Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной 13. Локальный экстремум функции
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Изучение количественной стороны различных явлений природы приводит нас к установлению и изучению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если же такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде формулы, то мы получаем возможность исследовать эту функциональную зависимость средствами математического анализа. Например, в результате колебания груза на рессоре (это может быть рессора автомобиля, вагона и т.д.) исследователи получили формулу, показывающую, как отклонение y груза от положения равновесия зависит от времени t : y e kt ( A cos wt B sin wt ) . Величины k , A, B, w , входящие в эту формулу, имеют вполне определенное значение, они зависят от упругости рессоры, от величины груза и т.д., но не зависят от времени t и поэтому рассматриваются нами как постоянные. На основании приведенной формулы можно выяснить, при каких значениях t отклонение y увеличивается с увеличением t , как меняется величина наибольшего отклонения в зависимости от времени, при каких значениях t наблюдаются эти наибольшие отклонения, при каких значениях t получаются наибольшие скорости движения груза и ряд других вопросов. Все перечисленные вопросы входят в понятие «исследовать поведение функции». Очевидно, что выяснить все эти вопросы, вычисляя значения функции в отдельных точках весьма затруднительно. Поэтому нашей целью будет установление общих приемов исследования поведения функций.
ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Как известно, функция называется возрастающей, если при увеличении ее аргумента значения функции увеличиваются и убывающей, если при увеличении ее аргумента значения функции уменьшаются. На рисунках 1 и 2 показаны графики возрастающей и убывающей функций. На них мы видим, что для возрастающей функции при x1 x 2 оказывается f ( x1 ) f ( x2 ) , а для убывающей f ( x1 ) f ( x2 ) .
Рис.1
Рис.2
Теперь попробуем по аналитической формуле, задающей функцию, судить является ли эта функция возрастающей или убывающей. Для решения этой задачи вспомним, каков геометрический смысл производной. В разделе 1.8 мы показали, что производная y f (x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой есть точка дифференцирования: f ( x) tg
Геометрический смысл производной 1
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Обратимся к графику возрастающей функции (см.рис.3). Если на этом графике взять произвольную точку M и провести в ней касательную, то мы увидим, что угол , образованный этой касательной с положительным направлением оси Ox есть угол острый и поэтому тангенс его положителен:
tg 0 . Так как tg f ( x) , то для любого x оказывается f ( x) 0 .
Рис.3 Исключение составляют отдельные точки x , вроде абсциссы x 0 точки A , в которой касательная At параллельна оси Ox и поэтому ее угловой коэффициент равен нулю, т.е. f ( x) 0 .
Таким образом, производная возрастающей функции никогда не отрицательна. Аналогично рассматривая график убывающей функции (рис.2) мы видим, что угол тупой, так что его тангенс отрицателен:
tg 0 , или, что то же самое, f ( x) 0 .
Исключение и здесь могут составить отдельные точки x (вроде x 0 ), в которых f ( x) 0 . Итак, производная убывающей функции никогда не положительна. Полученные результаты можно получить и чисто аналитически. Установим, например, что для возрастающей f (x) при всех x будет f ( x) 0 . Если бы это было не так, то нашлась бы точка x 0 для которой y f ( x0 ) 0 .
Но ведь
y lim
x 0
y x
а далекие значения переменной, стремящейся к пределу, почти равны этому пределу. Значит, при весьма малых x будет
y 0 x или, подробнее 2
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной
f ( x x) f ( x) 0. x Следовательно, для малого и положительного x будет
f ( x x) f ( x) 0 , т.е.
f ( x x) f ( x) , а это противоречит условию возрастания f (x) , так как при x 0 , очевидно, будет x0 x x0 . Если не забывать о возможности обращения производной возрастающей и убывающей функций в нуль, то полученные результаты можно формулировать в следующем кратком виде.
