9788729018667 by Praxis

Kernestof Mat 2 hf

Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard

2. udgave Praxis

Af Per Gregersen og Henrik Bindesbøll Nørregaard

Kernestof Mat 2 hf

Praxis

Kernestof Mat2, hf

Per Gregersen og Henrik Bindesbøll Nørregaard

Denne bog er beskyttet i medfør af gældende dansk lov om ophavsret. Kopiering må kun ske i overensstemmelse med loven. Det betyder f.eks., at kopiering til undervisningsbrug kun må ske efter aftale med Tekst & Node. Det er ikke tilladt at udføre tekst- og datamining (TDM) af bogen, herunder til brug for træning af AIteknologier m.v., uden forlagets forudgående skriftlige samtykke.

2. udgave, 1. oplag, 2025

Forlagsredaktion: Jacob Duelund Kaas Christensen Billedredaktion: Emilie Guldborg Andersen

Grafisk tilrettelæggelse: Schnalke Kommunikations-Design Principlayout og omslag: andresen design Sat med Myriad Pro

ISBN: 978-87-2901-866-7

eBog+ ISBN: 978-87-2901-867-4

Tryk: Livonia Print, 2025

FSC®-mærket er din sikkerhed for, at vores papir kommer fra bæredygtigt drevne FSC-certificerede skove og andre ansvarlige kilder.

Praxis Forlag A/S – et selskab i Egmont Vognmagergade 7, 5. sal 1120 København K

info@praxis.dk

1.Andengradspolynomier

2.Funktionsteori

3.Differentialregning

4.Differentialregningensanvendelser

5.Binomialfordelingen

Middelværdiogspredningi binomialfordelingen

6.Binomialtest

7.Analytiskplangeometri

Forord

Denne 2. udgave af Kernestof Mat2 præsenterer den anden del af matematikken på den almene gymnasiale uddannelse, hf, i henhold til læreplanerne fra 2024. Bogen bygger oven på Kernestof Mat1, hf og kan bruges som grundbog til B- og A-niveau.

Matematik i opslag

Hvert opslag er et afgrænset, øvelsesbaseret læringsforløb. En kort case introducerer det nye område med fokus på anvendelser og indeholder teori, eksempler og øvelser. Der er facitliste til alle øvelser bagerst i bogen.

Efter hvert kapitel er der opgaver, der følger kapitlets og bogens progression. Mellem alle kapitler er der træningssider med små opgaver, som repeterer stoffet fra Kernestof Mat1, hf eller tidligere kapitler i denne bog, eksempelvis regneoperationer, regnearternes hierarki, brøkregning og parentesregneregler.

En stjerne (*) markerer, at beviset til en given sætning er placeret i et afsnit bagerst i kapitlet.

Rækkefølge

Kapitlerne er organiseret i en rækkefølge, som vi selv finder hensigtsmæssig, og de træningssider, som ligger forud for et kapitel, repeterer nødvendige emner, efterhånden som der bliver brug for dem. Men kapitlerne er skrevet med henblik på stor fleksibilitet.

Kapitel 1 om andengradspolynomier samt kapitel 2 om funktionsteori genopfrisker og udvider arbejdet med funktionsbegrebet fra Kernestof Mat 1. De skal læses i denne rækkefølge. Mange af begreberne er relevante for emnet differentialregning.

Kapitel 3 og 4 omhandler netop differentialregning, og det er derfor hensigtsmæssigt at læse kapitel 1 og 2 før kapitel 3 og 4.

Kapitel 5 om binomialfordelingen og kapitel 6 om binomialtest skal læses i den nævnte rækkefølge, men er ellers uafhængige af bogens andre kapitler.

Kapitel 7 om analytisk plangeometri er ligeledes uafhængigt af bogens andre kapitler.

Seriens website

På seriens website, prx.dk/kernestof, finder du facitlister til alle opgaver og træningssider. Du har også direkte adgang via bogens QR-koder.

Screencasts

QR-koderne giver adgang til mere end 90 screencasts, der uddyber forklaringerne til begreber, eksempler, formler, sætninger og beviser. Du kan også finde dem på websitet.

God fornøjelse med bogen!

Per og Henrik prx.dk/c7tx2

1. Andengradspolynomier

1.1 Parabler og koefficienter

1Introduktion

Når vandet i et springvand skydes skråt opad, følger det en parabelformet kurve. Den funktionstype, der har parabler som grafer, kaldes andengradspolynomier.

2Eksempel

I koordinatsystemet ses grafen for andengradspolynomiet f(x) = –2x 2 + 5x.

3Definition

Et andengradspolynomium er en funktion med forskriften f(x) = a · x 2 + b · x + c

De tre konstanter, a, b og c, kaldes koefficienter. Koefficienterne kan antage alle værdier, dog må a ikke være 0.

Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel.

4Eksempel

Tre andengradspolynomier og deres grafer.

De markerede punkter på graferne kaldes toppunkter. På den røde graf er toppunktet øverst, og grenene vender nedad. På de to blå grafer er toppunktet nederst, og grenene vender opad. De to grafer til venstre har y-aksen som symmetriakse

5Sætning

En parabel er symmetrisk om den lodrette linje, der går gennem toppunktet.

Toppunktet er et såkaldt globalt ekstremum (maksimum eller minimum) for andengradspolynomiet. Man får ofte brug for at bestemme koordinaterne til toppunktet,

når man opstiller modeller med andengradspolynomier og parabler. Vi skal senere behandle en formel, hvormed toppunktets koordinater kan bestemmes ud fra andengradspolynomiets koefficienter.

6* Sætning

Om udseendet af den parabel, der er graf for andengradspolynomiet f, givet ved f(x) = a x 2 + b x + c, gælder:

(1) Parablen vender grenene opad, hvis koefficienten a er større end 0, og parablens grene vender nedad, hvis a er mindre end 0.

(2) Parablen skærer y-aksen i punktet (0, c).

(3) Hvis b = 0, ligger parablens toppunkt på y-aksen. Og hvis b er forskellig fra 0, så ligger parablens toppunkt til venstre for y-aksen, når a og b har samme fortegn, og toppunktet ligger til højre for y-aksen, når a og b har modsatte fortegn.

7 Eksempel

Vi vil med de indførte begreber beskrive de to andengradspolynomier f og g samt deres grafer. Forskriften for f er f(x) = x 2– 4x + 3, og forskriften for g kender vi ikke.

I andengradspolynomiet f er koefficienterne: a = 1, b = –4 og c = 3. Parablen vender grenene opad, da a er et positivt tal. Den skærer y-aksen i punktet (0,3), da c = 3, og toppunktet ligger til højre for y-aksen, fordi a og b har modsatte fortegn.

Vi kender ikke forskriften for g, men ud fra parablen, der er graf for g, kan vi alligevel godt udtale os om a, b og c:

Da grenene vender nedad, må a være negativ, og da parablen skærer y-aksen i punktet (0,0), må der gælde, at c = 0. Endelig kan vi se, at parablens toppunkt ligger til højre for y-aksen. Derfor skal a og b have modsatte fortegn, og da a er negativ, så må b være positiv.

8 Øvelse

I koordinatsystemet ses to parabler, som er grafer for andengradspolynomierne f og g

a. Hvilken af f og g har en forskrift, hvor koefficienten a er negativ?

b. Bestem koordinatsættene til parablernes toppunkter.

c. Bestem koefficienten c for begge andengradspolynomier.

d. Bestem fortegnet for koefficienten b for begge andengradspolynomier.

I erhvervsøkonomi bruges betegnelsen R for omsætningsfunktioner. R er en forkortelse for ”revenue”, som betyder omsætning. y x

prx.dk/axydf

1.2 Diskriminant og toppunktsformel

9 Introduktion

Et rejsebureau sælger oplevelsesrejser. Andengradspolynomiet

R(x) = –0,05x 2 + 30x , 0 ≤ x ≤ 600 er model for omsætningen (i tusind kr.) som funktion af antal solgte rejser, x I koordinatsystemet ses grafen for R.

Koordinaterne til parablens toppunkt er interessante for rejsebureauet, fordi x-koordinaten til toppunktet er det antal rejser, hvor omsætningen er maksimal, og y-koordinaten er den tilhørende omsætning.

10 Sætning:Toppunktsformlen (Bevises i afsnit 4.4)

Parablen, der er graf for andengradspolynomiet f(x) = a · x 2 + b · x + c, har sit toppunkt i punktet T med koordinaterne

(xT, yT) =  =  24 , bd aa

idet a, b og c er koefficienterne fra forskriften, og tallet d, som kaldes diskriminanten, er givet ved: d = b2 – 4 a c.

11 Eksempel

Vi vil beregne koordinaterne til toppunktet for parablen, der er graf for f(x) = x 2– 3x + 2

Vi bemærker, at koefficienterne i forskriften for f er a = 1, b = –3 og c = 2. Først beregnes diskriminanten. Den er: d = (–3)2 – 4 · 1 · 2 = 9 – 8 = 1. Herefter indsættes størrelserne i toppunktsformlen:

koordinater er:

12 Eksempel

Vi beregner koordinaterne til toppunktet for parablen fra introduktionen, der er graf for funktionen R(x) = –0,05x 2 + 30x. I forskriften er a = –0,05, b = 30 og c = 0.

Diskriminanten beregnes til d = 302 – 4 · (–0,05) · 0 = 900 – 0 = 900. Vi indsætter tallene i toppunktsformlen:

Dette er altså koordinaterne til toppunktet.

I modellen betyder det, at virksomheden har den maksimale omsætning på 4500 tusinde kr., altså 4500000 kr., ved salg af 300 rejser.

I 13-16 arbejdes videre med introduktionscasen.

13 Modellering af rejsebureauets omsætning, R(x)

Sammenhængen mellem antal rejser, x, og prisen i tusind kroner, p(x), antages at være givet ved prisfunktionen:

p(x) = –0,05x + 30 , 0 ≤ x ≤ 600

På grafen ses, at der sælges flest rejser, når prisen er lav. Omsætningen, R(x), findes ved at gange antal rejser med prisen pr. rejse. Vi får da:

R(x) = x p(x) = x (–0,05x + 30) = –0,05x 2 + 30x

14 Modellering af rejsebureauets omkostninger, C(x)

Vi vil antage, at der er nogle faste omkostninger på 300 000 kr. til husleje med videre og nogle variable omkostninger, som varierer med antal solgte rejser (eksempelvis udgifter til hotelværelser), på 4000 kr. pr. rejse.

Omkostningsfunktionen (i tusind kr.) bliver derved

C(x) = 4x + 300 , x ≥ 0.

15 Modellering af rejsebureauets overskud, O(x)

Overskuddet findes ved at trække omkostningerne fra omsætningen:

O(x) = R(x) – C(x) = –0,05x 2 + 30x – (4x + 300) = –0,05x 2 + 26x –300

I koordinatsystemet ses grafen for O(x), altså rejsebureauets overskud.

Denne parabels toppunkt er mere interessant for rejsebureauets ejere end toppunktet for den grønne parabel, som viser omsætningens maksimum.

Bemærk, at overskuddet er maksimalt for et lavere antal rejser end der, hvor omsætningen er maksimal. Det handler altså ikke om at sælge mest muligt!

16 Øvelse

Rejsebureauets overskudsfunktion er O(x) = –0,05x 2 + 26x – 300.

a. Beregn diskriminanten, d

b. Beregn koordinaterne til toppunktet på parablen, der er graf for O.

c. Brug toppunktets x-koordinat til at bestemme det antal rejser, hvor profitten er maksimal.

d. Brug toppunktets y-koordinat til at bestemme den maksimale profit.

17 Øvelse

Et andengradspolynomium er givet ved f(x) = 3x 2 + 2x – 2.

a. Tegn grafen for f i CAS.

b. Bestem diskriminanten.

c. Bestem koordinaterne til toppunktet uden CAS.

d. Bestem koordinaterne til toppunktet med CAS.

1.3 Rødder

18Introduktion

Billedet viser The Winter Garden i Sheffield. Bygningens spær er parabelformede.

Andengradspolynomiet f(x) = –0,2x 2 + 0,2x + 4 kan være model for tværsnittet af bygningen, når x og f(x) begge er målt i meter. Parablen er tegnet, så bygningens grundplan ligger langs x-aksen. De to steder (x-værdier), hvor parablen skærer x-aksen, kaldes rødder.

At bestemme rødderne i et polynomium svarer dermed til at løse ligningen f(x) = 0.

19Definition

En rod i et polynomium, f, er et tal, r, hvorom det gælder, at f(r) = 0.

< 0 d = 0 d > 0

prx.dk/rc7h5

prx.dk/8n8hz

Ligningen, vi løser, er af typen

a·x 2 + b·x + c = 0

En sådan ligning hedder en andengradsligning. y x

20*Sætning

Antallet af rødder i andengradspolynomiet f(x) = a · x 2 + b · x + c afhænger af diskriminanten, d = b2 – 4 · a · c, på følgende vis:

(1) For d < 0 har f ingen rødder.

(2) For d = 0 har f en enkelt rod: 2 b a x =

(3) For d > 0 har f to rødder: 2 bd a x −± =

At andengradspolynomiet, f, ingen rødder har, når d < 0, er det samme som at sige, at parablen ikke skærer x-aksen. På tilsvarende vis er udsagnet, at f har to rødder, når d > 0, det samme som at sige, at parablen skærer x-aksen to steder.

Hvis d = 0, sådan at parablen kun har én rod, rører parablen x-aksen i ét punkt. Dette kaldes derfor et røringspunkt.

21Eksempel

Vi vil bestemme rødderne i g(x) = x 2 + 2x – 3, det vil sige, at vi vil løse ligningen g(x) = 0.

Koefficienterne er a = 1, b = 2 og c = –3. Diskriminanten beregnes til d = 22 – 4 · 1 · (–3) = 4 + 12 = 16

Diskriminanten er positiv, så der er to rødder. Vi indsætter i formlen:

Rødderne er altså x = –3 og x = 1.

Når der i formlen står ±, betyder det, at man både skal lave en beregning med et + og med et – . Det har vi vist med den krøllede parentes.

22 Eksempel

Vi vil bestemme rødderne i funktionen fra introduktionen: f (x) = –0,2x 2 + 0,2x + 4.

Først bestemmes diskriminanten: d = b2 – 4 · a · c = 0,22 – 4 · (–0,2) · 4 = 3,24

Dernæst indsættes i formlen:

0,23,24 2(0,2) 4 5 x −±  ==  

Rødderne er altså x = –4 og x = 5. Idet forskellem mellem x = –4 og x = 5 er 9, kan vi konkludere, at ifølge modellen er bygningen 9 meter bred nede ved gulvet.

23 Eksempel

Enhver andengradsligning kan løses ved hjælp af sætning 20, men det er vigtigt, at ligningen står på formen

a x 2 + b x + c = 0

ellers kan man ikke aflæse koefficienterne, a, b og c. Er dette ikke tilfældet, må man først omforme ligningen, så der står 0 på den ene side af lighedstegnet.

Ligningen 3x 2 = x – 2 kan omformes, så der står 0 på den ene side, ved eksempelvis at trække 3x 2 fra på begge sider. Vi får da 0 = x – 2 – 3x 2

Af den omformede ligning aflæser vi: a = –3, b = 1 og c = –2. Bemærk, at a er koefficienten foran x 2 , b er koefficienten foran x, og c er det konstante led.

Vi kan nu beregne diskriminanten:

d = 12 – 4 · (–3) · (–2) = 1 – 24 = –23

Diskriminanten er negativ, og det betyder, at ligningen 3x 2 = x – 2 ikke har nogen løsninger. Grafisk svarer denne ligning til at finde skæringspunkterne mellem

f(x) = 3x 2 og g(x) = x – 2. Og dem er der ingen af.

24 Øvelse

Betragt de tre andengradspolynomier

f(x) = 2x 2 – 2x – 4 , g(x) = x

a. Beregn diskriminanten for alle tre polynomier.

+ 7x – 12

b. Bestem rødderne (hvis der er nogen) i alle tre polynomier.

c. Tegn graferne for alle tre polynomier med CAS, og aflæs eventuelle skæringspunkter med x-aksen.

25 Øvelse

Beregn for hver af andengradsligningerne herunder diskriminanten, d, og afgør antallet af løsninger. Bestem løsningerne, hvis der er nogen.

a. x 2 – 4x – 12 = 0

b. 2x 2 – 3x + 4 = 0

c. x 2 + 49 = –14x

1.4 Faktorisering og modellering

26 Introduktion

På billedet ses broen Piney Branch Bridge i Washington. Broens bue er parabelformet. I afsnittet her skal vi se på, hvordan man kan frembringe en forskrift for et andengradspolynomium ud fra oplysninger om bredde og højde af parabelbuen.

27 Eksempel

I en model for broen kommer vi frem til andengradspolynomiet

f(x) = –0,05x 2 + 7,2

Med denne forskrift har parablens toppunkt y-værdien 7,2. Parablen skærer x-aksen i x = –12 og x = 12. Derved er afstanden mellem rødderne 24.

28 Eksempel

Kvadratsætning 3:

(to tals sum gange de samme to tals differens)

(a + b) · (a – b) = a 2 – b2

prx.dk/vuje5

I designet af forskriften f(x) = –0,05x 2 + 7,2 har vi krævet tre ting: (1) f skal være et andengradspolynomium.

(2) f skal have rødderne –12 og 12.

(3) toppunktet skal være i (0,7.2).

Ad (2) En funktion med forskriften f(x) = a · (x – 12) · (x + 12) har rødderne 12 og –12, fordi f(x) = 0 for disse to x-værdier.

Ad (1) f(x) = a · (x – 12) · (x + 12) = ax 2 – 144a er et andengradspolynomium.

Ad (3) Toppunkt i (0,7.2) betyder, at f(0) = 7,2. Vi udregner først f(0) = a · 02 – 144a = –144a

Vi har altså ligningen –144a = 7,2 med løsningen 144 7,2 0,05 a ==−

Denne værdi af a indsættes i (1), hvorefter vi får f(x) = –0,05x 2 + 7,2.

Hvis der om to tal, p og q, gælder, at: p ∙ q = 0

er det ensbetydende med, at p = 0 eller q = 0

Dette kaldes nulreglen.

prx.dk/n7r39

29 Nulreglen

Der er en enkel forklaring på, at vi i eksemplet ovenfor kan aflæse rødderne direkte i andengradspolynomiet f(x) = –0,05 · (x – 12) · (x + 12). Andengradspolynomiet er nemlig skrevet på faktoriseret form, og så kan vi benytte nulreglen (se boks i margenen).

Ifølge nulreglen kan funktionsværdien kun være nul, hvis mindst én af parenteserne giver nul. Første parentes giver nul for x = 12, og anden parentes giver nul for x = –12:

f (12) = –0,05 · (12 – 12) · (12 + 12) = –0,05 · 0 · 24 = 0

f (–12) = –0,05 · (–12 – 12) · (–12 + 12) = –0,05 · (–24) · 0 = 0

30 Eksempel

Ved at skrive et andengradspolynomium på faktoriseret form er det let at frembringe parabler med bestemte rødder og en bestemt højde af toppunktet.

Eksempelvis kan vi bruge forskriften f(x) = –0,1 · (x – 5) · (x + 5) til at frembringe en parabel med rødderne 5 og –5 og højden 2,5, hvis x-aksen betegner jordoverfladen.

31 Sætning

Et andengradspolynomium, f(x) = a · x 2 + b · x + c, med rødderne x1 og x2 kan faktoriseres, hvormed forskriften for f skrives på formen f(x) = a · (x – x1) · (x – x2)

32 Eksempel

I eksempel 21 viste vi, at andengradspolynomiet g med forskriften g(x) = x 2 + 2x – 3 har rødderne x1 = –3 og x2 = 1. Vi kan derfor faktorisere g, og forskriften bliver da g(x) = 1 · (x – (–3)) · (x – 1) = (x + 3) · (x – 1)

idet a = 1.

Derimod har andengradspolynomiet f(x) = 3x 2 + x – 2 ingen rødder (regn selv efter), og derfor kan dette andengradspolynomium ikke faktoriseres.

33 Øvelse

Et andengradspolynomium, f, har rødderne –4 og 4.

a. Opskriv forskriften for f på faktoriseret form, idet det oplyses, at a = –0,2.

b. Tegn grafen for f i CAS.

c. Bestem toppunktets koordinater.

d. Bestem en ny værdi af konstanten a, således at toppunktet kommer til at ligge i (0,6.4).

34 Øvelse

Vi skal faktorisere andengradspolynomiet f(x) = x 2 – 6x – 7.

a. Bestem diskriminanten, d, og gør rede for, at f har to rødder.

b. Bestem rødderne i f.

c. Anvend sætning 31 til at faktorisere f

1.5 Polynomier af højere grad

35Introduktion

En rektangulær bakke kan laves ud af en plade ved at klippe et kvadrat ud af hvert hjørne med en given sidelængde, x. Se tegningen i margenen. Bakkens volumen kan beregnes med funktionen

V(x) = 4x 3 – 30x 2 + 50x

Dette er et tredjegradspolynomium, fordi den højeste eksponent af x er 3. I afsnittet her skal vi se nærmere på polynomier, der har højere grad end 2.

36Eksempel

Vi vil opstille en forskrift for bakkens volumen. Når bakken foldes som vist på tegningen, bliver x højden af bakken, og bakkens bredde og længde bliver pladens sidelængder fratrukket 2x (et x i hver ende).

En kasses volumen beregnes ved at gange sidelængderne sammen, og vi får derfor følgende volumenfunktion:

V(x) = x · (5 –2x) · (10 –2x) som kan omskrives til V(x) = 4x 3 – 30x 2 + 50x

37Eksempel

På figuren ses grafen for tredjegradspolynomiet f(x) = 4x 3 – 30x 2 + 50x I polynomier er definitionsmængden som udgangspunkt mængden af alle reelle tal.

Grenene vender hver sin vej, når polynomiets grad er ulige, og samme vej, når graden er lige.

For polynomiet, V, der bruges som model for volumenet i introduktionscasen, er det modelbetingelserne, der bestemmer definitionsmængden. Her er Dm(V) = ]0;2,5[ , fordi kassen er 5 enheder bred, og x er en længde (et positivt tal).

38Definition

Et polynomium af n’te grad er en funktion med en forskrift af typen

f(x) =

hvor koefficienterne a

og a0 er reelle tal, hvor a n ikke er nul, og hvor n = 0, 1, 2, ...

39Eksempel

Funktionen f(x) = x 4 + 2x 3 – 4x 2 + 10 er et fjerdegradspolynomium. Vi ser på grafen for f, at der må være to rødder.

Parallelforskydes grafen for f lodret op ved at sætte konstantleddet til et tal større end 10, kan vi få et fjerdegradspolynomium uden rødder. Og omvendt: Hvis vi formindsker konstantleddet, vil grafen parallelforskydes lodret nedad. Vi kan derved få 0, 1, 2, 3 eller 4 rødder i fjerdegradspolynomiet.

40 Sætning

Et polynomium af n’te grad har højst n rødder.

41 Eksempel

Femtegradspolynomiet f(x) = x 5 + 2x 4 – 4x 3 – 4x 2 + 2x, hvis graf kan ses i margenen, har fem rødder. Hvis vi imidlertid lægger konstanten 5 til, får vi et andet polynomium: g(x) = x 5 + 2x 4 – 4x 3 – 4x 2 + 2x + 5. Grafen for dette polynomium har samme forløb, men er parallelforskudt opad.

Bemærk, at uanset størrelsen af den konstant, vi lægger til, vil vi altid have mindst én rod, i modsætning til eksemplet med fjerdegradspolynomiet, fordi grenene vender hver sin vej, når polynomiets grad er ulige.

42 Sætning

Et polynomium af ulige grad har mindst én rod.

43 Eksempel

Funktionen f(x) = 2 · x · (x –1) · (x + 3) er et tredjegradspolynomium skrevet på faktoriseret form. Ganger vi de fire faktorer sammen på højresiden, får vi tredjegradspolynomiet skrevet op på traditionel form: f(x) = 2x 3 + 4x 2 – 6x.

Omskrivningen kan udføres med CAS.

I den faktoriserede form er det let at aflæse rødderne til 0, 1 og –3, idet hvert af disse tal bevirker, at en af faktorerne bliver lig med 0, og derved bliver f(x) = 0.

44 Øvelse

Et polynomium er givet ved f (x) = x 4 + 2x 3 – 4x 2 + 10.

a. Hvilken grad har polynomiet?

b. Angiv, hvor mange muligheder der er for antal rødder i f.

c. Tegn grafen for f, og angiv, hvor mange rødder f har.

d. Bestem rødderne med CAS.

45 Øvelse

Lad der være givet en funktion, f(x) = –0,3 · x · (x + 3) · (x + 2) · (x – 1).

a. Brug CAS til at gange parenteserne ud for at vise, at f er et fjerdegradspolynomium.

b. Bestem rødderne i f

46 Øvelse

I koordinatsystemet ses grafen for et femtegradspolynomium.

a. Angiv antallet af rødder, og bestem dem grafisk ved aflæsning.

b. Indsæt rødderne en ad gangen i det faktoriserede polynomium f(x) = –0,05 · x · (x + 2) · (x – 1) · ( x – 3) · (x – 4), og vurdér, om polynomiets graf kunne være den, der vises i koordinatsystemet.

1.6 Ræsonnementer og beviser

[6 Sætning]

Om udseendet af den parabel, der er graf for andengradspolynomiet f, givet ved f(x) = a x 2 + b x + c, gælder:

(1) Parablen vender grenene opad, hvis koefficienten a er større end 0, og parablens grene vender nedad, hvis a er mindre end 0.

(2) Parablen skærer y-aksen i punktet (0, c).

prx.dk/bt4hf

47 Bevis for sætning 6 (2) og (3) (2) kan eftervises ved at beregne f (0):

f (0) = a · 02 + b · 0 + c = 0 + 0 + c = c

Idet f (0) = c, går parablen, der er graf for f, igennem punktet (0, c).

At (3) gælder, kan indses ved at benytte sætning 10. Formlen for toppunktets x-koordinat er xT = 2 b a = . For b = 0 får vi:

xT = 2 0 a = 0

Idet toppunktets x-koordinat er 0, når b = 0, så ligger toppunktet på y-aksen i det tilfælde.

Hvis b er forskellig fra 0, og a og b har samme fortegn, så er brøken i formlen for xT altid et positivt tal. Minusset foran brøken gør, at xT så bliver negativ, og dermed er toppunktets x-koordinat negativt. Toppunktet ligger derfor til venstre for y-aksen. Gælder der derimod, at a og b har modsatte fortegn, bliver brøken i formlen for xT altid negativ, og minusset foran brøken gør, at xT altid bliver positiv. Dermed ligger toppunktet til højre for x-aksen, når a og b har modsatte fortegn.

[20 Sætning]

Antallet af rødder i andengradspolynomiet f(x) = a x 2 + b x + c afhænger af diskriminanten, d = b2 – 4 · a · c, på følgende vis:

(1) For d < 0 har f ingen rødder.

(2) For d = 0 har f en enkelt rod: 2 b a x =

(3) For d > 0 har f to rødder: 2 bd a x −± =

48 Bevis for sætning 20

I beviset sætter vi først forskriften for f lig med nul, fordi en rod er en x-værdi, hvor f(x) = 0.

ax 2 + bx + c = 0

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0

Vi har ganget med 4a på begge sider.

22 a 2 x 2 + 4abx = – 4ac Dernæst har vi trukket 4ac fra på begge sider.

(2ax)2 + b2 + 2 · 2ax · b = b2 – 4ac b² er blevet lagt til på begge sider.

(2ax + b)2 = d Vi har udnyttet den første kvadratsætning og definitionen af d.

På venstre side er udtrykket sat i anden og derfor positivt eller nul. Hvis d er et negativt tal, er der derfor ingen værdier af x, hvor ligningen har en løsning. Hermed har vi bevist (1).

Hvis d = 0, har vi ligningen:

(2ax + b)2 = 0

2ax + b = 0

Vi har brugt, at p 2 = 0 er ensbetydende med, at p = 0.

2ax = –b Herefter har vi trukket b fra på begge sider.

x = –2 b a = Til sidst har vi divideret med 2a på begge sider.

Hermed har vi bevist (2).

Hvis d > 0 har vi:

(2ax + b)2 = d

2ax + b = ± d +=± Vi har brugt, at p 2 = q er ensbetydende med p = ± q .

2ax = –b ± d +=± Herefter har vi trukket b fra på begge sider.

x = 2 bd a ± = Til sidst har vi divideret med 2a på begge sider.

Hermed har vi bevist (3).

Potensregneregel 4: a n · bn = (a · b)n

Kvadratsætning 1: (a + b)2 = a 2 + b2 + 2ab

prx.dk/xcb5x

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Opgave 101

Et andengradspolynomium er givet ved forskriften

f(x) = 2x 2 – 3x + 1. Beregn følgende funktionsværdier uden CAS:

a. f(0)

b. f(1)

c. f(4)

d. f(–2)

Opgave 102

Et andengradspolynomium er givet ved forskriften

g(x) = 0,2x 2 – 3,7x + 2,1. Definér funktionen i dit

CAS-værktøj, og bestem følgende funktionsværdier:

a. g(5)

b. g(–5)

c. g(4,92)

d. g(0,017)

Opgave 103

Tegn ved hjælp af CAS graferne for nedenstående andengradspolynomier.

a. f1(x) = 0,5x 2 – 3x + 7

b. f2(x) = 0,1x 2 + 0,2x – 1,9

c. f3(x) = –2x 2 – 4x

Opgave 104

Tegn ved hjælp af CAS graferne for nedenstående andengradspolynomier.

a. g1(x) = 0,1x 2

b. g2(x) = x 2

c. g3(x) = 3x 2

Opgave 105 f y x

I koordinatsystemet ses parablen, der er graf for andengradspolynomiet f(x) = ax 2 + bx + c

a. Angiv fortegnet for koefficienten a.

b. Angiv fortegnet for koefficienten c.

c. Angiv fortegnet for koefficienten b

Opgave 106

I koordinatsystemet ses graferne for andengradspolynomierne

f(x) = –2x 2+ 4x + 1 og g(x) = x 2– 4x + 4

a. Bestem værdierne af koefficienterne a, b og c i forskrifterne for f og g.

b. Gør rede for, hvilken graf der hører til f, og hvilken der hører til g

c. Aflæs koordinatsættene til parablernes toppunkter.

d. Aflæs skæringspunktet med y-aksen for begge grafer.

e. Den brune parabel er smallere end den blå. Gør rede for, hvordan dette kan ses på forskriften for f i forhold til forskriften for g.

Opgave 107 y

I koordinatsystemet ses parablerne, der er grafer for andengradspolynomierne f og g.

a. Bestem koordinatsættene til parablernes toppunkter.

Opgave 108

Beregn diskriminanten af nedenstående andengradspolynomier.

a. p1(x) = 2x 2 – 3x + 1

b. p2(x) = –x 2 – 2x + 5

c. p3(x) = –3x 2 + x – 4

d. p4(x) = 5x 2 + 3

Opgave 109

Bestem koordinaterne til toppunktet for nedenstående andengradspolynomier ved hjælp af toppunktsformlen.

a. f1(x) = 2x 2 – 3x + 2

b. f2(x) = –x 2 + 2x + 3

c. f3(x) = x 2 – x + 5

d. f4(x) = –3x 2 – 4x

Opgave 110

Tegn graferne, og bestem koordinaterne til toppunktet for nedenstående andengradspolynomier ved hjælp af CAS.

a. g1(x) = 4x 2 – 2x + 1

b. g2(x) = –3x 2 + x + 8

c. g3(x) = 0,2x 2 + 0,6x + 3,4

d. g4(x) = –0,0012x 2 + 2,4x + 134

Opgave 111

Et andengradspolynomium har forskriften

p(x) = x 2 + 4x + k

a. Bestem k, så diskriminanten bliver 0.

Opgave 112

Beregn diskriminanten, og angiv antallet af rødder i nedenstående andengradspolynomier.

a. p1(x) = x 2 – 2x – 3

b. p2(x) = 2x 2 + 12x + 10

c. p3(x) = x 2 – 4x + 4

d. p4(x) = x 2 – 2x + 3

Opgave 113

Et andengradspolynomium har forskriften

p(x) = 2x 2 + k · x + 2

a. For hvilke værdier af k har p netop én rod?

Opgave 114

Løs, uden brug af CAS, nedenstående andengradsligninger.

a. 0 = x 2 – 3x + 2

b. 0 = –2x 2 + 4x + 6

c. 0 = x 2 – 25

d. 0 = 2x 2 – 2x – 12

Opgave 115

Tegn graferne for nedenstående andengradspolynomier, og find rødderne grafisk med CAS.

a. p1(x) = –x 2 + 2x + 1

b. p2(x) = –2x 2 – 20x – 43

c. p3(x) = 0,5x 2 – 2x – 5

d. p4(x) = 0,1x 2 – 0,4x – 2,6

Opgave 116

Bestem tallet k i nedenstående andengradspolynomier, således at den tilhørende parabel kun har et enkelt røringspunkt med x-aksen.

a. p1(x) = 2x 2 – 8x + k

b. p2(x) = 2 x 2 + k · x + 2

c. p3(x) = k · x 2 – 4x – 2

Opgave 117

Hver af de tre parabler ovenfor er grafer for andengradspolynomier af typen f (x) = ax 2 + bx + c.

Bestem for den orange, røde og blå parabel:

a. Fortegnet for koefficienten a.

b. Fortegnet for koefficienten b

c. Værdien af koefficienten c

d. Fortegnet for diskriminanten, d.

Opgave 118

Hver af de tre parabler ovenfor er grafer for andengradspolynomier af typen f (x) = ax 2 + bx + c.

Bestem for den orange, røde og blå parabel:

a. Fortegnet for koefficienten a

b. Fortegnet for koefficienten b.

c. Værdien af koefficienten c.

d. Fortegnet for diskriminanten, d.

Opgave 119

Parablen ovenfor er graf for et andengradspolynomium af typen f (x) = ax 2 + bx + c.

a. Bestem toppunktets koordinater.

b. Bestem eventuelle rødder.

c. Bestem fortegnet for koefficienten a

d. Bestem værdien af koefficienten c i forskriften.

e. Hvad kan du sige om diskriminanten?

