Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия 3. Аналитическая геометрия в пространстве
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Уравнение поверхности Уравнением поверхности в пространстве Оxyz называется такое уравнение между переменными x, y, z, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.
То есть, если
F ( x, y, z) 0
(1)
есть уравнение поверхности Р (см.рис.1), то при M ( x, y, z) P имеем F ( x, y, z) 0 , а при M ( x, y, z) P имеем F ( x, y, z) 0 . Таким образом, уравнение (1) будет выполняться тогда и только тогда, когда точка M ( x, y, z ) принадлежит данной поверхности. Координаты произвольной точки поверхности называются текущими координатами точки. Поэтому составить уравнение поверхности – значит найти связь между текущими координатами ее точек. Пример 1. Посмотрим, как в связи с этим можно составить уравнения координатных плоскостей. Каждая точка M ( x, y, z) , лежащая на координатной плоскости Оyz, имеет абсциссу х 0 ; и обратно, если для какой-нибудь точки M ( x, y, z) ее абсцисса х 0 , то эта точка расположена на плоскости Оyz.
Рис.1 Следовательно,
х0
Уравнение координатной плоскости Оyz
есть уравнение координатной плоскости Оyz . Точно так же
у0
Уравнение координатной плоскости Охz
есть уравнение координатной плоскости Охz, и 1
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия
z 0
Уравнение координатной плоскости Оху
есть уравнение координатной плоскости Оху. В более общем случае: ха
у b
zc
(2)
уравнения трех плоскостей, перпендикулярных соответствующим Оу, Оz и отсекающих на них отрезки, численно равные a, b, c.
координатным
осям
Ох,
Теорема 1 Уравнение цилиндрической поверхности Уравнения цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны координатной оси, не содержит текущей координаты, одноименной с этой координатной осью, и обратно. Доказательство. Пусть, например, цилиндрическая поверхность образована перемещением прямой MN || Oz (образующая) вдоль заданной линии L, лежащей в плоскости Оху (направляющая) (см.рис.2).
Рис.2 Обозначим через M ( x, y, z) точку поверхности Р с текущими координатами x, y, z . Образующая MN , проходящая через точку М, пересекает направляющую, очевидно, в точке N ( x, y, 0) . Пусть
F ( x, y) 0
(3)
уравнение направляющей L в координатной плоскости Оху. Этому уравнению удовлетворяют координаты точки N. Так как точка М поверхности Р имеет ту же самую абсциссу х и ту же самую ординату у, что и точка N, а переменная z в уравнение (3) не входит, то координаты точки М также удовлетворяют уравнению (3) Таким образом, координаты любой точки M ( x, y, z) поверхности Р удовлетворяют уравнению (3). Обратно, если координаты какой-нибудь точки M ( x, y, z) удовлетворяют уравнению (3), то эта точка расположена на прямой MN || Oz такой, что ее след на плоскости Оху, точка N ( x, y, 0) , лежит на линии L, а значит, точка М принадлежит цилиндрической поверхности Р. Следовательно,
F ( x, y) 0
Уравнение цилиндрической поверхности
является уравнением цилиндрической поверхности в пространстве Oxyz, причем в этом уравнении отсутствует координата z. 2
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия Пример 2. Уравнение эллиптического цилиндра. Эллиптический цилиндр, в основании которого лежит эллипс с полуосями а и b, а осью служит ось Оz (см.рис.3), на основании предыдущей теоремы имеет уравнение
х2 y 2 1 а 2 b2
Эллиптический цилиндр
Рис.3 В частности, при a b получаем уравнение кругового цилиндра x2 y2 a2 .
Линию L в пространстве можно задать как пересечение двух данных поверхностей Р1 и Р 2 (см.рис.4).
