9789127433892 by Smakprov Media AB

MATTE

Ingrid Olsson · Cecilia Johansson

6 Olsson · Johansson

MatteUtmaning ger elever möjlighet att lära sig mer matematik, men framför allt att öka intresset och få dem att uppleva att matematik är spännande och roligt! MatteUtmaning är en bok för alla elever som behöver nya utmaningar i matematik i stället för att räkna fler uppgifter av samma sort. Här finns varierande uppgifter med problemlösning, logiskt tänkande och taluppfattning, men även historik kring hur man räknade förr, aktiviteter med undersökningar, samt smart huvudräkning. Eleverna kan arbeta självständigt med hjälp av ledtrådar och facit med förklaringar som finns i boken. Men låt dem gärna arbeta tillsammans, det lockar fram viktiga matematiska resonemang kring uppgifterna. MatteUtmaning 4 – 6 är en fristående del i serien och fungerar för alla, oavsett vilket övrigt material som används i klassrummet.

R L

Ö Å R Ö D

R B

B Å

Å L D B RÖ Å L B

Å L D B ÖÅ R Å LL BB

D Ö Å R LD BÖ Å R L B

Å L ÅÅ LL BB Å L B

Å R

D Ö DD ÖÖ RR D Ö R

ISBN 978-91-27-43389-2

Ingrid Olsson Cecilia Johansson

9 789127 433892

EldoradoUtmaning6_omslag_original.indd 1

2017-01-26 18:54

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 2

2017-01-26 21:15

Innehåll Kapitel 1 5

Kapitel 5 45

A LGEBR A MED EK VAT IONER

VOLY M, S A MBA ND OCH F ÖR Ä NDRING

Algebraiska uttryck 6 Likhetstänkande 8 Textuppgifter, ekvationer 10 Växande mönster 11 Undersök talmönster 13 ”Se” lösning på ekvationer 14

Gamla volymmått 46 Grafer 48 Logiskt tänkande 50 Undersök volym 52 Multiplikation av tal > 100 54

Kapitel 2 15

S A NNOL IK HE T OCH H A S T IGHE T

R Ä K NEME T ODER ∙ OCH ÷

Tal i kubik och konsekutiva tal 16 Problemlösning 18 Primtal och sammansatta tal 19 Binära talsystemet 20 Undersök danska talsystemet 23 Multiplicera med 25, 2,5 och 0,25 24

Kapitel 3 25 KOMBIN AT ORIK OCH SK A L A

Kombinatorik 26 Problemlösning 28 Undersök skala 32 Multiplikation av tal nära varandra 34

Kapitel 4 35 BR Å K OCH PROCEN T

Räkna med moms 36 Bråk och procent 38 Procent och karat 40 Promille 42 Undersök procent 43 Huvudräkning, procent 44

Kapitel 6 55 Sannolikhet 56 Hastighet 58 Trick med kort 60 Figurer, mönster 61 Undersök trick med kort 62 Miniräknaren, programmering 64

Mera utmaning Algebra 65 Tal 66

Textuppgifter med bråk 67 Multiplikation och division 68 Problemlösning 69 Modulo 70 Klurigt 72 Uppskattning 73 Undersök udda tal och tal i kvadrat 74 Problemlösning 76 Undersök kvadrater 78 Exponenttal 79 Spel 80

Ledtrådar 81 Facit 87

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 3

2017-01-26 21:15

Välkommen till Matte Utmaning åk 6! Vad roligt att du ska arbeta med den här boken. Hoppas att du gillar utmaningarna. I kapitel 1–6 finns det problemlösningsuppgifter och sidor med rubrikerna Undersök, samt Tänk smart där du bland annat får tips på huvudräkningsknep. Sedan följer Mera utmaning med blandat innehåll.