Opgave 120

Bestem rødderne i nedenstående andengradspolynomier.

a. p1(x) = (x – 1) · (x + 3)

b. p2(x) = (x + 1) · (x – 2)

c. p3(x) = (x – 4) (x + 2)

d. p4(x) = 7 · (x + 1) · (x + 3)

Opgave 121

Bestem rødderne i nedenstående andengradspolynomier.

a. p1(x) = (x + 8) (x – 4)

b. p2(x) = 2,5 · (x – 1,1) · (x – 5)

c. p3(x) = (x + 3,4) · (x – 1,3)

d. p4(x) = 3 (x – 0,1) (x + 0,03)

Opgave 122

Omskriv følgende andengradspolynomier til formen f (x) = ax 2 + bx + c ved at gange parenteserne ud og reducere.

a. f1(x) = (x – 1) (x + 2)

b. f2(x) = (x + 1) · (x + 3)

c. f3(x) = 2(x + 2) · (x – 4)

Opgave 123

a. Bestem forskriften for et andengradspolynomium med rødderne x1 = 2 og x2 = 5.

Der er flere korrekte muligheder. Angiv én.

Opgave 124

a. Bestem forskriften for et andengradspolynomium med rødderne x1 = –1 og x2 = 3.

Der er flere korrekte muligheder. Angiv én.

Opgave 125

a. Bestem forskriften for et andengradspolynomium med rødderne x1 = –10 og x2 = –6.

Der er flere korrekte muligheder. Angiv én.

Opgave 126

a. Bestem forskriften for et andengradspolynomium med rødderne x1 = 1 og x2 = –2, og koefficienten a = 1. Skriv forskriften på formen f(x) = ax 2 + bx + c.

Opgave 127

Opskriv følgende andengradspolynomier på faktoriseret form uden brug af CAS.

a. f1(x) = x 2 – 2x – 3

b. f2(x) = x 2 – 5x + 6

c. f3(x) = 2x 2 + 2x – 12 d. f4(x) = 3x 2 + 6x + 3

Opgave 128

Opskriv følgende andengradspolynomier på faktoriseret form med brug af CAS.

a. g1(x) = 0,3x 2 + 1,65x – 8,352

b. g2(x) = –0,7x 2 – 2,31x + 0,49

c. g3(x) = –0,1x 2 + 1,37x – 4,42

Opgave 129

Bestem graden af nedenstående polynomier.

a. f1(x) = 0,5x 4 – x2

b. f2(x) = 3x 3 – 5x 2

c. f3(x) = 0,2x 5 + 6x 4 + x 3 – 230x 2

d. f4(x) = 8x – 2

Opgave 130

Bestem graden af nedenstående polynomier.

a. f1(x) = 21x 8 – 34x 6 – 5x 4 + 9

b. f2(x) = 0,53x 6 + 10x 4

c. f3(x) = 0,2x 3 + 6x 2 + 2x

d. f4(x) = 8x 12 + 7x 9

Opgave 131

Bestem, med CAS, rødderne i nedenstående polynomier. Vær sikker på, at du finder alle rødderne.

a. g1(x) = 0,1x 3 + 0,1x 2 – 1,7x + 1,5

b. g2(x) = 0,1x 4 + 0,7x 3 – 0,7x 2 – 4,3x + 4,2

c. g3(x) = –0,5x 5 + 4,5x 4 – 16x 3 + 28x 2 – 24x + 8

d. g4(x) = –x 4 – 2x 3 + 9x 2 + 2x – 8

Opgave 132

Undersøg, uden brug af CAS, om x = 2 er rod i nedenstående polynomier.

a. p1(x) = x 2 – 3x + 2

b. p2(x) = x 2 + x – 2

c. p3(x) = x 4 – 5x 2+ 4

d. p4(x) = x 4 + x 3 – 7x 2 – x + 6

Opgave 133

Et polynomium er givet ved

f (x) = –0,01 (x – 4) (x – 1) (x + 2) (x + 7)

a. Aflæs polynomiets rødder.

b. Brug CAS til at gange parenteserne ud.

c. Angiv graden af polynomiet.

d. Tegn grafen for polynomiet.

Opgave 134

Et polynomium er givet ved

g(x) = 0,01 (x – 3,1) (x – 2,1) (x + 0,4) (x + 3,6) (x + 6)

a. Aflæs polynomiets rødder.

b. Brug CAS til at gange parenteserne ud.

c. Angiv graden af polynomiet.

d. Tegn grafen for polynomiet.

Opgave 135

En lille virksomhed producerer legetøjsmodeller af campingvogne. De kan sælges for 20 kr. pr. styk, og omkostningerne (i kr.) pr. måned ved produktion af x styk vogne er givet ved c(x) = 0,05x 2 + 100.

a. Opstil en funktion, der udregner indtægten som funktion af antal solgte vogne, x.

b. Opstil en funktion, der udregner fortjenesten som funktion af antallet solgte vogne, x.

c. Bestem, hvor mange vogne der skal sælges, før fortjenesten er størst.

Opgave 136

En planteskole sælger gensplejsede tomater i skønne farver. Tomaterne sælges for 45 kr. pr. kg. De samlede omkostninger ved produktion af x kg tomater er givet ved c(x) = 0,02x 2 + 350.

a. Opstil en funktion, der udregner indtægten som funktion af antal solgte kg tomater, x.

b. Opstil en funktion, der udregner fortjenesten som funktion af antal solgte kg tomater, x

c. Bestem, hvor mange kg tomater der skal sælges, før fortjenesten er størst.

prx.dk/54kzr

Værktøjskasse

Denne værktøjskasse er en oversigt over mange af de grundlæggende begreber og formler, du får brug for igen og igen.

Det er ikke meningen, at disse sider skal læses som et almindeligt kapitel, men derimod at du læser de enkelte opslag, når du får brug for dem.

Indholdet af værktøjskassen fordeler sig over de fire overordnede emner

• tal, mængder og koordinatsystemet,

• regning og algebra,

• brøker og

• potenser og kvadratrødder

Tal, mængder og koordinatsystemet

Talmængder og tallinjen

En mængde er en samling af 'ting', og vi kalder disse ’ting’ elementer. Alle elementerne i en mængde skal være forskellige.

Mængden bestående af tallene 2, 4 og 7 skrives således: {2, 4, 7}. Og mængden af alle lige tal, der er større end eller lig med 6, skrives sådan her: {6, 8, 10, …}. Prikkerne angiver, at tallene fortsætter i samme mønster.

De naturlige tal, N, er de hele positive tal, det vil sige ”tælletallene” {1, 2, 3, …}.

De hele tal, Z, er de negative hele tal, nul og de naturlige tal, det vil sige: {… , –2, –1, 0, 1, 2, …}.

De rationale tal, Q, er alle tal, der kan skrives som brøker af to hele tal, eksempelvis 1 3 og 13 7 –

De irrationale tal er de tal, der ikke kan skrives som en brøk af to hele tal – altså de tal, der ikke er rationale. ฀ og 7 er eksempler på irrationale tal.

De rationale og de irrationale tal giver tilsammen de reelle tal, R

Man kan tegne en tallinje, hvor ethvert punkt på linjen svarer til et reelt tal. Tallinjen er uden huller, så der gælder også omvendt, at ethvert reelt tal findes på tallinjen.

En tallinje er orienteret: Pilens retning angiver den positive retning, hvori tallene vokser. Når vi lægger positive tal sammen, går vi i talaksens retning.

At trække fra, eller lægge et negativt tal til, svarer blot til at gå den modsatte vej af den positive.

Eksempelvis kan regnestykket

1 + 4 – 3 = 1 + 4 + (–3) = 2 illustreres som vist.

Intervaller

Et interval består af alle reelle tal imellem to endepunkter. Vi angiver intervaller på forskellige måder, afhængigt af om endepunkterne er med eller ej.

Alle tal fra og med a til og med b: [a; b] eller a ≤ x ≤ b

Alle tal fra og med a til (men ikke med) b: [a; b[ eller a ≤ x < b

Alle tal mindre end a: ]–∞; a[ eller x < a.

Symbolet ≤ betyder ”mindre end eller lig med”, < betyder ”mindre end”, og ∞ er symbol for ”uendelig”.

En udfyldt cirkel angiver, at tallet er med i intervallet, mens en tom cirkel angiver, at tallet ikke er med.

Koordinatsystemet

Koordinatsystemet blev opfundet i 1600-tallet af René Descartes, der efter sigende lå og betragtede en flue i loftet og tænkte over, hvordan han kunne beskrive præcist, hvor fluen befandt sig.

Et koordinatsystem består af to tallinjer, der er placeret vinkelret på hinanden. Vi kalder de to linjer for koordinatsystemets akser, og de skærer hinanden i 0 på de to tallinjer.

Akserne placeres næsten altid således, at den ene er vandret (førsteaksen), mens den anden dermed er lodret (andenaksen).

Normalt kaldes den vandrette akse x-aksen, og den lodrette akse y-aksen. De to akser inddeler tilsammen koordinatsystemet i kvadranter (første til fjerde kvadrant).

kvadrant (+,+)

2. kvadrant (–,+) x-aksen y-aksen

3. kvadrant (–,–)

4. kvadrant (+,–)

Et punkt (x, y) i koordinatsystemet består af to tal x og y, der tilsammen beskriver, hvorhenne i koordinatsystemet punktet befinder sig. De to tal kaldes punktets koordinater, og samlet kaldes de punktets koordinatsæt.

Det første tal, x, angiver, hvilket tal på x-aksen punktet befinder sig lodret over eller under. Det andet tal, y, angiver, hvilket tal på y-aksen punktet befinder sig vandret ud for.

Punkter angives almindeligvis med store bogstaver, eksempelvis P

Fluen befinder sig i punktet (3,2). Kaldes dette punkt P, skriver vi: P(3,2).

Mere om mængder

En gymnasieklasse udgør en mængde, og de hele tal fra 1 til 4 udgør en mængde.

Mængder illustreres ved hjælp af de såkaldte Venn-diagrammer, der blev opfundet af den britiske matematiker

John Venn for mere end hundrede år siden.

Figuren til højre viser en mængde, A, der består af tallene 1, 2, 3 og 4. Med symboler skriver vi dette således:

A = {1, 2, 3, 4}

En anden mængde, B, er givet ved

B = {3,4,5,6,7,8}

Tallene 3 og 4 er elementer i begge de to mængder, A og B. Det ses tydeligere, hvis vi tegner de to Venn-diagrammer sammen:

De elementer, der er både i A og i B, udgør en ny mængde, som kaldes fællesmængden af A og B

Denne fællesmængde angives symbolsk med A ∩ B, og vi har altså, at:

Af de to mængder, A og B, kan også dannes en mængde, der består af alle de elementer, som ligger enten i A eller i B.

Denne mængde kaldes foreningsmængden af A og B, og den angives A ∪ B. Dermed har vi:

Vi kan også danne mængdedifferensen A \ B, der betegner de elementer, som ligger i A, men ikke i B. Og på tilsvarende vis kan vi også danne mængdedifferensen B \ A.

Nogle gange giver det mening at opdele en mængde i mindre dele. Disse kaldes delmængder af den oprindelige mængde.

I en gymnasieklasse udgør de, der bruger skostørrelserne 40, 41 og 42, en delmængde af hele klassen.

Hvis en mængde, C, er indeholdt i en anden mængde, A, siger man, at C er en delmængde af A. Det skrives symbolsk C ⊆ A.

C = {3,4} ⊆ A

Gælder der ydermere, at der findes elementer i A, som ikke er at finde i C, så siges C at være en ægte delmængde af A, og vi skriver da C ⊂ A.

Mængden C givet ved C = {3,4} er en ægte delmængde (og en delmængde) af A

Når man har at gøre med en grundmængde, G – der blot er en veldefineret mængde af tal – samt en mængde, A, der er en delmængde af G, så kan man tale om komplementærmængden til A.

Komplementærmængden til A udgøres af alle de elementer i G, som ikke ligger i A, og den angives A eller C A

Eksempel:

Vi betragter en sekssidet terning. Grundmængden, G, af de mulige øjental, vi kan slå, er G = {1,2,3,4,5,6}. Vi lader endvidere mængden A være øjentallene 1, 2, 3 eller 4, altså A = {1,2,3,4}.

Komplementærmængden til A er da de øvrige øjental, som er mulige, altså

A = {5,6}

Bemærk, at vi også kan udtrykke komplementærmængden til A som en mængdedifferens:

G \ A = {5,6}

Regning og algebra

Regningsarternes hierarki

Når vi regner, gør vi brug af de seks regneoperationer addition, subtraktion, multiplikation, division, potensopløftning og roduddragning:

Regneoperation Med symboler

Resultatet kaldes

Det, man gør

Addition a + b ”summen af a og b” adderer eller læggersammen

Subtraktion a – b ”differensen mellem a og b” subtraherer eller trækkerfra

Multiplikation a · b ”produktet af a og b” multiplicerer eller ganger

Division a b eller a : b ”kvotienten af a og b” dividerer

Potensopløftning a b ”a i b’te potens” opløftera i b’te

Roduddragning a b ”den b’te rod af a” tagerdenb’te rodafa

Den rækkefølge, regneoperationerne skal udføres i, kaldes regningsarternes hierarki, og den er som følger:

1. Først udregnes parenteser …

2. … så potensopløftning og roduddragning …

3. … så multiplikation og division …

4. … og til sidst addition og subtraktion.

Eksempel:

(2 + 4)

2 + 2 · 9 – 3 · (23 – 3)

= 62 + 2 · 9 – 3 · (8 – 3) Først udregnes udtrykkene i de to parenteser (efter regnings-

= 62 + 2 · 9 – 3 · 5 arternes hierarki).

= 36 + 2 · 3 – 3 · 5 Dernæst potenser og rødder.

= 36 + 6 – 15 Så multiplikation og division.

= 27 Og til sidst addition og subtraktion.

Led og faktorer

Ved længere regneudtryk er det nyttigt at kunne danne sig et overblik og skabe struktur. I den forbindelse taler vi om led og faktorer

Led adskilles af addition eller subtraktion, og faktorer adskilles af multiplikation.

Udtrykket

(2 + 4)2 + 2 · 9 – 3 · (23 – 3)

består af tre led: (2 + 4)2, 2 · 9 og 3 · (23 – 3). Det andet led består af faktorerne 2 og 9 , og det tredje led består af faktorerne 3 og (23 – 3). Den sidste faktor i tredje led består selv af to led: 2³ og 3.

Addition, nul og fortegn

Der gælder, at:

a + 0 = a og a + (–a) = 0

Bemærk, at man ikke skriver to regnetegn ved siden af hinanden i matematik. Derfor sættes det negative tal i en parentes, når det eksempelvis skal lægges til.

Multiplikation, nul, ét og gangetegn

Der gælder, at:

a · 0 = 0 og a ·1 = a og a · 1 a = 1 for a ≠ 0

Gangetegn udelades ofte, når det ikke kan misforstås. For eksempel vil vi ofte skrive:

a 2 + 2ab frem for a 2 + 2 · a · b

men begge dele er helt korrekt.

Den kommutative lov

Man må bytte rundt på rækkefølgen af tallene, når man adderer eller multiplicerer:

Multiplikationsregler for fortegn

(+) · (+) = (+)

(–) · (+) = (–)

(+) · (–) = (–)

(–) · (–) = (+)

Eksempel:

a + b = b + a 7 + 4 = 4 + 7

a · b = b · a 5 · 2 = 2 · 5

Den associative lov

Man må addere eller multiplicere flere tal sammen i den rækkefølge, man har lyst til:

(a + b) + c = a + (b + c)

(a · b) · c = a · (b · c)

Den distributive lov

Man må gange et tal med en parentes ved at gange tallet med hvert led i parentesen:

Eksempel:

(2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7)

(2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5)

Eksempel:

a · (b + c) = a · b + a · c 3 · (2 + 4) = 3 · 2 + 3 · 4

Vi siger, at tallet a ”ganges ind i parentesen”. Loven kan også anvendes ’den anden vej’. Vi siger da, at tallet a ”sættes uden for parentes”.

Parenteser

(1) a + (b – c) = a + b – c En parentes med et plus foran hæves uden videre.

(2) a – (b – c) = a – b + c

Når en parentes med et minus foran hæves, skifter leddene i parentesen fortegn.

(3) (a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd To parenteser ganges sammen ved at gange hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden.

Kvadratsætningerne

Når et tal opløftes i anden potens, kan man også sige, at man udregner ”kvadratet på tallet”. Derfor betegnes reglerne herunder samlet som kvadratsætningerne.

(1) (a + b)2 = a 2 + b2 + 2ab Kvadratet på en sum.

(2) (a – b)2 = a 2 + b2 – 2ab Kvadratet på en differens.

(3) (a + b) · (a – b) = a 2 – b2 To tals sum gange de samme to tals differens.

Eksempel:

(x – 3y)2 = x 2 + (3y)2 – 2 · x · 3y = x 2 + 9y 2 – 6xy aba2 b2 ab {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {}

Brøker

En brøk består af en tæller, en brøkstreg og en nævner: tæller nævner

Brøkregneregler

(1) a b = ka kb = : : ak bk At forlænge og forkorte brøker.

(2) a b ± c b = a b ± c At addere eller subtrahere brøker med samme nævner.

(3) a b ± c d = ad bd ± bc bd = adbc bd ⋅ ± At addere eller subtrahere brøker, der har forskellige nævnere.

(4) c · a b = c a b At multiplicere et tal med en brøk.

(5) a b · c d = ac bd ⋅ At multiplicere to brøker.

(6) a b : c d = a b · d c = ad bc At dividere en brøk med en brøk.

Potenser og kvadratrødder

Potenser

a n kaldes en potens med grundtallet a og eksponenten n.

Potensen a n betyder, at a ganges med sig selv n gange:

Potensregneregler

(1) a n · a m = a n+m

(2) an am = a n–m

(3) (a n)m = a n m

(4) (a · b)n = a n · bn

(5) a b n = an bn

(6) a 0 = 1

(7) a –n = 1 an

(8) a n m = a m n

Kvadratrødder

(der er n faktorer med a).

Kvadratroden, a , af et tal a er det tal b ≥ 0, der ganget med sig selv giver a:

a = b er ensbetydende med b2 = a.

Eksempel:

9 = 3 da 32 = 9

Ligningen x 2 = 4 kan løses ved hjælp af kvadratrødder:

x = ± 4 = ±2

Bemærk, at ligningen har to løsninger, idet både 22 = 4 og (–2)2 = 4.

Regneregler for kvadratrødder

(1) a b = a · b

(2) a b = a b

Træning 1

Vedligeholdelse af regnefærdigheder

Regnearternes hierarki

Parenteser: (a + b)

Potenser og rødder: ba , b a

Multiplikation og division: a · b, a b , a : b

Addition og subtraktion: a + b, a – b

1. Udregn:

Potenser og rødder

Potensregneregler:

Eksempler:

Brug potensregnereglerne til at reducere udtrykkene mest muligt.

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Brøker

”Enhalver,tænknuhvoraparte,totredjedeleaftrekvarte.” Piet Hein

Forlænge: ⋅ = aka bkb

Forkorte: = : : aak bbk

Tal gange brøk: ⋅ = a b c ⋅ = c a b

Eksempel: ⋅ == 1313 2326

Eksempel: == 44:41 88:42

Eksempel: ⋅ ⋅= 232 55 3

Brøk gange brøk: acac bdbd = Eksempel: 3232 4545 ⋅=

Division med brøk: acac bbb c a ⋅ =⋅= og a bad cbc d ⋅ =

Udregn og forkort mest muligt.

Fremskrivningsfaktor og vækstrate

For et tal, som vokser med p %, er vækstraten, r, de p % omskrevet til decimaltal.

Fremskrivningsfaktoren, a, er givet ved

a = 1 + r

Eksempel:

Hvis et tal vokser med 17%, svarer det til en vækstrate på r = 0,17 og en fremskrivningsfaktor på a = 1 + r = 1,17.

20. Bestem vækstraten, når fremskrivningsfaktoren er:

a. 1,03

b. 1,06

c. 1,23

d. 1,38

21. Bestem vækstraten, når fremskrivningsfaktoren er:

a. 1,82

b. 0,50

c. 0,24

d. 1,81

22. Bestem fremskrivningsfaktoren, når vækstraten er:

a. 0,31

b. 0,15

c. 0,71

d. –0,20

23. Bestem fremskrivningsfaktoren, når vækstraten er:

a. 0,98

b. 0,07

c. 0,33

d. –0,02

Træning 1 (fortsat)

Enhedscirklen

En enhedscirkel er en cirkel med centrum i (0, 0), som har en radius med længden én enhed.

Vinklen mellem radius og x-aksen indtegnes med en lille bue. Punktet, hvor radius rører cirklen, angives med P og kaldes retningspunktet for v.

Cosinus til v, cos(v), angiver værdien af x-koordinaten til retningspunktet P, og sinus til v, sin(v), angiver værdien af y-koordinaten til retningspunktet P.

Eksempel:

Når vinklen er 131°, er:

P (cos(131°),sin(131°)) = P (–0.66,0.75)

24.

a. Aflæs bedst muligt de fem værdier af sinus og cosinus, og udfyld et skema som dette:

25. Tegn en enhedscirkel.

a. Afsæt punktet P til en vinkel på 160°

b. Afsæt P til en vinkel på 500°.

c. Afsæt P til en vinkel på –35°.

Logaritmefunktioner

Titalslogaritmen, log(x), er den omvendte funktion til den eksponentielle funktion med regneforskriften 10x. Det vil sige, at log(x) er det tal, som 10 skal opløftes i, for at resultatet af potensopløftningen giver x.

Eksempel:

log(100) = 2, fordi 102 = 100 log(0,000 1) = –4, fordi 10–4 = 0,000 1

26. Bestem, uden brug af CAS:

a. log(1000) e. log(104)

b. log(1000000) f. log(10–21)

c. log(0,01) g. log(10y)

d. log(0,000001) h. log(1)

Den naturlige logaritme, ln(x), er den omvendte funktion til den eksponentielle funktion med regneforskriften ex. Det vil sige, at ln(x) er det tal, som e skal opløftes i, for at resultatet af potensopløftningen giver x

Eulers tal e, er en matematisk konstant. Med fem decimaler har Eulers tal værdien e = 2,71828.

Eksempel: ln(e 9) = 9

27. Bestem uden brug af CAS:

a. ln(e 4) d. 8 1 ln e 

b. ln(e –12) e. ln(1)

c. ln(e) f. ln(ey)

2. Funktionsteori

2.1Funktionsbegrebet–engenopfriskning

1 Introduktion

En virksomhed producerer batteridrevne ventilatorer til folk i sommervarmen.

På virksomhedens lager er der plads til 5200 batterier af den type, der bruges i ventilatorerne, og der produceres 130 stk. ventilatorer om dagen. Lagerbeholdningen af batterier er en funktion af tiden.

I dette afsnit om funktionsteori genopfrisker vi centrale begreber fra Kernestof Mat1 vedrørende funktioner.

2 Definition

En funktion, f, er en sammenhæng mellem to variable størrelser: en uafhængig, som vi betegner x, og en, der afhænger af x, som vi betegner y eller f(x). f(x) kaldes funktionsværdien af x

Desuden skal en funktion opfylde, at der til ethvert x, man må vælge, skal være præcist ét f(x).

Grafen for en funktion er mængden af alle de punkter (x, y), der opfylder, at y = f(x).

Det betyder, at en given y-værdi fremkommer som funktion af en x-værdi.

Dukanlæseomintervalleriværktøjskassen pås.25.

y x f

Sammenhængen, som en funktion udtrykker, beskrives med en regneforskrift, en tabel, en graf eller sprogligt.

3 Definition

De tal, x, som er tilladte at indsætte i forskriften for en funktion, f, kaldes funktionens definitionsmængde. Definitionsmængden for en funktion angives med symboler således: Dm(f ).

4 Definition

De funktionsværdier, f(x), som en funktion, f, antager, når x-værdierne gennemløber definitionsmængden, kaldes funktionens værdimængde. Værdimængden for en funktion angives med symboler således: Vm(f ).

5 Eksempel

Vi lader f(x) betegne antallet af batterier på virksomhedens lager til tidspunktet x (målt i antal dage, siden lageret blev fyldt op).

Værdimængden for f er alle tal mellem 0 og 5200, idet der ikke kan være et negativt antal batterier på lageret, og der højst kan være 5200 stk. Altså: Vm(f) = [0; 5200].

Efter 40 dage er lageret tomt, idet 5200 – 130 40 = 0. Derfor har f definitionsmængden Dm(f ) = [0; 40]. Forskriften for f er

f(x) = –130x + 5200 , 0 ≤ x ≤ 40

Når vi skal beskrive, hvordan en funktion ’opfører sig’, bruger vi blandt andet begreberne voksende, aftagende og konstant

I KernestofMat1 skrev vi om de begreber, at en funktion er:

• voksende, hvis funktionsværdierne bliver større, når x bliver større.

• aftagende, hvis funktionsværdierne bliver mindre, når x bliver større.

• konstant, hvis funktionsværdierne forbliver de samme, når x bliver større.

Den præcise definition af voksende og aftagende ser vi nærmere på til sidst i kapitlet, men indtil da er det godt at have ovenstående beskrivelse i baghovedet.

”Voksende”, ”aftagende” og ”konstant” benyttes til at beskrive, hvordan en funktion opfører sig i et interval.

Nogle funktioner er voksende, aftagende eller konstante i hele deres definitionsmængde, mens andre eksempelvis er voksende i et delinterval af definitionsmængden og aftagende i et andet.

6 Eksempel

Funktionen f givet ved forskriften f(x) = –x 2 + 2x + 3 er et andengradspolynomium med toppunkt i (1, 4).

Til venstre for toppunktet peger grafen for f opad mod højre. Det vil sige, at funktionsværdierne bliver større, når x bliver større: f er voksende for x ≤ 1.

Til højre for toppunktet peger grafen for f nedad mod højre. Det vil sige, at funktionsværdierne bliver mindre, når x bliver større: f er aftagende for x ≥ 1.

Bemærk, at toppunktets x-koordinat er med i begge intervaller. Dette skyldes, at funktionsværdierne bliver større op til og med denne x-værdi, men at der samtidigt gælder, at fra denne x-værdi og mod større x-værdier bliver funktionsværdierne mindre.

7 Øvelse

a. Genkald dig forskriften for en lineær funktion og for en eksponentiel funktion.

b. Tegn, i samme koordinatsystem, graferne for henholdsvis en lineær funktion, f, og en eksponentiel funktion, g, hvorom der gælder, at a = 0,5 og b = 2.

c. Angiv definitions- og værdimængden for hver af de to funktioner.

8 Øvelse

Figuren i margenen viser grafen for en funktion, f

a. Angiv Dm(f ) og Vm(f ).

b. Angiv de to intervaller, hvori f voksende.

c. Angiv det interval, hvori f er aftagende.

Hvisenfunktionentener voksendeihelesindefinitionsmængde,ellerdener aftagendeihelesindefinitionsmængde,sigervi,atden er monoton

2.2 Stykkevist definerede funktioner

9 Introduktion

Et grossistfirma sælger kaffe til restauranter og caféer efter følgende priser: 0-10 kg: 100 kr./kg; over 10 kg: 50 kr./kg.

Idet der er to forskellige priser, som kommer i spil ved forskellige mængder, får vi brug for en funktion med to forskellige forskrifter, hvis vi vil opstille en model for prisen. Hertil kan vi bruge en såkaldt stykkevistdefineretfunktion.

10 Definition

En stykkevist defineret funktion er en funktion, som er defineret for en række intervaller. For hvert af intervallerne angives en regneforskrift, som kun gælder i dette specifikke interval.

Tilsammen udgør intervallerne funktionens definitionsmængde.

Den samlede regneforskrift for en stykkevist defineret funktion angives med en såkaldt gaffelforskrift.

11 Eksempel

Her er et eksempel på, hvordan en gaffelforskrift kan se ud: 2 27,2 () 45, 1 5 1 x fx xxx x +−

Forskriften skal læses således: Hvis x ligger i intervallet –2 ≤ x ≤ 1, skal x indsættes i 2x + 7, og hvis x ligger i intervallet 1< x ≤ 5, skal x indsættes i x 2 – 4x + 5.

Vil vi beregne f (3), skal vi først se på, hvilket interval 3 befinder sig i. Det er det nederste interval. Funktionsværdien beregnes med forskriften hørende til det interval:

f (3) = 32 – 4 3 + 5 = 9 –12 + 5 = 2

Umiddelbart ser det ud til, at x = 1 er specielt, idet det står i begge intervaller. Men når man ser nærmere på intervallerne, kan man se, at 1 kun er inkluderet i det øverste interval. Det vises på grafen, ved at der ved x = 1 er en udfyldt cirkel på grafen for den første delfunktion.

Funktionens samlede definitionsmængde er Dm(f ) = [–2; 5].

12 Eksempel

Vi betragter funktionen fra forrige eksempel og ønsker at løse ligningen f (x) = 5. Man kan løse ligningen grafisk ved at tegne en linje med ligningen y = 5 og finde skæringspunkterne mellem denne linje og grafen for f.

Linjen og grafen skærer hinanden i x = –1 og x = 4, så det er løsningerne til ligningen. Ligningen kan også løses ved beregning – se QR-koden.

13 Eksempel

Vi vil nu opstille en forskrift for en funktion, f, som kan beregne prisen på kaffe fra grossistfirmaet i introduktionen. Variablen x betegner antal kg kaffe, og f(x) er den samlede pris i kr.

I det første interval koster kaffen 100 kr./kg, så her kan prisen beregnes ved 100 x Det er vores første del af funktionen.

I det andet interval er prisen 50 kr./kg. Umiddelbart skulle man derfor tro, at prisen kan beregnes ved 50 ⋅ x, men det tager ikke højde for, at de første 10 kg jo stadig koster 100 kr./kg.

Prisen for 10 kg er 100 10 = 1000, så for at få de to delfunktioner til at ’passe sammen’ skal vores anden del af funktionen være 50 ⋅ x + 500, idet 50 ⋅ 10 + 500 = 1000.

Samlet bliver forskriften for f:

50500,10 xx fx xx ≤≤ =

100,010 ()

14 Bemærkning

Når man opstiller en gaffelforskrift for en stykkevist defineret funktion, skal man være opmærksom på, at intervallerne ikke må overlappe, idet en funktion kun må have én funktionsværdi for hver x-værdi i definitionsmængden.

15 Øvelse

En stykkevist defineret funktion er givet ved forskriften

3,2 () 215,4 4 6 x fx xx x +−  = −<≤ + ≤≤ 

Besvar følgende spørgsmål uden brug af CAS.

a. Beregn f(–1), f(4) og f(5).

b. Tegn grafen for funktionen.

c. Løs ligningerne f(x) = 2 og f(x) = 4.

16 Øvelse

En stykkevist defineret funktion er givet ved forskriften

2 2 2 ,0 () 882,4 x fx xx x x

a. Beregn f(1) og f(3) i hånden.

b. Tegn grafen for funktionen med CAS.

c. Løs ligningen f(x) = 6.

Idetteeksempelogdet foregåendeerfunktionendefineretfortointervaller.

Forandrestykkevistdefineredefunktionerkan dersagtensværetre ellerflereintervaller.

2.3 Nulpunkter og fortegn

17 Introduktion

Et nystartet bryggeri regner på deres nulpunktsomsætning, som er den omsætning, der skal til, for at virksomheden giver overskud.

Deres overskud kan beskrives med funktionen p med forskriften

p(x) = 20x – 15000

idet x er antal solgte øl pr. måned, og p(x) er det månedlige overskud i kr.

18 Definition

Et nulpunkt for en funktion, f, er en løsning til ligningen f(x) = 0. Grafisk findes nulpunkterne for f som grafens skæringer med x-aksen.

19 Eksempel

Vi vil bestemme nulpunktet for bryggernes overskudsfunktion, p(x) = 20x – 15000.

p(x) = 20x – 15000

0 = 20x – 15000

prx.dk/4d375

prx.dk/ehcp5

15000 = 20x

750 = x

Funktionen har ét nulpunkt, nemlig x = 750. Det betyder, at hvis bryggeriet sælger præcis 750 øl om måneden, har de hverken overskud eller underskud.

20 Eksempel

Figuren viser grafen for en stykkevist defineret funktion, f. Vi kan aflæse på grafen, at funktionen har nulpunkterne x = –1, x = 2 og x = 5.

21 Definition

Lad f være en funktion, som er defineret for et interval. f siges at være positiv (i intervallet), hvis f(x) > 0 for alle x i det pågældende interval. Og f siges at være negativ, hvis f(x) < 0 for alle x i intervallet.

En fortegnsvariation for f er en angivelse af de intervaller i funktionens definitionsmængde, hvori funktionen er henholdsvis positiv eller negativ.

22 Eksempel

Vi vil bestemme fortegnsvariationen for funktionen givet ved g(x) = 2x – 6.

Først løser vi ligningen g(x) = 0 for at finde eventuelle nulpunkter. Man får, at x = 3 er det eneste nulpunkt. På grafen kan vi se, at g(x) < 0, når x < 3, og at g(x) > 0, når x > 3.

Vi skriver fortegnsvariationen op på følgende måde: g er negativ, når x ligger i intervallet ]–∞;3[, og g er positiv, når x ligger i intervallet ]3;∞[.

Hvis man ikke har mulighed for at tegne grafen, kan man beregne en funktionsværdi i hvert interval. Idet eksempelvis g(0) = –6, kan vi se, at funktionen er negativ for x-værdier mindre end x = 3.

23 Eksempel

Den stykkevist definerede funktion, f, fra eksempel 20 har fortegnsvariationen: f er positiv, når x ligger i intervallerne [–2; –1[ og ]2; 5[, og f er negativ, når x ligger i intervallerne ]–1; 2[ og ]5; 7].

24 Eksempel

Andengradspolynomiet f(x) = x 2 – 4x + 3 har nulpunkterne x = 1 og x = 3.

