прилагательное „истинная" опускается, и говорят просто о кривизне линии L в точке M . Истинная кривизна K кривой y f (x) в данной ее точке M ( x, y) вычисляется по формуле, которую мы здесь приведем без вывода: K
y
1 y
Кривизна кривой
2 3/ 2
(7)
x
Пример 5. Найти кривизну синусоиды y sin x . Решение. Здесь y x cos x , y x sin x и формула (7) дает K
sin x
1 cos x 2
3/ 2
.
Так как кривизна всегда неотрицательна, то более точным было бы написать K
sin x
1 cos x 2
3/ 2
.
8
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной То обстоятельство, что K зависит от x , показывает, что кривизна синусоиды меняется от точки к точке.
ПОНЯТИЕ ОБ ЭВОЛЮТЕ И ЭВОЛЬВЕНТЕ
Малую дугу кривой линии L можно приближенно заменить отрезком прямой, касающейся L в какой-нибудь из точек рассматриваемой дуги. В тех вопросах, где нас интересует длина или ее направление, такая замена допустима. Однако она, очевидно, недопустима при изучении кривизны дуги, так как кривизна любой прямой равна нулю. Если мы хотим приближенно заменить дугу, кривой L дугой более простой линии, то в вопросах, связанных с кривизной линии L , приходится вместо заменяющей прямой брать что-либо более сложное. Весьма естественно привлечь для этой цели окружность. Уточняя эти соображения, приходим к следующему определению.
Окружность кривизны Окружностью кривизны кривой L в данной ее точке M называется окружность, которая (см. рис. 11) 1) проходит через точку M ; 2) имеет в M общую касательную с L ; 3) имеет ту же кривизну K , что и кривая L в точке M ; 4) центр C которой расположен с той стороны кривой L , куда последняя обращена своей вогнутостью (в точке M ).
Рис. 11 Остановимся немного подробнее на этом определении. Говоря о кривизне кривой L , мы упомянули, что речь идет о кривизне в точке M , так как у произвольной кривой кривизна меняется от точки к точке. Поскольку кривизна окружности во всех ее точках одна и та же, то по отношению к окружности кривизны мы не говорили о том, что имеем в виду кривизну в точке M . Далее, поскольку окружность касается кривой L в точке M , то ее центр C лежат на нормали к кривой L , в точке M . Легко сообразить, каков должен быть радиус R окружности кривизны. Именно, с одной стороны, кривизна этой окружности должна равняться кривизне K линии L в точке M , а с другой 1 1 стороны, как и у всякой окружности, эта кривизна равна . Следовательно, K и R R
R
1 K
Радиус кривизны
(7)
Эта величина называется радиусом кривизны кривой L в точке M (упоминание о точке обязательно потому, что в разных своих точках кривая имеет разные радиусы кривизны). Центр C окружности кривизны называется центром кривизны кривой L в точке M . Пример 6. Построить центр кривизны параболы
9
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной y
1 2 x 2
в ее вершине (0, 0) . Решение. Из уравнения параболы следует y x x , y x 1 . Значит, K
1
1 x
2 3/ 2
, а при x 0
оказывается K 1 . Отсюда и из (7) следует, что R 1. Далее, известно, что наша парабола в вершине касается оси Ox так, что центр кривизны C лежит на оси Oy и притом выше оси Ox , поскольку рассматриваемая парабола обращена вогнутостью вверх. Итак, окружность кривизны имеет центр C (0,1) и радиус R 1. На рис. 12 видно, как тесно прилегают друг к другу парабола и ее окружность кривизны.
Рис. 12 Если мы рассмотрим малую дугу кривой L , содержащую точку M , то приближенно сможем считать эту дугу дугой окружности кривизны (линии L в точке M ). Значит, взяв на упомянутой дуге другую точку N отличную от M , но весьма близкую к M (так как дуга предполагается малой), сможем считать, что M и N лежат на одной и той же окружности, которая касается кривой L и в M (точно) и в N (приближенно). Но тогда центр C этой окружности должен лежать сразу на двух нормалях к L , проведенных через M и N , т. е. быть точкой пересечения этих нормалей. Это соображение не только дает сравнительно простой способ приближенного нахождения центра C на чертеже, но и приводит к возможности другого определения центра кривизны. Именно, ведь ошибка, происходящая от замены дуги кривой дугой ее окружности кривизны, тем меньше, чем короче дута. Иными словами, взяв на кривой L точку M и близкую к ней точку N и найдя пересечение нормалей, проведенных к L из M и N , мы будем получать центр кривизны C (в точке M ) с тем большей точностью, чем ближе N к M . Поэтому можно дать следующее определение. Центр кривизны Центром кривизны C кривой L в данной ее точке M называется предельное положение точки пересечения нормали к L , проведенной через M , с нормалью, проведенной через бесконечно близкую точку N .
