Тофик М. Расулов Векторная алгебра 4. Смешанное произведение векторов Пусть а, b, c – три вектора. Составим векторное произведение [ab] первых двух и полученный новый вектор умножим скалярно на третий вектор с, т.е. найдем число [ab]с. Это число называется смешанным произведением векторов а, b, c и обозначается abc
или
abc или
(a b) c .
Посмотрим, что означает смешанное произведение векторов геометрически. Если положить ab = abc = Пр с .
Рис.1 Но Пр с есть не что иное, как взятая с тем или иным знаком высота h параллелепипеда, построенного на векторах а, b, c, если за его основание принять параллелограмм, построенный на а и b (см.рис.1). Если учесть что есть площадь основания параллелепипеда, то станет ясным, что абсолютная величина смешанного произведения abc равна объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b, c. Смешанное произведение обладает следующими свойствами: 1.Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если: А) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю; Б) два из перемножаемых векторов коллинеарны; В) три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны). 2.Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местами знаки векторного ( ) и скалярного () умножения, т.е.
(a b) c a (b c) . 3.Смешанное произведение не изменяется, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке:
abc bca cab . 4.При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак:
bac abc ; cba abc ; acb abc .
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Теперь посмотрим, как можно удобно вычислить abc. Полагая, как и выше ab = , будем иметь
1
Тофик М. Расулов Векторная алгебра abc x c x y c y z c z .
(1)
Но ведь
ax bx i
ay by j
az bz x i y j z k . k
Следовательно x , y , z – алгебраические дополнения элементов последней строки написанного определителя. Но тогда ax
ay
az
abc bx сx
by сy
bz сz
(2)
т.к. правая часть формулы (1) представляет собой разложение этого определителя по элементам третьей строки. Заметим, что формула (2) удобна также для вычисления объема параллелепипеда, построенного на а, b, c. Пример. Найти объем V параллелепипеда с ребрами
а 3i 2j k ,
b 5i j ,
c 2j 4k .
Решение. Согласно (2) ax
ay
az
3
2
abc bx сx
by сy
bz 5 1 сz 0 2
1 0 18 4
и V = 18 кв.ед.
2