Аналитический признак поведения функции Если функции возрастает, то ее производная положительна. Если функции убывает, то ее производная отрицательна.
f (x) возрастает убывает
знак f (x) + –
Из тех же рисунков можно увидеть справедливость и обратных предложений: если производная функции положительна, то сама эта функция возрастает, если производная функции отрицательна, то сама эта функция убывает. Замечание 1. Следует предостеречь от часто встречающегося заблуждения. Не надо думать, что производная положительной функции тоже обязательно положительна. Например, функция, график которой изображен на рисунке 2, положительна (график ее расположен выше оси Ox и, следовательно, ординаты точек графика положительны), хотя эта функция убывает и производная ее отрицательна. Таким образом, знак производной функции связан не со знаком самой этой функции, а с тем, возрастает или убывает эта функция. Можно привести и следующий пример. Пусть изучается температура какого-нибудь горячего, но остывающего тела. Так как тело горячее, то температура его положительна, но эта температура убывает, значит, ее производная (по времени) отрицательна.
ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Функции, обычно встречающиеся на практике, не являются возрастающими или убывающими во всей области своего задания. Чаще дело обстоит так, что промежуток, на котором задана функция, распадается на несколько участков, на одной части которых функция возрастает, а на другой убывает. Рассмотрим, например, функцию, изображенную на рисунке 4.
Рис.4 3
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Весь промежуток a x h , на котором задана эта функция распадается на следующие участки: где функция возрастает, [a, b] , , где функция убывает, [b, c] где функция возрастает, [c, e] , и т.д. Очевидно, что особый интерес представляют точки b, c, e, f , g , отделяющие друг от друга участки с различным поведением функции. Эти точки называют точками локального экстремума функции (или просто точками экстремума функции; говорят также, что в этих точках функция имеет экстремум). Если к точке экстремума примыкает слева участок, где функция возрастает, а справа – участок, где она убывает, то эта точка называется точкой локального максимума функции (или просто точкой максимума функции; говорят также, что функция имеет в этой точке максимум). У функции, изображенной на рисунке 4, точками локального максимума являются точки b, e и g . Если же левее точки экстремума расположен участок, убывания, а справа участок возрастания функции, то точка называется точкой локального минимума функции (или просто точкой минимума функции; на рисунке 4 таковы точки c и f ). Итак, мы можем дать следующее определение.
Локальные экстремальные значения Если при переходе аргумента (слева направо) через некоторое значение x 0 функция переходит от возрастания к убыванию, то говорят, что в точке x x 0 функция имеет локальный максимум, если же функция переходит от убывания к возрастанию, то она имеет в этой точке локальный минимум. Общее название этих точек – точки локального экстремума.
Обратим внимание на то, что каждая точка максимума есть абсцисса такой точки графика функции, которая расположена выше всех других близких к ней точек этого графика. Например, точка e есть абсцисса точки E , лежащей выше всех точек дуги CF . Аналогичное наблюдение можно сделать и относительно точек минимума. Отсюда вытекает возможность определить точки максимума и минимума по-другому.
Точки локального максимума и минимума функции. Точка x 0 есть точка локального максимума функции f (x) , если эта точка лежит внутри такого участка p x q , что для всех x из этого участка, отличных от x 0 , будет f ( x) f ( x 0 ) .
Точка x 0 есть точка локального минимума функции f (x) , если эта точка лежит внутри такого участка p x q , что для всех x из этого участка, отличных от x 0 , будет f ( x) f ( x 0 ) .
Замечания. 2. Сами названия «максимум», «минимум» и «экстремум» связаны с этим определением. Именно maximum по-латыни означает «наибольшее», minimum – «наименьшее», а extremum – «крайнее» (подразумевается – значение функции).
4
Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3. В определении точки локального максимума существенно, чтобы функция была определена как левее, так и правее этой точки, т.е. чтобы эта точка была внутренней точкой промежутка задания функции. В случае, изображенном на рисунке 5, точка b не служит точкой локального максимума.
Рис.5 4. Если в точке x 0 функция f (x) имеет локальный максимум, то это вовсе не означает, что f ( x 0 ) есть наибольшее значение функции. Например, на рисунке 4 в точке e есть локальный максимум, но f (e) меньше, чем значения f (x) , отвечающие абсциссам x , близким к g .
5