Это определение позволяет дать новое обоснование всей теории кривизны. Именно, зная, что такое центр кривизны кривой L в точке M , мы можем определить радиус кривизны R линии L в точке M формулой
R CM , а затем ввести и понятие кривизны К положив
K
1 . R 10
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Выше мы обращали внимание читателя на то, что, говоря о центре кривизны C какой-либо кривой, надо указывать, для какой точки M кривой точка C является центром кривизны, так как при изменении точки M обычно также будет менять свое положение и точка C . Это приводит к следующему определению. Эволюта и эвольвента Геометрическое место центров кривизны линии L называется эволютой (от лат. evoluta, развернутая) этой линии. Сама линия L называется эвольвентой (от лат. evolvens, развертывающий) своей эволюты.
Ясно, что прямая линия не имеет эволюты, а эволютой окружности является точка – ее центр. В остальных случаях эволютой служит некоторая линия.
ПРИЛОЖЕНИЕ (ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫЕ ЗАКРУГЛЕНИЯ)
Остановимся на применении понятия кривизны в одном техническом вопросе. Из механики известно, что: 1) Точка M , равномерно движущаяся со скоростью v по какой-нибудь плоской линии L , в каждый момент времени обладает ускорением w Kv 2 , где K – кривизна линии L в той ее точке, где в рассматриваемый момент находится точка M . Это ускорение (называемое нормальным) , направлено по нормали к L от точки M к соответствующему центру кривизны. Если линия L прямая, то K 0 и нормальное ускорение отсутствует. 2) Если движущаяся точка M имеет массу m и в какой-нибудь момент обладает ускорением w , то в этот момент на M действует сила F mw , направленная в ту же сторону, что и ускорение m. 3) Если какое-либо тело действует на точку M с силой F , то и M действует на это тело с равной по величине, но противоположно направленной силой. Отметив это, рассмотрим равномерное движение со скоростью v железнодорожного поезда, который мы примем за материальную точку массы m . Пусть поезд движется сначала по прямой AB , а затем переходит на закругление, представляющее собой дугу BC окружности радиуса R (см. рис. 12).
Рис. 12 Разумеется, прямая AB является касательной к дуге BC . Это обстоятельство, однако, не обеспечивает плавности движения. В самом деле, на участке AB кривизна пути равна нулю, а на 1 дуге BC она равна . Значит, пока поезд шел по AB , он не имел ускорения, а при проходе через R v2 стык B он мгновенно приобрел ускорение . Отсюда следует, что в момент перехода поезда R через стык B на поезд мгновенно начинает действовать сила
F m
v2 R
11
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Такое мгновенное возникновение силы называется явлением удара. Итак, в момент прохода поезда через стык B поезд получает со стороны рельсов удар F , а значит, и сам наносит по рельсам такой же удар. Поскольку и масса m поезда и его скорость v обычно весьма велики, то описанное явление портит полотно и даже может вызвать крушение поезда. Для избегания этих неприятностей не применяют непосредственного соединения прямолинейного и кругового участков пути, а вставляют между ними некоторую «переходную кривую», вроде изображенной на рис. 13. линии B1 B2 .
Рис. 13 Эту линию выбирают так, чтобы ее кривизна K непрерывно возрастала от значения K 0 в точке 1 B1 , до значения K в точке B 2 . Этим достигается плавность движения поезда. R Так как точка B1 должна быть точкой выпрямления линии B1 B2 , то в качестве переходной кривой может быть выбрана не любая линия, а только такая, на которой имеются точки выпрямления. Например, обычная парабола y ax 2 для этой цели не годится, так как здесь y 2a 0 и точек выпрямления нет. Напротив, кубическая парабола y ax 3 имеет точку выпрямления x 0 , и потому ее и в действительности используют в качестве переходной кривой. Таким образом, такое, казалось бы, отвлеченное понятие, как точка выпрямления, имеет важное практическое применение.
12