Dem kan man finde ved at løse ligningen f(x) = 0. Det er en andengradsligning, som man kan løse enten med sit CAS-værktøj eller med løsningsformlen, som du kender fra kapitel 1.

Ud fra grafen kan vi nu afgøre fortegnsvariationen: f er positiv, når x ligger i intervallerne ]–∞; 1[ og ]3; ∞[, og f er negativ, når x ligger i intervallet ]1; 3[.

25 Øvelse

Bestem nulpunkter og fortegnsvariation for nedenstående lineære funktioner uden brug af CAS.

a. f(x) = x – 5

b. f(x) = 2x – 30

c. f(x) = 3x + 15

d. f(x) = –0,2x + 100

26 Øvelse

Figuren viser grafen for en stykkevist defineret funktion, f

a. Løs ligningen f(x) = 0 grafisk.

b. Bestem funktionens fortegnsvariation grafisk.

27 Øvelse

En funktion, f, er givet ved forskriften

f(x) = x 3 – 4x 2 + x + 6 , –2 ≤ x ≤ 4

Besvar følgende spørgsmål med brug af CAS:

a. Bestem funktionens nulpunkter.

b. Tegn grafen for funktionen.

c. Bestem funktionens fortegnsvariation.

28 Øvelse

Et andengradspolynomium er givet ved forskriften f(x) = x 2 – 3x – 10.

a. Tegn grafen for f.

b. Bestem funktionens nulpunkter og fortegnsvariation.

2.4 Monotoniforhold og ekstrema

29 Introduktion

Foran børsen i Frankfurt står en bjørn og en tyr. I aktieverdenen taler man om et ”bull market”, når kursgraferne er stigende (tyren angriber opad), og et ”bear market”, når kursgraferne er faldende (bjørnen angriber nedad).

I figuren i margenen ses Dow Jones aktieindekset for perioden 2004 til 2022. I den viste periode var der:

• et bull market frem til 2007.

• et bear market mellem 2007 og 2009.

• et bull market fra 2009 helt frem til 2020.

• et kort bear market i begyndelsen af 2020.

• et bull market fra 2020 til 2022.

30 Definition

En funktions monotoniforhold er en angivelse af de intervaller i funktionens definitionsmængde, hvori funktionen er henholdsvis voksende eller aftagende.

31 Eksempel

I margenen ses grafen for funktionen f med forskriften

f(x) = 1 3 x 3 – 3x 2 + 8x + 2 , 0 ≤ x < 6

Monotoniforholdene for f kan aflæses ud fra grafen:

f er voksende, når x ligger i intervallerne [0; 2] og [4; 6[, og f er aftagende, når x ligger i intervallet [2; 4].

Vi kan se, at f er voksende i intervallerne [0; 2] og [4; 6[, ved at grafen i disse intervaller går opad mod højre – funktionsværdierne bliver større, når x bliver større. Og vi kan se, at f er aftagende i intervallet [2; 4], ved at grafen i dette interval går nedad mod højre – funktionsværdierne bliver mindre, når x bliver større.

32 Eksempel

Den lineære funktion g(x) = 3x + 15 er voksende i hele sin definitionsmængde. Generelt gælder om en lineær funktion, f(x) = a x + b, at den er voksende, hvis a > 0, og den er aftagende, hvis a < 0.

33 Eksempel

Den eksponentielle funktion, h(x) = 40 · 0,77x er aftagende i hele sin definitionsmængde. Generelt gælder om en eksponentiel funktion, f(x) = b · a x , at den er voksende, hvis a > 1, og den er aftagende, hvis 0 < a < 1.

34 Eksempel

Andengradspolynomiet givet ved p(x) = –x 2 + 4x – 1 har monotoniforholdene: p er voksende i intervallet ]–∞; 2], og p er aftagende i intervallet [2; ∞[

For at bestemme et andengradspolynomiums monotoniforhold skal man kende toppunktets x-koordinat. Det er nemlig her, at funktionen går fra at være voksende til aftagende – eller omvendt.

En sådan x-værdi, hvor grafen for en funktion ’vender’, kaldes et ekstremum

35 Definition

Hvis der om x1 i definitionsmængden for funktionen f gælder, at f(x1) ≤ f(x) for alle x i

Dm(f ), siger man, at f har globalt minimum i x1.

Hvis der om x2 i definitionsmængden for funktionen f gælder, at f(x2) ≥ f(x) for alle x i

Dm(f), siger man, at f har globalt maksimum i x2

36 Definition

Hvis der om x1 i definitionsmængden for funktionen f gælder, at f(x1) ≤ f(x) for alle x i et lille interval omkring x1, siger man, at f har lokalt minimum i x1

Hvis der om x2 i definitionsmængden for funktionen f gælder, at f(x2) ≥ f(x) for alle x i et lille interval omkring x2, siger man, at f har lokalt maksimum i x2.

37 Definition

Et maksimum (flertal: maksima) eller et minimum (flertal: minima) kaldes under ét for et ekstremum (flertal: ekstrema).

Hvis en funktion, f, har et ekstremum i x0, kaldes funktionsværdien f(x0) enten et ekstremum eller en ekstremumsværdi. Den x-værdi, x0, hvori f har et ekstremum, kaldes et ekstremumssted eller et ekstremumspunkt.

38 Eksempel

I margenen ses igen grafen for funktionen f fra eksempel 31. Man kan se, at den mindste funktionsværdi overhovedet er ved x = 0, hvor funktionsværdien er f(0) = 2. f har derfor et globalt minimum i x = 0 med den globale minimumsværdi 2. Bemærk, at det globale minimum også er et lokalt minimum.

Ved x = 2 har f et lokalt maksimum, og ved x = 4 har f et lokalt minimum.

Det ligner, at den højeste funktionsværdi er ved x = 6, men da denne x-værdi ikke er med i Dm(f ), har funktionen ikke noget globalt maksimum.

39 Øvelse

Tegn med CAS graferne for nedenstående funktioner. Bestem ud fra graferne funktionernes monotoniforhold samt deres ekstrema (både ekstremumssteder og ekstremumsværdier). a. f(x) = x 2 – 6x + 10 b. g(x) = –2x 3 + 9x 2 + 24x –10 , –3 ≤ x ≤ 6

Detkanvirkemystisk,aten x-værdi(ettal)kaldeset punkt.

Detskyldes,at x-værdieneret punktifunktionensdefinitionsmængde,derkunharétkoordinat.

Vioplevededetsammeiforbindelsemednulpunkter

2.5 Sammensatte funktioner

40 Introduktion

Vi ønsker at opstille en model for, hvor meget et føl skal spise, som funktion af føllets alder.

Vi ved, at den nødvendige fodermængde afhænger af føllets vægt, og vi ved, at vægten afhænger af alderen. De to sammenhænge kan vi kombinere, så fodermængden afhænger direkte af alderen.

41 Eksempel

For en bestemt hesterace kan den daglige mængde kraftfoder (målt i kg) beskrives med modellen

f(x) = 0,005x

prx.dk/rp93p

prx.dk/xp5sz

idet x er hestens vægt i kg.

Vægten af et bestemt føl kan de første 18 måneder efter fødslen beskrives med modellen

g(x) = 40 + 22x0,8

idet x er antal måneder efter fødslen, og g(x) er føllets vægt i kg.

For at få et udtryk for den daglige mængde kraftfoder som funktion af tiden sætter vi funktionen – der beskriver føllets vægt, g – 'ind i' funktionen, der beskriver fodermængden, f:



0,8 () ()0,005(4022 ) () gx fgxx =⋅+

42 Sammensat funktion

Ud fra to funktioner, f og g, kan vi danne en ny funktion, f ° g. Den nye funktion kaldes en sammensat funktion, og dennes forskrift er ( fg ==+=+  )(x) = () ()fgx =⋅+

 g kaldes den indre funktion, og f kaldes den ydre funktion. fg ==+=+  læses "f bolle g", og () ()fgx =⋅+  læses "f af g af x"

43 Eksempel

Hvis f(x) = x og g(x) = 2x + 1, er ( fg ==+=+  )(x)) ()(2121 ) () fgxfxx ==+=+  og (gf ===+  )(x) )())1 (2 () gfxgxx ===+  Rækkefølgen, som to funktioner sammensættes i, er vigtig!

44 Eksempel

f og g er stadig givet ved de samme forskrifter som i eksemplet ovenfor. Vi vil nu beregne funktionsværdien for x = 4 i de to tilfælde: f (g(4)) 24193 ⋅+= ==  og g(f(4)) 2122145 =+=⋅+= 

45 Eksempel

Hvis f(x) = x og g(x) = x 2 – 1 kan vi danne den sammensatte funktion h med forskriften

2 ()()1 () hxfgxx==−

Graferne for de tre funktioner – f, g og h– ses nedenfor.

Bemærk, at h ikke er defineret, når x ligger i intervallet ]–1; 1[. Det skyldes, at indsætter man tal fra dette interval, skal man tage kvadratroden af et negativt tal.

46 Eksempel

Funktionen med forskriften f(x) = (x + 3)5 kan betragtes som en sammensat funktion med den indre funktion h(x) = x + 3 og den ydre funktion g(x) = x 5, fordi

g(h(x)) = (x + 3)5

47 Øvelse

Tabellen viser sammenhørende værdier af henholdsvis f(x) og x samt g(x) og x. Tabellen skal bruges til at svare på spørgsmålene herunder.

QR-koden linker til en video, der viser, hvordan opgaven kan løses, hvis du har brug for hjælp.

a. Bestem g(3), f(3) og f(–1).

b. Bestem f (g(3)), g(f(3)) og g(f(–1))

48 Øvelse

h og g er bestemt ved forskrifterne

1 () x h x = og g(x) = –x + 5

a. Opskriv forskrifterne for h(g(x)) og g(h(x)).

b. Beregn funktionsværdierne h(g(2)) og g(h(2))

49 Øvelse

a. Split funktionen 32()2 x hx x =+ op i en indre og en ydre funktion.

b. Split funktionen p(x) = (x – 1)5 op i en indre og en ydre funktion.

2.6 Parallelforskydning af grafer

50 Introduktion

Jan brygger sig en kop kaffe. Lige efter brygningen er kaffen for varm til, at han vil drikke den, så han stiller den på bordet og venter.

Kaffens temperatur kan beskrives ved funktionen f med forskriften

f(x) = 70 0,93x + 20, idet x er tiden efter brygningen målt i minutter, og f(x) er kaffens temperatur i grader celsius.

51 Eksempel

prx.dk/9fzmu

prx.dk/8evwt

52 Sætning

Grafen for funktionen givet ved forskriften f(x) = 70 · 0,93x + 20 har samme form som grafen for en aftagende eksponentialfunktion, men i stedet for at nærme sig x-aksen for store værdier af x, vil grafen nærme sig linjen med ligningen y = 20. Eller sagt på en anden måde: Grafen for f er parallelforskudt 20 lodret op i forhold til eksponentialfunktionen med forskriften g(x) = 70 0,93x .

Lad f være en funktion, og lad k og c være reelle tal.

Grafen for funktionen g med forskriften g(x) = f(x) + k er parallelforskudt k lodret i forhold til grafen for f. Grafen for g er forskudt opad, hvis k > 0, og nedad, hvis k < 0.

Grafen for funktionen h med forskriften h(x) = f(x – c) er parallelforskudt c vandret i forhold til grafen for f. Grafen for h er forskudt mod højre, hvis c > 0, og mod venstre, hvis c < 0.

53 Eksempel

Grafen for funktionen g med forskriften g(x) = x 2 – 2 er parallelforskudt 2 lodret nedad i forhold til grafen for funktionen f med forskriften f(x) = x 2. På figuren er de lodrette afstande markeret med grå pile.

I forhold til sætningen kan vi se, at g(x) = f(x) – 2, svarende til at k = –2.

54 Eksempel

Grafen for funktionen h med forskriften h(x) = (x – 2)2 er parallelforskudt 2 vandret til højre i forhold til grafen for funktionen f med forskriften f(x) = x 2. På figuren er de vandrette afstande markeret med grå pile.

I forhold til sætningen kan vi se, at h(x) = f(x – 2), svarende til at c = 2.

55 Eksempel

Man kan kombinere de to typer parallelforskydning:

Grafen for funktionen h med forskriften h(x) = (x – 2)2 + 1 er parallelforskudt 2 vandret til højre og 1 lodret op i forhold til grafen for funktionen f med forskriften f(x) = x 2 .

I forhold til sætningen kan vi se, at h(x) = f(x – 2) + 1, svarende til at c = 2 og k = 1.

56 Øvelse

En funktion, f, er givet ved forskriften f(x) = 2x – 3

a. Opskriv forskriften for en funktion, hvis graf er parallelforskudt lodret 5 opad i forhold til grafen for f. Tegn begge grafer med CAS for at tjekke dit resultat.

b. Opskriv forskriften for en funktion, hvis graf er parallelforskudt vandret 3 til venstre i forhold til grafen for f. Tegn begge grafer med CAS for at tjekke dit resultat.

57 Øvelse

To funktioner, f og g, er givet ved forskrifterne f(x) = x 3 + 4x 2 og g(x) = f(x + 2) – 7.

a. Overvej, hvordan graferne for disse to funktioner ligger i forhold til hinanden.

b. Tegn nu graferne for de to funktioner. Passer det med dine overvejelser fra spørgsmål a?

58 Øvelse

To funktioner, f og g, er givet ved forskrifterne g(x) = –x 2 og f(x) = –x 2 – 6x – 7.

a. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem.

b. Vi betragter en ny funktion, h, med forskriften h(x) = g(x–c) + k. Prøv at finde frem til, hvad c og k skal være, for at grafen for h ligger oven i grafen for f. Lav for eksempel en ”skyder”, der varierer værdierne af c og k

2.7 Mere om begreberne voksende og aftagende

59 Introduktion

I de foregående afsnit har vi gentagne gange benyttet begreberne "voksende" og "aftagende". Vores udgangspunkt for brugen af disse to begreber har været beskrivelsen i det første afsnit.

Hvis man skal bruge de to begreber i forbindelse med beviser, så kræver det formelle definitioner. Dem præsenterer vi her.

60 Definition

En funktion, f, siges at være voksende i et interval, [a; b], når der for alle x1 og x2 i intervallet gælder: Hvis x1 < x2, så er f(x1) < f(x2).

Definitionen, udtrykt med ord, siger: Hvis x1 er mindre end x2, så medfører det, at f(x1) er mindre end f(x2). Dette stemmer overens med den beskrivelse, vi tidligere har brugt.

I matematik på højere niveauer kaldes funktioner, der opfylder definitionen ovenfor, strengtvoksendefunktioner.

61 Eksempel

Funktionen f med forskriften f(x) = x 2 er voksende i intervallet [0;∞[.

Vælger vi eksempelvis de to x-værdier x1 = 1 og x2 = 2 i dette interval, har vi, at 1 er mindre end 2, så x1 < x2, og de tilhørende funktionsværdier bliver

f(x1) = f(1) = 12 = 1 og f(x2) = f(2) = 22 = 4

1 er mindre end 4, og det stemmer overens med f(x1) < f(x2).

62 Eksempel

Vi vil vise, at den lineære funktion g med forskriften g(x) = 2x + 8 er voksende for alle reelle tal. Vi skal altså vise, at hvis x1 < x2, så er g(x1) < g(x2). Det kan vi gøre ved at omskrive betingelsen x1 < x2:

x1 < x2

2x1 < 2x2

Der er blevet ganget med 2 på begge sider.

2x1 + 8 < 2x2 + 8 Dernæst er 8 blevet lagt til på begge sider.

g(x1) < g(x2) Vi har genkendt udtrykkene som forskriften for g

Det var det, vi skulle vise.

Som det ses ovenfor, kan man regne med uligheder på samme måde, som man regner med ligninger. Dog er der den vigtige forskel, at ganger eller dividerer man med et negativt tal, skal ulighedstegnet vendes om.

63 Definition

En funktion, f, siges at være aftagende i et interval, [a; b], når der for alle x1 og x2 i intervallet gælder: Hvis x1 < x2, så er f(x1) > f(x2).

Der er samme overensstemmelse mellem definitionen af aftagende og den beskrivelse, vi tidligere har brugt.

Og ligesom ved de voksende funktioner vil man i matematik på højere niveauer kalde funktioner, der opfylder definitionen ovenfor, strengt aftagendefunktioner

64 Eksempel

Funktionen h med forskriften h(x) = –0,5x + 3 er aftagende for alle reelle tal.

Vælger vi eksempelvis de to x-værdier x1 = 2 og x2 = 4 , har vi, at 2 er mindre end 4, så x1 < x2, og de tilhørende funktionsværdier bliver h(x1) = h(2) = 0,5 ⋅ 2 + 3 = –1 + 3 = 2 og h(x2) = h(4) = 0,5 ⋅ 4 + 3 = –2 + 3 = 1

2 er større end 1, og det stemmer overens med h(x1) > h(x2).

65 Eksempel

Funktionen f med forskriften f(x) = x 2 er aftagende i intervallet ]–∞;0], og den er voksende i intervallet [0;∞[

Vi vil nu vise, hvorfor minimumsstedet x = 0 er med i begge intervaller. Først ser vi på intervallet ]–∞;0]. Hvis vi vælger x1 = 0 og x2 er et hvilket som helst andet tal – det vil sige ikke 0 – i intervallet ]–∞;0], har vi x1 < x2. Vi får da:

f(x1) = x1 2 og f(x2) = f(0) = 02 = 0

Det giver os, at f(x1) > f(x2), fordi ethvert tal (som ikke er 0) opløftet i anden potens giver et positivt tal. Vi kan dermed konkludere, at f er aftagende i intervallet ]–∞;0]

Nu ser vi på intervallet [0;∞[. Her vælger vi x1 = 0 og x2 er et hvilket som helst andet tal – det vil sige ikke 0 – i intervallet [0;∞[, og vi har da, at x1 < x2. Det giver os:

f(x1) = f(0) = 02 = 0 og f(x2) = x2 2 og dermed at f(x1) < f(x2). Vi konkluderer, at f er voksende i intervallet [0;∞[

Minimusstedet x = 0 skal således være med i begge intervaller.

66 Øvelse

Betragt den lineære funktion f med forskriften f(x) = –2x + 5.

a. Vis, at f er aftagende for alle reelle tal, ved at benytte samme fremgangsmåde som i eksempel 62. Husk i den forbindelse, hvad der sker med ulighedstegnet, når man ganger med et negativt tal.

prx.dk/xcb5x

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Opgave 201

En funktion, f, er givet ved forskriften

f(x) = –5x + 10. Besvar følgende spørgsmål uden brug af CAS:

a. Beregn f(0), f(2), f(–2) og f(5).

b. Løs ligningerne f(x) = 0 og f(x) = 20.

Opgave 202

Tegn graferne for funktionerne givet ved forskrifterne:

a. f1(x) = 0,5x – 2

b. f2(x) = 2 x

c. f3(x) = 2 · 1,14x

d. f4(x) = 4 · x1,5

Opgave 203

En funktion er givet ved forskriften g(x) = 25 · 0,7x .

a. Tegn grafen for g

b. Beregn funktionsværdierne g(0), g(10) og g(–10).

c. Løs ligningerne g(x) = 20 og g(x) = 10.

Opgave 204

To funktioner, f og g, er givet ved forskrifterne

f(x) = x + 2 og g(x) = 3 · x0,55 .

a. Løs ligningen f(x) = g(x) med CAS.

b. Tegn graferne for f og g i samme koordinatsystem i intervallet 0 ≤ x ≤ 10.

c. Bestem skæringspunkterne mellem graferne med grafværktøjet i dit CAS-program.

Opgave 205

Bestem definitionsmængden for funktionerne:

a. f1(x) = –x + 5

b. f2(x) = 2x 2

c. f3(x) = 1 x =

d. f4(x) = 1 5 x

Opgave 206

a. Tegn grafen for følgende stykkevist definerede funktion i hånden på ternet papir: , 0 ≤ x ≤ 4

Opgave 207

a. Ovenfor ses grafen for en stykkevist defineret funktion, f. Angiv forskriften for funktionen.

Opgave 208

En stykkevist defineret funktion, f, er givet ved forskriften

f(x) = 3 2 ,2 8,24 10 210,4

a. Beregn følgende funktionsværdier uden brug af CAS: f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) og f(–2).

b. Hænger funktionens graf sammen ved x = 2?

c. Hænger funktionens graf sammen ved x = 4?

Opgave 209

En stykkevist defineret funktion, f, er givet ved forskriften

f(x) = 5, 2 03 1 30 , x xkx x ≤≤ ≤

idet tallet k er en konstant.

a. Beregn f(3).

b. Bestem k, sådan at funktionens graf kommer til at hænge sammen.

c. Tegn grafen for funktionen, når k har værdien fundet i spørgsmål b.

Opgave 210 y

5 10 15 20 25 x f

Vindmøllers effekt afhænger af vindhastigheden. En bestemt vindmølles effekt kan modelleres med funktionen med forskriften

50,0

3001500,6

302280,1 4 24 4 6 1

idet x er vindhastigheden målt i m/s (meter pr. sekund), og f(x) er vindmøllens effekt målt i kW (kilowatt).

a. Bestem vindmøllens effekt, når vindhastigheden er 12 m/s.

b. På et tidspunkt måles vindmøllens effekt til 2800 kW. Bestem vindhastigheden på dette tidspunkt.

Opgave 211

En fabrikant køber frugtsaft til følgende priser:

Fra 0 til og med 20 liter: 6 kr. pr. liter

Fra 20 til og med 60 liter: 4 kr. pr. liter.

Opgaven handler om at opstille en model af situationen, idet f(x) betegner prisen (i kr.), og x er antal liter saft, fabrikanten køber.

a. Bestem regneforskriften for prisen fra 0 til og med 20 liter.

b. Bestem prisen for 20 liter.

c. Brug oplysningerne fra teksten og svaret på spørgsmål b til at bestemme regneforskriften for prisen fra 20 liter til og med 60 liter.

d. Skriv gaffelforskriften for den stykkevist definerede funktion f op.

e. Bestem prisen for 50 liter af frugtsaften.

f. Tegn grafen for f i et koordinatsystem, hvor x-værdierne går fra 0 til 60, og y-værdierne går fra 0 til 300.

g. Løs ligningen f(x) = 200, og forklar, hvad løsningen til ligningen fortæller.

Opgave 212

Bestem, uden brug af CAS, nulpunkter og fortegnsvariation for funktionerne givet ved følgende forskrifter:

a. f(x) = –2x + 10 , 0 ≤ x ≤ 15

b. g(x) = 5x + 20 , –10 ≤ x ≤ 10

c. h(x) = x 2 – 4 , –5 ≤ x ≤ 5

Opgave 213

En funktion, f, er givet ved forskriften

f(x) = x 4 – 10x 2 + 9 , –5 ≤ x ≤ 5.

a. Bestem funktionens nulpunkter med CAS.

b. Tegn grafen for f med CAS.

c. Angiv funktionens fortegnsvariation.

Opgave 214

Betragt funktionen givet ved forskriften

f(x) = 0,2x 2 – 0,8x – 4,2 , –5 ≤ x ≤ 5.

a. Tegn grafen for f

b. Bestem monotoniforholdene for f.

c. Angiv funktionens globale minimumssted og den globale minimumsværdi.

Opgave 215

Betragt funktionen givet ved forskriften

g(x) = 0,5x 3 + 1,5x 2 – 12x + 3 , –6 ≤ x ≤ 4.

a. Tegn grafen for g

b. Bestem monotoniforholdene for g.

c. Bestem samtlige af funktionen g's ekstrema. Angiv både ekstremumsstedet og ekstremumsværdien. Angiv endvidere, om det er lokale eller globale ekstrema.

Opgave 216

Betragt funktionen givet ved forskriften

h(x) = –0,5x 3 + 6x 2 – 18x – 2 , 0 ≤ x ≤ 10.

a. Tegn grafen for h

b. Bestem monotoniforholdene for h

c. Bestem samtlige af funktionen h's ekstrema. Angiv både ekstremumsstedet og ekstremumsværdien. Angiv endvidere, om det er lokale eller globale ekstrema.

Opgave 217

Et fjerdegradspolynomium er givet ved forskriften

f(x) = 0,015x 4 – 0,02x 3 – 0,75x 2 + 1,5x + 10.

a. Tegn grafen for f i intervallet –8 ≤ x ≤ 8.

b. Bestem monotoniforholdene for f i intervallet –8 ≤ x ≤ 8.

Opgave 218

Skitsér graferne for funktionerne med følgende monotoniforhold:

a. f1, som er aftagende i intervallet [–5; 5] og voksende i intervallet [5; 10].

b. f2, som er voksende i intervallet [0; 8] og aftagende i intervallet [8; 10].

c. f3, som er voksende i intervallerne [–7; –3] og [4; 7] samt aftagende i intervallet [–3; 4].

Opgave 219

To funktioner, f og g, er givet ved forskrifterne

f(x) = x 2 og g(x) = 2x – 5.

a. Beregn funktionsværdierne f (g(1)), f (g(0)) og f (g(–2)).

b. Beregn funktionsværdierne g(f(1)), g(f(–3)) og g(f(5)).

c. Opskriv en forskrift for den sammensatte funktion f (g(x)).

d. Opskriv en forskrift for den sammensatte funktion g(f(x))

Opgave 220

To funktioner, f og g, er givet ved forskrifterne

f(x) = 1 x = og g(x) = x 2 .

a. Beregn funktionsværdierne f (g(1)) og f (g(–2))

b. Beregn funktionsværdierne g(f(2)) og g(f(–3))

c. Opskriv en forskrift for den sammensatte funktion f (g(x)).

d. Opskriv en forskrift for den sammensatte funktion g(f(x))

Opgave 221

To funktioner, f og g, er givet ved forskrifterne

f(x) = x og g(x) = 3x + 1.

a. Beregn funktionsværdierne ( fg ==+=+  )(1), ( fg ==+=+  )(0) og ( fg ==+=+  )(5).

b. Beregn funktionsværdierne (gf =+=⋅+=  )(1), (g f =+=⋅+=  )(4) og (g f =+=⋅+=  )(0).

c. Opskriv en forskrift for den sammensatte funktion fg ==+=+  .

d. Opskriv en forskrift for den sammensatte funktion g f =+=⋅+= 

Opgave 222

Om to funktioner, f og g, er en række funktionsværdier oplyst i tabellen.

x –5–4–3–2–1 012345

f (x) 31 –1–3–5–3 54321

g(x) 13543210 –1–2–3

Bestem nedenstående funktionsværdier

a. f(3) g. g(f(0))

b. g(0) h. (fg ==+=+  )(–5)

c. f (g(1)) i. (fg ==+=+  )(3)

d. f (g(5)) j. (g f =+=⋅+=  )(2)

e. f (g(–3)) k. (g f =+=⋅+=  )(5)

f. g(f(4)) l. (g f =+=⋅+=  )(–1)

Opgave 223

To funktioner, h og p, er givet ved forskrifterne

h(x) = x 5 og p(x) = x 2 + 3x.

a. Opskriv en forskrift på den sammensatte funktion, der har p som indre funktion og h som ydre funktion.

Opgave 224

Split nedenstående funktioner op i en indre funktion og en ydre funktion:

a. f1(x) = (3x – 8)3

b. f2(x) = + 42 x

c. f3(x) = −+ 1 31 x

d. f4(x) = 5 · 35x – 1

Opgave 225

Split nedenstående funktioner op i en indre funktion og en ydre funktion:

a. g1(x) = (x 2 – 5x)10

b. g2(x) = 3 4 204xx

c. g3(x) = 2 332xx

d. g4(x) = 100 1,3–x2

Opgave 226

Betragt funktionerne f og g med forskrifterne

f(x) = x 2 og g(x) = (x – 6)2 .

a. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem.

b. Beskriv, hvordan de to grafer ligger i forhold til hinanden. Brug begrebet parallelforskydning i din forklaring.

c. Tegn nu også grafen for funktionen med forskriften h(x) = x 2 + 4 i samme koordinatsystem.

d. Beskriv, hvordan graferne for f og h ligger i forhold til hinanden. Brug igen begrebet parallelforskydning i din forklaring.

Opgave 227

Betragt funktionerne f og g med forskrifterne

f(x) = x 2 og g(x) = (x + 3)2 – 7.

a. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem.

b. Beskriv, hvordan de to grafer ligger i forhold til hinanden. Brug begrebet parallelforskydning i din forklaring.

Opgave 228

Betragt funktionerne f og g med forskrifterne

f(x) = 1 x = og g(x) = f(x – 2) + 3.

a. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem.

b. Beskriv, hvordan de to grafer ligger i forhold til hinanden. Brug begrebet parallelforskydning i din forklaring.

Træning 2

Vedligeholdelse af regnefærdigheder

Regnearternes hierarki

Parenteser: (a + b)

Potenser og rødder: ba , b a

Multiplikation og division: a · b, a b , a : b

Addition og subtraktion: a + b, a – b

Eksempel:

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Parentesen bliver altså til: () ⋅ + 316 = −= (34)(1). Nu kan vi regne videre på resten. Først potenserne, så produktet og til sidst summen:

+=⋅−=+⋅+=22(1)25 531253328

Det hele kan også samles til én beregning:

52 + 3 · () ⋅ + 2 316 + + =⋅−=⋅−=+⋅=+= + 2222 (34)5 5(1)25312533 3 28

Husk, at rodtegn og brøker også tæller som parenteser. Eksempelvis: + == 538 22 4 og −== 12393 .

1. Udregn:

a. 10 + 5 · 4

b. 2 · 3 – 1

c. (4 + 2) · 5

d. 3 · (2 – 3)

Ligninger

2. Udregn: a. 2 25

b. ⋅ 362

c. (2 + 3)2

d. (5 – 6)2

3. Udregn: a. + 2511

b. 259 c. ()+− 2 954

d. ()3 1 316

4. Udregn: a. + + 73 23 b. ⋅ 73 254 c. −+ 22 541 41

Husk, at lighedstegnet udtrykker en balance mellem talstørrelserne på hver side af det. Eksempel:

Ligningen 2x + 10 = 2 · (3x – 1) kan løses således:

2x + 10 = 6x – 2 2 er ganget ind i parentesen.

2x + 10 – 2x = 6x – 2 – 2x 2x er trukket fra på begge sider.

10 = 4x – 2 Ligningen er reduceret.

10 + 2 = 4x – 2 + 2 2 er lagt til på begge sider.

12 = 4x Ligningen er reduceret.

12 4 = x Begge sider er divideret med 4.

x = 3 Løsningen er 3.

5. Løs ligningerne:

a. x + 10 = 18

b. x – 3 = –8

c. 5x = 20

d. 3x = –9

6. Løs ligningerne:

a. 4x – 7 = 13

b. 5x + 8 = –12

c. 22 = 2 – 4x

d. 3x – 5 = –17

7. Løs ligningerne:

a. 2x – 7 = 28 – 5x

b. 5x – 5 = –3x – 37

c. 3x – 7 = –3x + 23

d. 9x + 5 = 2x + 40

8. Løs ligningerne:

a. 3(x – 10) = 60

b. 2(x + 7) = 26

c. 10 = –5(x + 3)

d. 36 = 2(16 + 2x)

Modelafvigelse

9. Løs ligningerne:

a. 3(x + 4) = –2x + 32

b. 6(x – 5) = 4x – 22

c. 4(3 + x) = –(x + 13)

d. 6(x + 2) = 2(2x + 10)

Hvis en funktion, f, er model for sammenhængen mellem to variable, x og y, og man har målt en bestemt x-værdi, x0 , kaldes funktionsværdien f (x0) en modelværdi. Den betegnes også ymodel , altså: ymodel = f (x0).

Den absolutte afvigelse, ∆y, mellem en observeret y-værdi, yobs , og den tilhørende modelværdi, ymodel , beregnes ved at trække modelværdien fra den observerede værdi: ∆y = yobs – ymodel

Den relative afvigelse, r, mellem yobs og ymodel angiver forholdet mellem den absolutte afvigelse og modelværdien. Den beregnes med formlen

obsmodel model yy y r =

10. Hver af tabellerne herunder viser fire observerede værdier og de tilhørende modelværdier.

Beregn for hver tabel de fire absolutte afvigelser og de fire relative afvigelser.

a. Observeret værdi 23272932

Modelværdi 22293034

b. Observeret værdi 12,416,219,022,7

Modelværdi 13,315,919,424,6

c. Observeret værdi 4,16,39,712,4

Modelværdi 3,75,99,414,1

11. Tabellen herunder viser sammenhørende værdier af to variable, x og y. x 245710111214 y 5687991011

a. Benyt lineær regression til at finde den lineære model, f, der bedst beskriver sammenhængen mellem x og y

b. Beregn for hver værdi af x den tilhørende modelværdi.

c. Beregn for hvert datapunkt den absolutte afvigelse og den relative afvigelse mellem de observerede y-værdier og de tilhørende modelværdier.

Træning 2 (fortsat)

Potenser og rødder

Potensregneregler:

Eksempler:

Udregn tallene nedenfor uden brug af CAS.

16. a. 16 1 2 b. 8 1 3

Eksponentiel notation

Hvis man skal angive meget store eller meget små tal, er det ofte praktisk at benytte eksponentielnotation.

Eksempler:

Det meget store tal 634000000 kan omskrives til 6,34 · 108, idet 6,34 · 108 = 6,34 · 100000000 = 634000000

Det meget lille tal 0,0000000045 kan omskrives til 4,5 · 10–9, idet 9 9 11 101000000000 4,5104,54,54,50,0000000010,0000000045 ⋅=⋅=⋅=⋅=

20. Følgende tal er skrevet med eksponentielnotation. Omskriv dem til decimalnotation, altså den ’almindelige skrivemåde’.

a. 1,1 · 102

b. 1,7 · 104

c. 8,51 · 106 d. 1.023 · 109

e. 1,867 · 102 f. 4,9600778 · 1012

2,85 · 10–3

6,2 · 10–5 i. 4,00032 · 10–4 j. 4,6 · 10–10 k. 5,32 · 10–6 l. 7,1 · 10–16

Når et tal angives med eksponentiel notation, omskrives tallet således, at det bliver produktet af to tal, hvoraf det ene er en potens med grundtallet 10, og det andet er et tal mellem 1 og 10.