Рис.4 Точка M ( x, y, z) , лежащая на линии L, принадлежит как поверхности Р1 , так и поверхности Р 2 , и, следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнениям обеих поверхностей. Поэтому под уравнениями линий в пространстве понимается совокупность двух уравнений: F1 ( x, y , z ) 0 F2 ( x, y , z ) 0
Уравнения линии в пространстве
(4)
являющихся уравнениями плоскостей, определяющих данную линию. Не нужно думать, что для нахождения уравнений линии систему (4) следует «решить». Этого вообще говоря, нельзя сделать, так как число уравнений системы (4) меньше числа неизвестных. Точный смысл, который придается равенствам (4), следующий: линии L принадлежат те и только те точки M ( x, y, z) , координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям системы (4).
3
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия
Уравнения линии Уравнениями линии в пространстве Oxyz называется такая пара уравнений, между переменными x, y, z которую удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на данной линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Пример 3. Уравнения координатных осей. Ось Ox можно рассматривать, как пересечение координатных плоскостей Oxy и Oxz. Поэтому у 0 z 0
Уравнения оси Ox
есть уравнения оси Ox. Аналогично х 0 z 0
Уравнения оси Oу,
есть уравнения оси Oу, и
х 0 у 0
Уравнения оси Oz.
есть уравнения оси Oz.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Прямая в пространстве однозначно определяется точкой М 0 ( x0 , y0 , z 0 ) и направлением, т.е. некоторым вектором. Пусть r0 ( x0 , y0 , z 0 ) – радиус-вектор точки M 0 и s (l , m, n) – ненулевой направляющий вектор прямой. Обозначая через r ( x, y, z ) радиус-вектор произвольной точки М прямой, из векторного треугольника ОМ 0 М (см.рис.5)
Рис.5 имеем r r0 M 0 M .
(5)
Так как векторы M 0 M и s коллинеарны, то они линейно зависимы, т.е. один можно получить из другого умножением на некоторое число. Тогда
4
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия M 0M t s ,
где t – некоторый скаляр ( t ). Подставляя это выражение в уравнение (5), получим векторное уравнение прямой линии в пространстве r r0 t s
Векторное уравнение прямой
(6)
Проектируя равенство (6) на координатные оси, будем иметь параметрические уравнения прямой линии в пространстве
x x0 lt y y 0 mt z z 0 nt
Параметрические уравнения прямой (7)
Если из уравнений (7) исключить параметр t, то получим так называемые канонические уравнения прямой линии в пространстве
x x0 y y 0 z z 0 l m n
Канонические уравнения
(8)
Пример 1. Уравнения движения ракеты имеют вид:
x 2t y 4t z 4t где время t – дано в секундах, а координаты ( x, y, z ) движущейся точки – в километрах. Какова траектория ракеты? На каком расстоянии будет находиться ракета М от точки старта С(0, 0, 0) через 10 секунд? Решение. Исключая из данных уравнений время t, получим уравнение траектории
x y z 2 4 4
или
x y z 1 2 2
Таким образом, траектория представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. При t 10 с имеем x 20, y 40, z 40 и
r OM x 2 y 2 z 2 400 1600 1600 3600 60 км.
УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ
Сфера Сферой радиуса R называется множество всех точек пространства, расстояние каждой из которых до данной точки (центра) равно R.
5
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия Выведем уравнение сферы. Пусть С ( x0 , y 0 , z 0 ) – произвольная точка, лежащая на этой сфере (см.рис.6).
центр сферы радиуса R, а М ( x, y, z) –
Рис.6 Тогда, как видно из рисунка 6,
СМ R . По формуле расстояния между двумя точками имеем
CM ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 . Приравнивая это выражение R, получим уравнение сферы
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R или окончательно ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R 2 Уравнение сферы (9)
Если центр сферы совпадает с началом координат, то x0 0, y0 0, z 0 0 , и уравнение принимает вид
x2 y2 z2 R2
Сфера в начале координат
Пример 1. Определить координаты центра и радиус сферы x 2 y 2 z 2 2 y 3z 0
Решение. Объединяя члены, содержащие одноименные текущие координаты, и дополняя их до полных квадратов, будем иметь x 2 y 2 2 y z 2 3z 0
x 2 y 2 2 y 1 1 z 2 3z
9 9 0 4 4
2
3 13 x 2 ( y 1) 2 z 2 4
Следовательно, центр сферы находится в точке C(0,1, 3 / 2) и радиус ее равен Заметим, что совокупность
6
1 13 . 2
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R 2 Ax By Cz D 0
уравнений сферы и плоскости определяет окружность, по которой пересекается плоскость и сфера.