Problemlösning är huvudmålet Du får träna alla dina kunskaper i räknande, geometri, statistik och algebra för att kunna använda dem när du ska lösa olika typer av problem. Men att lyckas med problemlösning handlar också mycket om att våga pröva, använda sin fantasi och att kunna dra slutsatser. Allt det får du också träna här och då blir det ännu roligare att möta nya utmaningar.

Uppgifter med text Ha inte för bråttom vid textuppgifter. Följ gärna en bestämd arbetsgång, t ex:

1 2 3 4 5

Läs hela uppgiften noga och berätta för dig själv vad som händer i uppgiften. Ta reda på vad det frågas efter. Läs en mening i taget och rita eller anteckna vad du får veta. Skriv lösningen på mattespråket och räkna ut svaret. Reflektera över om svaret är rimligt innan du lämnar uppgiften. Är svaret orimligt så försök hitta felet. Är det ett räknefel? Är det ett tankefel?

Ledtrådar Till många av uppgifterna finns ledtrådar. Symbolen L står då framför uppgiftens nummer. När du har läst ledtråden, så kanske du kommer på lösningen till uppgiften.

Facit Om ditt svar inte stämmer, så titta på din lösning och kontrollera om du gjort något räknefel eller om du tänkt fel. Stämmer det ändå inte, så jämför med någon kamrat. Tillsammans kan ni säkert komma fram till rätt svar. Du får alltså gärna arbeta tillsammans med en kamrat och resonera om uppgifterna. Ledtrådar och facit utmanar dig att hitta flera lösningar och att utveckla dina svar. På så sätt får du verkligen visa dina kunskaper i att resonera och kommunicera. Vi hoppas att du ska lära dig mycket matematik, men framför allt att du ska tycka att det är roligt och spännande med matematik och bli ännu mer intresserad.

Ingrid och Cecilia

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 4

2017-01-26 21:15

Kapitel

Du behöver en bra passare.

Rita en likadan figur av cirklar, men färglägg ett eget mönster i den. Under Ledtrådar finns förslag på hur du kan rita cirklarna. 5

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 5

2017-01-26 21:15

1 I ett tärningsspel ska man addera tärningars tal och försöka få så många poäng som möjligt. Den vita tärningen visar med vilket tal summan ska multipliceras.

T ex:

2(4 ∙ 5 + 2 ∙ 4) = 2(20 + 8) = 2 ∙ 28 = 56 poäng Skriv uttyck för hur många poäng tärningarna visar. Beräkna poängen.

2 Välj rätt uttryck till varje uppgift. Emil pantar 3 kassar med vardera 5 flaskor för 2 kr och 8 små flaskor för 1 kr. Hur mycket får Emil i pant?

A 5 ∙ 2 + 8 ∙ 1

B 2 (3 + 5) + 8 ∙ 1

C 3 (5 ∙ 2 + 8 ∙ 1)

D 3 (5 + 8)

3 Eleverna spelar tärningsspelet ovan, men använder tärningar med a, b, c, a d, e och f i a stället för prickar. a) Skriv uttryck för hur många

b) Beräkna poängsumman om:

a poäng a a tärningarna bvisar. b a = 5 b = 10 c = 20 a a a b b a b aac c c ) Beräkna poängsumman om: b a = 10 b = 20 c = 100 ab a aba a a cb c cb c b b d d c cb fickb90 poäng. cb e Vilka tre tal kan d, e och f stå för? b c b dd) bSamira c c e d d d Inget av talen är större än 5. Talet d är hälften av talet e. cd c cdc c c ed e ed e d d f f e e ef d f d ef dd f d e ed f e eef e ef fe f f a

• KAPITEL 1

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 6

f 2017-01-26 21:15

Spela Galoppspelet

−3

r−v

−r

5−r 12 − (r + v)

2r − 6

MÅL

v−1

r−1

Start

r+v−5

2r − v

2(v + 1)

v−r

8 − (r

−r

v− 2(

Varje spelare har 3 galopphästar som alla ska göra ett varv på banan. Slå två tärningar 1–6, en röd och en vit. Bokstäverna r och v står för röd respektive vit tärnings tal. Om uttrycket ger ett negativt tal får man flytta bakåt. Alla tre hästarna får vara på banan samtidigt. Då kan man flytta den häst vars uttryck ger flest steg. Den som först får alla sina tre hästar över mållinjen vinner.