Eksempler:

Tallet 350000 angives med eksponentiel notation som 3,5 · 105, altså produktet af 3,5 og 105. Først skriver vi tallet 3,5 (tallet mellem 1 og 10). Derefter finder vi ud af, hvilken potens med grundtallet 10 som 3,5 skal ganges med for at få 350000, det er 100000 = 105 .

Tallet 0,00578 angives med eksponentiel notation som 5,78 · 10–3, altså produktet af 5,78 og 10–3. Først skriver vi tallet 5,78 (tallet mellem 1 og 10). Derefter finder vi ud af, hvilken potens med grundtallet 10 som 5,78 skal ganges med for at få 0,00578, det er 0,001 = 10–3 .

21. Angiv følgende tal med eksponentiel notation:

a. 4500

b. 1650000

c. 1946000

Brøker

Forlænge en brøk: ⋅ = aka bkb

Forkorte en brøk: = : : aak bbk

Tal gange brøk: ⋅ = a b c ⋅= c a b

d. 25400000

e. 1034

f. 299792458

Brøk gange brøk: acac bdbd ⋅ =

22. Forlæng brøkerne med 4.

a. 1 2

b. 3 4

c. 10 100

23. Forkort brøkerne med 5.

a. 10 15

b. 50 20

c. 100 30

g. 0,045

h. 0,0000012

i. 0,0004987

j. 0,00000000003

k. 0,145

l. 0,0000006563

Eksempel: == 1313 2326

Eksempel: == 44:41 88:42

Eksempel: ⋅ ⋅= 232 55 3

Eksempel: 3232 4545 ⋅ ⋅=

24. Forkort så meget som muligt (så nævner og tæller stadig er heltal).

a. 18 4

b. 12 18

c. 21 14

25. Beregn og forkort så meget som muligt.

a. 4 · 8 10

b. 7 8 · 8

c. 4 · 3 8

26. Beregn og forkort så meget som muligt.

a. 4 8 1 3

b. 2 4 1 5

c. 5 10 5 7

3. Differentialregning

3.1 Tangenter og væksthastighed

1 Introduktion

Vi skal nu starte på emnet differentialregning. Meget forenklet handler differentialregning om at bestemme tangenters hældning, så vi begynder med at definere, hvad der menes med en tangent til grafen for en funktion.

Den moderne differentialregning blev grundlagt for mere end 300 år siden af blandt andre Isaac Newton og Gottfried Leibniz.

2 Definition

En tangent til en graf er en ret linje, som rører grafen i et punkt, og som tilnærmer sig grafen i nærheden af dette punkt.

At tangenten tilnærmer sig grafen i nærheden af punktet, betyder, at man ikke kan se forskel på grafen og tangenten, hvis man zoomer tæt nok ind på grafen.

3 Eksempel

prx.dk/cnn44

De tre figurer nedenfor viser grafen for f(x) = 0,5x 2 samt tangenten til grafen i punktet (1,0.5). Ad to omgange har vi zoomet ind på tangentens røringspunkt. I figuren længst til højre er der zoomet så langt ind, at man ikke kan se forskel på tangenten og grafen for f

prx.dk/f9rrb

Hældningen af en ret linje gennem punkterne (x0 , y0) og (x1 , y1) kan beregnes med formlen 1 0 1 0 yy xx a = .

4 Bemærkning

Betragt funktionen f. Tangentens hældning i punktet (x0 , f(x0)) kaldes differentialkvotienten og angives ofte f ′(x0). f ′læses ”f-mærke”.

5 Eksempel

Nogle gange kan tangentens hældning aflæses manuelt. Til højre ses grafen for f(x) = x 2 og tangenten til grafen i punktet (1,1). Vi kan aflæse, at punktet (4,7) ligger på tangenten. Hældningen af tangenten er:

716 413 2 a ===

Når x = 1, er differentialkvotienten f ′(1) = 2.

6Væksthastighed

For en matematisk model angiver hældningen af tangenten til grafen for modellen væksthastigheden. Enheden for væksthastigheden er enhedpå -aksen enhedpå -aksen y x .

7 Eksempel

I et eksperiment kan antallet af bakterier i en petriskål beskrives med modellen f(x) = 320 1,073x, idet x er antal minutter efter eksperimentets begyndelse, og f(x) er antal bakterier i skålen.

Væksthastigheden efter 10 minutter kan findes som hældningen af tangenten til grafen for f i punktet (10, f(10)). Denne hældning er 46. Enheden på x-aksen er minutter, og enheden på y-aksen er antalbakterier. Væksthastigheden efter 10 minutter er dermed 46 bakterier minut .

8 Eksempel

Ikke alle grafer har tangenter i alle punkter. Eksempelvis har grafen for ()2 ()21 fxx=−+ ingen tangent i punktet (2, 1): Uanset hvor meget man zoomer ind på grafen omkring dette punkt, kommer den aldrig til at ligne en ret linje, og man kan derfor ikke tegne en entydig tangent.

9 Øvelse

Grafen for funktionen med forskriften g(x) = –x 3 + 5x har en tangent i punktet (1,4). Denne tangent har ligningen y = 2x + 2.

a. Bestem tangentens hældning.

b. Bestem g′(1).

c. Tegn i samme koordinatsystem grafen for g samt tangenten. Zoom ind på punktet (1,4), og undersøg, om det er rigtigt, at tangenten tilnærmer sig grafen for g i punktet.

10 Øvelse

Grafen for funktionen f er vist i margenen. Tangenten til grafen i punktet (2,3) er også indtegnet.

a. Aflæs tangentens hældning. Angiv facit som en brøk.

11 Øvelse

a. Tegn grafen for funktionen med forskriften ()2 ()2 1 fxx=−+

b. Zoom ind på punktet (2,1), og undersøg, om det virkelig kan passe, at grafen aldrig kommer til at ligne en ret linje, uanset hvor meget man zoomer ind.

3.2 Beregning af tangenthældninger (og

væksthastigheder)

12 Introduktion

En bjergklatrer taber sine nøgler fra et meget højt udhæng. Nøglernes fald kan med god tilnærmelse beskrives med modellen g(x) = 5x 2, hvor x er tiden målt i sekunder, og g(x) er afstanden, som nøglerne er faldet, målt i meter.

Kan vi mon beregne, hvor hurtigt nøglerne falder? Det svarer til at spørge: Kan vi beregne tangentens hældning for en bestemt værdi af x?

13 Sætning

Hældningen af tangenten til grafen for en funktion af typen f(x) = a · x 2 i punktet (x0 , f(x0)) kan beregnes med formlen f ′(x0) = 2a · x0

14 Eksempel

Betragt funktionen givet ved forskriften f(x) = 3x 2. Vi vil beregne hældningen af tangenten til grafen for f, når x0 = –1. Det vil sige tangenten i punktet (–1, f(–1)) = (–1,3).

Funktionens forskrift er af typen a x 2, hvor a = 3. Dermed kan tangenthældningen beregnes med formlen fra sætning 13:

f ′(x0) = 2 · 3 · x0 = 6x0

Med x0 = –1 indsat bliver det til f ′(–1) = 6 (–1) = –6. Se grafen og tangenten i margenen.

15 Eksempel

Funktionen g(x) = 5x 2 fra introduktionen er også en funktion af typen a · x 2. Hvis vi benytter sætningen, kan vi se, at tangenthældningerne kan beregnes med formlen

prx.dk/95r8m

prx.dk/bw6y9 prx.dk/gr8xr

g ′(x0) = 2 · 5 · x0 = 10x0

Vi vil beregne nøglernes hastighed efter 2 sekunder. Det svarer til, at x0 = 2. Tangentens hældning er g ′(2) = 10 2 = 20.

Enheden for hældningen (altså væksthastigheden) er som bekendt enhedpå -aksen enhedpå -aksen y x .

Nøglernes hastighed efter 2 sekunder er dermed 20 meter sekund 0 , altså 20 meter pr. sekund.

16 Eksempel

Betragt funktionen givet ved forskriften h(x) = 0,1x 2. Hvad skal x være, for at tangenthældningen er 10?

Forskriften for h er af typen a · x 2, hvor a = 0,1, og derved kan tangenthældningen beregnes med formlen 2 · 0,1 · x0. Det giver os ligningen 2 · 0,1 · x0 = 10.

Denne ligning kan løses med omskrivningerne:

0,2x0 = 10

Mellemregningen 2 · 0,1 = 0,2.

2x0 = 100 Der er blevet ganget med 10 på begge sider. x0 = 50 Begge sider er blevet divideret med 2.

Tangenthældningen er 10, når x er 50. Eller skrevet kort: h ′(50) = 10.

17 Eksempel

Betragt igen de faldende nøgler fra introduktionen. Hvornår falder de med hastigheden 30 meter sekund ?

Vi fandt tidligere ud af, at hastigheden (tangenthældningen) kunne beregnes ved

g ′(x0) = 10x0. Vi får altså ligningen 10x0 = 30, som har løsningen x0 = 3. Altså er g ′(3) = 30, og vi kan konkludere, at nøglerne falder med en hastighed på 30 meter sekund efter 3 sekunder.

I de tre øvelser herunder skal du bruge sætning 13 til at beregne tangenthældninger (differentialkvotienter).

18 Øvelse

En funktion, f, er givet ved forskriften f(x) = 3x 2

a. Beregn hældningen af tangenten til grafen for f, når x0 = 2, og når x0 = –2.

b. Beregn følgende differentialkvotienter: f ′(1), f ′(15) og f ′(–2).

c. Hvad skal x være, for at tangenthældningen er 36?

19 Øvelse

En funktion, h, er givet ved forskriften h(x) = –2x 2 .

a. Beregn hældningen af tangenten til grafen for h, når x0 = 2, og når x0 = –2.

b. Beregn følgende differentialkvotienter: h ′(1), h ′(15) og h ′(–2).

c. Hvad skal x være, for at tangenthældningen er 20?

20 Øvelse

En funktion, g, er givet ved forskriften g(x) = 2x 2

a. Udfyld tabellen.

b. Lav med CAS et punktplot med sammenhørende værdier af x₀ og g ′(x₀) fra tabellen, således at x₀ er punkternes x-koordinater, og g′(x₀) er punkternes y-koordinater. Det første punkt skal altså være (–3,–12).

c. Udfør en lineær regression på punkterne.

d. Sammenlign forskriften fra den lineære regression med formlen fra sætning 13. Hvad er sammenhængen?

0 –3–2–1

g ′(x0) –12

3.3 Afledet funktion

21 Introduktion

Vi betragter igen eksperimentet fra eksempel 7 med bakterievækst i en petriskål. Tabellen angiver væksthastigheden af bakterier i petriskålen til udvalgte tildspunkter.

x0 0123456789 10

f ′(x0) 2324262830323437404346

x er antal minutter efter eksperimentets begyndelse, og f ′(x) er væksthastigheden angivet i bakterier pr. minut.

Væksthastigheden kan opfattes som en funktion!

22 Eksempel

I sidste afsnit brugte vi, at hvis en funktion er af typen f(x) = a · x 2, så kan tangenthældningen f ′(x0) i punktet (x0 , f(x0)) beregnes som f ′(x0) = 2 · a · x0.

Dette gælder for alle værdier af x0 , så vi kan opfatte reglen som en funktion, hvor funktionsværdierne netop er tangenthældningerne. Funktionen har så forskriften f ′(x) = 2 · a x. En sådan funktion kaldes en afledetfunktion.

23 Sætning

Den afledede funktion, f ′, af en funktion af typen f(x) = a · x 2 har forskriften

f ′(x) = 2 · a·x.

24 Eksempel

Funktionen med forskriften f(x) = 0,5x 2 har den afledede funktion, f ′, med forskriften f ′(x) = 2 0,5 · x = x.

Graferne for begge funktioner, f og f ′, er i margenen indtegnet i samme koordinatsystem. Grafen for f er blå, og grafen for f ′ er rød.

Vi bemærker, at det passer med, at f ′ er negativ, når f er aftagende, og at f ′ er positiv, når f er voksende.

Her er en tabel over nogle udvalgte funktioner og deres tilhørende afledede funktioner.

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.

Funktion f (x)

Afledet funktion

25 Eksempel

Den afledede funktion af g(x) = x 4 er g ′(x) = 4x 4–1 = 4x 3. Vi har brugt regel nr. 7, idet eksponenten er a = 4.

26 Eksempel

Den afledede funktion af h(x) = 3x – 4 er den konstante funktion h ′(x) = 3 ifølge regel 3.

Det er ikke overraskende, for h er jo en lineær funktion, så tangenten til grafen for h må have samme hældning overalt, nemlig 3.

For lineære funktioner er tangenten til grafen sammenfaldende med grafen for funktionen (de ligger oven i hinanden).

27 Eksempel

Betragt funktionen med forskriften g(x) = x . Vi vil gerne beregne hældningen af tangenten til grafen for g, når x = 2.

Regel 9 fortæller os, at den afledede funktion har forskriften

g ′(x) = 1 2 x

Når x = 2, giver det

g ′(2) = 1 2 2 ⋅ = 0,354

Med andre ord: Tangentens hældning, når x = 2, er 0,354. I margenen ses grafen for g samt tangenten til grafen, når x = 2.

28 Øvelse

Angiv forskriften for den afledede funktion til følgende funktioner:

a. f1(x) = –8x + 12

b. f2(x) = x 7

c. f3(x) = x 100

d. f4(x) = x –3

e. f5(x) = 1,5x

29 Øvelse

Betragt funktionen 1 () x f x =

a. Beregn hældningen af tangenten til grafen for f, når x = 2, og når x = 10.

3.4 Sum-, differens- og konstantreglen

30 Introduktion

For en bestemt kop kaffe kan temperaturen beregnes som en funktion af tiden:

f(x) = 70 · 0,93x + 20 , x > 0

idet f(x) er temperaturen i grader celsius til tidspunktet x, målt i minutter efter at kaffen blev skænket.

Med hvilken hastighed aftager kaffens temperatur efter 10 minutter? Det kan vi svare på ved at finde tangenthældningen, når x = 10, men hvordan differentierer man en funktion som denne? I dette afsnit skal vi se på nogle regneregler, som kan hjælpe os.

31 Regneregler for afledede funktioner

For to differentiable funktioner, f og g, og et reelt tal, k, gælder:

(1) Differentiation af en sum af to funktioner (sumreglen):

(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x)

(2) Differentiation af en differens mellem to funktioner (differensreglen):

(f(x) – g(x))′ = f ′(x) – g ′(x)

(3) Differentiation af en konstant gange en funktion (konstantreglen):

(k · f(x))′ = k · f ′(x)

Udvalgte afledede funktioner:

(x a)′ = a · x a–1 ( () x ′ = )′ = () 1 2 x ′ = (a x)′ = a x · ln(a) (k)′ = 0

x f

32 Eksempel

Betragt funktionen h(x) = x 3 + x 2. Vi kan opfatte h som en sum af to funktioner, f og g, hvor f(x) = x 3 og g(x) = x 2. Det vil sige h(x) = f(x) + g(x).

Ifølge regel 1 ovenfor er h ′(x) = f ′(x) + g ′(x). Da f ′(x) = 3x 2 og g ′(x) = 2x, er h ′(x) = 3x 2 + 2x.

33 Eksempel

Betragt funktionen givet ved forskriften f(x) = x 2 –() x ′ = , x ≥ 0. Vi vil beregne hældningen af tangenten til grafen for f, når x = 1. Med andre ord: Vi vil beregne f ′(1).

Først differentierer vi f ved at differentiere leddene i forskriften hver for sig (svarende til regel 2 ovenfor): f ′(x) = (x 2 –() x ′ = )′ = (x 2)′ – ( () x ′ = )′= 2x – () 1 2 x ′ = Nu kan vi indsætte x = 1: f ′(1) = 2 · 1 – 1 21 =+=+⋅=+=+= = 2 – 1 2 =+=+⋅=+=+== 1,5

Tangentens hældning er altså 1,5. På figuren ses grafen for f tegnet med blå. Tangenten i punktet (1, f(1)) er indtegnet med rød.

34 Eksempel

Betragt funktionen f(x) = 10x 3. Ifølge regel 3 kan den differentieres på følgende måde:

f ′(x) = (10 · x 3)′ = 10 · (x 3)′ = 10 3x 2 = 30x 2

35 Eksempel

Ved at kombinere regnereglerne kan vi nu differentiere alle polynomier.

Betragt eksempelvis polynomiet p(x) = 5x 7 + 3x 4 – 2x 3 + 8:

p ′(x) = (5x 7 + 3x 4 – 2x 3 + 8 )′

= (5x 7)′ + (3x 4)′ – (2x 3)′ + (8)′ = 5 · (x 7)′ + 3 · (x 4)′ – 2 · (x 3)′ + 0

= 5 · 7x 6 + 3 · 4x 3 – 2 · 3x 2

= 35x 6 + 12x 3 – 6x 2

36 Eksempel

Temperaturen af kaffen fra introduktionen er beskrevet ved funktionen f(x) = 70 · 0,93x + 20 , x > 0, idet x er tiden i minutter, og f(x) er temperaturen i grader celsius.

Hvor hurtigt aftager temperaturen, 10 minutter efter at kaffen blev skænket?

Vi vil beregne tangenthældningen f ′(10) for at svare på det spørgsmål.

Først differentieres f med brug af regnereglerne.

f ′(x) = (70 · 0,93x + 20)′

= (70 0,93x)′ + (20)′

= 70 · (0,93x)′ + 0

= 70 · ln(0,93) · 0,93x

Nu indsættes x = 10 i den afledede funktion:

f ′(10) = 70 ln(0,93) 0,9310 = –2,5

Konklusion: Efter 10 minutter aftager kaffens temperatur med en hastighed på 2,5 grader celsius pr. minut.

37 Øvelse

a. Beregn, hvor hurtigt kaffens temperatur aftager efter 2 minutter.

38 Øvelse

Differentier følgende funktioner ved hjælp af regnereglerne:

a. f(x) = 5x + x 5 b. g(x) = 5() x ′ = c. h(x) = 5x 2 – 2x 3

39 Øvelse

a. Betragt polynomiet p(x) = 2x 3 – 4x 2 + 3x – 1. Bestem p ′(x), og beregn p ′(2).

b. Beregn hældningen af tangenten til grafen for p, når x = –1.

c. Tjek dine beregninger med CAS.

3.5 Produkt- og kædereglen

40 Introduktion

Et firma, der producerer 3D-printere, regner med, at omsætningen x år efter produktionsstart kan beregnes med funktionen

R(x) = (400x + 100) · (8000 · 0,9x) , x > 0

R(x) er firmaets omsætning i kr.

Hvor hurtigt vokser omsætningen 3 år efter produktionsstart?

I dette afsnit skal vi se på, hvordan man kan differentiere funktioner som R

41 Produktreglen og kædereglen

Lad f og g være to differentiable funktioner.

(4) Differentiation af et produkt af to funktioner (produktreglen):

(f(x) · g(x)) ′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g ′(x)

Kædereglen er ikke kernestof på hf matematik B.

prx.dk/4hkaj

prx.dk/7cegy

(5) Differentiation af en sammensat funktion (kædereglen):

(f (g(x)) ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)

42 Eksempel

Funktionen h(x) = x · ln(x) kan betragtes som et produkt af de to funktioner

f(x) = x og g(x) = ln(x). Den kan altså differentieres med produktreglen (regel 4). Som mellemregning differentieres først f og g:

f ′(x) = 1 og g ′(x) = 1 x

Vi kan nu sætte ind i produktreglen:

h ′(x) = (f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g ′(x) = 1 · ln(x) + x · 1 x = ln(x) + 1

43 Eksempel

Funktionen R(x) = (400x + 100) · (8000 · 0,9x) fra introduktionen kan differentieres med produktreglen:

R ′(x) = ((400x + 100) (8000 0,9x))′ = (400x + 100)′ · (8000 0,9x) + (400x + 100) · (8000 0,9x)′ = 400 · (8000 · 0,9x) + (400x + 100) · (8000 · ln(0,9) · 0,9x)

Vi kan nu beregne R ′(3)

R ′(3) = 400 · (8000 0,93) + (400 3 + 100) · (8000 ln(0,9) 0,93) = 1533999

Efter 3 år vokser omsætningen med en hastighed på cirka 1,5 millioner pr. år.

44 Eksempel

Funktionen p(x) = (3x + 8)5 kan opfattes som en sammensat funktion med den indre funktion g(x) = 3x + 8 og den ydre funktion f(x) = x 5 . Den kan differentieres med kædereglen (regel 5). Først differentierer vi den indre og ydre funktion hver for sig:

f ′(x) = 5x 4 og g ′(x) = 3

Vi kan nu indsætte i kædereglen

p ′(x) = (f (g(x))) ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)

= 5 · (3x + 5)4 · 3

= 15 · (3x + 5)4

45 Eksempel

Funktionen p med forskriften p(x) = ln(2x 4 + 3) kan opfattes som en sammensat funktion med den indre funktion g(x) = 2x 4 + 3 og den ydre funktion f(x) = ln(x).

p kan differentieres med brug af kædereglen (regel 5). Først differentierer vi den indre funktion og ydre funktion hver for sig:

f ′(x) = 2 · 4x 4 –1+ 0 = 8x 3 og g ′(x) = 1 x

Vi kan nu indsætte i kædereglen:

p ′(x) = f ′(g(x)) · g ′(x) = 3 44 3 18 2323 8 x xx x ++ ⋅=

46 Øvelse

Differentiér følgende funktioner med brug af produktreglen:

a. f1(x) = x 2 · ln(x)

b. f2(x) = (5x – 2) ·() x ′ =

c. f3(x) = 1 x · e 3x

Differentiér følgende funktioner med brug af kædereglen:

d. f4(x) = (2x – 34)10

e. f5(x) = 2 10 5 x +

f. f6(x) = e2x3 + 8x

47 Øvelse

En kvindelig atlet regner med, at hendes præmiesum med god tilnærmelse kan beskrives med modellen

f(x) = 1000 · 3 25 x , x ≥ 3

idet x er antal år, siden hun begyndte at træne, og f(x) er præmiepengene i kr.

a. Bestem f ′(x).

b. Beregn f ′(5), og giv en fortolkning af resultatet.

3.6 Sekanthældninger

48 Introduktion

Da differentialregningen blev udviklet i sidste halvdel af 1600-tallet, fortolkede man tangenter på forskellige måder.

En af hovedpersonerne i denne udvikling, matematikeren Gottfried Leibniz, opfattede tangenten som en ret linje, der gik gennem to punkter, som lå uendelig tæt på hinanden på grafen.

49 Definition

En sekant er en ret linje, som skærer grafen for en funktion to steder.

På figuren ses grafen for en funktion, f, tegnet med blå. Derudover ses en sekant til grafen for f. Sekanten er tegnet med orange, og de to punkter på grafen for f, som sekanten går igennem, er markeret.

Foruden grafen for f og sekanten er også indtegnet den tangent til grafen, der går gennem punktet længst til venstre.

50 Eksempel

Lad en funktion, f, være givet ved f(x) = 0,2x 2 .

Vi tegner en sekant gennem punkterne (2, f(2)) og (4, f(4)). Se figuren.

Vi kan beregne sekantens hældning, a s , med formlen for hældningen af en ret linje gennem to punkter: 22(4)(2)0,240,2 422 2 1,2 s f a === f

51 Sætning

Hældningenafenretlinje gennempunkterne(x0 , y0) og(x1 , y1)kanberegnes medformlen 1 0 1 0 yy xx a = .

Hældningen, a s , af sekanten gennem punkterne (x0 , f(x0)) og (x0 + h, f(x0+h)) kan beregnes således

00 ()() s fxhfx h a +− =

Brøken

00 ()() fxhfx h +− = kaldes en differenskvotient

52 Sekant og tangent

Vi betragter igen funktionen f(x) = 0,2x 2 og ønsker nu at finde hældningen af tangenten til grafen for f i punktet (2, f(2)).

Men vi kan ikke beregne tangenthældningen direkte, da vi kun kender ét punkt på tangenten. I stedet kan vi beregne hældningen af en sekant, som ligger tæt på.

I figuren er tangenten indtegnet samt en sekant gennem (2, f(2)) og (4, f(4)) svarende til h = 2. Man kan få en bedre og bedre tilnærmelse til tangentens hældning ved at lade h blive mindre og mindre.

I tabellen nedenfor er hældningen af seks sekanter beregnet.

h Sekantens hældning

(2)(2) s fhf h a + =

2 (22)(2) 2 1,2 s f a +− == f

1 (21)(2) 1 1 s f a +− == f

0,5 (20,5)(2) 0,5 0,9 s f a +− == f

0,1 (20,1)(2) 0,1 0,82 s f a +− == f

0,01 (20,01)(2) 0,01 0,802 s f a +− == f 0,00001 (20,00001)(2) 0,00001 0,800002 s f a +− == f

Det ser ud til, at sekanthældningerne nærmer sig 0,8, efterhånden som h nærmer sig 0. Vi siger, at sekanthældningen (2)(2) s fhf h a + = har grænseværdien 0,8, når hgår mod 0.

53 Bemærkning

Grænseværdien af sekanthældningen angives således:

0 (2)(2) lim0,8 h fhf h → +−  =  "lim" er en forkortelse for "limes" – det latinske ord for grænse.

At tangentens hældning kan beregnes som en grænseværdi af sekanthældningen, er grundidéen i beviserne i de næste par afsnit.

54 Øvelse

Kortfortalteren grænseværdi ettal,vi kankommeligesåtætpå,somvivil.

Vedatvælgeenmindreogmindreværdi af h kanvifåsekanthældningensåtætpå 0,8,somviønsker.

Lad en funktion, f, være givet ved f(x) = 0,2x 2. Vi ønsker at tilnærme hældningen af tangenten til grafen for f i punktet (3, f(3)). Det vil sige x0 = 3.

a. Beregn sekanthældningerne, a s , ud fra de oplyste værdier af h i tabellen.

b. Kom med et bud på tangentens hældning i (3, f(3)).

Tjek efter ved at benytte sætning 13.

h 1 0,50,10,010,00001

Du kan også opleve, at den afledede funktion af en funktion, f, angives med df dx

3.7 Ræsonnementer og beviser 1

55 Introduktion

I dette og det følgende afsnit vil vi udlede differentialkvotienter for nogle udvalgte funktioner. Vi vil udnytte de idéer, vi undersøgte i forrige afsnit.

56 Definition

En funktion, f, siges at være differentiabel i x0, såfremt grænseværdien

00 0 ()() lim h fxhfx h → +−   eksisterer.

Hvis grænseværdien eksisterer, kaldes den funktionens differentialkvotient i x0 og betegnes f ′(x0):

00 0 ()() lim h fxhfx h → +−   = f ′(x0)

Hvis en funktion er differentiabel for alle x0 i dens definitionsmængde, siger vi kort, at funktionen er differentiabel med den afledede funktion f ′ .

57 Bemærkning

Udtrykket 0 lim h→ +−

(a s) = a t læses "grænseværdien af sekanthældningen for h gående mod nul er lig med tangenthældningen".

Hvis vi kalder sekanthældningen as og tangenthældningen at , er

00 0 ()() lim h fxhfx h → +−   = f ′(x0) det samme som

Tretrinsreglen giver os en 'opskrift' på, hvordan vi kan bestemme differentialkvotienten af en funktion i et givent x0. Og ud fra denne kan vi så bestemme den afledede funktion til funktionen. prx.dk/zgpb5

I forrige afsnit så vi en metode til at beregne bedre og bedre tilnærmelser til en tangents hældning ud fra sekanthældninger. Denne metode kaldes ofte tretrinsreglen og kan sammenfattes således:

58Tretrinsreglen

Trin 1: Opskriv differenskvotienten (sekantens hældning)

Trin 2: Omskriv differenskvotienten til noget, der kan arbejdes videre med.

Trin 3: Lad h gå mod nul, så sekanthældningen går mod tangenthældningen (forudsat grænseværdien eksisterer).

59 Sætning

Funktionen f (x) = x 2 er differentiabel med den afledede funktion f ′(x) = 2x.

60 Bevis for sætning 59 Beviset følger tretrinsreglen.

Trin 1: Differenskvotienten opskrives.

00 ()() s fxhfx h a +− +− ==

22 00()xhx h +− +− ==

Trin 2: Differenskvotienten omskrives.

22 00() s xhx h a +−

⋅+⋅ = = = = =+⋅

222 000 2 0 0 0 2 2 (2) 2 xhxhx h hxh h hhx h hx ++⋅⋅− +⋅⋅

Trin 3: Vi kan nu lade h gå mod nul.

Husk1.kvadratsætning:

(a + b)2 = a 2 + b2 +2ab

Sætteudenforenparentes:

ab + ac = a ·(b + c)

Forkorteenbrøk: a a b a b a b ==

Det første led, h, går naturligvis mod 0. Det andet led bliver ikke påvirket af h, idet h slet ikke indgår i leddet.

0 lim h → +−  (h + 2 · x0) = 0 + 2 · x0 = 2 · x0

Vi har altså bevist, at differentialkvotienten (tangenthældningen) af f i x0 er givet ved f ′(x0) = 2x0

Da man kan beregne f ′(x0) for ethvert tal i definitionsmængden for f – der er ingen begrænsning på, hvilket tal vi må sætte ind på x0’s plads i f ′(x0) = 2x0 – så har vi endvidere bevist, at f (x) = x 2 er differentiabel med den afledede funktion f ′(x) = 2x.

Men hvordan kan vi være sikre på, at grænseværdien eksisterer? Det korte svar er: fordi vi kan regne den ud!

61 Øvelse

a. Skriv hele bevis 60 ned, og indsæt dine egne uddybende kommentarer rundtomkring.

3.8 Ræsonnementer og beviser 2

62 Introduktion

Vi fortsætter med beviserne. Bemærk, hvordan de alle følger fremgangsmåden beskrevet i tretrinsreglen.

63 Sætning

Den konstante funktion f (x) = k, hvor k er et reelt tal, er differentiabel med den afledede funktion f ′(x) = 0.

64 Bevis for sætning 63

Vi bruger tretrinsreglen til at beregne differentialkvotienten af f i x0

Trin 1 og 2: Opskriv differenskvotienten, og omskriv den, så den er til at arbejde videre med:

prx.dk/8tpr5

Trin 3: Lad h gå mod 0:

(x0) =

(0) = 0

Da vi ikke har nogen begrænsninger på, hvad x0 kan være, har vi vist, at den afledede funktion er f ′(x) = 0.

65 Sætning

Den lineære funktion f (x) = a · x + b er differentiabel med den afledede funktion f ′(x) = a.

66 Bevis for sætning 65

Vi bruger tretrinsreglen til at beregne differentialkvotienten af f i x0

Trin 1 og 2: Opskriv differenskvotienten, og omskriv den, så den er til at arbejde videre med:

prx.dk/c5qa6

(a) = a

Trin 3: Lad h gå mod 0: f ′(x0) = 0 lim h → +−

Da vi ikke har nogen begrænsninger på, hvad x0 kan være, har vi vist, at den afledede funktion er f ′(x) = a

67 Sætning

Funktionen ()fx x = , x ≥ 0 er differentiabel med den afledede funktion f ′(x) = 1 2 x ⋅ , x > 0.

68 Bevis for sætning 67

Vi bruger tretrinsreglen til at beregne differentialkvotienten af f i x0:

Trin 1: Opskriv differenskvotienten.

0000()() s fxhfxxhx ahh +−+− ==

Trin 2: For at omskrive differenskvotienten til noget, vi kan arbejde videre med, er vi nødt til at anvende et lille trick. Tricket består i at forlænge brøken med 00 xhx ++ , så vi kan bruge 3. kvadratsætning.

s xhx ah xhx h xhxxhx ellerblot hxhxhxhx xhx hxhx h hxhx hxh xhx xhx x +−

Forlængelse af brøk: aa k bb k ⋅ = 3. kvadratsætning: (a + b) · (a – b) = a 2 – b2 eller blot ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 00 00 xhx hxhx +− +−⋅ = +−+− = ⋅++⋅++ +− = ⋅+ ++ ++ + = ⋅++ = ⋅++ =

Trin 3: Lad h gå mod 0. 0 lim h →

Man kan ikke dividere med nul, så derfor har vi fået en ekstra begrænsning: x ≠ 0. Det betyder, at beviset virker for alle x > 0, som dermed er definitionsmængden for den afledede funktion.

Samlet set har vi vist, at () f x x = er differentiabel for x > 0, med den afledede funktion f ′(x) = 1 2 x ⋅ .

69 Øvelse

a. Tag et blankt stykke papir, og træn beviserne ved at skrive alle beregningerne ned.

Sørg for, at du forstår alle mellemregningerne.

prx.dk/xcb5x

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Opgave 301

Figuren viser grafen for funktionen f tegnet med blåt. Tangenten i punktet (1,2) er også indtegnet.

a. Bestem tangentens hældning ud fra tegningen.

Hældningen er et heltal.

b. Bestem differentialkvotienten f ′(1).

Opgave 302

Figuren viser grafen for funktionen f tegnet med blåt. Tangenten i punktet ( 1 2 ,2) er også indtegnet. a. Bestem tangentens hældning ud fra tegningen.

Hældningen er et heltal.

b. Bestem differentialkvotienten f ′( 1 2 )

Opgave 303

Figuren viser grafen for en funktion, f. Punktet P(3, f(3)) er markeret på grafen.

a. Placér en lineal eller lignende oven på punktet P, sådan at linealen udgør en tangent til grafen for f i dette punkt.

b. Bestem f ′(3).

Opgave 304

En funktion er givet ved forskriften f(x) = 10x 2

a. Bestem, uden brug af CAS, tangentens hældning, når x0 = 1, og når x0 = 3.

b. Bestem, uden brug af CAS, følgende differentialkvotienter: f ′(2) og f ′(–1).

Opgave 305

En funktion er givet ved forskriften f(x) = –x 2 .

a. Bestem, uden brug af CAS, tangentens hældning, når x0 = 1, og når x0 = 3.

b. Bestem, uden brug af CAS, følgende differentialkvotienter: f ′(2) og f ′(–1).

