Тофик М. Расулов Линейная алгебра
Линейная алгебра Основной задачей линейной алгебры является решение систем линейных уравнений. Так как методы элементарной алгебры не применимы к системам уравнений с большим числом переменных, мы обратимся к другим методам решения, таким как метод Гаусса – Жордана или метод Крамера, а также к концепции обратной матрицы, которая совершенно естественно возникает, когда имеешь дело с линейными системами большого порядка. Мы изучим матрицы и операции над матрицами, которые также будут нам весьма полезны. Следует также отметить, что теория матриц является базисом для решения больших систем линейных уравнений с помощью компьютеров. 1.1. Системы линейных уравнений с двумя переменными
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ МЕТОД ПОДСТАНОВКИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПРИЛОЖЕНИЕ
СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Чтобы обосновать базовую концепцию теории систем линейных уравнений, рассмотрим следующий простой пример. Если 2 взрослых билета и 1 детский билет стоят 8 манатов, а 1 взрослый билет и 3 детских билета стоят 9 манатов, сколько стоит каждый билет? Пусть:
x - цена взрослого билета
y - цена детского билета Тогда:
2 x y 8 x 3y 9
Как видно, мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными. Найти упорядоченную пару x, y , которая удовлетворит одно или другое из этих уравнений не трудно. Например, пара (4, 0) удовлетворяет первое уравнение, но не удовлетворяет второе, а пара (6, 1) удовлетворяет второе уравнение, но не удовлетворяет первое. Чтобы решить эту систему, мы должны найти упорядоченную пару действительных чисел, которая удовлетворит оба уравнения одновременно. В общем, мы приходим к следующему определению. Системы линейных уравнений с двумя переменными Для данной линейной системы
a1 x b1 y c1 a 2 x b2 y c2 где a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 – действительные постоянные, пара чисел x x0 , y y0 , записывающаяся также как упорядоченная пара x0 , y0 , является решением этой системы, если каждое уравнение системы удовлетворяется этой парой. Множество таких упорядоченных пар называется множеством решений системы. Решить систему значит найти множество ее решений.
1
Тофик М. Расулов Линейная алгебра Теперь сформулируем некоторые термины, которые мы можем использовать для описания различных типов линейных систем. Системы линейных уравнений – основные термины Система линейных уравнений совместима или непротиворечива, если она имеет одно или более решений и несовместима или противоречива, если решений у нее не существует. Совместимая система называется независимой, если она имеет только одно (единственное) решение, и зависимой, если она имеет более одного решения. Здесь следует дать пояснение этим терминам. Когда мы называем систему совместимой или непротиворечивой, это означает, что совместимы входящие в нее уравнения, и они не противоречат друг другу. Например, уравнения 2 x 3 y 4 2 x 3 y 5
противоречат друг другу, потому, что одно и то же выражение не может одновременно равняться и 4 и 5. Далее, когда мы называем систему зависимой, это означает, что линейно зависимы друг от друга ее уравнения, то есть одно уравнение системы можно получить из другого с помощью линейных операций (в частности, умножения на какое-то число). Например, уравнения x 2 y 3 2 x 4 y 6
линейно зависимы, так как второе уравнение можно получить из первого умножением на 2. Сократив же второе уравнение на 2, мы получим систему x 2 y 3 x 2 y 3
Такая система, очевидно, имеет бесчисленное множество решений, так как координаты x, y любой точки, лежащей на прямой x 2 y 3 , будут удовлетворять это уравнение, а таких точек существует бесчисленное множество. Теорема 1. Возможные решения линейных систем Линейная система a1 x b1 y c1 a 2 x b2 y c 2
может иметь: Единственное решение Совместима и независима Не иметь решения Несовместима Бесчисленное множество решений Совместима и зависима Других случаев не существует.
