Af Henrik Bindesbøll Nørregaard og Per Gregersen
Kernestof Mat 1 htx Praxis
KERNESTOF Mat 1 htx Henrik Bindesbøll Nørregaard og Per Gregersen © 2021 Forfatterne og Praxis Forlag A/S Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Principlayout og omslag: andresen design Grafisk tilrettelægning: Schnalke Kommunikations-Design Tryk: Livonia Print 1. udgave 1. oplag 2021 ISBN 978 87 2900 051 8 praxis.dk
Indhold Forord 1. Modeller og variable 1.1 Modeller med én variabel
6 8 8
1.2 Ligninger og deres løsninger
10
1.3 Overslagsregning og principskitser
12
1.4 Modeller med to variable
14
Opgaver til kapitel 1
16
Træningssider 1
20
2. Lineære funktioner
22
2.1 Lineær vækst
22
2.2 Beregning a og b
24
2.3 Lineære modeller
26
2.4 Lineær regression
28
2.5 Stykkevist lineære funktioner, definitionsmængde og værdimængde 2.6 Ræsonnementer og beviser
30 32
Opgaver til kapitel 2
34
Træningssider 2
38
3. Trigonometri
40
3.1 Navne og almindelige begreber
40
3.2 Pythagoras' sætning og ligedannede trekanter
42
3.3 Konstruktion – de fem trekantstilfælde
44
3.4 Enhedscirklen
46
3.5 Cosinus og sinus i retvinklede trekanter
48
3.6 Areal af vilkårlig trekant og sinusrelationerne
50
3.7 Cosinusrelationerne
52
3.8 Ræsonnementer og beviser 1
54
3.9 Ræsonnementer og beviser 2
56
Opgaver til kapitel 3
58
Træningssider 3
64
Indhold
3
4. Statistik
66
4.1 Ikke-grupperede observationer
66
4.2 Diagrammer og kvartilsæt
68
4.3 Boksplot og spredning
70
4.4 Grupperede observationer
72
4.5 Diagrammer for grupperede observationer
74
Opgaver til kapitel 4
76
Træningssider 4
80
5. Eksponentielle funktioner
82
5.1 Procent og fremskrivningsfaktor
82
5.2 Eksponentiel vækst
84
5.3 Beregning af a og b
86
5.4 Halverings- og fordoblingskonstant
88
5.5 Eksponentielle vækstmodeller
90
5.6 Logaritmefunktioner
92
5.7 Logaritmer og eksponentielle ligninger
94
5.8 Ræsonnementer og beviser
96
Opgaver til kapitel 5
98
Træningssider 5
102
6. Proportionalitet
104
6.1 Ligefrem proportionalitet
104
6.2 Omvendt proportionalitet
106
Opgaver til kapitel 6
108
Træningssider 6
110
7. Potensfunktioner
112
7.1 Forskrift og graf 7.2 Beregning af a og b i forskriften f(x) = b · x
112 a
114
7.3 Potensregression og modeller
116
7.4 Vækst i procent for både x og y
118
7.5 Teori og beviser –
4
Indhold
egenskaber ved potensfunktionen f(x) = b · x a
120
Opgaver til kapitel 7
122
Træningssider 7
126
8. Cirkler og polygoner 8.1 Cirkler og længder
128 128
8.2 Cirkler og arealer
130
8.3 Polygoner
132
8.4 Ræsonnementer og beviser
134
Opgaver til kapitel 8
Facitliste
136
138
Indhold
5
Forord Denne bog præsenterer den første del af matematikken på den gymnasiale uddannelse htx. Den kan bruges til første halvdel af undervisningen på B-niveau eller første tredjedel af undervisningen på A-niveau.
Matematik i opslag Sideopslagene indledes med en kort case, der introducerer det nye område med fokus på anvendelser, og indeholder teori, eksempler og øvelser. Der er facitliste til alle øvelser bagerst i bogen. I mere end 100 screencasts uddybes forklaringerne til begreber, eksempler, formler, sætninger og beviser. En stjerne (*) markerer, at beviset for en sætning er placeret i afsnittet 'Ræsonnementer og beviser'. Efter hvert kapitel er der opgaver, der følger kapitlets og bogens progression. Mellem alle kapitler er der træningssider med små opgaver om regneoperationer, regnearternes hierarki, brøkregning og parentesregneregler mv.
At forstå matematik Alt, hvad man forsøger at lære, bliver forstået ved, at hjernen kobler det nye stof til de begreber, den allerede kender. Forståelse er knyttet til hjernens netværk af nerveceller. Hjernen har 125 milliarder nerveceller, der hver er forbundet til 10 000 andre. Når man forstår noget, er der skabt forbindelser mellem hjernecellerne. Hjernen danner disse forbindelser helt ubemærket, mens man kæmper med at bruge det nye begreb på alle mulige måder, tænker over det, prøver det af i alle mulige forbindelser og situationer og tager noter, laver et minilex, regner øvelser og opgaver, forklarer ting til andre i små oplæg eller snakker om begreber og opgaver.