6−r

6−v

Spelregler

+ v)

KAPITEL 1 •

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 7

2017-01-26 21:15

4 Hur mycket väger kuben, klotet, cylindern, respektive rätblocket i var och en av uppgifterna? Vilka av vågarna börjar du med? Förklara hur du löser uppgifterna.

20 hg

18 hg

35 hg

34 hg

b) 10 hg

13 hg

33 hg

1 1 hg

c ) 28 hg

21 hg

24 hg

23 hg

d) 14 hg

19 hg

16 hg

9 hg

e) Gör en egen uppgift med fyra vågar.

• KAPITEL 1

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 8

2017-01-26 21:15

(3x + 1) + (2x + 3) = 24 5x + 4 = 24 5x = 20 x=4

3x + 1 2x + 3 3

x + 1

Sätt in 4 för x i pyramiden och kontrollräkna.

5 Rita av talpyramiderna. Lös ekvationerna och kontrollräkna. a)

c )

73 3x + 5

2x + 3

x − 3

x + 2

2x + 5

x + 9

x + 1

x + 2

44 x + 2

2x − 3

x − 1

102

x + 4

x − 2

x + 2

x + 1

x + 8 x + 4

6 Vilka värden har x? Lös uppgifterna med ekvation. Kontrollräkna. a)

24 2x

3x + 1

48 3x − 3

6x + 6

KAPITEL 1 •

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 9

2017-01-26 21:15

Lös uppgifterna med ekvation.

7 Ett rektangulärt staket runt en hästhage har omkretsen 160 m. Den långa sidan är 20 m längre än den korta sidan. a) Hur långa är hästhagens sidor? b) Beräkna hästhagens area. 8 Det är tre travhästar i hagen. Tillsammans har de vunnit 3,1 miljoner kronor. Hur mycket har var och en vunnit om A har vunnit dubbelt så mycket som B, och C har vunnit en halv miljon mer än B? 4x

9 En annan hästhage har omkretsen 140 m. a) Beräkna hästhagens längd och bredd. b) Hur mycket mindre är den här hagens area jämfört med den förra?

10 I den här hagen finns hästarna D och E. De har sprungit in 1,8 miljoner kronor. Hur mycket har var och en vunnit om D har vunnit tre gånger så mycket som E? 11 Tre av de fem hästarna är födda samma år. Den äldsta är dubbelt så gammal som den yngsta. De andra tre är 2 år äldre än den yngsta. Hur många år är var och en av de fem hästarna om de tillsammans är 30 år? 12 Ägaren funderar på att göra en ny hästhage med arean 1 800 m2. Längden ska vara dubbla bredden. a) Beräkna hästhagens längd och bredd. b) Hur långt staket behövs runt hästhagen?

Omkrets är längd och area är en ytas storlek.

• KAPITEL 1

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 10

2017-01-26 21:15

Beskriva mönster 1. Rita mönstret. Figur

2. Gör en tabell.

Figur nr:

Antal klossar som inte ändras:

1∙3

2∙3

3∙3

4∙3

n∙3

1∙3+1

2∙3+1

3∙3+1

4∙3+1

n∙3+1

Antal klossar som läggs till: Summa klossar:

3. Skriv ett algebraiskt uttryck: Summan av antalet klossar i figur n är n ⋅ 3 + 1 eller 3 n + 1.

13 Titta noga på hur mönstret växer och vad som läggs till för varje figur.

Figur

a) Rita figur 4 och se om din hypotes stämmer. b) Gör en tabell och skriv ett uttryck för antalet kulor i figur n. c ) Hur många kulor finns det sammanlagt i:

figur 8?

d) Vilket nummer har figuren med sammanlagt: 31 kulor? L

figur 12? 77 kulor?