2
Тофик М. Расулов Линейная алгебра
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ
Теперь рассмотрим алгебраический метод, который очень удобен в применении и обеспечивает нахождение точного решения систем двух уравнений с двумя переменными, если эти решения существуют. Этот метод заключается в том, что мы выбираем одно из уравнений системы, и затем решаем его относительно первой переменной, выражая ее через вторую переменную. (Выбор производим так, чтобы по возможности избавиться от дробей.) Затем мы подставляем результат в другое уравнение и решаем полученное линейное уравнение одной переменной. Наконец, мы подставляем полученный результат обратно в любое из первоначальных уравнений и находим вторую переменную. Пример, приведенный ниже, поможет нам разобраться в этом процессе. Пример 3. Решение системы уравнений методом подстановки. Решить методом подстановки систему 5 x y 4 2 x 3 y 5
Решение Решим любое из уравнений относительно одной из переменных, выразив ее через другую. Заметим, что мы можем избежать дробей, если выберем первое из уравнений и выразим у через х :
5x y 4 y 4 5x
Решим первое уравнение относительно y Подставим во второе уравнение
2x 3 y 5
Второе уравнение
2x 3(4 5x) 5 2x 12 15x 5 17 x 17 x 1
Решим относительно x
Теперь заменим x 1 в выражении y 4 5x и найдем у :
y 4 5x y 4 5 (1) y 1 Таким образом, решением системы будут x 1 и y 1 . Проверка
5x y 4 5 (1) (1) 4 44
2x 3 y 5 2 (1) 3 (1) 5 55
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ
Метод подстановки прекрасно работает для систем с двумя неизвестными. Однако он не распространяется на большие системы. Теперь мы обратимся к последовательному исключению неизвестных. Это возможно самый важный метод решения систем линейных уравнений. Он хорошо обобщается на случай больших систем и формирует базис для методов их компьютерного решения. Мы уже знакомы с операциями, которые можно применить к отдельным уравнениям, без изменения множества их решения (полученное новое уравнение называется эквивалентным). Напомним их. 3
Тофик М. Расулов Линейная алгебра
Эквивалентные уравнения Мы получим эквивалентное уравнение если: 1.К каждой части данного уравнения прибавить или отнять от нее одну и ту же величину. 2.Каждую часть данного уравнения умножить или разделить на одну и ту же величину отличную от нуля. Точно также последовательное исключение неизвестных включает выполнение над системой уравнений подходящих операций для получения новой и более простой эквивалентной системы с тем же множеством решений. В общем, мы будем говорить, что две системы уравнений эквивалентны, если они будут иметь одно и то же множество решений. Перечислим три дозволенных операции, которые преобразовывают данную систему в эквивалентную. Теорема 2. Эквивалентные системы Система линейных уравнений преобразовывается в эквивалентную, если выполняются следующие операции. 1.Если в системе поменять местами уравнения, то полученная система будет эквивалентна исходной. 2.Если в системе заменить какое-либо уравнение на эквивалентное (например, умноженное на какое-либо число), а остальные оставить без изменения, то вновь полученная система будет эквивалентна исходной. 3.Если какое-либо уравнение системы заменить суммой уравнений системы, и полученное уравнение записать одним из уравнений системы, а остальные оставить без изменения, то вновь полученная система также будет эквивалентна исходной. Для получения эквивалентной системы может быть использована любая из перечисленных в Теореме 2 операций, но наиболее полезными для нас будут операции 2 и 3. Операция 1 будет полезна, когда мы будем иметь дело с большими системами. Покажем применение Теоремы 2 на примере. Пример 4. Решение системы методом исключения сложением. Решить методом последовательного исключения неизвестных следующую систему. 3х 2 у 8 2 х 5 у 1
Решение. Воспользуемся Теоремой 2, чтобы исключить одно из неизвестных и получить систему с очевидным решением: 3х 2 у 8 2 х 5 у 1 5 (3 х 2 у ) 5 (8) 2 (2 х 5 у ) 2 (1) 15 х 10 у 40 4 х 10 у 2
19х = 38 х2
Умножим обе части на 5 Умножим обе части на 2
Сложим уравнения, сократив у Разделим обе части на 19 Это уравнение в паре с любым из первоначальных уравнений системы образует систему эквивалентную первоначальной.