To typer forståelse Lad os se på de to grundlæggende typer forståelse instrumentel forståelse og relationel forståelse. Instrumentel forståelse er en forståelse, hvor man (kun) ved, hvad man skal gøre for at løse en given problemstilling, men ikke rigtigt, hvorfor det virker. Den indledende forståelse af et nyt emne/matematisk område vil ofte være instrumentel. Forståelsen er ikke særlig dyb, fordi det nye stof (endnu) ikke er koblet til så mange andre begreber. Man genkender måske x + 2 = 3 som "en ligning", men er usikker på, hvad en ligning egentlig er. Man tænker, at nu skal man det der med at "trække over på den anden side", og tager så 2-tallet og flytter over på den anden side, og skifter fortegn – sådan er reglen jo.
6
Forord
Og der skrives fx: x + 2 = 3, derefter: x = –2 + 3, derefter: x = 1 Relationel forståelse er en forståelse, hvor man har fundet ud af, hvordan ting hænger sammen. Fx at x + 2 = 3 udtrykker en balance mellem to talstørrelser. Man ved nu, at det der med at "trække over på den anden side" er rent vrøvl! Det, der sker, er i virkeligheden, at man trækker 2 fra på begge sider, fordi man derved ikke forstyrrer balancen, samtidigt med at man får isoleret x på den ene side. Man skriver måske nøjagtigt det samme ned på papiret, som man gjorde tidligere, men nu med en dybere forståelse. Man ville nu kunne argumentere for metoden, hvis man blev spurgt.
Gå efter den relationelle forståelse Der er mange fordele ved at opbygge en relationel forståelse af matematik. Blandt andet er det smart at kunne forklare andre (en kammerat, en lærer – eller en censor ...), hvordan en bestemt metode virker. Den største fordel er dog, at en relationel forståelse gør det lettere at koble nye begreber på netværket – og dermed lettere at lære nyt stof. Gamle og nye elementer kan så indgå i en sammenhæng, der giver mening. Hvilken bogstavrække tror du for eksempel, du bedst vil kunne huske? • "aekljtgjkltvtbtwertbrt" • "prøvathuskedetteher" Den effektive måde at skabe stærke forbindelser mellem begreber er ved aktivitet. Så man skal spørge, svare, forklare, regne, tegne og bruge masser af krussedullepapir, hvor tankerne flyder, mens man skriver og tegner, hvad man mener, opgaven går ud på. Krussedullepapiret smides ud, når man har forstået det, man skulle. Krussedullepapiret er et frirum, hvor man kan udtrykke sig mere kreativt end på computeren, og man kan med fordel tænke i at have begge dele klar, når der skal arbejdes med matematikken.
Nye begreber sidder ikke ordentlig fast, hvis du kun lytter eller læser. Du skal være i målrettet aktivitet. God fornøjelse med bogen. Henrik og Per
Forord
7
1. Modeller og variable 1.1 Modeller med én variabel 1 Introduktion Der skal købes is til en klasse. Hvis der er 30 elever, og stykprisen er 25 kr., bliver udgiften 30 · 25 kr. = 750 kr. Hvis der er n elever, bliver udgiften i kr. n · 25. Udgift i kr. = 25 · n Variabel Bogstavet n er her brugt som variabel for antal elever. En variabel er en størrelse, som kan antage forskellige værdier. Ved at indføre en variabel kan vi nu regne på forskellige muligheder.
2 Eksempel En elev har 300 kr. og vil gerne give is, der koster 12 kr. pr. styk, til hele klassen. Hvor mange elever må der højst være i klassen den dag? Det svarer til at spørge: Hvad kan n være, for at 12 · n = 30. Dette er et eksempel på en ligning. Det viser sig, at 12 · 25 = 300. Dvs. ligningen har løsningen n = 25. Der må, med andre ord, højst være 25 elever i klassen den dag.
3 Eksempel En lærer vil give is til 15 kr. pr. styk, til de elever der kommer til tiden en mandag morgen. Hvad vil det koste? Igen lader vi n stå for antal elever, og formlen til beregning af udgiften i kr. er: 15 · n = udgift. Her er udgiften i kr. udregnet for forskellige værdier af n: n
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Udgift
240
255
270
285
300
315
330
345
360
375
390
405
420
435
450
For at kunne regne på sammenhænge fra virkeligheden indføres variable, og herefter beskrives deres sammenhænge med symbolsprog. I matematikken bruger man ofte bogstavet n som variabel, når det tal, som n betegner, er et helt tal. De hele tal er tallene …, –2, –1, 0, 1, 2, … og denne talmængde har symbolet . I arbejdet med ligninger er det dog mere almindeligt at bruge bogstavet x som pladsholder. Talmængden bestående af alle tal kaldes ”de reelle tal”, og symbolet er .