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Трехосный эллипсоид Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.
Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:
X 2 Y 2 Z 2 R2
(10)
где X , Y , Z – текущие координаты точки сферы. Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей Ох, Оу, Oz с коэффициентами деформации, равными k1 , k 2 , k 3 (т.е. линейные размеры сферы в 1 направлении оси Ох уменьшатся в раз, если 0 k1 1 , и увеличатся в k 1 раз, если k1 1 и т.д.). В k1 результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М ( X , Y , Z ) с текущими координатами X , Y , Z перейдет в точку эллипсоида М ' ( x, y, z ) с текущими координатами x, y, z , (см. рис.7), причем координаты x, y, z любой точки M ' эллипсоида будут выражаться через координаты X , Y , Z соответствующей точки M сферы следующими соотношениями:
x k1 X y k 2Y z k 3 Z
Рис.7 Выразив координаты точек сферы через координаты точек эллипсоида, получим: X
x y z , Y ,Z k1 k2 k3
7
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия Подставляя эти формулы в уравнение сферы (10), будем иметь x2 y2 z2 R2 2 2 2 k1 k2 k3
или
x2 y2 z 2 1 a2 b2 c2
Уравнение эллипсоида
(11)
где a k1 R, b k 2 R, c k 3 R . Уравнение (11) связывает текущие координаты точки M ' эллипсоида и следовательно является уравнением трехосного эллипсоида. Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида, удвоенные величины 2a, 2b, 2c называются осями эллипсоида и очевидно представляют его линейные размеры в направлениях деформации. Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии поверхность земного шара считают эллипсоидом вращения с полуосями a b 6,377 км и c 6,356 км. Уравнение эллипсоида вращения имеет вид:
x2 y2 z 2 2 1. a2 c Если a b c , то эллипсоид превращается в сферу. Аналогично этому уравнение гиперболоида вращения (см.рис.8) имеет вид
x2 y2 z 2 2 1 a2 c
Гиперболоид вращения
Рис.8 а уравнение параболоида вращения (см.рис.9) имеет вид x 2 y 2 2 pz .
Параболоид вращения
Рис.9
8
Тофик М. Расулов Аналитическая геометрия
ЗАДАЧИ
1. Какие геометрические образы в пространстве соответствуют данным уравнениям: А) xy 0 Б) xz yz В) x 2 y 2 0 Г) z 2 2 x
Д) y 1, z 2
Е) x 2 0
Ж) x 2 y 2 0 З) x 2 y 2 z 2 0 Ответ: А) Совокупность координатных плоскостей Oyz и Oxz ; Б) Совокупность координатной плоскости Oxy и биссекторной плоскости двугранного угла между координатными плоскостями Oxz и Oyz ; В) Пара параллельных плоскостей у 2 и у 1 ; Г) Параболический цилиндр; Д) Прямая, параллельная оси Ох; Е) Координатная плоскость Oyz ; Ж) Ось Oz ; З) Точка О(0, 0, 0) . 2. Определить длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость x y z 2 8 0 и углы, образованные этим перпендикуляром с осями координат. Ответ: p 4, 60, 120 , 45 . 3. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oz и отсекающей на осях Ox и Oy отрезки x y длины 2 и 3 соответственно. Ответ: 1 . 2 3 4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (1, 2, 3) и перпендикулярной оси Oz . Ответ: z 3 . 5. Какие углы образует прямая x 1 y 2 z 1 1 2 с осями координат? Ответ: 60 , 120 , 135 .
9