Opgave 306

En funktion er givet ved forskriften f(x) = 0,1x 2 .

a. Bestem, uden brug af CAS, tangentens hældning, når x0 = 1, og når x0 = 3.

b. Bestem, uden brug af CAS, følgende differentialkvotienter: f ′(2) og f ′(–1).

Opgave 307

En sten falder frit fra toppen af Det Skæve Tårn i Pisa. Afstanden s(t), stenen er faldet til tiden t, kan beskrives med modellen s(t) = 5t2. Her er t målt i sekunder, og s(t) er målt i meter.

a. Hvor langt er stenen faldet efter 0,5 sekunder og efter 1 sekund?

b. Hvilken hastighed falder stenen med efter 1 sekund?

Opgave 308

Angiv forskriften for den afledede funktion af følgende funktioner:

a. f1(x) = 3x 2

b. f2(x) = x 6

c. f3(x) = x 10

d. f4(x) = x 7

e. f5(x) = x –3

Opgave 309

Angiv forskriften for den afledede funktion af følgende funktioner:

a. f1(x) = 4x + 1

b. f2(x) = x

c. f3(x) = 5x

d. f4(x) = 10x

e. f5(x) = 1 x

Opgave 310

Betragt funktionen med forskriften 1 () x f x =

a. Bestem f ′(1) og f ′(4).

b. Bestem hældningen af tangenten til grafen for f, når x0 = 2, og når x0 = –2.

Opgave 311

Betragt funktionen med forskriften f (x) = x 3 .

a. Bestem f ′(1) og f ′(4).

b. Bestem hældningen af tangenten til grafen for f, når x0 = 2, og når x0 = –2.

Opgave 312

Betragt funktionen med forskriften f (x) = ln(x).

a. Bestem f ′(1) og f ′(4).

b. Bestem hældningen af tangenten til grafen for f, når x0 = 2.

Opgave 313

Betragt funktionen med forskriften f (x) = x 5 .

a. Bestem hældningen af tangenten til grafen for f, når x0 = 1, og når x0 = 2.

Opgave 314

Betragt funktionen med forskriften f (x) = x .

a. Tegn i samme koordinatsystem grafen for f og grafen for den afledede funktion, f ′

Opgave 315

Betragt funktionen med forskriften f (x) = 1 x .

a. Tegn i samme koordinatsystem grafen for f og grafen for den afledede funktion, f ′

Opgave 316

Betragt funktionen med forskriften f (x) = x 3

a. Tegn i samme koordinatsystem grafen for f og grafen for den afledede funktion, f ′ .

Opgave 317

Betragt funktionen med forskriften f (x) = 2x 3

a. Angiv forskriften for den afledede funktion, f ′ .

b. Løs ligningen f ′(x) = 24. Der er to løsninger.

Opgave 318

Betragt funktionen med forskriften f (x) = 10x 2 .

a. Angiv forskriften for den afledede funktion, f ′ .

b. Løs ligningerne f ′(x) = 20 og f ′(x) = –10.

Opgave 319

Betragt funktionen med forskriften 1 () x f x = .

a. Angiv forskriften for den afledede funktion f ′(x).

b. Bestem x, så tangenthældningen er 1 4 . Der er to løsninger.

Opgave 320

Betragt funktionen med forskriften g(x) = 3x 2

a. Bestem hældningen af sekanten, der går gennem punkterne (1, g(1)) og (3, g(3)).

Opgave 321

Angiv forskriften for den afledede funktion af følgende funktioner:

a. f1(x) = 5x + 2 · 3x

b. f2(x) = 10 + ln(x)

c. f3(x) = 10 · ln(x)

d. f4(x) = x 2 + 5x

Opgave 322

Angiv forskriften for den afledede funktion af følgende funktioner:

a. f1(x) = x 3 + 4 · x 2 + 5 · x + 6

b. f2(x) = x 10 + 3 · x 9

c. f3(x) = 2 10 3 x x = ⋅+

d. f4(x) = 5+10x

Opgave 323

Angiv forskriften for den afledede funktion af følgende funktioner:

a. f1(x) = ln(x) + 1 x – x 2 + 4

b. f2(x) = 3 3 2 () x ln xx = +−

c. f3(x) = e x x =+

d. f4(x) = 3 4e x xx=+−

e. f5(x) = 2x 3 – x + 5e4x

f. f6(x) = 2 x + e 2x – 10

g. f7(x) = 2x + 3 – e x

Opgave 324

To funktioner er givet ved forskrifterne f(x) = x 2

og g(x) = ln(x). En tredje funktion defineres ved

h(x) = f(x) + g(x).

a. Opskriv en forskrift for h

b. Benyt sumreglen til at finde en forskrift for den afledede funktion h ′ .

c. En fjerde funktion, p, er givet ved

p(x) = f(x) · g(x). Opskriv forskriften for p og p ′

Opgave 325

Angiv forskriften for den afledede funktion af følgende funktioner:

a. f1(x) = 9 · x 3 · e x

b. f2(x) = 11x · e 6x

c. f3(x) = ln(x) · x 5

d. f4(x) = ln(x 3 – 2)

e. f5(x) = e(x 3 – 2x)

Opgave 326

Bemærk: Denne opgave kræver, at man har arbejdet med kædereglen.

Angiv forskriften for den afledede funktion af følgende funktioner:

a. f1(x) = (3x + 15)5

b. f2(x) = ln(–2x + 4)

c. f3(x) = 1 511 x −+

d. f4(x) = 5 · 1,24x +1

e. f5(x) = 5 · e3x –1 + 5

f. f6(x) = 4 24xx−+

g. f7(x) = (–4x + 34)100

Opgave 327

Bestem følgende differentialkvotienter:

a. f1 ′(1), når f1(x) = 1 x · x

b. f2 ′(0), når f2(x) = x 2 ∙ e x

c. f3 ′(1), når f3(x) = x ∙ ln(x)

Opgave 328

En funktion, f, er givet ved forskriften

f (x) = 1 3 x 3 – x 2 – 8x + 12

Besvar følgende spørgsmål uden brug af et CASværktøj.

a. Bestem forskriften for f ′ .

b. Beregn f ′(–5).

c. Løs ligningen f ′(x) = –5. Ligningen har to løsninger.

d. Hvad fortæller løsningerne til ligningen i spørgsmål c?

e. Beregn f ′(–8).

f. Ved to forskellige værdier af x har grafen for f tangenter med hældningen –8. Bestem disse to værdier af x.

Opgave 329

Et glas forfriskende koldt vand stilles på et bord i sommervarmen. Vandets temperatur som funktion af tiden kan beskrives med modellen

T (x) = 25 –20 · e –0,03 · x , x ≥ 0

idet T (x) er vandets temperatur (målt i °C), og x er tiden (målt i minutter), siden glasset blev sat på bordet.

a. Tegn grafen for T

b. Beregn T(0), og giv en fortolkning af dette tal.

c. Beregn T ′(0), og giv en fortolkning af dette tal.

d. Beregn T (30), og giv en fortolkning af dette tal.

e. Beregn T ′(30), og giv en fortolkning af dette tal.

f. Beregn T (120), og giv en fortolkning af dette tal.

g. Beregn T ′(120), og giv en fortolkning af dette tal.

h. Sammenlign dine svar på spørgsmål b-g med grafen for T.

i. Hvor længe skal vandet stå ude, før dets temperatur er 12°C?

j. Hvor længe skal vandet stå ude, før dets temperatur vokser med en væksthastighed på 0,1°C pr. minut?

Opgave 330

En producent af smartphones lancerer en ny model med et ekstra godt kamera.

Virksomheden forventer, at salget af den nye model kan beskrives med funktionen

f (x) = (80x + 50) · 0,9x , x > 0

idet f (x) er det månedlige salg (i 1000 styk) til tidspunktet x (målt i måneder siden lanceringen af telefonen).

a. Bestem forskriften for den afledede funktion af f

b. Bestem differentialkvotienten f ′(1), og giv en fortolkning af denne.

c. Bestem differentialkvotienten f ′(8), og giv en fortolkning af denne.

d. Bestem differentialkvotienten f ′(20), og giv en fortolkning af denne.

e. Tegn grafen for f. Sammenlign dine svar på spørgsmål b til d med grafen.

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Vedligeholdelse af regnefærdigheder

Reduktion

Husk, at du ikke må sammenblande de forskellige variable som a, b, a 2 og så videre.

Eksempel:

3a – b + 2a kan reduceres til 5a – b

3a – b + 2a 2 kan ikke reduceres.

At gange ind i en parentes: a (b + c) = a b + a c

Minusparentes: a – (b – c) = a – b + c

At gange to parenteser sammen: (a + b) · (c + d ) = a · c + a · d + b · c + b · d

Eksempler:

3 · (a + 4) = 3 · a + 3 · 4 = 3a + 12

3 – (a – 4) = 3 – a + 4 = a + 7

(7 + a) · (3 – b) = 7 3 + 7 (–b) + a 3 + a · (–b) = 3a – 7b – ab + 21

1. Reducér udtrykket:

a. 3ab – 6ab + b2

b. a 2 – 5b + 11a 2 + b

c. a + 7b + 6a + 4ab

d. –2 + 3b – a 2 + 8 – 2a + 7a 2

Ligningsløsning

2. Reducér udtrykket:

a. 3(3p – q) – p(5 + p) – p 2

b. 2p 2 – 3q 2 + 4pq – 2q(p + q)

c. p(q + 2p) – q(q + 2p)

d. 2(2 + p 2) – 6p 2 + p(3p – 2q)

3. Reducér udtrykket:

a. (x + 5) · (x + 2)

b. (x + y) · (x + 3y) – 5xy + 2x 2

c. x 2 + 5xy – (x + 3) · (y – x)

d. (x + y) · (x – y) + 8x 2 + y 2

Andengradsligningen ax 2 + bx+c = 0 har løsningerne ±− = 2 b a d x , idet d = b2 – 4 · a c.

Hvis d er negativ, har ligningen ingen løsning. Hvis d = 0, er der kun én løsning. Hvis d er positiv, er der to løsninger. Tallet d kaldes diskriminanten.

Eksempel:

Vi vil løse 2x 2 + 6x – 8 = 0. Først beregnes diskriminanten: d = 62 – 4 · 2 · (–8) = 36 + 64 = 100. Der er således to løsninger.

De to løsninger er x = –4 og x = 1.

4. Beregn diskriminanten, d, og angiv antallet af løsninger til nedenstående andengradsligninger:

a. 2x 2 – 8x + 3 = 0

b. x 2 – 7x + 4 = 0

c. x 2 + 6x + 9 = 0

d. 2x 2 – 6x + 7 = 0

5. Løs følgende andengradsligninger:

a. x 2 – 3x + 2 = 0

b. x 2 – 3x – 4 = 0

c. 2x 2 + 2x – 12 = 0

d. x 2 + 8x + 16 = 0

6. Løs følgende andengradsligninger:

a. 3x 2 – 9x + 6 = 0

b. x 2 + 7x + 10 = 0

c. x 2 + 6x + 9 = 0

d. –x 2 + 2x = 0

7. a. Bestem tallet c, så andengradsligningen x 2 – 10x + c = 0 har præcis én løsning.

b. Bestem tallet c, så andengradsligningen 2x 2 + 8x + c = 0 har præcis én løsning.

c. For hvilke værdier af tallet b har andengradsligningen x 2 + b · x + 4 = 0 præcis én løsning?

d. For hvilke værdier af tallet b har andengradsligningen 3x 2 + b · x + 3 = 0 præcis én løsning?

e. For hvilke værdier af tallet c har andengradsligningen x 2 – 8x + c = 0 mindst én løsning?

f. For hvilke værdier af tallet c har andengradsligningen 2x 2 + 4x + c = 0 mindst én løsning?

Monotoniforhold

En funktions monotoniforhold er en liste over de intervaller, hvori funktionen er voksende eller aftagende.

Eksempel:

Funktionen f er: voksende i intervallerne [–1; 1] og [3; 5], og aftagende i intervallet [1; 3].

Funktionen f har et globalt minimum i x = –1 med den globale minimumsværdi 1. I x = 5 har f et globalt maksimum med den globale maksimumsværdi 5.

I x = 1 har f et lokalt maksimum med den lokale maksimumsværdi 4, og i x = 3 har f et lokalt minimum med den lokale minimumsværdi 2.

8. Angiv monotoniforholdene for de funktioner, hvis grafer ses på figurerne.

9. Angiv eventuelle globale ekstrema for funktionerne, hvis grafer ses i figurerne a–d ovenfor.

10. Angiv eventuelle lokale ekstrema for funktionerne, hvis grafer ses i figurerne a–d ovenfor.

Træning 3 (fortsat)

Logaritmefunktioner

10-talslogaritmen: log(10x) = x og 10log(x) = x

Den naturlige logaritme: ln(ex) = x og eln(x) = x

Eksempel:

log(1000) = log(103) = 3 og eln(9) = 9

11. Bestem uden brug af CAS:

a. log(105)

b. log(10–3)

c. 10log(2)

d. 10log(100)

12. Bestem uden brug af CAS:

a. ln(e5)

b. ln(e–10)

c. ln(e)

d. ln(1)

13. Bestem uden brug af CAS:

a. log(100)

b. log(10000)

c. log(0,01)

d. log(0,000001)

Enkeltlogaritmiske og dobbeltlogaritmiske koordinatsystemer

På en almindelig tallinje er afstanden mellem to ’nabotal’den samme. Afstanden fra 10 til 11 er eksempelvis den samme som afstanden fra 100 til 101.

På en logaritmisk tallinje svarer lige lange afstande til, at der ganges med det samme tal. Afstanden fra 1 til 10 er eksempelvis den samme som afstanden fra 10 til 100.

I et enkeltlogaritmisk koordinatsystem er den ene akse (tallinje) logaritmisk, og i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem er begge akser logaritmiske.

14. Nedenfor er ti punkter indtegnet i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

Punktet markeret med rødt har koordinaterne (1,20). Angiv koordinaterne til resten af punkterne.

15. Nedenfor er ti punkter indtegnet i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

Punktet markeret med rødt har koordinaterne (0.3, 40). Angiv koordinaterne til resten af punkterne.

I et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, hvor y-aksen er logaritmisk, er grafen for en eksponentiel funktion en ret linje.

I et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, er grafen for en funktionstype, der hedder potensfunktioner, en ret linje.

16. Figuren viser grafen for en eksponentiel funktion, f, indtegnet i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

Aflæs følgende funktionsværdier så præcist som muligt:

a. f (–1)

b. f (0)

c. f (1)

d. f (4)

17. Den eksponentielle funktion, f, ovenfor har forskriften f (x) = 20 · 4x

a. Beregn funktionsværdierne ovenfor, og sammenlign med din aflæsning.

18. Figuren viser grafen for en funktion, g, indtegnet i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

Aflæs følgende funktionsværdier så præcist som muligt:

a. g(1)

b. g(4)

c. g(900)

d. g(1000)

e. g(10000)

19. Funktionen, g, ovenfor har forskriften g(x) = 10 · x , x > 0.

a. Beregn funktionsværdierne ovenfor, og sammenlign med din aflæsning.

4. Differentialregningens anvendelser

4.1 Monotoniforhold

1 Introduktion

Effekten af en bestemt type solcelle kan beskrives med modellen

f(x) = –75x 7 + 3,5x , 0 ≤ x ≤ 0,6

Her er x spændingen over cellen, målt i enheden volt, og f(x) er effekten målt i enheden watt.

Man kan beregne, at f ′(0,2) = 3,5. Det vil sige, at når spændingen er 0,2 volt, vil effekten vokse med 3,5 watt pr. volt, hvis spændingen øges. Vil effekten mon blive ved med at vokse, uanset hvor meget spændingen øges? Hvad er monotoniforholdene for f ?

prx.dk/454nv

Hvis en funktion har en vandret tangent i et punkt, og der ydermere gælder, at funktionen enten er voksende på hver side af punktet eller aftagende på hver side af punktet, så kaldes tangenten en vandret vendetangent

2 Differentialkvotientens sammenhæng med ekstrema

Hvis f ′(x₀) = 0 for en funktion, f, så har funktionen et lokalt maksimum, et lokalt minimum eller en vandret vendetangent i x₀. Et lokalt maksimum/minimum kan derudover vise sig også at være et globalt maksimum/minimum for funktionen, men det er ikke relevant for undersøgelsen af monotoniforholdene.

Man skal altid begynde sin undersøgelse af monotoniforholdene med at bestemme eventuelle ekstrema. Hvis funktionen hedder f , gøres dette ved at løse ligningen f ′(x) = 0.

Vandret vendetangent

3 Eksempel: monotoniforholdsundersøgelse med CAS

Vi vil undersøge monotoniforholdene for funktionen f(x) = –75x 7 + 3,5x fra introduktionen.

Først differentieres f, og derefter løses ligningen f ′(x) = 0. Begge dele gøres med CAS. Det giver løsningerne x = –0,434 og x = 0,434. Kun den sidste løsning ligger i definitionsmængden 0 ≤ x ≤ 0,6.

Nu tegnes grafen for f(x) med CAS, og vi kan se, at funktionen er voksende i intervallet [0; 0,434] og aftagende i intervallet [0,434; 0,6]. I forhold til modellen betyder det, at effekten øges op til en spænding på 0,434 volt. Vokser spændingen mere end det, vil effekten aftage.

4 Eksempel: undersøgelse af monotoniforholdene uden CAS Vi vil undersøge monotoniforholdene for funktionen med forskriften

f(x) = x 3 + x 2 – x + 2

Det kan vi gøre på følgende vis:

• Differentiér f

f ′(x) = 3 · x 3–1 + 2 · x 2–1 –1 + 0 = 3x 2 + 2x –1

• Løs ligningen f ′(x) = 0 for at finde eventuelle ekstrema

Ligningen f ′(x) = 0 svarer til ligningen 3x 2 + 2x –1 = 0. Det er en andengradsligning, som har løsningerne x = –1 og x = 1 3 . Scan eventuelt QR-koden for at se, hvordan ligningen løses.

Ved x = –1 og ved x = 1 3 (og kun de to steder!) er tangenten til grafen for f vandret. Det er skrevet ind i tallinjen i margenen.

• Fortegnsundersøgelse af f ′

For at finde ud af, om funktionen er voksende eller aftagende til venstre for x = –1, beregnes differentialkvotienten (tangentens hældning) for en x-værdi mindre end –1. Vi vælger x = –2.

f ′(–2) = 3 · (–2)2 + 2 · (–2) –1 = 3 · 4 – 4 – 1 = 7

Tangentens hældning er dermed positiv, når x = –2. Det betyder, at f er voksende, når x er mindre end eller lig med –1.

På samme måde undersøges de andre intervaller:

x = 0 ligger mellem –1 og 1 3 , og f ′(0) = 3 · 02 + 2 · 0 –1 = –1. Tangentens hældning er altså negativ, når x = 0. Det betyder, at f er aftagende, når x er mellem –1 og 1 3 .

x = 1 er større end 1 3 , og f ′(1) = 3 · 12 + 2 · 1 – 1 = 3 + 2 – 1 = 4. Tangentens hældning er positiv, når x = 1. Det betyder, at f er voksende, når x er større end eller lig med 1 3

I margenen er disse resultater samlet i en såkaldt monotonilinje.

• Konklusion f er voksende i intervallet ]–∞;–1], aftagende i intervallet

sende igen i intervallet

5 Øvelse

1 3

a. Bestem, med CAS, monotoniforholdene for funktionen med forskriften

g(x) = 1 4 x 4 + 1 3 x 3 – 20x 2 – 112x

b. Bestem, uden CAS, monotoniforholdene for funktionen med forskriften

h(x) = x 3 – 3x 2 + 8

Bemærkning

De x-værdier, der udvælges i fortegnsundersøgelsen, kan vælges frit inden for intervallerne. Vi kunne for eksempel have valgt x = –4 i stedet for x = –2.

4.2 Om forholdet mellem en funktion og dens afledede funktion

6 Introduktion

Børn arver nogle egenskaber fra deres forældre. Afledede funktioner arver også nogle helt bestemte egenskaber. I dette afsnit skal vi se nærmere på forholdet mellem en funktion og dens afledede funktion.

7 Eksempel

Figuren viser grafen for funktionen f og grafen for dens afledede funktion, f ′

Grafen for f ′ skærer x-aksen i x = 3. Det betyder, at f ′(3) = 0. Og det passer med, at grafen for f har en vandret tangent netop i x = 3.

Derudover kan vi se, at:

• f er aftagende, der hvor f ′ er negativ.

• f er voksende, der hvor f ′ er positiv.

I margenen ses en monotonilinje for f

Iagttagelserne i eksemplet ovenfor gælder generelt, som det fremgår af følgende sætning. Vi brugte faktisk denne sætning i forrige afsnit, da vi bestemte monotoniforhold uden brug af CAS.

8 Sætning

For en differentiabel funktion, f, som er defineret i intervallet [a; b], gælder, at:

(1) Hvis f ′ er positiv for alle x intervallet ]a; b[, så er f voksende i intervallet [a; b].

(2) Hvis f ′ er negativ for alle x intervallet ]a; b[, så er f aftagende i intervallet [a; b].

9 Eksempel

I margenen ses to grafer, A og B, i samme koordinatsystem. Den ene er graf for en funktion, f, og den anden er graf for den afledede funktion, f ′. Hvilken graf hører til f, og hvilken hører til f ′?

Vi lægger mærke til, at graf B skærer x-aksen to steder, og at de to steder svarer til der, hvor graf A har vandrette tangenter.

Derudover kan vi også se, at i de intervaller, hvor graf A er voksende, ligger graf B over x-aksen, samt at i de intervaller, hvor graf A er aftagende, ligger graf B under x-aksen.

Samlet set kan vi konkludere, at A må være graf for f, og at B må være graf for den afledede funktion, f ′ .

10 Eksempel

I margenen ses en tallinje, der angiver nulpunkter og fortegn for g ′. Vi vil bruge disse informationer til at tegne en mulig graf for g.

Vi kan se, at g ′(2) = 0, og at g ′(5) = 0. I x = 2 og i x = 5 har g derfor enten et lokalt minimum, et lokalt maksimum eller en vandret vendetangent.

Idet g ′ er negativ, når x er mindre end 2, er g aftagende i intervallet x ≤ 2, og da g ′ er positiv, når x er mellem 2 og 5, så er g voksende i intervallet 2 ≤ x ≤ 5. Da g omkring x = 2 går fra at være aftagende til at være voksende, må funktionen her have et lokalt minimum.

Ud fra en tilsvarende analyse kan vi konkludere, at g har et lokalt maksimum i x = 5. Monotoniforholdene for g er således:

g er voksende i intervallerne ]–∞;2] og [5;∞[, og g er aftagende i intervallet [2;5].

I margenen har vi tegnet to grafer, A og B, som begge er mulige grafer for g – de har samme monotoniforhold.

11 Eksempel

Til højre ses en tallinje, der angiver nulpunkter og fortegn for f ′. Vi vil gerne tegne en mulig graf for funktionen f

Af tallinjen kan vi se, at f har en vandret tangent, når x = 3, og at f er aftagende både før og efter x = 3. Ud fra dette kan vi tegne en mulig graf.

12 Øvelse

På figuren i margenen er to grafer, P og Q, tegnet i samme koordinatsystem. Den ene er graf for en funktion, f, og den anden er graf for den afledede funktion, f ′

a. Gør rede for, hvilken af de to grafer som er graf for f, og hvilken som er graf for f ′ .

13 Øvelse

Nederst på siden ses tre tallinjer, der angiver nulpunkter og fortegn for henholdsvis f ′ , g ′ og h ′ .

a. Tegn en mulig graf for f.

b. Tegn en mulig graf for g

c. Tegn en mulig graf for h

4.3 Optimering og tangentens ligning

14 Introduktion

En bestemt type rende produceres af lange, rektangulære metalplader. Pladerne bukkes på langs som vist på den øverste figur.

Stykket markeret med et x skal monteres på en lodret væg. Stykket markeret med y er bukket op, så x og y udgør to sider i en retvinklet trekant som vist på den anden figur.

Alle længder måles i cm, og metalstykket er 30 cm bredt, så x + y = 30. Hvor langt skal stykket x være, for at rendens volumen er størst muligt?

15 Eksempel på optimering

Vores mål er finde det optimale valg af længden x – altså det bedst mulige valg –sådan at renden kan rumme mest muligt. Vi gennemgår nu, hvordan det kan gøres.

Den retvinklede trekant er rendens tværsnit, så det maksimale volumen må netop være, når denne trekant har det størst mulige areal. Den sidste side i trekanten kalder vi k

Arealet af en trekant er T = 1 2 · højde · grundlinje. Hvis vi vælger k som grundlinje, er x netop højden, da trekanten er retvinklet. Det vil sige

T = 1 2 · x · k

Vi kan udtrykke k ved x og y ved at benytte Pythagoras’ sætning på trekanten. Siden y er hypotenusen, og x og k er kateterne:

y 2 = x 2 + k2

y 2 – x 2 = k2

22 yx = k (vi ser kun på den positive løsning af ligningen ovenfor)

Indsættes udtrykket for k i beregningen af arealet, får vi:

T = 1 2 · x · 22 yx

Da vi også ved, at x + y = 30, så må y = 30 – x, hvilket vi indsætter, så vi får:

T = 1 2 · x · 22(30)xx

Tværsnitsarealet afhænger nu kun af længden x. Vi kan dermed opfatte det som en funktion af x:

T(x) = 1 2 · x · 22(30)xx , 0 < x < 15

For at finde funktionens maksimum løser vi ligningen T ′(x) = 0. Løsningen til ligningen er x = 10.

Vi kontollerer, at der er tale om et maksimum, ved at beregne differentialkvotienten for en x-værdi til venstre og til højre for x = 10:

T ′(9) = 2,37 og T ′(11) = –2,90

T er voksende før x = 10 og aftagende efter x = 10. Dermed kan vi konkludere, at funktionen har et maksimum i x = 10.

For produktionen af renderne betyder det, at metalpladen skal bukkes, således at den ene side er 10 cm bred (x = 10), og den anden side er 20 cm bred (y = 30 – x = 30 – 10 = 20).

16* Sætning

Tangenten til grafen for en funktion, f, i punktet (x0 , f(x0)) har ligningen y = f ′(x0) · (x – x0) + f(x0)

17 Eksempel

Vi vil bestemme ligningen for tangenten til grafen for () f xx = , når x0 = 4.

Først beregner vi (4)42 f == . Så bestemmer vi f ′ og beregner f ′(4):

f ′(x) = 1 2 x og f ′(4) = 111 24 24 2 ==

Vi kan nu indsætte i formlen for tangentens ligning og reducere: () 11 44 111 444 421 42 1 2 x y xxx =−+=+=−+=+

Tangentens ligning er y = 1 4 1 x +

18 Eksempel

Vi betragter funktionen med forskriften f(x) = x 2 – 4x – 1 og får at vide, at grafen for f har en tangent med hældningen 2. Vi vil gerne bestemme en ligning for denne tangent.

Først differentieres f. Den afledede funktion af f er: f ′(x) = 2x – 4. Hvis tangentens hældning er 2, er f ′(x) = 2. Det giver os ligningen 2x – 4 = 2, der har løsningen x = 3.

Vi ved nu, at x0 = 3, og at f ′(x0) = f ′(3) = 2. Vi mangler kun f(x0):

f(x0) = f(3) = 32 – 4 · 3 – 1 = –4

Nu kan vi indsætte i formlen for tangentens ligning og reducere:

y = 2 · (x – 3) – 4 = 2x – 2 · 3 – 4 = 2x – 10

Tangentens ligning er y = 2x – 10.

19 Øvelse

Volumenet af en bestemt kasse er givet ved dens højde, x, således at:

V(x) = 4x 3 – 30x 2 + 50x , 0 ≤ x ≤ 2,5.

a. Bestem V ′(x), og løs ligningen V ′(x) = 0.

b. Bestem den højde, der giver det størst mulige volumen.

20 Øvelse

a. Bestem ligningen for tangenten til grafen for f(x) = x 2 + 3, når x0 = 1.

4.4 Ræsonnementer og beviser

21 Introduktion

Vi vil indlede afsnittet med at bevise, at formlen til beregning af tangentens ligning faktisk gælder.

Derefter vil vi vise en anden type anvendelse af differentialregning, nemlig hvordan differentialregning på elegant vis kan benyttes til at bevise toppunktsformlen for et andengradspolynomium, som vi så i kapitel 1.

[16 Sætning]

Tangenten til grafen for en funktion, f, i punktet (x0 , f(x0)) har ligningen

y = f ′(x0) · (x – x0) + f(x0)

22 Bevis for sætning 16

prx.dk/8q2xm

Tangenten er en ret linje. Ligningen for en ret linje er y = a · x + b, hvor a er hældningskoefficienten, og b er skæringen med y-aksen.

Differentialkvotienten er netop tangentens hældning, så a = f ′(x0). Tangentens røringspunkt med grafen er punktet (x0 , f(x0)). Det betyder, at dette punkts koordinater opfylder linjens ligning. Vi indsætter i linjens ligning og isolerer b:

(x0) = a

f(x0) – a · x0 = b

x0 + b

Med a = f ′(x0) indsat kender vi nu b:

b = f(x0) – f ′(x0) · x0

Vi kender nu både a og b. Vi indsætter i linjens ligning og omskriver:

y = a · x + b

At sætte en fælles faktor uden for en parentes: a b + a c = a · (b + c)

Det sidste er netop tangentens ligning, som vi gerne ville frem til.

Nu vil vi bevise formlen for koordinaterne til toppunktet på en parabel.

[10 Sætning] (fra kapitel 1)

Parablen, der er graf for andengradspolynomiet f(x) = a x 2 + b x + c, har sit toppunkt i punktet T med koordinaterne

(xT , yT) = 24 , bd aa

idet a, b og c er koefficienterne fra forskriften, og tallet d, som kaldes diskriminanten, er givet ved: d = b2 – 4 · a · c.

23 Bevis for sætning 10 (fra kapitel 1)

Lad f være et andengradspolynomium og T være toppunktet på den parabel, som er graf for f. Kald toppunktets koordinater (xT ,yT).

Ved toppunktet må tangenten til parablen være vandret. Det vil sige, at tangentens hældning er nul, når x = xT . Det betyder, at f ′(xT) = 0.

Den afledede funktion er f ′(x) = 2a x + b, så f ′(xT) = 0 giver os ligningen

2a xT + b = 0. Den kan løses ved at isolere xT :

Hermed har vi vist sætningen med hensyn til x-koordinaten.

For at beregne y-koordinaten benytter vi, at yT =f(xT). Det giver os en lidt lang udregning, hvor vi skal bruge nogle potensregneregler og nogle brøkregneregler.

I sidste linje har vi udnyttet, at d = b2 – 4ac. Samlet set har vi vist, at 2 T b a x =− og at yT = 4 d a   , og dermed har vi vist, at toppunktets koordinater er: (xT ,yT) = 24 , bd aa

24 Øvelse

a. Tag et blankt stykke papir, og træn beviserne ved selv at skrive alle beregningerne ned sammen med forklarende tekst eller henvisning til en regneregel. Sørg for, at du forstår alle mellemregningerne.

prx.dk/xcb5x

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Opgave 401

Vi ser på funktionen f(x) = x 4 – x 2

a. Bestem f ′(x).

b. Løs ligningen f ′(x) = 0.

c. Opdel x-aksen efter nulpunkterne for f ′ , og bestem monotoniintervallerne for f

d. Find de lokale maksima og minima.

Opgave 402 y x f –2 –1,5 –1 –0,5 0,5 1 1,5 2 2 1,5 1 0,5

Figuren viser grafen for f(x) = x 3 – x.

a. Bestem de x-værdier, hvor f(x) = x 3 – x har vandrette tangenter.

b. Bestem lokale maksima/minima for f(x) = x 3 – x.

Opgave 403

a. Er f(x) = x + x 4 voksende for alle x? (Benyt f ′(x) til at besvare spørgsmålet).

Opgave 404

a. Tegn en mulig graf for en funktion, f, hvor f ′(x) er positiv i intervallet fra 0 til 5 og ellers negativ.

Opgave 405

a. Bestem monotoniforhold og eventuelle maksima/minima for funktionen f(x) = x 2 – 2x ved hjælp af fortegnet for f ′(x).

Opgave 406

Bestem monotoniforholdene for:

a. f1(x) = 2x0,3

b. f2(x) = 2 3x

c. f3(x) = –2x + 4

d. f4(x) = 3x 3 – 9x

Opgave 407

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle

maksima/minima for f(x) = 6x 2 – 12x + 10.

b. Tegn grafen for f.

Opgave 408

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle

maksima/minima for f(x) = x 3 – 27x.

b. Tegn grafen for f.

Opgave 409

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle

maksima/minima for ()6 f xxx =⋅− .

b. Tegn grafen for f.

Opgave 410

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle

maksima/minima for 1 () x fx = , x ≠ 0.

b. Tegn grafen for f

Opgave 411

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle

maksima/minima for f(x) = x 3 – e x

b. Tegn grafen for f

Opgave 412

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle

maksima/minima for f(x) = ex – 2x

b. Tegn grafen for f.

Opgave 413

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle

maksima/minima for f(x) = ln(x) – x + 4 , x > 0.

b. Tegn grafen.

Opgave 414

a. Bestem monotoniforholdene og eventuelle maksima/minima for 2 () fxxx =− , x > 0.

b. Tegn grafen.

Opgave 415

a. Bestem monotoniintervaller og minimum for 2 2 2 () x x fx + = . Brug et CAS-værktøj til at finde f ′(x)

Opgave 416

a. Bestem monotoniforholdene og vandrette tangenter for f(x) = x 4 – 4x 3 + 16x – 3.

b. Hvilke af de vandrette tangenter er vendetangenter?

c. Tegn grafen for f.

Opgave 417

a. Bestem monotoniforholdene og vandrette tangenter for f(x) = 16 · x 5 – 10 · x 4 – 40 · x 3 .

b. Hvilke af de vandrette tangenter er vendetangenter?

c. Tegn grafen for f

Opgave 418

a. Skitsér grafen for en funktion, f, hvorom der gælder, at f ′(3) = 0, f ′(7) = 0 samt f(5) = 10.