8
1. Modeller og variable
4 Eksempel En 1.g’er er 15 år og vil holde en rund fødselsdag sammen med sin 6 år ældre bror. Hun indfører nogle variable og opstiller en sammenhæng for at finde ud af, hvor gammel hun vil være, når de fylder 40 år tilsammen: Hendes egen alder benævnes x. Hendes brors alder er dermed x + 6. Deres samlede alder er x + x + 6 = 2x + 6. Hun sætter nu 40 lig med 2x + 6 (som var deres samlede alder). Det giver ligningen 40 = 2x + 6. Løsningen til ligningen er x = 17. De må altså vente, til 1.g’eren er 17 år.
5 Den matematiske modelleringsproces Det er en god ide at lade x betegne den
Problemstilling
størrelse, man skal bestemme.
Matematisk beskrivelse ’ligning med x'
I eksempel 4 var problemstillingen at bestemme 1.g’erens alder, derfor betegnede vi hendes alder med x. Herefter skal de
Tolkning af x i forhold til problemstillingen
Matematisk løsning ’talværdi af x’
øvrige oplysninger udtrykkes ud fra x.
6 Øvelse En elev har 125 kr. og vil give is i en klasse, hvor der er 25 elever. a. Opstil en ligning, der kan bruges til at finde ud af, hvad isene må koste. b. Løs ligningen.
7 Øvelse En person har en 4 år ældre storesøster. Hvor gammel er søsteren, når: a. Personen er 15 år? b. Personen er x år?
8 Øvelse Din hund er 8 år yngre end dig, og du overvejer at fejre jeres ”tilsammen 30-års fødselsdag”. a. Indfør en variabel for din alder målt i år. b. Udtryk hundens alder ud fra variablen. c. Udtryk summen af jeres aldre, og forkort udtrykket, så variablen kun optræder et sted. d. Opstil en ligning, og løs den. e. Hvor gammel er du, og hvor gammel er hunden, når I kan fejre 30-års fødselsdag sammen?
1. Modeller og variable
9
1.2 Ligninger og deres løsninger 9 Introduktion Disse to kvinder er i perfekt balance. En matematisk ligning udtrykker også en perfekt balance.
10 Definition Et lighedstegn er et symbol ’=’, der viser, at talstørrelserne på hver side af tegnet er ens. En ligning er to talstørrelser skrevet på hver sin side af et lighedstegn. Talstørrelserne kan være sammensat af tal og bogstaver. Typisk bruges et x for en ubekendt. En løsning er et tal, der gør ligningen sand, når det indsættes på x's plads.
11 Eksempel 2x = 10 er en ligning, for der er et lighedstegn og talstørrelser på hver side. Vi påstår, at ligningen har løsningen 5. Det kan vi teste ved at indsætte 5 på x’s plads og kontrollere, om lighedstegnet kommer til at passe: 2 · 5 = 10 10 = 10 Vi er nu kommet frem til noget, som åbenlyst er sandt: 10 er lig med 10. Dermed har vi vist, at 5 er en løsning. I dette eksempel blev det påstået, at tallet 5 var en løsning, og det blev kontrolleret, at det var sandt. Denne metode har en række ulemper: Det kan nemlig være svært at gætte en løsning, og der kan være flere løsninger end den gættede. For at finde frem til en løsning på en mere systematisk måde, kan man omforme ligningen, så man får x til at stå alene på den ene side af lighedstegnet. Det kaldes at isolere x. Når man isolerer x, er det vigtigt at huske, at en ligning er en balance. For at opretholde balancen, skal man altid gøre det samme på begge sider af lighedstegnet.
12 Eksempel Vi løser ligningen 3x + 8 = –x – 4 3x + x + 8 = –x + x – 4 4x + 8 = –4 4x + 8 – 8 = –4 – 8
1. Modeller og variable
Ligningen er reduceret. 8 er trukket fra på begge sider.
4x = –12
Ligningen er reduceret.
4 x −12 = 4 4
Begge sider er divideret med 4.
x = –3
10
x er lagt til på begge sider.
Løsningen er altså –3.
Man kan også løse ligninger grafisk ved at indtegne dem i et koordinatsystem.
13 Eksempel
y 7
Løsningen på ligningen 2x – 3 = 5 findes ved at aflæse x-værdien til
6
skæringspunktet mellem linjen y = 5 og linjen y = 2x – 3.
5
Det ses, at graferne skærer hinanden, når x = 4. Så x = 4 er løsning
4
til ligningen 2x – 3 = 5.
3 2 1 –1
1
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
x
–1
Ligninger kan også løses ved hjælp af et Computer Algebra System, hvilket forkortes CAS. Der er flere forskellige CAS-programmer, og deres skrivemåder (syntax) er lidt forskellige.