4
Тофик М. Расулов Линейная алгебра Зная, что х 2 , мы подставляем это число обратно в любое из двух первоначальных уравнений системы (мы выберем второе) и решим его относительно у:
2 (2) 5 у 1 5 у 5 у 1 Таким образом, решением системы будет х 2 , у 1 или (2, 1) . Проверка
3х 2 у 8 3 (2) 2 (1) 8 88
2 х 5 у 1 2 (2) 5 (1) 1 1 1
ПРИЛОЖЕНИЕ
Множество задач реальной жизни решаются с помощью систем линейных уравнений. Разберем один такой пример детально. Пример 5. Диета. Женщина хочет использовать молоко и апельсиновый сок, чтобы повысить количество кальция и витамина А в ежедневной диете. Унция молока содержит 37 миллиграмм кальция и 57 микрограммов (одна миллионная – 10 6 грамма) витамина А. Унция апельсинового сока 5 миллиграмм кальция и 65 микрограммов витамина А. Сколько молока и сколько апельсинового сока должна выпивать женщина ежедневно, чтобы обеспечить себе ровно 500 миллиграмм кальция и 1,200 микрограмм витамина А? Решение. Вначале определим соответствующие переменные: х = Количество унций молока
у = Количество унций апельсинового сока Теперь обобщим данную информацию в таблице. Удобно будет построить таблицу таким образом, чтобы величины, представленные переменными, соответствовали столбцу таблицы. Кальций Витамин А
Молоко 37 57
Апельсиновый сок 5 65
Всего необходимо 500 1,200
Теперь используем информацию в таблице и составим уравнения, включающие х и у: Кальций в х унциях молока 37 х Витамин А в х унциях молока 57 х
Кальций в у унциях апельс. сока 5у Витамин А в у унциях апельс. сока 65 у
Весь необходимый кальций 500 Весь необходимый витамин А 1,200
37 x 5 y 500 57 x 65 y 1,200
5
Тофик М. Расулов Линейная алгебра Решим, используя метод последовательного исключения неизвестных. Умножим первое уравнение на –13 и сложим со вторым: 481x 65 y 6,500 57 x 65 y 1,2 425 x 5,300 х = 12.5 37 12,5 5 у 500 5 у 37.5 у = 7.5 Таким образом, ежедневно выпивая 12.5 унций молока и 7.5 унций апельсинового сока, женщина может обеспечить необходимое количество кальция и витамина. Пример 7. Спрос – предложение. Количество продукции, приобретаемое людьми, зависит от его цены. В общем, чем выше цена, тем ниже спрос, и чем ниже цена, тем выше спрос. Кроме того, количество продукции, которое поставщик хочет продать за какой-то промежуток времени зависит также от времени. Конечно, каждый продавец хочет продать больше товара по высокой цене и меньше – по низкой. Простейшая модель «спрос – предложение» это линейная модель, в которой графики уравнений спроса и предложения – прямые линии. Предположим, нам нужно проанализировать ежедневную продажу яблок в некотором городе. Используя специальную аналитическую технику (регрессивный анализ) и записи наблюдений за продажей, аналитики пришли к следующей системе из уравнений «цена – спрос» и «цена – предложение»:
p 0.2q 4 p 0.07q 0.76
Уравнение " цена спрос" Уравнение " цена предложение"
Здесь q - количество яблок в тысячах килограмм, а p - цена в манатах. Например, из первого уравнения видно, что если цена будет 2 маната за килограмм ( 2 0.2q 4 ) , то потребители купят 10 тыс. килограмм ( q 10 ). С другой стороны, из второго уравнения следует, что при цене 2 маната за килограмм поставщики будут поставлять 17.714 тыс. килограмм яблок, т.е. больше, чем могут продать продавцы. Таким образом, при цене 2 маната за килограмм поставщики будут поставлять больше яблок, чем смогут продать продавцы. При этой цене предложение превысит спрос и цена упадет. При какой цене продажа стабилизируется? То есть, при какой цене предложение будет равно спросу? Эта цена, если она существует, называется стабилизирующей ценой, а количество, проданное при такой цене, стабилизирующим количеством. Как найти эти величины? Решим нашу линейную систему p 0.2q 4 p 0.07 q 0.76
методом подстановки (подставим p 0.2q 4 во второе уравнение):
0.2q 4 0.07q 0.76 0.27 q 3.24 q = 12 тыс. кг. Теперь подставим p:
q = 12
стабилизирующее количество обратно
в
одно
из уравнений первоначальной системы и найдем
p 0.2 12 4 6
Тофик М. Расулов Линейная алгебра р = 1.60 ман. за кг.