Opgave 419

x: 5

0 f ′(x): + –

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

a. Tegn en mulig graf for f.

Opgave 420

x: 11

0 f ′(x): – +

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

a. Tegn en mulig graf for f

Opgave 421

x: –2

0 f ′(x): + +

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

Derudover oplyses det, at f(–2) = 5.

a. Tegn en mulig graf for f

Opgave 422

x: 1

0 f ′(x): – +

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

Derudover oplyses det, at f(3) = 10.

a. Tegn en mulig graf for f.

Opgave 423

x: 6

0 f ′(x): + –

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

Derudover oplyses det, at f(0) = 2 og at f(10) = 1.

a. Tegn en mulig graf for f.

Opgave 424

x: 4

0 f ′(x): – + 1 0 +

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

a. Tegn en mulig graf for f

Opgave 425

x: 3

0 f ′(x): + ––5 0 –

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

Derudover oplyses det, at f(–4) = –3.

a. Tegn en mulig graf for f.

Opgave 426

x: 17

0 f ′(x): + –11 0 –

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

Derudover oplyses det, at f(5) = 10, f(16) = 5 og at f(18) = 5.

a. Tegn en mulig graf for f.

Opgave 427

Tallinjen angiver nulpunkter og fortegn for f ′(x).

a. Tegn en mulig graf for f

Opgave 428

I hvert af koordinatsystemerne er tegnet to grafer.

En for f og en for den afledede funktion, f ′. For hver

figur skal du afgøre, hvilken der er grafen for f, og hvilken der er grafen for f ′ .

a. y

Opgave 429

En funktion er givet ved forskriften

f(x) = 0,5x 2 + 3x.

a. Bestem, uden CAS, en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (2, f(2))

b. Tegn grafen for f og tangenten fra spørgsmål a i samme koordinatsystem.

Opgave 430

En funktion er givet ved forskriften 2 () fxxx =+ , x ≥ 0.

a. Bestem, uden CAS, en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1, f(1)).

b. Tegn grafen for f og tangenten fra spørgsmål a i samme koordinatsystem.

Opgave 431

En tangent til grafen for f(x) = x 2 – 5x + 6 har hældningen 1.

a. Bestem f ′(x).

b. Bestem x-koordinaten for røringspunktet mellem grafen for f og tangenten med hældningen 1.

c. Har grafen for f en vandret tangent?

Opgave 432

En funktion er givet ved forskriften g(x) = –x 2 + 5.

a. Grafen for g har én tangent med hældning 2. Bestem en ligning for denne tangent.

Opgave 433

a. Har grafen for f(x) = 3x 4 + 5 en eller flere vandrette tangenter?

b. Hvis ja, find ligningen for de vandrette tangenter i spørgsmål a, hvis nej, begrund svaret.

c. Har grafen for g(x) = x 4 – x 2 en eller flere vandrette tangenter?

d. Hvis ja, find ligningen for de vandrette tangenter i spørgsmål c, hvis nej, begrund svaret.

Opgave 434

En cylinderformet konservesdåse skal have rumfanget 100 cm3 (1 dl). Højden kaldes h, overfladearealet O, og radius af grundfladen x.

a. Bestem h udtrykt ved x.

b. Bestem en formel for O som funktion af x, O(x).

c. Find den x- og h-værdi, hvor materialeforbruget er mindst muligt.

Opgave 435

Torben vil bygge en opbevaringskasse med låg af ædeltræ. Bundfladen skal være dobbelt så lang, som den er bred (længderne x og 2x). Højden kalder vi h. Både h og x måles i cm. Træet koster 0,04 kr. pr. cm 2 , og bunden skal have dobbelt tykkelse. Den samlede pris skal være 150 kr.

a. Opstil en formel for den samlede pris og en formel for rumfanget af kassen.

b. Eliminér variablen h, og find en formel for rumfanget alene som funktion af x.

c. Bestem den værdi af x, der giver det største rumfang til prisen.

Opgave 436

En familie vil sætte et vindue i gavlen på deres hus.

a. Hvilke dimensioner (længde og højde) skal vinduet have for at få størst muligt areal?

Opgave 437

Et sportsanlæg består af et rektangulært område med siderne x og y (begge målt i meter) afsluttet af to halvcirkler med diameter x. Omkredsen skal være 250 meter i alt.

a. Hvilke værdier skal x og y have, for at arealet af anlægget bliver størst muligt?

Opgave 438

Et blomsterbed har form af et rektangel afsluttet af en enkelt halvcirkel. Omkredsen skal være 8 meter.

a. Hvilken størrelse skal siderne i rektanglet have, for at bedet får størst muligt areal?

439

En olieboreplatform ligger 16 km udenfor en kyst. Olien skal transporteres til et raffinaderi lidt nede ad kysten.

Det koster 300000 pr. km i vandet at lægge en olieledning, og 210000 kr. pr. km på land.

a. Find ud af, hvor vi skal føre olieledningen på land (x), hvis ledningens samlede pris skal være mindst mulig.

Opgave

Træning 4

Vedligeholdelse af regnefærdigheder

Procentregning

Eksempel:

Vi ønsker at bestemme 20 % af 500. Da 20 % svarer til 0,2, har vi 0,2 · 500 = 100.

Eksempel:

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Vi ønsker at lægge 20 % til 800. Først beregner vi fremskrivningsfaktoren: 1 + 0,20 = 1,20. Dernæst multiplicerer vi de 800 med fremskrivningsfaktoren og får 800 · 1,20 = 960.

Vi ønsker at trække 15 % fra 800. Vi bruger fremskrivningsfaktoren 1 – 0,15 = 0,85 og vi får 800 · 0,85 = 680.

1. Beregn, uden CAS, hvad er:

a. 10% af 100?

b. 20% af 700?

c. 25% af 500?

d. 7% af 200?

4. Besvar følgende:

2. Beregn, uden CAS, hvad man får, når man:

a. lægger 10% til 500?

b. lægger 20% til 1000?

c. lægger 5% til én million?

d. lægger 4% til 200?

3. Beregn, uden CAS, hvad man får, når man:

a. trækker 10% fra 100?

b. trækker 10% fra 1200?

c. trækker 30% fra 1200?

d. trækker 9% fra 200?

a. Et par bukser koster 490 kr. Hvad skal man betale, hvis man får 30 % i rabat?

b. En computer koster 12900 kr. Hvad skal man betale, hvis man får 10 % i rabat?

c. En telefon koster 3900 kr. Hvad skal man betale, hvis man får 20 % i rabat?

d. En glasramme koster 124,95 kr. Hvad skal man betale, hvis man får 10 % i rabat?

Kombinatorik

Hvis man skal vælge blandt både n muligheder og blandt m muligheder, er der i alt n · m muligheder.

Eksempel:

En restaurant tilbyder 5 forskellige hovedretter og 3 forskellige desserter. En gæst har altså mulighed for at sammensætte hovedret og dessert på 5 · 3 = 15 forskellige måder.

5. Hvor mange forskellige måder kan retterne sammensættes, hvis …

a. … en restaurant tilbyder 8 forskellige hovedretter og 2 forskellige desserter?

b. … en restaurant tilbyder 7 forskellige hovedretter og 5 forskellige desserter?

c. … en restaurant tilbyder 4 forskellige forretter og 2 forskellige hovedretter?

d. … en restaurant tilbyder 3 forskellige forretter, 4 forskellige hovedretter og 2 forskellige desserter?

6. Hvor mange forskellige kombinationsmuligheder er der i følgende situationer?

a. En isbar tilbyder 20 slags is, 5 slags krymmel og 2 slags marmelade.

b. En kodelås har 3 hjul, hvert med mulighed for ét af de 10 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

c. En nummerplade har 2 bogstaver først og derefter 5 cifre.

Udvælgelse, hvor rækkefølgen er vigtig

Et antal elementer opstillet i en bestemt rækkefølge kaldes en permutation

Antallet af forskellige rækkefølger (permutationer), P(n, r), som kan dannes, når r elementer vælges ud af en større samling på n elementer, er givet ved:

P(n, r) == ! ()! n nr

Eksempel:

Der deltager 12 heste i et hestevæddeløb. På hvor mange måder kan de første 3 pladser fordeles? Førstepladsen kan gå til 12 forskellige heste. Andenpladsen til 11 forskellige og tredjepladsen til 10 forskellige.

Der er altså 12 · 11 · 10 = 1320 forskellige muligheder for fordeling af de første 3 pladser. Udregningen kan også udføres således: P(12,3) = 12! (123)! .

7. a. Der er 6 heste i et hestevæddeløb. På hvor mange måder kan de første 3 pladser fordeles?

b. Der er 8 heste i et hestevæddeløb. På hvor mange måder kan de første 5 pladser fordeles?

c. Der er 10 hunde i et hundevæddeløb. På hvor mange måder kan de første 3 pladser fordeles?

d. Der er 120 cykelryttere i et cykelløb. På hvor mange måder kan de første 20 pladser fordeles?

e. Der er 10 gæster til en fest. På hvor mange måder kan vi fordele 7 forskellige festlige hatte? Ingen gæster får mere end én hat.

Udvælgelse, hvor rækkefølgen er ligegyldig

Et antal elementer udvalgt af en samling elementer, når rækkefølgen ikke har betydning, kaldes en kombination.

Antallet af forskellige udvalg (kombinationer), K(n, r), som kan dannes, når r elementer vælges ud af en større samling af n elementer, er givet ved:

K(n, r) ! ()!! ) n nrr ==

Eksempel:

En isbutik har 21 forskellige smagsvarianter is. Vi vil gerne have en is med 3 forskellige smagsvarianter. Det giver os følgende antal kombinationsmuligheder: 21! (213)!3! (21, 3)1330 K == .

8. K(n, r) kaldes en binomialkoefficient. Beregn følgende binomialkoefficienter ved hjælp af formlen: a. K(5,3) b. K(7,2) c. K(6,2) d. K(10,7)

9. a. Du har 20 par sko, men kan kun tage 3 par med på rejse. Hvor mange kombinationsmuligheder har du?

b. Du har 100 bøger, men kan kun tage 5 med på rejse. Hvor mange kombinationsmuligheder har du?

c. Du har 7 mundharmonikaer, men må kun tage 3 med på festival. Hvor mange kombinationsmuligheder har du?

d. 17 venner holder fest. Der er plads til 4 på altanen. De sidste må være i stuen. På hvor mange måder kan de fordeles?

Træning 4 (fortsat)

Sandsynlighed

Hvis alle udfald i et udfaldsrum har samme sandsynlighed for at forekomme, kan sandsynligheden P(A), for at hændelsen A indtræffer, beregnes med formlen antal gunstige udfald for hændelsen A antal mulige udfald P(A) =

Eksempel:

Kast med en 6-sidet terning. Sandsynligheden for at få 1 er 1 6 (1)P = . Sandsynligheden for at få et lige tal er 31 62 (lige)P == .

10. Ved kast med en 10-sidet terning, hvad er da sandsynligheden for at få:

a. Udfaldet 5.

b. Et ulige tal.

c. Et tal mindre end 7.

d. Enten 6, 7 eller 10.

11. Der trækkes et kort fra et almindeligt kortspil uden jokere.

a. Hvad er sandsynligheden for at få hjerter dame?

b. Hvad er sandsynligheden for at få en spar?

c. Hvad er sandsynligheden for at få en knægt?

d. Hvad er sandsynligheden for enten en 5’er eller en 8’er?

12. Vi kaster med to 4-sidede terninger og noterer summen af de to udfald.

a. Hvad er de mulige udfald?

b. Hvad er sandsynligheden for, at summen er 2?

c. Hvad er sandsynligheden for, at summen er 3?

d. Hvad er sandsynligheden for, at summen er større end 5?

Nogle gange er det nødvendigt at benytte kombinatorik til at beregne antallet af gunstige udfald og antallet af mulige udfald, når man skal beregne en sandsynlighed.

Eksempel:

Der ligger 10 æbler i en skål. 6 er røde, og 4 er grønne. Der udvælges 3 æbler på en tilfældig måde. Hvad er sandsynligheden for, at alle tre udvalgte æbler er grønne?

Sandsynligheden kan beregnes således: antal forskellige udvalg af 3 grønne æbler ud af i alt 4 grønne æbler(4,3)41 antal forskellige udvalg af 3 æbler ud af i alt 10 æbler(10,3)12030 K K === K (4,3) og K (10,3) kan enten beregnes direkte med formlen for K (n, r), eller man kan slå dem op i Pascals trekant i formelsamlingen. Hvis de beregnes direkte med formlen, kan mellemregningerne se således ud: 4!4!4321 (43)!3!1!3!1321 (4,3)4 K ====

13. Besvar nedenstående opgaver uden brug af CAS:

a. I en skål med slik ligger der 2 blå bolsjer og 4 gule bolsjer. Du udvælger 2 bolsjer på en tilfældig måde. Bestem sandsynligheden for, at begge bolsjer er gule?

b. Peter har 2 kortærmede skjorter og 5 langærmede skjorter. Han udvælger 4 skjorter på en tilfældig måde. Bestem sandsynligheden for, at alle 4 skjorter er langærmede.

c. Der er 8 lodsedler tilbage i en tombola. Der er gevinst på 2 af dem. Du køber 5 lodsedler, som udvælges tilfældigt. Bestem sandsynligheden for, at du ikke vinder noget.

14. Besvar nedenstående opgaver. Brug CAS som regnemaskine.

a. En pose indeholder 100 marmorkugler. 80 er grønne, og 20 er gule. Du udvælger på tilfældig måde 10 kugler. Hvad er sandsynligheden for, at de alle 10 er grønne?

b. Der er 20 elever i en klasse. 7 af dem er vegetarer. Ved lodtrækning udvælges 4 elever til et festudvalg. Bestem sandsynligheden for, at ingen af de udvalgte er vegetarer.

c. Der er 12 spillere på et bestemt volleyballhold. 3 af spillerne er venstrehåndede. Træneren udtager på tilfældig måde 6 spillere. Bestem sandsynligheden for, at der er mindst 2 venstrehåndede spiller blandt de udvalgte.

Brøker

Produkt af to brøker: cac bdd a b ⋅ =

Sumafbrøker: acadcbadcb bdbddbbd

Eksempel: 2326 545 3 420 ⋅ ⋅ ==

Eksempel: 45425381523 32322366 ⋅⋅+

Beregn nedenstående udtryk uden brug af CAS. Forkort resultatet så meget som muligt, sådan at der stadig står heltal i tæller og nævner.

15. a. 11 22 ⋅

b. 72 39

c. 43 112

d. 83 38

Ligninger

12 115 +

Hvis man har en ligning, hvor der står 0 på den ene side af lighedstegnet, og den anden side af lighedstegnet er et produkt, så kan nulreglen benyttes til at løse ligningen.

Nulreglen siger, at hvis der om to tal, a og b, gælder, at a · b = 0, er det ensbetydende med, at enten er a = 0 eller b = 0.

Nulreglen kan også udtrykkes således: Et produkt kan kun give nul, hvis mindst én af faktorerne er nul.

Eksempel:

Hvis vi ved, at x · (x – 5) = 0, kan vi konkludere, at enten er x = 0, eller også er x – 5 = 0, fordi produktet af x og x – 5 skal være 0. Dermed kan vi konkludere, at ligningen x · (x – 5) = 0 har løsningerne x = 0 og x = 5.

19. Løs nedenstående ligninger uden brug af CAS.

a. x 2 · (x + 8) = 0 e. (x + 1) · (x + 2) · (x + 3) · (x + 4) = 0

b. (x + 3) · (x – 5) = 0 f. ln(x) · (x – 12) = 0

c. (x 2 – 2x + 1) · (x + 4) = 0 g. x · ln(2 – x 2) = 0

d. 2 50 x x ⋅+= h. (4x – 12) · (2 · (4 - 2x)) · (56 + x) = 0

5. Binomialfordelingen

5.1 Stokastisk variabel

1 Introduktion

1 2 3 xi 5 1015

Et sandsynlighedsfelt er kendetegnetved:

1.Etudfaldsrum, U,sombestår afenrækkemuligeudfald, u.

2.Tilhvertudfald, u,erder knyttetensandsynlighed, P(u),hvor0 ≤ P(u) ≤ 1.

3.Summenafsandsynlighederneforsamtligeudfaldi

U er1.

P(X = xi) 0,650,250,1 5 10 15

Der er 0,65 = 65% sandsynlighed for, at lykkehjulet lander på det blå felt, 0,25 = 25% sandsynlighed for, at det lander på det lilla, og 0,10 = 10% sandsynlighed for, at det lander på det røde.

I dette afsnit indføres begrebet stokastisk variabel. Dette kan benyttes, når vi ønsker at regne på situationer, hvor man tildeler tal, eksempelvis pointtal, til udfald af et eksperiment med tilfældige udfald.

At sandsynligheden for blå er 65%, betyder, at hvis vi lod lykkehjulet dreje et meget stort antal gange, ville det lande på det blå felt 65% af gangene.

2 Definition

Sandsynligheden for et givent udfald af et eksperiment skal forstås som frekvensen af udfaldet ved en uendelig række gentagelser af eksperimentet.

3 Eksempel

Eksperimentet, hvor lykkehjulet fra introduktionen drejes, kan beskrives med et sandsynlighedsfelt, idet:

1. Udfaldsrummet, U, består af de tre udfald U = {}blå, lilla, rød{}

2. Sandsynlighederne for de tre udfald er henholdsvis P(blå) = 0,65, P(lilla) = 0,35 og P(rød) = 0,10.

3. Summen af sandsynlighederne er 0,65 + 0,25 + 0,10 = 1.

4 Definition

Til et eksperiment med tilfældige udfald og et tilhørende sandsynlighedsfelt er en stokastisk variabel, X, en funktion, der forbinder et tal, x, til hvert udfald, u, af eksperimentet. Det angives således: X(u) = x

For en konkret værdi, xi , af den stokastiske variabel X betyder udtrykket

P(X = xi ) ”sandsynligheden for, at X antager værdien xi”.

5 Eksempel

Man får 5 point, hvis lykkehjulet lander på blå, 10 point, hvis det lander på lilla, og man får 15 point, hvis det lander på rød.

Vi indfører en stokastisk variabel, X, der forbinder de mulige udfald med pointtallene: X(blå) = 5, X(lilla) = 10 og X(rød) =15.

Sandsynlighederne for, at X antager værdierne 5, 10 og 15, bliver dermed: P(X = 5) = 0,65, P(X = 10) = 0,35 og P(X = 15) = 0,10. Søjlediagrammet og tabellen viser en oversigt over dette.

6 Definition

En beskrivelse af, hvordan sandsynlighederne er fordelt for en stokastisk variabel, X, kaldes sandsynlighedsfordelingen for X.

Ofte bruges en tabel eller et søjlediagram til at vise sandsynlighedsfordelingen for X

7 Eksempel

Der trækkes et tilfældigt kort blandt de 10 viste. En stokastisk variabel, X, betegner talværdien af det kort, der trækkes. Sandsynlighedsfordelingen for X er vist i margenen.

Sandsynligheden for, at kortets værdi er mindre end eller lig med 8, skrives P(X ≤ 8), og denne er:

P(X ≤ 8) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 8) = 0,4 + 0,3 + 0,2 = 0,9

8 Øvelse

Der er 0,50 = 50% sandsynlighed for, at lykkehjulet lander på 0 point, 0,35 = 35% sandsynlighed for, at det lander på 1 point, og 0,15 = 15% sandsynlighed for, at det lander på 8 point.

Den stokastiske variabel X betegner det antal point, lykkehjulet lander på.

a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen for X

b. Tegn søjlediagrammet, der illustrerer sandsynlighedsfordelingen.

c. Bestem sandsynligheden P(X = 8).

9 Øvelse

En 6-sidet terning kastes, og X betegner antallet af øjne, som terningen viser.

a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen for X.

b. Bestem P(X = 4).

c. Bestem P(X ≤ 3).

d. Bestem 1 – P(X = 4).

10 Øvelse

Søjlediagrammet i margenen viser sandsynlighedsfordelingen for en stokastisk variabel, X

a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen for X.

b. Bestem P(X ≤ 2).

xi –100304050

P(X = xi) 0,250,250,250,25

5.2 Middelværdi og spredning af en stokastisk variabel

11 Introduktion

Et spillefirma overvejer at udbyde et spil, hvor der kastes en 4-sidet terning.

Firmaet udbetaler 100 kr. i gevinst, hvis terningen lander på en 1’er.

Til gengæld skal kunderne betale 30 kr., hvis den lander på en 2’er, 40 kr., hvis den lander på en 3’er, og 50 kr., hvis den lander på en 4’er.

Kommer firmaet mon til at tjene penge på spillet?

12 Eksempel

For at få overblik indfører vi en stokastisk variabel, X, der betegner firmaets indtægt, afhængigt af hvad terningen viser. Sandsynlighedsfordelingen for X fremgår af tabellen i margenen.

Firmaets ind- og udbetalinger er altså underlagt tilfældigheder. Men da vi kender sandsynlighederne for hver ind- og udbetaling, kan vi regne på, hvad firmaet kan forvente ved et stort antal gentagelser af spillet.

13 Definition

xi x1 x2 ... x n

P(X = xi) p1 p2 pn

prx.dk/68p33

Middelværdien eller den forventede værdi, µ, af en stokastisk variabel, X, som kan antage n forskellige værdier, er:

µ = 1122 xxpp + + . . . + x n pn

Middelværdien af X kan også angives E(X) i stedet for µ.

14 Eksempel

Middelværdien (gevinsten/tabet) af X i eksemplet ovenfor er:

µ = 1000,250,25400,2550,25305 0 ⋅+⋅+⋅+⋅=

Den forventede værdi/middelværdien er altså 5 kr., svarende til, at firmaet i gennemsnit vil tjene 5 kr. pr. spil.

Vi skal nu se på variansen og spredningen af en stokastisk variabel. Den fortæller noget om, hvor langt fra middelværdien værdierne af den stokastiske variabel i gennemsnit ligger.

15 Definition

Variansen, Var(X), af en stokastisk variabel, X, som kan antage n forskellige værdier, og som har middelværdien µ, er:

22 1122 ) ()()(Var ppXxxµµ=−+− + . . . + (x n – µ)2 pn

Spredningen, σ, af X er:

σ Var() X =

16 Eksempel

Vi beregner variansen og spredningen af fortjenesten af spillet i introduktionen: 2222 ()(10050,25(3050,25(4050,25(5050,25 37 ))) 5 ) 2 Var X =−−⋅+−⋅+−⋅+−⋅ = 372561,03 σ ==

17 Bemærkning: En høj spredning kan være et problem

Selvom spiludbyderen i gennemsnit tjener 5 kr. pr. spil, kan firmaet ikke forvente at tjene 5 kr. på et givent spil. Måske får de 50 kr., måske 30 kr., og måske skal de betale 100 kr.

Spiludbyderen vil hellere have et spil, hvor det ikke varierer helt så meget, hvad de skal betale eller have.

18 Eksempel

Spillefirmaet ændrer beløbene, så de udbetaler 40 kr. i gevinst, hvis terningen lander på en 1’er, og deltagerne skal betale 20 kr., hvis terningen lander på en 2’er, 3’er eller 4’er.

Der er altså en sandsynlighed på 0,25 for, at firmaet skal betale 40 kr., og der er en sandsynlighed på 0,75 for, at firmaet tjener 20 kr.

Vi beregner middelværdi, varians og spredning af fortjenesten af det nye spil:

µ 400,25200,755−⋅+⋅ = = 22 ()(4050,25(2050,756 ))75 Var X =−−⋅+−⋅= 67525,98 σ ==

Firmaet tjener de samme 5 kr. i gennemsnit pr. spil, men fortjenesten varierer mindre.

19 Øvelse

Et spillefirma laver et lotteri, hvor det er gratis at deltage, men:

30% af lodderne er mærket , og man skal betale 50 kr., hvis det trækkes. 60% af lodderne er mærket , og man skal betale 10 kr., hvis det trækkes. 10% af lodderne er mærket , og man får 150 kr., hvis det trækkes.

Den stokastiske variabel X betegner indtægten pr. spil (i kr.) for firmaet.

a. Tegn tabellen i margenen af, og udfyld nederste række.

b. Bestem middelværdien af X.

c. Bestem variansen og spredningen af X.

20 Øvelse

prx.dk/cew49

xi –4020

P(X = xi) 0,250,75

xi 5010–150

P(X = xi)

a. Udtænk nogle andre beløb i ovenstående øvelse, så den forventede indtægt er den samme, men spredningen bliver mindre for spillefirmaet.

0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 x y prx.dk/vjza4

0 1 2 3 4 5

5.3 Binomialfordelt stokastisk variabel

21 Introduktion

Når et basiseksperiment som at kaste en mønt gentages et bestemt antal gange, og vi lader en stokastisk variabel, X, tælle antal plat, så ser sandsynlighedsfordelingen X ud på en helt særlig måde.

I resten af kapitlet skal vi se nærmere på sandsynligheder i forbindelse med uafhængigegentagelser af et basiseksperiment.

22 Definition

binomialeksperiment er et sammensat eksperiment, der består af:

• n uafhængige gentagelser af

• et basiseksperiment med to udfald, som vi kalder succes og fiasko, hvor der ved hver gentagelse er den samme sandsynlighed, p, for succes.

23 Eksempel

En mønt kastes 5 gange, og vi lader X betegne antal plat i de 5 kast. Dette er et binomialeksperiment, fordi vi har:

• 5 uafhængige gentagelser af

• basiseksperimentet "kast en mønt", med to udfald, hvor succes er plat, og fiasko er ”ikke plat”, og hvor der ved hver gentagelse er samme sandsynlighed, p = 1 2 , for succes.

xi 012345

P(X = xi)

0,030,160,310,310,160,03

Sandsynlighedsfordelingen for X kan ses i tabellen og søjlediagrammet i margenen.

De enkelte sandsynligheder kaldes punktsandsynligheder, og de kan beregnes i CAS eller et regneark.

24 Definition

Når en stokastisk variabel, X, betegner antallet af succeser i et binomialeksperiment, siger vi, at X er binomialfordelt med antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p. Vi skriver X ∼ b(n, p).

25 Eksempel

Lad X betegne antal 3’ere i 10 kast med en 6-sidet terning. Derved er X binomialfordelt, fordi vi har

• 10 uafhængige gentagelser af

• basiseksperimentet ”kast en terning”, med to udfald, hvor succes er 3’er, og fiasko er ”ikke 3’er”, og hvor der ved hver gentagelse er samme sandsynlighed, p = 1 6 , for succes.

Vi kan nu beregne sandsynligheden P(X = 2) til 0,291 med CAS. Der er altså 29,1% chance for at få to 3’ere ved 10 kast med en terning.

I søjlediagrammet er sandsynlighedsfordelingen for X illustreret. Det ses, at X = 2 er det næstmest sandsynlige udfald, mens sandsynlighederne for at få 8, 9 eller 10 styk 3’ere ved 10 kast er så lille, at søjlerne ikke kan ses på illustrationen. Det mest sandsynlige udfald er X = 1, altså at vi får netop én 3’er ud af de 10 kast.

26 Eksempel

De tre første sandsynligheder i sandsynlighedsfordelingen for X i ovennævnte eksempel er angivet nedenfor:

P(X = 0) = 0,162

P(X = 1) = 0,323

P(X = 2) = 0,291

Vi kan beregne sandsynligheden for at få 2 eller færre 3’ere ved 10 kast ved at lægge de tre ovennævnte sandsynligheder sammen: (2)(0)(1)(2)P XPXPXPX ≤==+=+=

Vi finder, at (2)PX ≤= 0,162 + 0,323 + 0,291 = 0,776.

Sandsynligheden P(X ≤ n)for n eller færresucceserkaldesen kumuleret sandsynlighed.Denkanberegnes direktemedCASelleretregneark.

Der er altså 77,6% chance for at få to eller færre 3’ere. Dermed kan vi også indse, at der er 1 – 0,776 = 0,224 = 22,4% chance for at få ”samtlige andre værdier”, altså sandsynligheden for at få tre eller flere 3’ere ved 10 kast.

27 Øvelse

I et eksperiment kastes en 4-sidet terning 10 gange, og X betegner antallet af 2’ere i de 10 kast.

a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p.

b. Bestem de mulige værdier, X kan antage.

c. Bestem P(X = 1) og P(X = 2).

28 Øvelse

Når en bestemt skæv mønt kastes, er sandsynligheden for at få plat lig med 0,3.

Mønten kastes 5 gange, og den stokastiske variabel X betegner antal plat i de 5 kast.

a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p.

b. Bestem de mulige værdier, X kan antage.

c. Bestem P(X = 3).

5.4 Middelværdi og spredning i binomialfordelingen

29 Introduktion

I roulette er der 37 felter, som kuglen kan lande på. Heraf er 18 røde, 18 sorte, og 1 er grøn. Sandsynligheden for at lande på et rødt felt er dermed

p = 18 37 = 0,486 = 48,6%

Kuglen vil altså forventeligt lande på et rødt felt knap halvdelen af gangene.

Vi vil i dette afsnit behandle, hvordan man i binomialfordelingen kan beregne de tidligere indførte størrelser middelværdi og spredning.

30 Sætning

Middelværdien eller den forventede værdi, µ, af en binomialfordelt stokastisk variabel, X ∼ b(n, p), er bestemt ved:

µ = n·p

31 Eksempel

Kastes en kugle 100 gange i rouletten, hvor mange gange vil den så forventeligt lande på rød? Vi har et binomialeksperiment med n = 100 og p = 18 37 , og middelværdien af den binomialfordelte stokastiske variabel 18 37 100, X b   bliver

µ = 100 · 18 37 = 48,6

Af 100 spil vil kuglen således forventeligt lande cirka 49 gange på rød.

Middelværdien er en rent matematisk størrelse. Den kan derfor godt være 48,6, selvom kuglen naturligvis i praksis lander et helt antal gange på rød. Det mest sandsynlige udfald vil være enten 48 eller 49.

32 Sætning

For en binomialfordelt stokastisk variabel, X ∼ b(n, p), med middelværdien µ er det mest sandsynlige udfald af binomialeksperimentet lig med µ, hvis denne er et helt tal, og ellers er det en af de to heltallige naboer til µ

33 Eksempel

Hvis vi gerne vil vide, hvorvidt det er mest sandsynligt at få 48 eller 49 røde ud af 100 kast i rouletten, kan vi se på sandsynlighedsfordelingen for 18 37 100, X b   

I margenen ses et udsnit af sandsynlighedsfordelingen for 18 37 100, X b    i form af et søjlediagram. Vi har fokuseret på værdier omkring µ = 48,6. Idet den højeste søjle er ved 49, er det mest sandsynligt, at kuglen lander på rød 49 gange.

Da vi har at gøre med tilfældigheder, kan vi ikke regne med at få præcis 49 røde på 100 spil. Måske lander kuglen kun 34 gange på rød ud af de 100 kast – det kan vi ikke vide på forhånd.

Men ved hjælp af spredningen af X kan vi vurdere, om et givent udfald langt fra middelværdien 48,6 er usandsynligt.

34 Sætning

For en binomialfordelt stokastisk variabel, X ∼ b(n , p), med middelværdien µ er spredningen, σ, bestemt ved:

σ = (1 )npp

Hvis der om en binomialfordelt stokastisk variabel, X ∼ b(n , p), gælder, at både n · p og n · (1 – p) er større end 5, så gælder der med god tilnærmelse, at

• 68% af udfaldene af binomialeksperimentet vil ligge i intervallet µ± σ

• 95% af udfaldene af binomialeksperimentet vil ligge i intervallet µ± 2σ .

35 Eksempel

I roulettespillet, hvor 18 37 100, X b  , er spredningen 1818 3737 1001 σ

5,0

Idet 18 37 100 = 48,6 > 5 og 100 · 13 87 1   = 51,4 > 5, kan vi i forhold til roulettespillet tolke spredningen således, at hvis kuglen kastes 100 gange, er der:

• Omtrent 68% sandsynlighed for, at kuglen lander på rød 48,6 ± 5 af gangene –det vil sige mellem 43,6 og 53,6 gange.

• Omtrent 95% sandsynlighed for, at kuglen lander på rød 48,6 ± 2 · 5 af gangene – det vil sige mellem 38,6 og 58,6 gange.

Vi kan deraf se, at det er ret usandsynligt at få et resultat som de førnævnte 34.

36 Øvelse

En 6-sidet terning kastes 25 gange, og X betegner antal 6’ere i de 25 kast.

a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem µ og σ.

b. Hvad er det mest sandsynlige antal 6’ere at slå i de 25 kast?

37 Øvelse

Fra et spil kort uden jokere trækkes et kort, og det noteres, om det er en ruder eller

ej. Kortet lægges tilbage, og bunken blandes. Eksperimentet gentages 40 gange. Den stokastiske variabel X betegner antal rudere i de 40 trækninger.

a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, bestem µ, og fortolk denne.

b. Bestem spredningen af X, og bestem det interval, som antallet af rudere i de 40 trækninger med 95% sandsynlighed vil ligge i.

5.5 Baggrunden for binomialfordelingen

38 Introduktion

I et eksperiment kastes en 4-sidet terning, og eksperimentet gentages 3 gange. Vi lader en stokastisk variabel, X, betegne antallet af 2’ere.

X er binomialfordelt med 1 4 3, Xb   , fordi der er:

• 3 uafhængige gentagelser af

• basiseksperimentet ”kast en terning” med to udfald, hvor 2 er succes, og ”ikke 2” er fiasko, og hvor basissandsynligheden for succes, p = 1 4 , er den samme ved hver gentagelse

I afsnittet her skal vi opstille en formel til beregning af sandsynligheden for at få et givent antal succeser i et binomialeksperiment – en punktsandsynlighed.

Vi tager udgangspunkt i ovennævnte eksempel hele afsnittet.

Idet der kun er to mulige udfald af et basiseksperiment, er de to udfald hinandens komplementære hændelser. Der gælder derfor følgende:

prx.dk/927mp

Sandsynlighedenfor,at denkomplementære hændelsetil A forekommer,er: 1– P(A) prx.dk/ht777

39 Sætning

Hvis sandsynligheden for succes i et basiseksperiment er p, da er sandsynligheden for fiasko i basiseksperimentet 1 – p.