14 Eksempel Ligningen 2x + 14 = 2 – 4x kan, i nogle CAS-programmer, løses med kommandoen: solve(2x+14=2–4x,x) Programmet vil returnere noget i stil med: x = –2 Det betyder, at løsningen til ligningen netop er –2.
15 Øvelse a. Vis, at x = 2 er en løsning til ligningen 4x = 8. Argumenter som i eksempel 11. b. Vis, at x = 5 ikke er en løsning til ligningen 4x = 8.
16 Øvelse Løs ligningerne ved omformning og derefter med CAS. a. 4x – 2 = 18 b. 1 + 4x = 2 + 3x c. 3x + 1 = 2x
17 Øvelse
y 7
På figuren ses graferne for y = –0,5x + 4 og y = x + 1.
6
a. Aflæs løsningen til ligningen –0,5x + 4 = x + 1.
5
b. Kontroller ved indsættelse, at løsningen er rigtig.
4 3 2
18 Øvelse
1
a. Opskriv en ligning, der har tallet 3 som løsning. –1
1
2
x
1. Modeller og variable
11
1.3 Overslagsregning og principskitser 19 Introduktion Hvor meget væske indtager du på et helt liv? Det er svært at beregne helt præcist, men vi kan lave en overslagsberegning: • Væskeindtag = dagligt indtag · antal levedage. • Dagligt indtag: 2 liter. • Der er 365 dage på et år og 36500 dage på 100 år. Dette afrundes til 35000 dage. Væskeindtag = 35 000 dage · 2 liter pr. dag = 70 000 liter. Overslagsregning Overslagsregning handler om at regne sig frem til et kvalificeret gæt på størrelsen af noget, uden at have adgang til hjælpemidler. Man kan strukturere processen ved at: • vælge nogle størrelser, som man mener, svaret afhænger af • bygge en formel, som viser, hvordan man skal regne med disse størrelser • gætte kvalificeret på nogle afrundede værdier af hver størrelse • beregne et cirka-svar på spørgsmålet • vurdere svaret: Virker cirka-svaret fornuftigt i forhold til spørgsmålet, eller skal formlen og/eller nogle af de kvalificerede gæt på talværdierne laves anderledes?
20 Eksempel Hvor lang tid tager det at tælle til 1 milliard? Vi vil vurdere, hvor mange tal der kan tælles pr. time, og hvor mange timer om dagen man kan tælle. • Det tager omkring 6 sekunder pr. tal, så man kan nå 10 pr. minut og dermed 600 pr. time. • Vi regner med, at man kan tælle 10 timer hver dag. Antal tal pr. dag = 10 timer · 600 tal pr. time = 6000. Der er cirka 1 000 dage på tre år, hvor der så vil kunne tælles 1000 · 6000 = 6 000 000, altså 6 millioner tal. Det vil sige, at man kan nå 600 mio. tal på 300 år, og så er vi kun lidt over halvvejs. Et menneske kan altså ikke nå at tælle til 1 milliard på et helt liv. I de to indledende eksempler er der truffet en lang række valg, som indvirker på beregningerne. Usikkerhedsvurdering Det er relativt let at få et indtryk af usikkerheden ved en overslagsberegning. Man kan fx prøve at regne det hele igennem med let ændrede tal.
12
1. Modeller og variable
21 Eksempel I modellen for hvor lang tid det tager at tælle til 1 milliard, kan vi ændre tælletiden pr. tal. Måske tælles der hurtigere eller langsommere end 6 sek. pr. tal.? Husk at 90% af tallene er større end 100 000 000. Prøv selv at tælle et minut, hvor du starter ved 143 736 415 (et hundrede tre og fyrre millioner syvhundrede seks og tredive tusind fire hundrede og femten). Måske mener du, at man ikke kan tælle 10 timer nonstop pr. dag 7 dage om ugen, og vil indføre lidt pauser og ferier osv. Principskitser En principskitse viser en overordnet sammenhæng mellem nogle størrelser.
22 Eksempel I økonomi taler man ofte om udbuds- og efterspørgselskurverne. Bemærk, at Pris
mængde er afsat ud ad førsteaksen og pris op ad andenaksen. Udbudskurven U
E
U
er den røde opadgående kurve på figuren. Kurven skal ikke aflæses præcist. Den viser en principiel sammenhæng: ”jo højere pris – jo større udbud”. Antal
23 Eksempel Kurven viser sammenhængen mellem alder og højde for et menneske. På tidspunktet 0 fødes vi med en given længde. Herefter stiger højden, efterhånden som
Højde
tiden går, og på et tidspunkt omkring gymnasietiden stopper højdevæksten. I alderdommen falder man lidt sammen.