стабилизирующая цена
Геометрически этот результат показан на рисунке 2. Таким образом, если цена будет выше стабилизирующей цены 1.60 маната за килограмм, предложение превысит спрос и цена упадет. Если цена будет ниже стабилизирующей цены 1.60 маната за килограмм, спрос превысит предложение и цена возрастет. Цена станет стабилизирующей при уровне 1.60 маната за килограмм. При этой цене поставщики поставят 12 тыс. килограмм яблок, а продавцы их продадут.
Рис.2 Задача для самостоятельного решения 7. Повторить пример 7, если p 0.2q 4 p 0.07 q 0.76
Уравнение спроса Уравнение предложени я
Следует заметить, что в реальных жизненных задачах мы в основном сталкиваемся с большими системами линейных уравнений с большим количеством неизвестных. Решение таких систем обычным методом подстановки не возможно и тут приходится искать другие методы. Именно для решения таких систем мы введем понятие матрицы и детерминанта. С помощью матриц эти системы можно записать в виде простых алгебраических уравнений, которые затем решаются определенным способом. В следующем разделе мы вначале введем понятие матрицы. 1.2. Матрицы
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ ЗАДАЧИ
Большинство линейных систем любого происхождения включают в себя большое число уравнений и переменных. В прошлом эти системы решались вручную, что было достаточно сложно. Позже их стали решать на компьютерах. Сейчас имеется большое количество компьютерных программ, таких как Matlab, Mathematica и Maple, решающих линейные системы. Вдобавок, такие программы как Excel и Lotus 1-2-3, также могут решать линейные системы. Далее в разделах 4, 5 и 6 мы разберем несколько методов решения больших систем линейных уравнений, которые часто используются при работе с компьютерами. Пока же в двух следующих разделах (разделах 2 и 3) мы введем понятия матрицы и детерминанта, которые существенно облегчат нам решение больших систем линейных уравнений.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В решении систем линейных уравнений известным из школьного курса методом последовательного исключения неизвестных (или методом исключения сложением) Гаусса, центральную роль играют коэффициенты неизвестных и постоянные (свободные) члены системы. Процесс можно сделать более эффективным для обобщения и работы на компьютере, если ввести математическую форму, называемую матрицей.
7
Тофик М. Расулов Линейная алгебра
Матрица Матрицей называется таблица чисел вида
A
a11
a12
a13 ...
a1n
a 21
a 22
a 23 ...
a 2n
am2
a m3 ...
a mn
... a m1
состоящая из m строк и n столбцов. Каждое число в матрице называется ее элементом. Первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца.
Например, матрица A
1 4 5 7 0 2
имеет 6 элементов, записанных в двух строках и трех столбцах. Выражение m n называется размером матрицы, а числа m и n называются ее измерениями. Коэффициенты и постоянные члены систем линейных уравнений могут формировать различные матрицы. Например, для системы
a11 x a12 y a13 z b1 a 21 x a 22 y a 23 z b2 a31 x a32 y a33 z b3 можно выписать матрицу коэффициентов системы
a11 a12 A a 21 a 22 a31 a32
a13 a 23 a33
матрицу (столбец) постоянных членов
b1 В b2 b3 и расширенную матрицу системы (т.е. матрицу, в которую входят как коэффициенты, так и постоянные члены системы):
Aрасш.