14 Gör på motsvarande sätt som ovan med följande mönster.

Figur

a) Skriv ett uttryck för antalet stickor i figur n. b) Hur många stickor behövs till:

figur 8?

c ) Vilket nummer har figuren med: 61 stickor?

figur 21? 126 stickor?

KAPITEL 1 •

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 11

2017-01-26 21:15

15 Gör en tabell över antalet kvadrater i de olika figurerna i mönstret.

Figur

a) Skriv ett uttryck för antalet kvadrater

i figur n?

b) Hur många kvadrater finns det i:

figur 5?

figur 10?

c ) Vilket nummer har figuren med:

49 kvadrater?

144 kvadrater?

16 Gör en tabell över antalet trianglar i figurerna. Det är samma kvadrater som i uppgift 15.

Figur

a) Skriv ett uttryck för antalet trianglar

i figur n.

b) Hur många trianglar finns det i:

figur 5?

figur 10?

c ) Vilket nummer har figuren med:

72 trianglar?

288 trianglar?

17 Utnyttja dina uttryck från uppgifterna 15 och 16. Det är samma kvadrater som här.

Figur

a) Skriv ett uttryck för antalet små trianglar

i figur n.

b) Hur många små trianglar finns i:

figur 5?

figur 10?

c ) Vilket nummer har figuren med:

144 trianglar?

484 trianglar?

• KAPITEL 1

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 12

2017-01-26 21:15

! ∙ 12

∙ 123

⋅ 1 234

108

1107

11 106



½ ? 4 Produkter i 9:ans tabell

osv till 81

Börja med att göra en sådan här tabell.

18 Gör en spalt i sänder. Tryck in 18 ∙ 12 = 216. Ställ en hypotes om regeln och vad du tror att 27 ∙ 12 är. Räkna sedan ut det på miniräknaren.

4 Hypotesen stämmer.

Pröva din hypotes på nästa multiplikation, 36 ∙ 12.

Använd regeln på de andra multiplikationerna i spalten.

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 13

5 Du ska hitta ett mönster. Inte t ex “dubbla“.

Hypotesen stämmer inte.

Ställ en ny hypotes för 27 ∙ 12.

Vad roligt när man kommer på mönstret.

Gör på motsvarande sätt med ∙ 123 och ∙ 1 234.

KAPITEL 1 •

2017-01-26 21:15

Tänk smart

Ta bort en ask från varje sida. Ta bort bönor från varje sida.

Hur många bönor är det i en ask?

Regler: • Det är lika många bönor på varje sida om =. • Det är alltid lika många bönor i varje ask i en uppgift.

19 Gör så att du får en ask på ena sidan av likhetstecknet och bara bönor på den andra. Tänk att du låtsas ta bort askar och bönor så att likheterna fortfarande stämmer. Då kan du se svaret utan att räkna. Håll gärna över det som du tar bort. a)

Tänk på samma sätt som om det varit askar och bönor.

20 a) 2x + 1 = x + 4

2x + 2 = x + 5 x=3

3x + 1 = x + 5 2x=4 x=2

b) 2x + 3 = x + 5

c ) 4x = 3x + 5

d) 3x + 1 = 2x + 4

e) 5x + 2 = 3x + 14

f ) 4x + 1 = 2x + 17

g) 4x = x + 15

h) 5x + 4 = 34

21 Skriv egna liknande ekvationer och byt med varandra.

• KAPITEL 1

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 14

2017-01-26 21:16

LEDTRÅDAR

Kapitel 1 s 5 Så här ser cirkelmönstret ut när det inte är färglagt.

17 Eftersom det är fyra trianglar i varje figur, så måste det bli fyra gånger så många trianglar som kvadrater. Antalet trianglar i t ex figur 3 är 4 ∙ 3 ∙ 3.