24 Øvelse a. Gennemfør en overslagsberegning af væskeindtaget fra introduktionen med
Alder
nogle antagelser, du mener også godt kunne være rigtige. b. Beregn forskellen mellem dit resultat fra a. og de 70000 liter fra introduktionen. Denne forskel er et godt bud på usikkerheden i beregningen.
25 Øvelse Tegn principskitser for: a. Sammenhængen mellem alder og vægt for et menneske. b. Sammenhængen mellem alder og årsløn for et menneske.
26 Øvelse a. Giv et argument for, at den blå efterspørgselskurve fra eksempel 22 er nedadgående.
27 Øvelse a. Hvor lang tid tager det at gå 5 kilometer? b. Hvor mange skridt tager man, når man går 1 kilometer? c. Hvor lang tid tager det at køre 5 kilometer gennem en by?
1. Modeller og variable
13
1.4 Modeller med to variable 28 Introduktion En bestemt maskine kan producere 15 enheder i timen. Antallet af producerede enheder er en funktion af det antal timer, maskinen kører. Har den kørt i 20 timer, er der produceret 300 enheder: 20 · 15 enheder = 300 enheder. Vi kunne have lavet en principskitse for, hvordan antallet af producerede enheder stiger, for hver time der går. Nu vil vi imidlertid beskrive mere præcist, hvordan to variable kan afhænge af hinanden. Vi starter med at se på de variable, der er i spil i eksemplet med maskinen.
29 Eksempel Vi indfører to variable: x betegner antal timer, maskinen har kørt. y betegner antal producerede enheder. x
y
0
I tabellen her har vi indsat en række udvalgte tal i x-kolonnen. Dvs. vi har udvalgt nogle bestemte antal timer, maskinen kan
1
have kørt.
5 10 50
Når x-værdierne er valgt, kan y-værdierne beregnes. 0 timer: 15 · 0 = 0 1 time: 15 · 1 = 15 5 timer: 15 · 5 = 75, osv. x
y
0
0
1
15
5
75
10
150
50
750
I tabellen her er y-værdierne sat ind.
Da der kun er én y-værdi til hver x-værdi, siger man, at ”y er en funktion af x”. Det kan man også skrive således: ”y = f(x)”. Funktionen, der ligger bag tallene i tabellen, er altså y = f(x) = 15x eller blot f(x) = 15x.
14
1. Modeller og variable
30 Definition En funktion er en sammenhæng mellem to variable størrelser: en uafhængig, som vi kalder x, og en, der afhænger af x, som vi kalder f(x) eller y. Sammenhængen beskrives med en regneforskrift, tabel, graf eller tekst. Til ét x må kun være ét f(x). Grafen for en funktion er mængden af punkter (x,y), der opfylder, at y = f(x). Det betyder, at en given y-værdi fremkommer som funktion af en x-værdi.
Vi har allerede set tre repræsentationer af den samme funktion. Sprogligt: Værdien af y er 15 gange værdien af x. Med en regneforskrift: f(x) = 15x Med en tabel i eksempel 29. Den fjerde repræsentationsform – den grafiske – ser vi på nu. Vi minder først om et par ting ved koordinatsystemet. y-aksen 4
31 Definition
3
Et koordinatsystem består af to akser, en vandret (første-
2. kvadrant (– , +)
aksen) og en lodret (andenaksen). Normalt kaldes den
1
vandrette akse x-aksen og den lodrette akse y-aksen.
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
Akserne skærer hinanden i punktet (0,0), og akserne ind-
3. kvadrant (– , –) -2
deler planen i fire kvadranter.
1. kvadrant (+ , +)
2
5 x-aksen
4. kvadrant (+ , –)
-3
32 Eksempel y
Til højre ses grafen for funktionen f(x) = 15x. Bemærk, at enhederne på de to akser er valgt forskelligt – ellers bliver grafen meget stejl.
33 Øvelse
10
a. Hvilke to kvadranter løber grafen igennem? -1
34 Øvelse
1
x
-10
En funktion har regneforskriften f(x) = 3x. a. Udfyld en tabel som den viste: x f(x)
–1
0
1
2
3
35 Øvelse a. Tegn grafen for funktionen f(x) = 2x – 3 i et CAS-program.
1. Modeller og variable
15
Opgaver – 1. Modeller og variable
Scan QR-koden for at komme til facitlisten.
Opgave 101
Opgave 106
Et tal ganges med 3, og derefter trækkes der 2 fra,
a. Opskriv en ligning, der kan bruges til at finde
hvorefter det er lig 10.
den manglende sidelængde for hver af de fire
a. Kald tallet x, og skriv ligningen op. b. Find tallet x.
firkanter. 1)
x
x
Opgave 102
2)
8 x
A = 16
A = 16
Hvis et bestemt tal ganges med 2,5, og der herefter lægges 4 til, så giver det 29.