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 b1 a23 b2 a33 b3
Таким образом, существуют матрицы строки и матрицы столбцы (строчная и столбовая матрицы).
8
Тофик М. Расулов Линейная алгебра
Квадратная матрица Если количество строк матрицы равно количеству ее столбцов (m = n), матрицу называют квадратной. В этом случае число n называется порядком матрицы. Например, А
1 2 3 4
матрица второго порядка. В квадратной матрице n-го порядка элементы, стоящие на линии a11 , a 22 , a33 , ... ann , называют главной диагональю. Другая диагональ называется побочной. Если элементы главной диагонали отличны от нуля, а все остальные элементы матрицы равны нулю, матрица называется диагональной: А
1 0 0 4
Транспонированная матрица Если в матрице строки заменить столбцами, не меняя их номера, то полученная матрица называется транспонированной и обозначается AT .
1 2 3 А 4 5 6 7 8 9
1 5 7 А 2 5 8 3 6 9 Т
Если A AT , то матрица называется симметричной, для этого aij a ji :
1 2 3 А 2 1 5 3 5 7
1 2 3 А 2 1 5 3 5 7 Т
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Теперь для того чтобы ввести арифметические действия над матрицами нам очевидно надо ввести понятия равенства двух матриц, понятие 0 и понятие 1. Две матрицы одинакового размера называются равными, если равны их соответствующие элементы. Например, a b d e
c u f x
v y
w z
тогда и только тогда, когда a u
bv cw d x e y f z
9
Тофик М. Расулов Линейная алгебра
Нулевая матрица Если все элементы матрицы равны нулю, матрица называется нулевой. Например: 0 0 0 0 ,
0 0 , 0 0
0 0
,
0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0
0 Нулевые матрицы обозначается буквой О либо просто 0. Можно говорить о сложении, вычитании, умножении матриц, а также умножении матрицы на число.
Сумма матриц Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется такая матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Таким образом, чтобы сложить две матрицы нужно сложить их соответствующие элементы. Сумма матриц не определена для матриц разных размеров. Пример 1. Сложение матриц. (А)
a b w x (a w) (b x) c d y z (c y ) ( d z )
(Б)
2 3 0 3 1 2 5 2 0 1 2 5 3 2 5 2 4 0
(В)
1 7 5 0 2 0 6 1 3 8 2 8
Не определено
Понятно, что, если матрицы A, B, C и О одинакового размера, то А + В = В + А, А + (В + С) = (А + В) + С, А+О=А
Коммутативность Ассоциативность
Разность матриц Разностью двух матриц А и В одинакового размера называется такая матрица С, что А = С + В. То есть, чтобы вычесть две матрицы нужно вычесть их соответствующие элементы. Например, a b w x (a w) (b x) c d y z (c y ) ( d z )
10
Тофик М. Расулов Линейная алгебра
Произведение матрицы на число Произведением матрицы А на число , называется матрица, каждый элемент которой умножен на это число. Например,
3 1 0 6 2 0 2 2 1 3 4 2 6 0 1 2 0 2 4 Теперь мы введем умножение матриц, которое при всей своей кажущейся странности, весьма важно в общей теории матриц и полезно для решения многих практических проблем. Начнем с определения произведения двух особенных матриц, строчной матрицы и столбовой. Произведение строчной и столбовой матриц Произведение матрицы строки размером 1 n и матрицы столбца размером n 1 задается следующим образом b1 a1
a2
... a n
b2 ...