40 Eksempel

Ved kast med en 4-sidet terning er sandsynligheden for at få en fiasko, en ”ikke 2’er”:

Vi gennemgår nu beregningerne af sandsynligheden for at få henholdsvis 3 succeser, P(X = 3), og 2 succeser, P(X = 2).

41 Sandsynligheden P(X = 3)

Vi vil beregne sandsynligheden for at få tre 2’ere, altså 3 succeser: P(X = 3) = 3 1111 4444 0,016

I beregningen af sandsynligheden P(X = 3) kunne vi blot multiplicere de enkelte sandsynligheder, fordi basiseksperimenterne er uafhængige af hinanden.

42 Sandsynligheden P(X = 2)

Inden vi ser på denne sandsynlighed, så lad os beskrive samtlige mulige udfald i sandsynlighedsfeltet hørende til eksperimentet. Betegnes en 2’er – en succes – s, og en ”ikke 2’er” – en fiasko – f, er de mulige udfald givet ved: sss ssf sfs fss sff ffs fsf fff

Der er således otte mulige udfald af binomialeksperimentet, hvor terningen kastes tre gange, og vi holder øje med antallet af 2’ere (succeser).

Af de otte muligheder svarer den første mulighed, sss, til P(X = 3), som vi allerede har set på.

Når vi nu skal regne på P(X = 2), indgår der tre udfald, nemlig ssf, sfs og fss: 11313131 1 444444444 (2)PX ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ = 0,141

De tre led i udregningen har samme talstørrelse, fordi de er ens på nær rækkefølgen af faktorerne. Udregningen kan derfor også skrives: 2 13 44 (2)3PX

= 0,141

At der var tre udfald, hvor der indgik 2 s’er og 1 f, kan også beregnes med binomialkoefficienten K(3,2) = 3, fordi det svarer til antallet af måder, man kan vælge 2 ud af 3 elementer (2 succeser ud af 3 kast).

Alt i alt har vi:

P(X = 2) = K(3,2) 2 13 44 3

= 0,141

På baggrund af ovenstående eksempler formulerer vi nu en generel sætning om binomiale punktsandsynligheder:

43* Sætning

For en binomialfordelt stokastisk variabel, X ∼ b(n , p), er sandsynligheden P(X = r) for at få r succeser i de n gentagelser givet ved:

P(X = r) = K(n , r) · p r (1 – p)n – r

Sandsynligheden P(X = r) kaldes en punktsandsynlighed.

44 Eksempel

Sandsynligheden P( X = 1) i det gennemgående eksempel udregnes direkte ved indsættelse i formlen:

P( X = 1) = K(3,1) 3

45 Øvelse

= 0,422

a. Beregn sandsynligheden P( X = 0) i det gennemgående eksempel ved hjælp af ovenstående sætning.

b. Kontrollér svaret ovenfor i CAS.

46 Øvelse

Et lykkehjul med 30% chance for gevinst drejes 6 gange. X angiver antallet af gevinster.

a. Gør rede for, at X er binomialfordelt.

b. Beregn sandsynligheden P(X = 4) ved hjælp af formlen, og fortolk resultatet.

Den kommutative lov for multiplikation:

a b = b a

Når der skal vælges r elementer ud af n mulige, kan det gøres på K(n , r) forskellige måder: ! ()!! (,) n nrr K nr =

5.6 Ræsonnementer og beviser

47 Introduktion

Afsnit 5.5 handlede om baggrunden for binomialfordelingen, og her så vi formlen til beregningen af punktsandsynligheder for en binomialfordelt stokastisk variabel.

I det afsnit skitserede vi ud fra et eksempel, hvorfor formlen ser ud, som den gør. Nu vil vi udlede formlen generelt.

[43 Sætning]

For en binomialfordelt stokastisk variabel, X ∼ b(n , p), er sandsynligheden P(X = r) for at få r succeser i de n gentagelser givet ved:

P(X = r) = K(n , r) · p r · (1 – p)n – r

Sandsynligheden P(X = r) kaldes en punktsandsynlighed

48 Bevis for sætning 43

Hvis to hændelser, A og B, er uafhængige, er sandsynligheden for, at både A og B indtræffer, lig med sandsynligheden for A gange sandsynligheden for B

Givet en binomialfordelt stokastisk variabel, X ∼ b(n , p) ved vi, at denne knytter sig til et binomialeksperiment, som består af

• n uafhængige gentagelser af

• et basiseksperiment med to udfald, succes og fiasko, hvor sandsynligheden for succes, p, er den samme i hver gentagelse af basiseksperimentet.

Sandsynligheden for at få r succeser ved r gentagelser af basiseksperimentet – altså succeser i alle gentagelser – er (husk, at gentagelserne uafhængige):

r pppp ⋅⋅⋅=

r faktorer

Hvis der nu er n gentagelser, og kun r af dem er succeser, så er der n – r gentagelser tilbage, som ikke er succeser – de må så alle være fiaskoer.

Sandsynligheden for, at den komplementære hændelse til A forekommer, er: 1 – P(A)

Hændelsen fiasko har sandsynligheden

1 – p for at forekomme, da en fiasko er den komplementære hændelse til en succes.

Sandsynligheden for at få n – r fiaskoer, hver med sandsynligheden 1 – p for at forekomme, er:

(1)(1)...(1)(1)nr pppp −⋅−⋅⋅−=− nr faktorer

Samlet set er sandsynligheden for at få r succeser og n – r fiaskoer i en eller anden tilfældig rækkefølge

p r · (1 – p)n – r

Herunder er en sådan tilfældig rækkefølge med r styk succeser, s, og n – r styk fiaskoer, f, skrevet op

sss sf

s’er f er rn r fff ’

Der vil være mange andre rækkefølger med i alt

r + (n – r) = r + n – r = n

pladser, hvor der på r af pladserne står s’er og på n – r af pladserne står f’er, fordi de r styk s’er jo kunne stå på andre pladser i rækkefølgen end lige de første pladser.

Eksempelvis kunne det også være, at det var de n – r styk f’er, som kom først:

f r f er ... rn r fff ’ sss s s’er ... rn

Eller det kunne være en af de mange rækkefølger, hvor s’erne og f’erne står imellem hinanden. Det vigtige er, at der er r styk s’er og n – r styk f’er:

Binomialkoefficienten

sfsf fsfsf fs...f nr nr

rækkefølge med i alt pladser, hvoraf er s'er og er f' er

Vi kan faktisk vælge de r pladser til s’erne blandt de n mulige pladser på K(n, r) måder, hvor K(n, r) er binomialkoefficienten, der blev introduceret i KernestofMat1.

Der vil altså være K(n, r) rækkefølger med r styk s’er og n – r styk f’er.

Disse i alt K(n, r) rækkefølger har hver sandsynligheden p r (1 – p)n–r for at forekomme.

Og da hver af disse rækkefølger indeholder r succeser, kan vi derfor gange K(n, r) med p r · (1 – p)n–r for at finde sandsynligheden for at få r succeser i de n gentagelser.

Denne sandsynlighed, P(X = r), er dermed givet ved

P(X = r) = K(n, r) · p r (1 – p)n–r og således har vi bevist det, vi gerne ville bevise.

49 Øvelse

I afsnit 5.5 tog vi udgangspunkt i et konkret taleksempel, da vi skitserede, hvorfor formlen i sætning 43 ser ud, som den gør. Her så vi på binomialeksperimentet med n = 3 og p = 4 1

Du kan arbejde med beviset ovenfor på flere måder. Her er et forslag:

a. Skriv hele gennemgangen af beviset ned, idet du erstatter de vilkårlige størrelser n, p og r med konkrete tal, for eksempel n = 10, p = 0,2 og r = 7.

b. Skriv derefter beviset ned, og indsæt dine egne kommentarer undervejs i dine noter, der hvor du synes, at der er noget, du skal være særligt opmærksom på.

K(n, r) udtrykker det antal måder, hvorpå vi kan vælge r pladser blandt n, når den rækkefølge, som pladserne besættes i, ikke har betydning.

K(n, r) er givet ved: ! ()!! (,) n nrr Knr =

prx.dk/xcb5x

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Opgave 501

Bestem sandsynligheden for at:

a. få en sekser ved et kast med en 6-sidet terning.

b. få plat ved et kast med en mønt.

c. få gevinst i et lotteri, hvor du trækker først, og der er 5 lodder med gevinst og 1000 lodder i alt.

d. du, med bind for øjnene, vælger en rødhåret elev i en klasse med 4 rødhårede, 6 lyshårede og 10 mørkhårede.

Opgave 502

En stokastisk variabel, X, er givet ved sandsynlighedsfordelingen

xi 1234

P(X = xi) 0,10,30,20,4

a. Tegn et søjlediagram over sandsynlighedsfordelingen for X.

Bestem følgende sandsynligheder:

b. P(X = 1)

c. P(X ≤ 2)

d. Sandsynligheden for at få enten 2 eller 3.

e. P(X ≥ 2)

f. Sandsynligheden for ikke at få 4.

Opgave 503

En stokastisk variabel, X, er givet ved sandsynlighedsfordelingen

xi –10–5 05 1015

P(X = xi) 0,10,10,10,10,10,5

a. Tegn et søjlediagram over sandsynlighedsfordelingen for X

Bestem følgende sandsynligheder:

b. P(X = –5)

c. P(X ≥ 0)

d. P(X > 0)

e. P(X ≤ 7)

f. P(X ≠10)

Opgave 504

En stokastisk variabel, X, er beskrevet ved ovenstående søjlediagram.

a. Lav en tabel over sandsynlighedsfordelingen for X

b. Bestem P(X ≥ 2).

Opgave 505

En stokastisk variabel, X, er beskrevet ved ovenstående søjlediagram.

a. Lav en tabel over sandsynlighedsfordelingen for X

b. Bestem P(X ≤ 3).

Opgave 506

En 12-sidet terning kastes, og X betegner øjeantallet.

a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen for X.

b. Bestem P(X = 2).

c. Bestem P(X = 10) + P(X = 11).

d. Bestem P(X ≥ 8).

e. Hvad er sandsynligheden for, at øjeantallet er et tal i 3-tabellen?

f. Bestem sandsynligheden for ikke at få 12 øjne.

Opgave 507

En stokastisk variabel, X, er givet ved sandsynlighedsfordelingen

xi 57 10

P(X = xi) 0,10,40,5

a. Bestem middelværdien af X.

b. Bestem variansen af X

c. Bestem spredningen af X

Opgave 508

En stokastisk variabel, X, er givet ved sandsynlighedsfordelingen

xi 100200300400

P(X = xi) 0,50,40,050,05

a. Bestem middelværdien af X.

b. Bestem variansen af X.

c. Bestem spredningen af X.

Opgave 509

En stokastisk variabel, X, er beskrevet ved ovenstående søjlediagram.

a. Bestem middelværdien af X

b. Bestem spredningen af X.

Opgave 510

Du kaster med en almindelig 6-sidet terning.

a. Bestem middelværdien af øjeantallet.

b. Bestem spredningen af øjeantallet.

Opgave 511

En mønt kastes, og den stokastiske variabel X har værdien 10, hvis det bliver plat, og 1, hvis det bliver krone.

a. Bestem middelværdien af X

b. Bestem spredningen af X.

Opgave 512

En idrætsforening vil udstede lodsedler for at tjene penge til en lejrtur. 2% af lodderne giver en gevinst på 120 kr., og 10% giver en gevinst på 30 kr. Resten af lodderne giver ingen gevinst.

Foreningen sælger lodderne for 20 kr. stykket. Indtægten i kr. fra et lod kan betragtes som en stokastisk variabel, X.

a. Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen for X.

b. Beregn middelværdien af X, og giv en fortolkning af tallet.

c. Bestem, hvor mange lodder de skal sælge for at tjene mindst 10000 kr.

Opgave 513

I et bestemt spil kastes en 6-sidet terning.

Hvis terningen lander på en 1’er, 2’er eller 3’er, skal man betale 50 kr.

Hvis terningen lander på 4, får man 10 kr., lander den på 5, får man 50 kr., og lander den på 6, får man 100 kr.

a. Lad X være den stokastiske variabel, der betegner gevinsten i spillet (i kr.). Opstil en tabel over sandsynlighedsfordelingen for X.

b. Bestem den gennemsnitlige gevinst, man kan forvente at få i dette spil.

c. Bestem variansen og spredningen for gevinsten i spillet.

Opgave 514

En mønt kastes 10 gange. Lad X betegne antal gange, vi får plat.

a. Gør rede for, at X er en binomialfordelt stokastisk variabel.

b. Bestem antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p

c. Bestem P(X = 5).

d. Bestem P(X ≤ 4).

e. Bestem P(X ≥ 7).

f. Bestem sandsynligheden for at få plat alle 10 gange.

Opgave 515

En 6-sidet terning kastes fire gange. Vi vil holde øje med antallet af 2’ere.

a. Gør rede for, at det er et binomialeksperiment.

b. Bestem basissandsynligheden p

c. Bestem P(fire 2’ere).

d. Bestem sandsynligheden for ikke at få en 2’er i et kast.

e. Bestem P(fire ”ikke 2’ere”).

Opgave 516

En stokastisk variabel, X, er binomialfordelt med X ∼ b(5, 1 3).

a. Bestem P(X = 2).

b. Bestem P(X ≤ 3).

c. Tegn et søjlediagram over sandsynlighedsfordelingen for X.

d. Bestem middelværdien af X.

e. Bestem spredningen af X.

Opgave 517

En 4-sidet terning kastes 20 gange. Den stokastiske variabel X betegner antal 1’ere.

a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren og sandsynlighedsparameteren.

b. Bestem sandsynligheden for at få præcis fem 1’ere.

c. Bestem middelværdien af X

d. Bestem det mest sandsynlige antal 1'ere at få.

Opgave 518

Afgør, om følgende er binomialeksperimenter:

a. Kast 4 gange med to 6-sidede terninger, idet vi registrerer summen af øjnene.

b. Kast 5 gange med en mønt, idet vi registrerer antal plat.

c. Drej 6 gange på et lykkehjul, idet man enten får gevinst eller nitte.

d. Kast en 8-sidet terning tre gange, idet vi registrerer antal 5’ere.

Opgave 519

10% af verdens befolkning er venstrehåndede. Vi udtager en stikprøve på 1000 personer. X betegner antallet af venstrehåndede i stikprøven.

a. Gør rede for, at X er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren og sandsynlighedsparameteren.

b. Bestem middelværdien af X.

c. Bestem sandsynligheden for, at der er mindst 110 venstrehåndede i stikprøven.

d. Bestem sandsynligheden for, at der er højst 70 venstrehåndede i stikprøven.

Opgave 520

Ved import af en bestemt type eksotisk frugt må man påregne et ret stort spild, da mange af frugterne er blevet stødt, har fået kulde eller er angrebet af skadedyr undervejs.

En tommelfingerregel siger, at 15 % af frugterne må kasseres.

Ud af et nyt parti med et meget stort antal frugter, flere millioner, udtager importøren en stikprøve på 10 frugter.

a. Gør rede for, at det er rimeligt at bruge en binomialmodel til at beskrive denne stikprøveudtagning.

b. Bestem sandsynligheden for, at der er to frugter i stikprøven, som skal kasseres.

Opgave 521

44 % af danskere har blodtype A, og 10% har blodtype B.

Et eksperiment går ud på at bestemme blodtypen på 10 mennesker. Vi indfører en stokastisk variabel, der tæller antal med blodtype B.

a. Bestem sandsynligheden for basishændelsen i eksperimentet.

b. Bestem sandsynligheden for, at der blandt 10 adspurgte er netop 2 med blodtype B.

Opgave 522

En stokastisk variabel, X, er binomialfordelt med X ∼ b(10, 1 3). Bestem nedenstående sandsynligheder ved hjælp af formlen for punktsandsynligheder af en binomialfordelt stokastisk variabel.

a. P(X = 1)

b. P(X = 3)

Opgave 523

På en restaurant kan man vælge imellem 3 forretter og 5 hovedretter.

a. Hvor mange menuer kan man sammensætte, hvis man både skal have en forret og en hovedret?

Opgave 524

a. Bestem, hvor mange forskellige nummerplader man kan lave, hvis nummerpladen skal bestå af 2 bogstaver (kun 25 forskellige bogstaver er tilladt).

b. Bestem, hvor mange forskellige nummerplader man kan lave, hvis nummerpladen skal bestå af 2 bogstaver (kun 25 forskellige bogstaver er tilladt) og 2 cifre (mellem 0 og 9).

Opgave 525

Blandt fem personer, A, B, C, D og E, skal vælges to personer.

a. Skriv alle mulighederne op.

b. Bestem antal måder ved brug af CAS.

Opgave 526

Der kastes tre gange med en skæv mønt, der viser plat (p) 40% af gangene og krone (k) 60% af gangene.

a. Skriv udfaldsrummet op.

b. Brug kombinatorik til at bestemme det samlede antal udfald, og kontrollér, at du har alle med i spørgsmål a.

c. Bestem sandsynligheden for at få ppp.

d. Bestem sandsynligheden for at få kkk.

e. Hvor mange udfald er der i hændelsen ”to p og en k”?

Opgave 527

Vi betragter et eksperiment, hvor der kastes med to 6-sidede terninger. Vi indfører en stokastisk variabel, X, der angiver summen af antal øjne i et kast med de to terninger.

a. Bestem de værdier, som X kan antage.

b. Bestem sandsynligheden P(X = 2).

c. Bestem sandsynligheden P(X = 3).

Træning 5

Vedligeholdelse af regnefærdigheder

Regnearternes hierarki

Parenteser: (a + b)

Potenser og rødder: ba , b a

Multiplikation og division: a · b, a b , a : b

Addition og subtraktion: a + b, a – b

Eksempel:

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Vi vil beregne værdien af udtrykket ()⋅− + 2 2 3 5316 . Ifølge regnearternes hierarki skal vi begynde med udtrykket i parentesen. I parentesen står to led. Det ene er en rod, så det skal vi beregne først. Parentesen bliver altså til: () + 2 316 = −= (34)(1). Nu kan vi regne videre på resten. Først potenserne, så produktet og til sidst summen:

+=⋅−=+⋅+=22(1)25 531253328

Det hele kan også samles til én beregning:

52 + 3 · () + 2 316 + ⋅− =⋅−=⋅−=+⋅=+= + 2222 (34)5 5(1)25312533 3 28

Husk, at rodtegn og brøker også tæller som parenteser. Eksempelvis: + == 538 22 4 og −== 12393

1. Udregn:

a. 4 + 10 · 7

b. 8 · 3 – 5

c. (2 – 7) · 25

d. 24 · (2 – 4)

Kvartilsæt og outliers

2. Udregn: a. ⋅ 516

b. 925

c. (3 + 4)2

d. (9 – 5)3

3. Udregn:

a. + 409

b. 10019

c. ()5 165100

d. ()3 5 4

4. Udregn:

a. + + 10050 28

b. 1050 255

c. ++ + 22 6810 97

For et observationssæt med kvartilsættet (Q1, m, Q3) er observationssættets kvartilbredde, KB, givet ved KB = Q3 – Q1

En outlier er en observation, der enten ligger mere end 1,5 gange kvartilbredden under første kvartil eller mere end 1,5 gange kvartilbredden over tredje kvartil. Det vil sige, at en observation, x0, er en outlier, såfremt x0 < Q1 – 1,5 · KB eller x0 > Q3 + 1,5 · KB

5. I en undersøgelse af hundes aldre fandt man frem til følgende udvidede kvartilsæt: (2,4,6,7,16).

a. Afgør, om den laveste alder er en outlier.

b. Afgør, om den højeste alder er en outlier.

6. I en undersøgelse af 10 gulerødders længde (målt i cm) fandt man frem til følgende længder: 4, 4, 6, 7, 9, 9, 9, 10, 17, 21

a. Bestem kvartilsættet og kvartilbredden i undersøgelsen.

b. Angiv eventuelle outliers i undersøgelsen.

Ligninger

7. Løs følgende ligninger uden

brug af CAS:

a. 5x + 12 = 32

b. 2x – 25 = 8

c. 5x + 8 = 3x – 2

d. 2x + 4 = –3x + 29

At gøre prøve

Eksempel:

8. Løs følgende ligninger uden brug af CAS:

a. 2 · (x + 6) = 4

b. 25 = 5(x + 7)

c. 3(x + 4) = –3x – 6

d. 4(x – 4) + x = 9

9. Løs følgende andengradsligninger uden brug af CAS:

a. x 2 + 8x + 16 = 0

b. 3x 2 – 3x – 6 = 0

c. x 2 + 6x + 5 = 0

d. x 2 + 8x – 20 = 0

Vi vil undersøge, om x = 2 er løsning til tredjegradsligningen x 3 + 9x 2 + 2x – 48 = 0. Det gør vi ved at gøre prøve, altså at indsætte den oplyste løsning i ligningen og kontrollere, om vi får et sandt udsagn:

23 + 9 · 22 + 2 · 2 – 48 = 0

8 + 9 · 4 + 4 – 48 = 0

8 + 36 + 4 – 48 = 0 0 = 0

Vi har vist, at x = 2 er en løsning, idet udsagnet 0 = 0 er sandt.

Hvad med x = 1, er det også en løsning til ligningen x 3 + 9x 2 + 2x – 48 = 0? Vi gør prøve på samme måde som før:

13 + 9 · 12 + 2 · 1 – 48 = 0

1 + 9 · 1 + 2 – 48 = 0

1 + 9 + 2 – 48 = 0 –36 = 0

Idet udsagnet –36 = 0 ikke er sandt, har vi vist, at x = 1 ikke er en løsning til ligningen.

10. Undersøg ved at gøre prøve, hvilke af nedendestående tal der er løsninger til ligningen

x 3 + 9x 2 + 6x – 16 = 0.

a. x = 0

b. x = 1

c. x = 2

d. x = –2

13. Besvar følgende spørgsmål:

11. Undersøg ved at gøre prøve, hvilke af nedendestående tal der er løsninger til ligningen

x 4 + 4x 3 – 7x 2 –10x = 0.

a. x = 0

b. x = 1

c. x = 2

d. x = –2

a. Bestem tallet k, så x = 4 er løsning til ligningen k · x – 10 = 10.

12. Løs nedenstående ligninger med CAS. Vær sikker på, at du får alle løsninger med.

a. 2x 3 + 8x 2 – 14x – 20 = 0

b. x 4 + 11x 3 + 14x 2 –80x = 0

c. x 5 + 24x 4 + 171x 3 + 284x 2 – 480x = 0

d. x 5 – 5x

b. Bestem tallet k, så x = 5 er en løsning til ligningen x 2 + k · x – 10 = 0.

c. Bestem tallet k, så x = 2 er en løsning til ligningen 2 k x = 1 + x 3

Træning 5 (fortsat)

Reduktion

Husk, at du ikke må sammenblande de forskellige variable som a, b, a 2 og så videre.

At gange ind i en parentes: a (b + c) = a b + a c

Kvadrat på en sum (1. kvadratsætning): (a + b)2 = a 2 + b2 + 2ab

Kvadrat på en differens (2. kvadratsætning): (a – b)2 = a 2 + b2 – 2ab

To tals sum gange de samme to tals differens (3. kvadratsætning): (a + b) · (a – b) = a 2 – b2

Eksempel: ( )() 22 2 2222 22224445 xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy −−=+−⋅⋅−=+−−=+− () 222222222 2()22222222224 abaababaabababab +−=++−=⋅+⋅+⋅−=+

14. Reducér mest muligt:

a. 5(2 + 3x) – 10x

b. x 2 + 5x – (2x 2 – 3x) + 12

c. (3x – 4x 2) · 3 – (8x 2 + x + 1)

17. Reducér mest muligt:

a. 3x + 4y –2x + 3x 2 – y

b. p(q – 3p) – 5p 2 + 2pq

c. 8b – ba + 3(2 – b + ba)

d. (5 – 2t) · 3 + 6t

15. Reducér mest muligt:

a. (a + 2b) · (b – 3)

b. (1 + a) · (3a – 5) – a 2

c. 7b + (2a – b) · (4b – a)

18. Reducér mest muligt:

a. (p + q)2 – pq

b. 2a 2 + (2a – 5)2

c. (5x + 2y)2 – x 2 – 20xy

d. (t – 2s) · (t + 2s) + 4s 2

Eksempel: 222222 222 11 aabaababb aaaaaa +⋅⋅⋅ =+=+=+ 2929 2424 95 4 44 22 212 xyxy xyxy yy=⋅⋅=⋅⋅=

20. Reducér mest muligt:

a. 5 6 3 x x

b. 5 410 8 10 5 st st

c. 1 2 5 1500 500 pq pq

d. 37 53 2 ab ab

21. Reducér mest muligt:

a. ab a +

b. 222 2 84 2 xyx x +

c. 2 ()pqp p + d. 322 2 105 5 stst st

16. Reducér mest muligt:

a. (a + b)2 – 2ab

b. (2p – q)2 + q 2 – 5p 2

c. 3q – (p – q)2

19. Reducér mest muligt:

a. 5(s – t)2

b. 2(p – 2q)2 – 2p 2

c. 3(a – b) · (a + b) – a 2 + 2b2

d. 2xy + 4(y – 3x)2 + y 2

f(x)-notation

Eksempel:

For funktionen f med forskriften f(x) = x 2 – 1 beregnes funktionsværdien f(3) ved indsættelse:

f(3) = 32 – 1 = 9 – 1 = 8

22. Lad funktionen f være givet ved f(x) = 3x – 2. Beregn følgende funktionsværdier uden

CAS:

a. f(1)

b. f(5)

c. f(–2)

d. f(0)

Funktion og afledet funktion

Eksempel:

23. Lad funktionen g være givet ved g(x) = 3 · x 2. Beregn følgende funktionsværdier uden

CAS:

a. g(1)

b. g(2)

c. g(–1)

d. g(5)

24. Lad funktionen h være givet ved h(x) = 2 · (x– 3)2. Beregn følgende funktionsværdier

uden

CAS:

a. h(0)

b. h(1)

c. h(3)

d. h(–3)

I koordinatsystemet er tegnet grafen for f og for den afledede funktion f ′ .

Den afledede funktion f ′ angiver hældningen for f. Så når f eksempelvis er voksende, er f ′ positiv, og hvor f har vandret tangent, er f ′ lig med nul.

På denne måde kan vi se, at B må være graf for f, og A må være graf for f

25. I hvert koordinatsystem er tegnet to grafer. En for f og en for den afledede funktion f ′ . For hver figur skal du afgøre, hvilken der er grafen for f, og hvilken der er grafen for f ′ a. b. c.

26. Ved hvert delspørgsmål ses en tallinje, der angiver nulpunkter og fortegn for den afledede funktion f ′ .

Tegn i hvert tilfælde en mulig graf for funktionen f.

6. Binomialtest

6.1Ermøntenærlig?

1 Introduktion

En bestemt mønt testes for, om den er ærlig. Der laves en stikprøve, hvor mønten kastes 100 gange. I stikprøven lander mønten på plat 38 gange.

De 38 gange ud af 100 virker en smule lavt – er der grund til at mistænke, at mønten ikke er ærlig? Lad os se på, hvordan situationen ser ud, hvis vi antager at mønten er ærlig.

2 Sandsynlighedsfordelingen, under antagelse af at mønten er ærlig

Vi indfører en stokastisk variabel, X, der tæller antal plat i 100 kast.

Med antagelsen om, at mønten er ærlig, vil X være binomialfordelt med 1 2 100, Xb    , fordi:

• der er 100 uafhængige gentagelser af

prx.dk/358ek

prx.dk/x25tb

For en binomialfordelt stokastisk variabel med middelværdien µ er det mest sandsynlige udfald af binomialeksperimentet lig med µ, hvis denne er et helt tal, og ellers er det en af de to heltallige naboer til µ

• basiseksperimentet ”kast en mønt” med to udfald, hvor succes er plat, og fiasko er ”ikke plat”, og hvor der ved hver gentagelse er samme sandsynlighed, 1 2 p = , for succes.

I søjlediagrammet vises sandsynlighedsfordelingen for X

X kan antage værdier fra 0 til 100, men vi ser, at der er stor sandsynlighed for, at X vil ligge mellem 40 og 60.

3 Udfaldenes tilfældige variationer og signifikante afvigelser

I søjlediagrammet ses det, at de mest sandsynlige værdier af X ligger tæt på 50, som er middelværdien, µ, af X:

µ = n · p= 100 · 0,5 = 50

Lad os prøve at beregne, hvor stor sandsynligheden er for at få mellem 45 og 55 plat – altså middelværdien plus/minus 5. Den sandsynlighed finder vi ved at beregne P(45 ≤ X ≤ 55). Med CAS får vi:

P(45 ≤ X ≤ 55) = 0,729 = 72,9 %

Sandsynligheden for at få færre end 45 plat eller flere end 55 plat er dermed:

1 – P(45 ≤ X ≤ 55) = 1 – 0,729 = 0,271 = 27,1 %.

En sandsynlighed på cirka 27 % er ikke specielt lav, eller med andre ord: Det er ikke usandsynligt at få færre end 45 eller flere end 55 plat, hvis ellers mønten er ærlig.

Vi vælger nu en nedre grænse for, hvornår vi betragter det som usandsynligt, at et udfald af et binomialeksperiment tilsvarende stikprøven skyldes tilfældigheder.

Grænsen sætter vi til 5 %, og det er således vores grænse mellem, hvad vi betragter som tilfældige afvigelser, og hvad vi betragter som signifikanteafvigelser.

Det betyder i praksis, at vi accepterer de ’midterste 95 %’ som tilfældige afvigelser og dermed acceptable værdier. I modsætning hertil kaldes de værdier af X, der ligger i intervallet svarende til de valgte 5 %, kritiske værdier.

4 Bestemmelse af de kritiske værdier

De kritiske værdier bestemmes ved at finde de 2,5 % yderste (mest usandsynlige) værdier af X på hver side af søjlediagrammet. Vi prøver os frem i venstre side og finder:

P(X ≤ 38) = 1,0 % , P(X ≤ 39) = 1,8 % og P(X ≤ 40) = 2,8 %

Vi vælger X ≤ 39, da vi ellers kommmer over 2,5 %. På tilsvarende vis prøver vi os også frem i højre side af søjlediagrammet. Her får vi:

P(X ≥ 59) = 4,4 % , P(X ≥ 60) = 2,8 % og P(X ≥ 61) = 1,8 %

Her vælger vi den sidste, hvor X ≥ 61, da vi ellers kommer over 2,5%.

Mængden, der udgøres af de kritiske værdier, kaldes det kritiske område, K. Den er markeret med orange på figuren, og den er

K = {0, 1, 2, . . . , 38, 39, 61, 62, 63, . . . , 99, 100}

Mængden, der udgøres af de acceptable værdier, kaldes acceptområdet, A, og den er markeret med blåt på figuren.

A = {40, 41, 42, . . . , 58, 59, 60}

I stikprøven landede mønten på plat 38 gange. Dette tal ligger i det kritiske område, og vi vurderer derfor, at det er usandsynligt, at mønten er ærlig.

5 Øvelse

Spillerne afprøver en ny mønt, denne gang i en stikprøve på 50 kast. Igen er antagelsen, at mønten er ærlig. Denne nye mønt lander på plat 29 gange.

a. Bestem det kritiske område, K, og acceptområdet, A, hørende til stikprøven. Grænsen for, hvornår afvigelsen betragtes som signifikant, sættes til 5 %.

b. Afgør, hvilket af de to områder resultatet fra stikprøven ligger i, og gør rede for, om mønten er ærlig eller ej, baseret på stikprøven.

6 Øvelse

I et bestemt lotteri lover spiludbyderen, at der er 20 % chance for gevinst. I en stikprøve udtrækkes 100 lodder, og det viser sig, at der er gevinst på 14 af dem.

a. Gør rede for, at den stokastiske variabel X, der betegner antal gevinster, er binomialfordelt, og bestem antalsparameteren, n, og sandsynlighedsparameteren, p.

b. Er spiludbyderens påstand troværdig, baseret på stikprøven? Sæt grænsen for, hvornår afvigelsen betragtes som signifikant, til 5 %.

En signifikant afvigelse er en afvigelse, som er for stor til, at vi vurderer den skyldes tilfældigheder.

6.2Binomialtest

7 Introduktion

En slikfabrikant har indstillet produktionsapparatet, så andelen af gule pastiller er 20%. Hun vil undersøge, om dette overholdes.

Hendes hypotese (formodning) er, at andelen af gule pastiller, ud af de mange millioner producerede pastiller, er 20 %.

Hun tester sin hypotese ved at udtage en tilfældig stikprøve med 300 pastiller. I stikprøven finder hun 71 gule pastiller, men 20 % af 300 er kun 60. Skal hun forkaste sin hypotese eller ej?

En population er den mængde, man undersøger (en befolkningsgruppe, en samling skruer, insekter eller et uendeligt antal kast med en terning).

Signifikansniveauet er sandsynligheden for at forkaste en nulhypotese, som faktisk er sand.

Signifikansniveauet vælges normalt til 5% eller 1%.

prx.dk/jnrzz

8 Binomialtestets setup

Grundlaget for et binomialtest er en hypotese om, at en vis andel, p0, af en population har en bestemt egenskab. Hypotesen kaldes nulhypotesen og betegnes H0. Dette angives ofte

H0: p = p0

Foruden nulhypotesen vælges en grænse for, hvor usandsynlige udfald man vil tolerere og stadig tro på, at nulhypotesen holder. Grænsen kaldes signifikansniveauet, og det fastsætter acceptområdet og det kritiske område for testet.

Der udtages så en stikprøve fra populationen. I stikprøven tæller man, hvor mange der har den givne egenskab. Hvis antallet i stikprøven ligger i acceptområdet, accepteres nulhypotesen. Og hvis antallet ligger i det kritiske område, forkastes nulhypotesen.