3)
x
a. Bestem tallet. 7
A = 41,3
4)
90 x
A = 1 000
Opgave 103 Halvdelen af et tal er dobbelt så stort som 3. a. Bestem tallet.
b. Løs hver af de fire ligninger, du opstillede i opgave a., og kontroller, at resultatet passer med arealet.
Opgave 104 Opgave 107 Olsens kolonihavehus er 56 m2. Den lange side måler han til 8 m. a. Opstil en ligning for ham, der kan beregne den manglende sidelængde, og løs den. b. Olsen skal plante roser hele vejen rundt om huset, undtagen foran døren, der er 1 m bred. Hvor langt skal han regne med, at hans rosenPå billedet ser vi Liao Hui, der repræsenterede Kina i en af mændenes lette vægtklasser ved Olympia-
bed bliver? c. Olsen kommer i tanke om, at han allerede har
den 2008. Han løfter 190 kg i alt. Stangen og de
et 12 m langt rosenbed i haven, som han vil
små vægtskiver yderst vejer tilsammen 40 kg.
flytte over langs huset. Med hvilken ligning
a. Der er 6 store vægtskiver. Hvad vejer hver af de
regner han ud, hvor mange meter rosenbed
store vægtskiver? b. Ligningen 6x + 40 = 190 beskriver situationen. Hvad står x for?
han skal købe planter til? 1) x – 12 = 30 – 1 2) x + 12 = 30 – 1 3) x – 1 = 30
Opgave 105 I et andet vægtløft viste vægten 259 kg for Liao og
Opgave 108
jernet tilsammen. Jernet vejede 121 kg mere end
Hvis søslangen i Loch Ness er "40 m plus halv-
Liao. Sæt x = Liaos vægt.
delen af sin egen længde", hvor lang er den så?
a. Udtryk ved hjælp af x, hvor meget vægtene vejer.
16
b. Udregn, hvor meget Liao vejer.
Opgave 109
c. Udregn, hvor meget han løftede.
a. Hvilken talmængde tilhører
1. Modeller og variable
2?
Opgave 110
Opgave 116
a. Nævn et tal, der ikke tilhører de hele tal Z.
Et tal adderes 5 gange, og resultatet bliver 20. a. Løs ligningen x + x + x + x + x = 20
Opgave 111
b. Løs ligningen 5x = 20
a. Hvilken sammenhæng er der mellem længden af en række mursten og antallet af mursten, man bruger?
Opgave 117 Løs følgende ligninger:
Opgave 112
a. x + x + x + x = 8
a. Hvilken sammenhæng er der mellem arealet af
b. 3x = 18
en muret væg og antallet af mursten i den?
c. 7x – 4 = 3 d. 2x + x = 6
Opgave 113 Her er ligningen x + 4 = 6 løst: x+4=6 x+4–4=6–4 x=2 a. Forklar, hvad der sker i linjen med de røde tal, og hvorfor.
Opgave 118 Løs følgende ligninger: a. 2x + 3 = 4 b. 2x + 4 = 5 c. 2x + 5 = 6 d. 2x + 17 = 18
b. Løs ligningen x + 3 = 5 på samme måde.
Opgave 119 Opgave 114
Løs følgende ligninger:
Her er ligningen 2x – 5 = 7 løst:
a. x = 7
2x – 5 = 7
b. 2x = 14
2x – 5 + 5 = 7 + 5
c. 3x = 21
2x = 12 2x 12 = 2 2 x=6 a. Forklar, hvad der sker i linjerne med de røde tal, og hvorfor. b. Løs ligningen 6x +1 = 19 på samme måde.
d. x + 1 = 8 e. 2x + 2 = 16 f. 3x + 3 = 18
Opgave 120 Løs følgende ligninger: a. 9x – 1 = 17 b. 4x + 1 = 5
Opgave 115
c. 6 = 3x – 6
Her er ligningen 2x = 4x – 10 løst:
d. 2x +1 = 7
2x = 4x – 10
e. 3 = 4x + 7
2x – 4x = 4x – 4x – 10
f. 8x – 5 = 19
–2x = – 10
g. x + x + x + 7 = 13
–2x –10 = –2 –2
h. 21 – 5x = 6
x=5 a. Forklar, hvad der sker i linjerne med de røde tal,
i. 40 – x = 60
og hvorfor. b. Løs ligningen 2x = x + 3 på samme måde.