a1b1
a 2 b2
... a n bn
bn
Заметим, что число элементов в строчной матрице и в столбовой матрице должно быть одинаково, чтобы произведение было определено. Теперь используем умножение строчной матрицы 1 n и столбовой матрицы n 1 для введения произведения матриц больших размеров. Произведение матриц Произведением матрицы А размером (m x n) на матрицу В размером (n x p) назовем матрицу С размером (m x p) элементы которой определяются следующим образом: сij aik bkj ,
то есть элемент i-ой строки и j-го столбца есть число полученное умножением i-ой строки матрицы А на j-й столбец матрицы В. Следовательно, для того, чтобы перемножить две матрицы, нужно элементы строк первой матрицы помножить на элементы столбцов второй и результаты сложить. Каждая из полученных сумм, будет одним элементом матрицы-результата. Ясно, что матрицы произвольных размеров перемножать нельзя. Таким образом, первый элемент первой строки умножается на первый элемент первого столбца. Затем второй элемент первой строки умножается на второй элемент первого столбца и т.д. Все полученные результаты суммируются и записываются на месте первого элемента первой строки матрицы-результата. Далее первый элемент первой строки умножается на первый элемент второго столбца. Затем второй элемент первой строки умножается на второй элемент второго столбца и т.д. 11
Тофик М. Расулов Линейная алгебра Все полученные результаты суммируются и записываются на месте второго элемента первой строки матрицы-результата и т.д. Все то же самое проделывается с элементами второй, третьей и всех последующих строк. Прежде чем начать процесс умножения следует проверить размеры матриц. Если А имеет размеры a b , а В имеет размеры c d , то если b c , произведение АВ существует и будет иметь размеры a d (см. рис.1) Должно быть одинаково bc
ab
cd
ad Размеры произведения Рис.1
Это определение не так сложно, как может показаться на первый взгляд и лучше всего в нем разобраться на примере.
2 3 1 2 1 2
2 3 1 2 1 2
1 3 2 0 1 2 1 2
3 2 3 1 0
1 1 2 1
2 3 2 1 2 0 2
[2 1 3 2 (1) (1)] [2 3 3 0 (1) 2] [(2) 1 1 2 2 (1)] [(2) 3 1 0 2 2] 9
4
2 2
Пример 2. Умножение матриц 2 1 4 1 2 2 1 1 0 1 (А) 1 0 1 1 0 1 2 1 2 0 1 2 3 3 4 1
1 1 0 1 (Б) 2 1 2 0 (В)
2 6 1 3
(Г)
1 2 3 6
2 1 1 0 1 2
Не определено
1 2 20 40 3 6 10 20
2 6 0 0 1 3 0 0
(Д) 2 3 0
5 2 16 2
12
Тофик М. Расулов Линейная алгебра
5 (Е) 2 2
10 15 0 2 3 0 4 6 0 4 6 0
При умножении действительных чисел не имеет значения в каком порядке мы их перемножаем, например 5 7 7 5 . Однако при умножении матриц это имеет значение. То есть АВ не всегда равно ВА, даже если оба эти произведения определены и оба произведения имеют одинаковые размеры. Таким образом, произведение матриц не коммутативно. Кроме того АВ может равняться нулю, даже если ни А ни В нулю не равны. Таким образом, произведение двух ненулевых матриц может быть нулевой матрицей. Как мы знаем, в множестве действительных чисел 1 a a 1 a . Число 1 называется единицей в умножении действительных чисел. Возникает вопрос, а существует ли в множестве матриц произвольных размеров единичный элемент для умножения, т.е. единичная матрица E , такая, что ЕА=АЕ=А Ответ отрицательный. Однако, в множестве квадратных матриц порядка n существует единичный элемент и определяется он следующим образом. Единичная матрица Квадратная матрица любого порядка, в которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, называется единичной. Например, 1 0 E 0 1
или
1 0 0 E 0 1 0 0 0 1
есть единичные матрицы 2-го и 3-го порядка, соответственно. Можно показать, что если А квадратная матрица, то Е А = А Е = А. Причем, естественно порядки этих матриц должны быть одинаковыми. Пример 3. Единичная матрица.
(А)
1 0 0 0 1 0 0 0 1
(Б)
a b d e g h
(В)
1 0 0 1
a b d e g h
c f i a b d e
c a b f d e i g h
c f i
1 0 0 a b 0 1 0 d e 0 0 1 g h
c f i
c a b f d e
c f
13