19 a) Håll över en ask på varje sida och tre bönor på varje sida. Då ser du att en ask måste innehålla fyra bönor. Kontrollräkna 4 + 4 + 3 = 4 + 7, vilket stämmer.

20 En ask motsvarar alltså ett x. a) Tänk dig att du tar bort ett x på varje sida. Då har du x + 1 = 4. Ta bort 1 på varje sida och du har x = 3. Kontrollräkna 2 ∙ 3 + 1 = 3 + 4, vilket stämmer.

Börja att rita den stora cirkeln. Antalet små cirklar behöver inte vara samma antal som på sidan. Välj en radie, sätt passaren på den stora cirkeln och rita en liten cirkel. Sätt passaren där den lilla cirkeln skär den stora cirkeln och rita en liten cirkel av samma storlek. Fortsätt så hela varvet runt. Måla egna mönster. Gör gärna flera och måla på olika sätt.

Kapitel 2 s 15 Så här ser cirkelmönstret ut när det inte är färglagt.

1 Kom ihåg att uttrycket i parentesen ska räknas ut först och sedan kan du multiplicera med det tal som står framför.

4 a) Titta på våg D. Du vet att en cylinder och en kub väger 18 hg (våg B). Alltså väger en cylinder och ett klot 34 – 18 = 16 hg. Titta på våg A. Nu vet du vad de fyra rätblocken måste väga och kan räkna ut vad ett väger och sedan kan du räkna vidare.

13 En röd kula finns med i varje figur. Hur förändras mönstret? För varje figur tillkommer två blå kulor. Figur n har alltså n ∙ 2 blå kulor och 1 röd kula, alltså n ∙ 2 + 1.

14 Markera den lodräta stickan längst till vänster. Då tillkommer 5 stickor för varje figur. Antal stickor i figur 1 är 1 ∙ 5 + 1 och antal i figur 2 är 2 ∙ 5 + 1.

15 Antal kvadrater i figur 2 är 2 ∙ 2 och i figur 3 är det 3 ∙ 3. I figur n måste det vara n ∙ __ .

Rita en lagom stor cirkel. Alla cirklar är lika stora här. Sätt passaren på cirkelbågen och rita en cirkel med samma radie. Rita nästa där cirkeln skär den ursprungliga cirkeln. Fortsätt hela varvet runt. Det är samma som mönstret på s 5, men här är alla cirklar lika stora. Måla egna mönster. Gör gärna flera och måla på olika sätt.

2 Kontrollera att dina svar i uppgift 1 är korrekta eftersom du ska utgå från dem. I uppgift a multiplicerade du med 9 och fick 1:or i produkten. I uppgift b multiplicerade du med 18, alltså 2 ∙ 9, och fick 2:or i produkten. I uppgift c multiplicerade du med 27, alltså 3 ∙ 9, och fick 3:or i produkten. Ställ nu en hypotes för hur du kan få 5:or i produkten.

16 Eftersom det är två trianglar i varje figur, så måste det bli dubbelt så många trianglar som kvadrater. Antalet trianglar i t ex figur 3 är 2 ∙ 3 ∙ 3. LEDTRÅDAR •

MatteUtmaning6_inlaga_NY.indd 81

2017-01-26 21:21

MATTE

Ingrid Olsson · Cecilia Johansson

6 Olsson · Johansson

R L

Ö Å R Ö D

R B

B Å

Å L D B RÖ Å L B

Å L D B ÖÅ R Å LL BB

D Ö Å R LD BÖ Å R L B

Å L ÅÅ LL BB Å L B

Å R

D Ö DD ÖÖ RR D Ö R

ISBN 978-91-27-43389-2

Ingrid Olsson Cecilia Johansson

9 789127 433892

EldoradoUtmaning6_omslag_original.indd 1

2017-01-26 18:54