1. Modeller og variable
17
Opgaver – 1. Modeller og variable
Opgave 121
Opgave 125
Løs følgende ligninger:
Brug overslagsberegning til at svare på de føl-
a. 4 + x = 5x
gende spørgsmål:
b. x + 6 = 3x
a. Hvor meget luft indånder du på en nat?
c. 4x = x + 3
b. Hvor mange soveværelser luft svarer det til?
d. 5x – 2x = 12
c. Hvor mange brusebade tager du på et liv?
e. 6x = 4x + 14
d. Hvor mange blade er der på et træ?
f. 8x = 8 + 7x
Opgave 126 Opgave 122
Brug overslagsberegning til at svare på de føl-
Løs følgende ligninger:
gende spørgsmål:
a. 4x + 10 = 2x + 4
a. Hvor mange omdrejninger når et hjul på en
b. 11x + 13 = 17x + 1
cykel at lave på 1000 km?
c. 2x + 9 = –x + 12
b. Hvor mange omdrejninger når et hjul på en bil at lave på 1000 km?
Opgave 123
c. Hvor meget benzin når en bil at bruge på
Her er graferne for y = –x + 1 og y = –2x – 3
1000 km?
a. Aflæs løsningen til ligningen –x + 1 = –2x – 3 b. Indsæt løsningen i ligningen og afgør, om du
Opgave 127
har læst rigtigt.
a. Skitsér en graf, der viser, hvordan længden af et
y 6
kalenderlys ændrer sig
5
med datoen.
4 3 2 1 –5 –4 –3 –2
-1 –1
1
2
3
4
5
6
7
x
–2
Opgave 128
–3
a. Skitsér en graf, der viser, hvordan vandtemperaturen ændrer sig i en tændt elkoger.
Opgave 124 Brug overslagsberegning til at svare på de føl-
Opgave 129
gende spørgsmål:
a. Skitsér en graf, der viser, hvordan temperaturen
a. Hvor mange på jeres undervisningshold har fødselsdag i denne måned? b. Hvor mange på jeres undervisningshold har fødselsdag i juleferien? c. Hvor mange kuglepenne er der i rummet til jeres undervisningssessioner? d. Hvor mange penge tjener du i løbet af hele livet?
18
1. Modeller og variable
i et glas isvand udvikler sig. b. Skitsér en graf, der viser, hvordan dagens længde varierer gennem året. c. Skitsér en graf, der viser, hvordan din økonomi udvikler sig livet igennem.
Opgave 130
Opgave 135
a. Afsæt følgende punkter i et koordinatsystem:
Brug overslagsberegning til at svare på de følgen-
(–10,1) (–10,5) (–9,2) (–9,4) (–8,3) (–7,4) (–6,5)
de spørgsmål:
(–4,2) (–4,4) (–3,1) (–3,5) (–2,2) (–2,4)
a. Hvor mange penge bruger du i løbet af hele livet? b. Hvor mange timer bruger du på matematik i
Opgave 131
løbet af hele livet?
a. Tegn en enkel figur (højst ti punkter) i et koordinatsystem, og sæt koordinater på. b. Giv din sidemand koordinaterne, og lad ham/
c. Hvor mange elever kan der gå på din skole? d. Hvor mange undervisere er der brug for på din skole?
hende tegne din figur.
Opgave 136 Opgave 132
Brug overslagsberegning til at svare på de følgen-
a. Udfyld et sildeben som dette:
de spørgsmål:
x y=
1
4
9
16
25
ningslokalet?
x
b. Tegn grafen for y =
a. Hvor meget maling skal der til at male undervisb. Hvor mange popcorn skal der til at dække gul-
x i et passende
koordinatsystem. c. For hvilke x-værdier er denne graf defineret?
vet i klasseværelset? c. Hvor mange sukkerknalder kan der være i en sodavandsflaske? d. Hvor meget fylder en million kapsler?
Opgave 133 En funktion er givet ved forskriften f(x) = 4x2
Opgave 137
a. Find f(2)
Brug overslagsberegning til at svare på de følgen-
b. Find f(–2)
de spørgsmål:
c. Løs ligningen f(x) = 36
a. Hvor mange cornflakes er der i en pakke? b. Hvor meget vokser du på en dag?
Opgave 134
c. Hvor meget vokser dit hår på en dag? d. Hvor meget vokser dine negle på en dag?
Opgave 138 Brug overslagsberegning til at svare på de følgende spørgsmål: a. Hvad er den samlede omkostning ved at have haft en bil i fem år? b. Hvor meget skrald kommer der fra din familie i Du og vennerne skal ud og køre i limousine. Et firma tager 1100 kr. i timen for en limousine med chauffør og champagne. a. Hvad koster det at leje limoen i 2 timer?
løbet af et år? c. Hvor meget skrald kommer der fra din by i løbet af et år? d. Hvor mange børn lever i fattigdom?
b. Bestem et regneudtryk, der kan bruges til at beregne prisen ved et givent antal timer, hvori du bruger de tre størrelser x, y og 1100.
1. Modeller og variable
19
Træningssider 1 Scan QR-koden for at komme til facitlisten.
Vedligeholdelse af regnefærdigheder Regnearternes hierarki Parenteser: (a + b) Potenser og rødder: an , n a a
Multiplikation og division: a · b, b , a : b Addition og subtraktion: a + b, a – b
1. Udregn
2. Udregn
3. Udregn
4. Udregn
12 +2·3 4
a. 3 + 2 · 3 – 1
a. 2 · 32 – 1
a. 4 −
b. 2 · 3 + 2 – 3
b. 3(3 – 1) – 6
c. 62 – 32 + 1
c. 2 · 72 – 72
12 b. 4 − ⎛⎜ + 2⎞⎟ · 3 ⎝4 ⎠
a. 2 · (3 – 4 · 5) b. 2 · (8 : 2 – 2 · 5) c. 2 – (3 · 5 – 4 · 5)
c. 2 · (3 + 2 – 3)
Ligninger Husk, at lighedstegnet udtrykker en balance mellem talstørrelserne på hver side af det.
5. Løs ligningerne
6. Løs ligningerne
a. 2x + 1 = 7
a. 3x + 2 = 11
a. 4x + 3 = 11
b. 1 + 3x = 4
b. 2x – 2 = 8
b. 5x – 0,5 = 9,5
c. 3x + 1 = 2 – x
c. –6 + 4x = 10
c. 7 – 4x = 15
8. Find fejlen, og skriv omformningen korrekt a. 3x + 1 = 8
c. 3x + 2 = 1 – x
3x = 9 x=3
7. Løs ligningerne
9. Find fejlen, og skriv omformningen korrekt a. 3x + 5 = 3
2x + 2 = 1
3x = 8 x= 8 3
2x = –1
b. 7 + 2x = 1
b. 1 + x = 3 1=3+x
6 = 2x
2=x
x=3
Reduktion Husk, at du ikke må sammenblande de variable som a, b, a2 osv. Eksempel: 3a – b + 2a kan reduceres til 5a – b. 3a – b + 2a2 kan ikke reduceres.
10. Reducer udtrykket mest muligt
20
11. Reducer udtrykket mest muligt
a. 2a + b – b + 2
a. 5a – b + c – 3a – c
b. ab – b + 2ab
b. 2a – b – a + a2
c. 2a + b – a2 – b2 + 2b
c. 4 – 3a + 2 + a + b
d. 4 – 2a + b +3
d. 3 – a – b + 2a + 4 – b
Træningssider
c. 2x + 3 = 1 + x 3x + 3 = 1 3x = –2 x=–2 3
Parenteser Regel: a(b + c) = ab + ac Eksempler: 3(a + 4) = 3a + 3 · 4 –(a + 4) = –a – 4 4 – (a + 4) = 4 – a – 4 = a
12. Ophæv parenteserne
13. Ophæv parenteserne
14. Ophæv parenteserne, og reducer
a. 2a – (b – a)
a. – (4 +x)
b. 2 – 3(4 – b)
b. 7 – (b +7)
b. 4 + 3(4 – a) – 16 + 3a
c. 3 – (b + 2)
c. 2x – (9 – x)
c. 2(– 4 – x) + 8 + 2x
15. Ophæv parenteserne, og reducer
a. 2 – (b + 3) +1
16. Ophæv parenteserne,
17. Ophæv parenteserne,
og reducer
og reducer
a. a – (b + a)
a. 8 – (4 +a) + a
a. 3 – (a + 3) + a
b. 4 – 2(3 – x) + 2x
b. 21 + 3(b –7)
b. 4 + 3(2 – x) – 6 + 3x
c. 3 – (b + 2) –1
c. 2b – (2 – b) + 2
c. 3(–4 – b) + 4b + 12
Brøker Forlænge:
a k ⋅a = b k ⋅b
Eksempel: 1 = 3 ⋅ 1 = 3
Forkorte: a = a : k b
Eksempel:
b:k a b
Tal gange brøk: k ⋅ =
k ⋅a b
18. Omskriv til decimal5 100
2 5
Eksempel: 3 ⋅ =
3⋅2 5
19. Omskriv til decimal-
24
a.
6
4 4:4 1 = = 8 8:4 2
tal
tal a.
3⋅2
2
20. Forkort brøkerne med 2
2 4 30
a.
24 100
b. 60
b. 10
5 c. 50
30 c. 120
c. 30
23. Forlæng brøkerne
a. 4 ⋅
5 100
b. 8 ⋅
7 100
c. 4 ⋅
5 50
4
b. 100
22. Omskriv til decimal-
21. Udregn
10
24. Forkort brøkerne
tal
med 3
med 2
5 a. 20
5 a. 50
2 a. 4
1 b. 4
5 b. 20
30 b. 60
1 c. 2
1 c. 4 1 d. 2
16 c. 20
25. Udregn a. 2 ⋅
5 20
b. 4 ⋅ 1 4
c. 4 ⋅ 2 3
Træningssider
21