Forkastes nulhypotesen, må man acceptere den alternative hypotese, H1: Andelen i populationen er forskellig fra p0: H1: p ≠ p0

Der findes flere typer af binomialtest, som minder meget om hinanden. Skal man være helt præcis, kaldes metoden, som er beskrevet ovenfor, et tosidet binomialtest

9 Eksempel

Man må ikke skrive ”H0: Der er cirka 20 % gule pastiller”, for det er ikke klart, hvad der menes med ”cirka 20 %”. I stedet skriver vi ”H0: Andelen af gule pastiller er 20 %”. Den alternative hypotese, H1, er dermed: ”H1: Andelen af gule pastiller er forskellig fra 20 %”.

10 Signifikansniveau

Man kan ikke bare sætte signifikansniveauet ned til 0 % for at være sikker på, at man ikke forkaster en nulhypotese, der faktisk er sand. Årsagen er, at så vil der ikke være nogen udfald overhovedet, som giver anledning til, at nulhypotesen forkastes, og derved giver testet slet ikke mening.

Vi ser nærmere på denne problemstilling i et senere afsnit.

11 Binomialtest af slikmaskinens indstilling

Vi arbejder videre med slikfabrikantens hypotese og tester nu denne i et binomialtest.

Populationen er de mange millioner pastiller, maskinen producerer. Stikprøven på 300 pastiller er udtaget, så den repræsenterer hele produktionsmængden. Vi sætter signifikansniveauet til 5 %, og nulhypotesen kender vi allerede.

Hvis vi antager, at nulhypotesen er sand, vil den stokastiske variabel X, der betegner antallet af gule pastiller i en stikprøve på 300 pastiller, være binomialfordelt med X ∼ b(300, 0.2).

Vi vil beregne det kritiske område givet signifikansniveauet på 5 %. Det gør vi på samme måde, som vi gjorde i forrige afsnit. I venstre side prøver vi os frem og får:

P(X ≤ 45) = 1,6 % , P(X ≤ 46) = 2,3 % og P(X ≤ 47) = 3,3 %

Vi vælger X ≤ 46, da det er den største værdi af X i venstre side, hvor vi ikke kommer over 2,5 %. I højre side prøver vi os også frem og finder:

P(X ≥ 73) = 3,8 % , P(X ≥ 74) = 2,8 % og P(X ≥ 75) = 2,0 %

Her vælger vi X ≥ 75, som er den mindste værdi af Xihøjreside, hvor vi ikke kommer over 2,5 %. Det kritiske område, K, er {0, 1, . . . , 45, 46, 75, 76, . . . , 299, 300}, og acceptområdet, A, er {47, 48, . . . , 73, 74}

Sandsynlighedsfordelingen for X med de to områder markeret ses herunder.

En stikprøve skal udtages, så den repræsenterer populationen bedst muligt. Se mere om dette i kapitlets sidste afsnit.

0,04

0,02 y

Da der blev fundet 71 gule pastiller, og 71 ligger i acceptområdet, forkastes nulhypotesen derfor ikke på det givne signifikansniveau: Vi har ikke belæg for at påstå, at maskinen ikke fungerer, som den skal.

12 Øvelse

a. Benyt dit CAS-værktøj til at beregne de kumulerede sandsynligheder ovenfor, og eftervis på den måde, at værdierne i det kritiske område er korrekte.

13 Øvelse

Maskinen producerer også blå pastiller, og slikfabrikanten har indstillet maskinen således, at 30 % af pastillerne skal være blå. Hun vil også undersøge, om dette overholdes.

a. Opstil en relevant nulhypotese, som slikfabrikanten kan bruge i sin undersøgelse.

Hun udtager en stikprøve på 200 pastiller, og i denne stikprøve er 43 af pastillerne blå.

b. Gennemfør på baggrund af stikprøven et binomialtest på et 5 % signifikansniveau, og formulér på baggrund af testet et svar til slikfabrikanten.

6.3 p-værdi

14 Introduktion

Ifølge en artikel vælger 25 % at undgå at spise kød én dag om ugen. For at undersøge påstanden har nogle elever lavet en undersøgelse blandt 220 tilfældigt udvalgte personer. Her fandt de, at 47 personer i stikprøven havde én kødfri dag om ugen.

I dette afsnit viser vi en lidt anden metode til at udføre et binomialtest, end når man ser på, om antallet af succeser i en stikprøve ligger i det kritiske område.

15 Eksempel

Eleverne vil på et 5 % signifikansniveau undersøge, om nulhypotesen

H0: Andelen, der har én kødfri dag om ugen, er 25 %. skal forkastes. Hvis den skal det, må de acceptere den alternative hypotese

prx.dk/q86ww

p-værdienmåikke forvekslesmedbasissandsynligheden, p,i etbinomialtest.Deter tovidtforskelligeting.

H1: Andelen, der har én kødfri dag om ugen, er forskellig fra 25 %.

Lad den stokastiske variabel X betegne antallet af personer i en stikprøve på 220 personer, der har én kødfri dag om ugen.

Hvis nulhypotesen er sand, er X binomialfordelt med antalsparameteren n = 220 og sandsynlighedsparameteren p = 25 % = 0,25.

I søjlediagrammet ses sandsynlighedsfordelingen for X. Middelværdien, µ, af X er µ = 220 · 0,25 = 55.

I stikprøven blev der observeret 47 personer, som havde én kødfri dag om ugen. Forskellen mellem middelværdien og vores observation er 55 – 47 = 8.

Er dette en stor forskel? Er den kritisk for nulhypotesen? I stedet for at beregne det kritiske område vil vi i dette afsnit beregne sandsynligheden for at få et udfald, der er mindst lige så langt væk fra middelværdien som det observerede. Denne sandsynlighed kaldes p-værdien

16 p-værdien i et binomialtest

Sandsynligheden for at få en observation, der er mindst lige så kritisk for nulhypotesen som det observerede, kaldes p-værdien

Nulhypotesen i et binomialtest skal forkastes, hvis p-værdien er mindre end eller lig med signifikansniveauet.

17 Beregning af p-værdi og konklusion på test

Vi arbejder videre med elevernes undersøgelse: Først finder eleverne de værdier af X på begge sider af middelværdien, der ligger mindst lige så langt fra denne, som deres observation gjorde.

De værdier, som ligger 8 fra middelværdien, er 55 – 8 = 47 og 55 + 8 = 63. De observationer, der ligger mindst lige så langt væk fra middelværdien, som den observation, eleverne fandt, bliver dermed {0, 1, 2, . . . , 47} og {63, 64, . . . , 220}.

Vi beregner sandsynlighederne for at få et af disse udfald:

P(0 ≤ X ≤ 47) = 12,0 % og P(63 ≤ X ≤ 220) = 12,2 %

Summen af disse to sandsynligheder er 24,2 %. Dette tal er testets p-værdi. Idet p-værdien er større end signifikansniveauet på 5 %, konkluderer eleverne, at nulhypotesen ikke kan forkastes.

18 Eksempel

I en spørgeskemaundersøgelse svarer 240 ud af 1024 adspurgte, at de ville stemme på partiet W, hvis der var valg i morgen.

Ved sidste folketingsvalg fik partiet 20 % af stemmerne. Er der grund til at tro, at vælgertilslutningen til partiet har ændret sig?

Firmaet bag undersøgelsen har på forhånd valgt et 5 % signifikansniveau. Nulhypotesen er, at vælgertilslutningen ikke har ændret sig, altså: H0: p = 0,20.

Lad den stokastiske variabel X betegne antallet af personer i undersøgelsen, der vil stemme på W, hvis der var valg i morgen.

Hvis nulhypotesen er sand, er X binomialfordelt med X ∼ b(1024, 0.20), og X har middelværdien µ = 1024 · 0,20 = 204,8.

Forskellen mellem µ og den observerede værdi er 240 – 204,8 = 35,2.

De udfald, der ligger mindst lige så langt væk fra middelværdien som det observerede udfald, er dem, som er 240 eller større, samt de udfald, som er mindre end eller lig med 204,8 – 35,2 = 196,6. Et konkret udfald kan dog kun være et heltal, så den nederste del udgøres af udfaldene {0, 1, 2, . . . , 196}.

19 Øvelse

a. Beregn p-værdien hørende til eksempel 18, og konkludér på testet.

20 Øvelse

Du har mistanke om, at en bestemt 6-sidet terning er skæv, så du beslutter dig for at udføre et binomialtest for at undersøge din mistanke.

Din nulhypotese er, at terningen ikke er skæv, altså at terningen er ærlig, og du undersøger den ved at kaste terningen 100 gange. Her slår du en 1’er 26 gange.

Lad den stokastiske variabel X betegne antallet af 1’ere i 100 kast.

a. Bestem p-værdien hørende til binomialtestet, og konkludér på testet ud fra p-værdien.

Nulhypotesen skal være, at vælgertilslutningen ikke har ændret sig. På den måde har firmaet nemlig en konkret basissandsynlighed at teste op imod.

6.4 Estimation af basissandsynlighed, bias og konfundering

21 Introduktion

Analysefirmaet YouGov* undersøgte i 2017 danskernes holdning til sommertid. De udvalgte en repræsentativ stikprøve på 1009 personer og bad dem om at svare ”ja”, ”nej” eller ”ved ikke” til spørgsmålet: ”Vil du gerne slippe af med sommertid?” 356 svarede ”ja”.

356 ud af 1009 er 35%. Kan vi konkludere, at 35% af hele Danmarks befolkning mener det samme?

22 Eksempel

Undersøgelsen af holdningen til sommertid kan opfattes som et binomialeksperiment, fordi vi har:

• 1009 uafhængige gentagelser af

• et basiseksperiment med to udfald, idet svaret ”ja” betragtes som succes, mens svarene ”nej” og ”ved ikke” betragtes som fiasko, og hvor der i hver gentagelse er den samme ukendte sandsynlighed p for succes. p er andelen af alle i Danmark, som gerne vil slippe af med sommertid.

23 Estimation af basissandsynlighed

prx.dk/xsfx5

Jeggårtypiskiseng:

A.førklokken22.

B.mellem22og24.

C.efterklokken24.

Fokuserermanienmeningsmålingpåkunétafdemuligesvar, kanmeningsmålingenopfattes sometbinomialeksperiment. * Se referencen på s. 169

De 35%, der svarede ”ja” i introduktionen, kaldes stikprøveandelen og betegnes med pˆ. Stikprøveandelen, pˆ, er vores gæt på den rigtige basissandsynlighed, p. Man siger, at pˆ er et skøn eller et estimat for p.

Generelt beregnes estimatet, pˆ, af basissandsynligheden ud fra en stikprøve ved antalsucceseristikprøven stikprøvensstørrelse = pˆ

24 Eksempel

En gruppe elever vil gerne undersøge deres medstuderendes søvnvaner. De udvælger en stikprøve på 189 tilfældigt udvalgte elever på skolen, som de hver beder om at sætte ét kryds i et skema, som det, der ses i margenen.

23 sætter kryds ved ”A”, 93 sætter kryds ved ”B”, og de sidste 73 sætter kryds ved ”C”.

Stikprøveandelen for svaret ”A” er: 23

Stikprøveandelen for svaret ”B”

Stikprøveandelen for svaret ”C”

0,122 = 12,2 %

I et statistisk test er det vigtigt, at stikprøven udtages, så den repræsenterer populationens forskellighed (alder, køn, familiesituation, beskæftigelsessituation, boligsituation, landsdel og så videre). Endvidere skal man være påpasselig med ikke at fejltolke, når der konkluderes.

25 Bias og konfundering

Bias kaldes også en systematisk fejl og er en fejl i indsamlingen af data, der gør, at stikprøven ikke er repræsentativ for populationen.

Konfundering kaldes også skjult variabel og betegner en tredje variabel, som i virkeligheden forklarer en sammenhæng mellem to andre variable.

26 Eksempel

Hvis vi kun bruger sociale medier i dataindsamlingen til en undersøgelse af hele befolkningen, så får vi ingen information om dem, der ikke har en konto på sociale medier. Vi har dermed begået en systematiskfejl.

Konkluderer vi, at det er sundt for øjnene at spille computer, fordi andelen, som bruger læsebriller, er lavere blandt gamere end i resten af befolkningen, har vi begået en konfunderingsfejl, fordi den forklarende skjultevariabel er, at der er flere yngre personer blandt gamere end i resten af befolkningen.

27 Signifikansniveau og fejltyper

Når vi konkluderer på et statistisk test, er der risiko for at begå to typer fejl. Det er der også, når en dom afsiges ved en domstol. Vi kan forkaste noget sandt, eller vi kan undlade at forkaste noget falsk.

Sand (uskyldig)Falsk (skyldig)

Forkastes ikke (frikendes) KorrektFejl (type 2)

Forkastes (dømmes) Fejl (type 1)Korrekt

Signifikansniveauet er risikoen for at komme til at forkaste en nulhypotese, som faktisk er rigtig. Som tidligere nævnt kan vi ikke blot sætte det til 0% for at undgå at forkaste noget, der er rigtigt. Problemet er nemlig, at så indeholder det kritiske område ingen tal, og så skal vi acceptere alt – også det, som er forkert, hvorved vi begår en fejl af type 2.

28 Øvelse

Et analysefirma stiller sig op ved en togstation og spørger 1000 tilfældige mennesker om, hvad de ville stemme, hvis der var valg i morgen. Firmaet vil gerne udtale sig om alle stemmeberettigede i Danmark.

a. Hvad er populationen, og hvad er stikprøven i undersøgelsen?

b. Er det rimeligt at antage, at stikprøven er repræsentativ for populationen?

prx.dk/xcb5x

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Opgave 601

En stokastisk variabel, X, er binomialfordelt med antalsparameter n = 100 og sandsynlighedsparameter p = 0,2.

a. Bestem middelværdien, µ, af X.

b. Bestem sandsynligheden for at få udfaldet X = 25.

c. Bestem P(X ≤ 15).

d. Bestem de 2,5 % yderste udfald i begge sider af sandsynlighedsfordelingen for X.

Opgave 602

En stokastisk variabel, X, er binomialfordelt med antalsparameter n = 75 og sandsynlighedsparameter p = 0,9.

a. Bestem middelværdien, µ, af X.

b. Bestem de 2,5 % yderste udfald i begge sider af sandsynlighedsfordelingen for X.

Opgave 603

En gruppe fodboldspillere vil teste, om en mønt er ærlig. De kaster mønten 200 gange og får plat 115 gange. Deres hypotese er, at mønten ér ærlig.

a. Gør rede for, at den stokastiske variabel X, der tæller antallet af plat i 200 kast, er binomialfordelt.

b. Bestem, under antagelse af at mønten er ærlig, middelværdien af X

c. Bestem det kritiske område, når signifikansniveauet sættes til 5 %.

d. Gør rede for, om hypotesen, at mønten er ærlig, skal forkastes eller ej.

Opgave 604

Et spillefirma bruger et lykkehjul til at afgøre, om en spiller vinder eller ej. Hjulet har to felter, som kaldes A og B. Hvis hjulet lander på A, vinder man, hvis det lander på B, taber man.

Firmaet påstår, at der er 30 % chance for at vinde.

Hjulet spinnes 145 gange, og det noteres, hvor mange gange det lander på A.

a. Gør rede for, at den stokastiske variabel X, der betegner antallet af gange, hjulet lander på A i 145 spin, er binomialfordelt, under antagelse af at firmaets påstand er korrekt. Angiv antalsparameteren, n, og sandsynlighedsparameteren, p.

b. Bestem, under antagelse af at firmaet har ret, middelværdien, µ, af X

c. Bestem det kritiske område, når signifikansniveauet sættes til 5 %.

Ud af de 145 spin lander hjulet på A 37 gange.

d. Gør rede for, om hypotesen ”hjulet giver gevinst 30 % af gangene” skal forkastes eller ej på et 5 % signifikansniveau.

Opgave 605

Et spillefirma sælger lodsedler og påstår, at der er gevinst på hvert fjerde lod.

En spiller køber 60 lodsedler.

a. Gør rede for, at den stokastiske variabel X, der betegner antallet af vinderlodsedler ud af 60 købte, er binomialfordelt, under antagelse af at firmaets påstand er korrekt.

Ud af de 60 lodsedler viser det sig, at der er gevinst på 10. Spilleren vil gerne undersøge, om det passer med, at firmaet påstår, der er gevinst på mindst hvert fjerde lod.

b. Opstil en nulhypotese, der kan bruges til at undersøge påstanden. Opstil også den tilhørende alternative hypotese.

c. Bestem det kritiske område hørende til et binomialtest af påstanden på baggrund af købet af de 60 lodsedler.

e. Bestem p-værdien for testet på baggrund af de 10 gevinster.

f. Kan vi forkaste nulhypotesen?

g. Skriv en konklusion på din undersøgelse.

Formulér konklusionen, så den udtaler sig om casen, altså om spillefirmaet og lodsedlerne.

Opgave 606

Ifølge en artikel tror hver 10. på engle. Nogle gymnasieelever beslutter sig for at teste påstanden ved at udføre et binomialtest på baggrund af en spørgeskemaundersøgelse.

De spørger 185 tilfældigt udvalgte personer, og ud af dem svarer 15, at de tror på engle.

a. Opstil en nulhypotese, der kan bruges til at undersøge påstanden. Opstil også den tilhørende alternative hypotese.

b. Bestem p-værdien for testet, og afgør, om nulhypotesen kan forkastes, når signifikansniveauet sættes til 5 %.

Opgave 607

Et dagblad har overskriften ”20 % bruger cykelhjelm i Københavns morgentrafik”. Vi ønsker at undersøge påstanden.

Vi stiller os ved en befærdet vej i København en onsdag morgen og tæller cyklister. Vi undersøger i alt 538 cyklister.

a. Opstil en nulhypotese, der kan bruges til at undersøge påstanden. Opstil også den tilhørende alternative hypotese.

b. Gør rede for, at følgende påstand er korrekt: Hvis nulhypotesen er sand, kan antallet af cyklister med cykelhjelm ud af de 538 beskrives med en binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameter n = 538 og sandsynlighedsparameter p = 0,2.

Ud af 538 cyklister brugte 130 cykelhjelm.

c. Bestem p-værdien hørende til testet, og afgør, om man med et signifikansniveau på 5 % bør forkaste nulhypotesen.

Opgave 608

En gruppe elever ønsker at undersøge nulhypotesen ”10 % af verdens befolkning er venstrehåndede”.

Der udtages en stikprøve på 179 personer. Det antages, at antallet af venstrehåndede i stikprøven er binomialfordelt med antalsparameter 179 og sandsynlighedsparameter 0,1.

Det viser sig, at der er 20 venstrehåndede i stikprøven.

a. Undersøg, om man med et signifikansniveau på 5 % kan forkaste nulhypotesen.

Opgave 609

Hvorfinderduoftestinspirationtil aftensmaden?

•Ibutikker 196

•Iugebladeogmagasiner 215

•Ikogebøger 274

•Iapps 59

•Påinternettet 1096

•Andet 117

En dagligvarekæde stiller på deres hjemmeside spørgsmålet ”Hvor finder du oftest inspiration til aftensmaden?” 1957 personer svarer på spørgsmålet. Resultatet ses i boksen.

a. Estimér den andel af dagligvarekædens kunder, der oftest finder inspiration til aftensmaden på internettet.

b. Er det rimeligt at antage, at undersøgelsen er repræsentativ for alle daglivarekædens kunder? Begrund dit svar.

Træning 6

Vedligeholdelse af regnefærdigheder

Kvadratsætninger

Kvadrat på en sum (1. kvadratsætning): (a + b)2 = a 2 + b2 + 2ab

Kvadrat på en differens (2. kvadratsætning): (a – b)2 = a 2 + b2 – 2ab

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

To tals sum gange de samme to tals differens (3. kvadratsætning): (a + b) · (a – b) = a 2 – b2

1. Brug en kvadratsætning til at fjerne parentesen eller parenteserne.

a. (p + q)2

b. (p – q)2

c. (p + q) · (p – q)

d. (p – q) · (p + q)

3. Brug en kvadratsætning til at fjerne parentesen, og reducér udtrykket.

a. (a + 4b)2

b. (2p – q)2

c. (2x – 3y)2

d. (2x – p) · (2x + p)

Funktioner og grafer

Eksempel:

2. Brug en kvadratsætning til at fjerne parentesen, og reducér udtrykket.

a. (x + 4)2

b. (t – 2)2

c. (5 – p)2

d. (k – 3) · (k + 3)

4. Reducér følgende udtryk mest muligt:

a. (p + q)2 – q 2

b. (a + b)2 – 2ab

c. (x – 2y)2 – 2xy

d. (2p + q)2 – 2p 2 + pq

Den blå linje på figuren viser grafen for funktionen f. På figuren kan man aflæse funktionsværdien f (6) ved at finde x = 6, bevæge sig op til grafen og dernæst bevæge sig vandret hen til y-aksen.

Det er markeret med de to røde pile. Man kan aflæse, at f (6) = 2.

5. Figuren viser grafen for funktionen g. Aflæs følgende funktionsværdier. Alle facit er heltal.

a. g(2)

b. g(0)

c. g(6)

d. g(8)

6. Figuren viser grafen for funktionen f. Aflæs følgende funktionsværdier. Alle facit er heltal.

a. f(2)

b. f(0)

c. f(4)

d. f(8)

7. Lad funktionen f være givet ved forskriften f (x) = 3x – 11. a. Udfyld nedenstående tabel uden brug af CAS.

x –2 0246 f (x)

b. Indtegn punkterne i et koordinatsystem (i hånden), og kontrollér, at de ligger på en ret linje.

Ligningsløsning og grafer

Eksempel:

Ud fra figur 1 kan man løse ligningen f(x) = 4. Altså besvare spørgsmålet om, hvad x skal være, for at funktionsværdien er 4.

Man finder y = 4, bevæger sig vandret hen til grafen og derefter lodret ned til x-aksen.

Det er markeret med de to røde pile. Man kan aflæse, at ligningen f(x) = 4 har løsningen x = 2.

8. Figur 2 viser grafen for den lineære funktion h. Løs følgende ligninger ved hjælp af grafen. Alle løsningerne er heltal.

a. h(x) = 1 b. h(x) = 5 c. h(x) = –1 d. h(x) = 7

9. Figur 3 viser grafen for andengradspolynomiet f. Løs følgende ligninger ved hjælp af grafen. Alle løsningerne er heltal. Nogle af ligningerne har mere end én løsning. Opskriv dem alle.

a. f(x) = 6 b. f(x) = 2 c. f(x) = 5 d. Hvilken af følgende ligninger har ingen løsning: f(x) = 0 eller f(x) = 7?

10. Figur 4 viser graferne for tre lineære funktioner f, g og h. Løs nedenstående ligninger ud fra graferne. Løsningerne er et heltal. a. g(x) = h(x) b. g(x) = f(x) c. f(x) = h(x)

Faktorisering af andengradspolynomium

Et andengradspolynomium, f, med forskriften f(x) = a · x 2 + b · x + c, kan faktoriseres, så det skrives på formen f(x) = a · (x – x1) · (x – x2), idet x1 og x2 er polynomiets rødder, det vil sige løsningerne til den tilhørende andengradsligning a · x 2 + b x + c = 0.

Løsningerne til andengradsligningen kan findes med formlen x 2a bd−± = , idet d = b2 – 4 · a c. Hvis den tilhørende andengradsligning ikke har løsninger, kan polynomiet ikke faktoriseres.

Eksempel:

Andengradspolynomiet f med forskriften f(x) = 2x 2 + 6x – 8 kan faktoriseres, så forskriften bliver f(x) = 2(x + 4) · (x – 1), fordi f har rødderne x1 = –4 og x2 = 1.

11. Angiv rødderne i følgende faktoriserede andengradspolynomier:

a. f1(x) = 15(x – 4) · (x – 2)

b. f2(x) = 3(x + 3) · (x – 10)

c. f3(x) = 5(x – 3) · (x + 2)

d. f4(x) = –10(x + 5) · (x + 7)

e. f5(x) = –2(x + 5)2

12. Følgende andengradspolynomier kan faktoriseres. Faktorisér dem.

a. f1(x) = –x 2 + 7x – 12

b. f2(x) = 2x 2 + 2x – 12

c. f3(x) = 2x 2 + 16x – 30

d. f4(x) = x 2 + 5x

e. f5(x) = –x 2 – 10x + 25

13. Afgør, om nedenstående andengradspolynomier kan faktoriseres eller ej.

a. f1(x) = x 2 – x – 6

b. f2(x) = x 2 – 3x – 2

c. f3(x) = –x 2 – 3x – 4

d. f4(x) = 3x 2 + 18x + 27

e. f5(x) = 2x 2 – 4x + 4

Træning 6 (fortsat)

Ligninger

Husk, at lighedstegnet udtrykker en balance mellem talstørrelserne på hver side af det.

Eksempel:

Vi vil løse ligningen (x – 3)2 = 25, der egentlig er en andengradsligning. Vi kunne derfor løse ligningen på almindelig vis ved at gange parentesen ud og benytte løsningsformlen. Her gør vi dog noget andet. Det modsatte af at opløfte i anden er at tage kvadratroden. Vi tager derfor kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. Her skal vi dog huske på, at både 52 = 25 og (–5)2 = 25, så der er to muligheder. Vi får:

2 (3)25 35 53 8 2 x x x x −= −=± =±+

14. Løs ligningerne uden CAS.

a. 6x = (2x – 3) · 2

b. 28 3 4 x + =

c. 5 2 10 x =

15. Løs ligningerne uden CAS.

a. 10 4 2 x + =

b. x 2 = 16

c. (x + 5)2 = 9

16. Løs ligningerne uden CAS.

a. 2 4 9 x =−

b. 2 18 (2) 2 x + =

c. 8 = (2x – 4)3

To ligninger med to ubekendte

Eksempel:

Vi ønsker at løse et ligningssystem bestående af de to ligninger med to ubekendte

2x – 2y – 4 = 0 og –4x + 3y + 5 = 0

Vi isolerer først x i den første ligning:

2x – 2y – 4 = 0

2x = 2y + 4 x=y+2

Vi indsætter nu det fundne udtryk for x i den anden ligning og isolerer y:

–4(y + 2) + 3y + 5 = 0

–4y –8+ 3y + 5 = 0

–y –3 = 0 –3 = y

Værdien for x findes ved at indsætte den fundne y-værdi i en af ligningerne. Her vælger vi den første:

x = y + 2 = –3 + 2 = –1

Løsningen til ligningssystemet er således x = –1 og y = –3. Vi kunne naturligvis også have valgt at isolere y først eller begynde med den anden ligning. Det ville have givet andre mellemregninger, men samme facit.

17. Løs nedenstående ligningssystemer. Løsningerne er heltal.

a. 3x + y – 7 = 0 og –2x + y – 2 = 0

b. 3x – y + 7 = 0 og x – 2y + 4 = 0

c. 2x + 3y – 18 = 0 og –x + 3y = 0

18. Løs nedenstående ligningssystemer. Løsningerne er heltal.

a. 5s + t = 6 og –s + t = 0

b. 4s – 2t = –6 og 6s – t = 1

c. 2p + 5q = 15 og 4p + 5q = 35

19. Løs nedenstående ligningssystemer. Løsningerne er heltal eller brøker.

a. 2x = 5y – 2 og 3x – 5y = 1

b. 8a – 4b = 12 og 5b = a – 2

c. 2t – s + 5 = 0 og 2s = 5t

Enhedscirklen, sinus og cosinus

Enhedscirklen er en cirkel med centrum i punktet (0,0) og med radius 1. De trigonometriske funktioner cosinus og sinus er defineret ud fra enhedscirklen.

Vinklen v er vinklen mellem x-aksen og en radius afsat i cirklen. Punktet, hvor den afsatte radius rammer cirklen, kaldes retningspunktet P

Cosinus til v, cos(v), er defineret som retningspunktets x-koordinat, og sinus til v, sin(v) er defineret som retningspunktets y-koordinat.

Nogle af værdierne af cosinus og sinus kan aflæses direkte fra enhedscirklen. For eksempel kan man se, at sin(90°) = 1 og cos(90°) = 0.

20. Udfyld et skema som det nedenstående uden brug af CAS:

v –90° 0 90°180°270°360°

cos(v) 0

sin(v) 1

21. Udfyld et skema som det nedenstående ved hjælp af CAS:

v –25°5°40°75°100°110°140°

cos(v)

sin(v)

22. Løs følgende ligninger med CAS. Find kun løsninger i intervallet 0 ≤ v ≤ 90. a. sin(v) = 0,8 b. sin(v) = 0,3 c. cos(v) = 0,1 d. cos(v) = 0,5

Den trigonometriske funktion tangens er defineret ud fra cosinus og sinus. Tangens til v, tan(v), kan ligesom cosinus og sinus aflæses ved hjælp af enhedscirklen, men på en lidt anden måde.

Eksempel:

Vi vil aflæse tangens til 48 grader, altså tan(48°). For at gøre det tegner vi først enhedscirklen og retningspunktet hørende til vinklen v = 48°.

Dernæst tegnes en halvlinje fra (0, 0) gennem retningspunktet og en lodret linje gennem punktet (1, 0).

Til sidst markerer vi skæringspunktet mellem halvlinjen og den lodrette linje. Tangens til 48° kan nu aflæses som skæringspunktets y-koordinat: Vi går altså fra skæringspunktet ind mod y-aksen og aflæser, at tan(48°) er cirka 1,1.

23. Tegn til hvert af spørgsmålene en enhedscirkel på kvadreret papir, og:

a. afsæt en vinkel på 60°, og vis med stiplede linjer, hvordan tan(60°) aflæses.

b. afsæt en vinkel på 70° , og vis med stiplede linjer, hvordan tan(70°) aflæses.

c. afsæt en vinkel på 30°, og vis med stiplede linjer, hvordan tan(30°) aflæses.

7. Analytisk plangeometri

7.1 Den rette linjes ligning

1 Introduktion

Analytisk geometri blev grundlagt af René Descartes i første halvdel af 1600-tallet. Grundtanken bag var en revolutionerende idé om at kombinere algebra og geometri: at bruge beregninger med koordinater til at studere geometriske figurer som linjer og cirkler.

2 Linjens ligning

Vi har tidligere set på rettelinjer som grafer for lineære funktioner. Hvis den lineære funktion f med forskriften f(x) = 2x + 3 er model for sammenhængen mellem to variable, x og y, skriver vi også y = 2x + 3. Her siger vi, at y er en funktion af x, så hvis x = 2, medfører det, at y = 7, fordi f(2) = 7.

I dette kapitel vil vi betragte x og y som mere 'ligeværdige'. I stedet for at bruge ordet ”forskrift” omtaler vi y = 2x + 3 som ligningen for en ret linje, hvormed vi mener de punkter, (x, y), som gør ligningen sand.

3 Sætning

En ret (ikke-lodret) linje udgøres af alle de punkter, der gør ligningen

y = a ⋅ x + b

sand, idet a og b er to reelle tal. a kaldes hældningskoefficienten eller stigningstallet, og b kaldes skæringen med y-aksen eller konstantleddet.

4 Eksempel

Ligningen 8x – 2y + 4 = 0 er også en ligning for en ret linje. Isoleres y, får man nemlig y = 4x + 2. Vi ser, at a = 4 og b = 2.

Ofte angives en ret linje med et bogstav. Og ofte undlader vi at skrive ”ret” og nøjes med at tale om ”en linje”.

5 Eksempel

Hvis en linje hedder l, og den har ligningen y = 2x + 3, skriver vi:

l: y = 2x + 3

Punkterne (2, 7) og (–1, 1) ligger begge på linjen l, idet ligningerne

7 = 2 ⋅ 2 + 3 og 1 = 2 ⋅ (–1) + 3

er sande, hvorimod punktet (2, 4) ikke ligger på l, idet ligningen

4 = 2 2 + 3

ikke er sand, da højresiden giver 7, som ikke er lig med 4. To af punkterne, (2, 7) og (2, 4), ligger lodret under hinanden, fordi de har det samme x-koordinat.

6 Sætning

En lodret linje har en ligning på formen x = k, hvor k er et reelt tal.

7 Eksempel

I margenen ses linjerne for ligningerne l, m, og n givet ved:

l: y = 0,5x + 1

m: y = 2

n: x = 3

Linjen m er vandret, fordi hældningskoefficienten a i denne linjes ligning er 0.

Kender man to forskellige punkter på en ikke-lodret linje, kan man beregne a og b på præcis samme måde, som man gør ved en lineær funktion:

8 Sætning

Hvis to forskellige punkter, (x1, y1) og (x2, y2), ligger på en ikke-lodret ret linje med ligningen y = a ⋅ x + b, kan a og b beregnes med formlerne:

Kender man ét punkt på linjen samt linjens hældningskoefficient, kan man også finde linjens ligning:

9* Sætning

Den ikke-lodrette rette linje, der går gennem punktet (x1, y1), og som har hældningskoefficienten a, har ligningen

y = a ⋅ (x – x1) + y1

10 Eksempel

Linjen l med hældningskoefficienten a = 2 går gennem punktet (x1, y1) = (5, –3). Ved anvendelse af sætningen får vi:

y = 2 ⋅ (x – 5) + (–3) = 2x – 10 – 3 = 2x – 13

Skrevet på formen y = a ⋅ x + b har linjen l altså ligningen y = 2x – 13.

11 Øvelse

a. Undersøg for hvert af punkterne (1, 7), (2, 2) og (3, –1), om punktet ligger på linjen med ligningen y = –4x + 11.

12 Øvelse

a. 6x + 3y – 15 = 0 er ligning for en linje. Isolér y, og angiv værdien af a og b

13 Øvelse

a. Angiv, på formen y = a · x + b, ligningen for den linje, der har hældningskoefficienten a = –5, og som går gennem punktet (7, 3).

Sætning8kanbevises påpræcissammemåde, sommanbeviserdetilsvarendeformlerforlineærefunktioner.

Positiv omløbsretning er "mod uret", og negativ omløbsretning er "med uret".

prx.dk/7cx9c y x v l:

· x + b

prx.dk/7nyaf

7.2 Hældningsvinkler og ortogonale linjer

14Introduktion

Hældningen af en vej angives ofte i procent. En hældning på 12 % svarer til en hældningskoefficient på a = 0,12, hvis der var tale om en ret linje.

Hvad er mon vejens hældningsvinkel i forhold til vandret?

15*Sætning

En ret linjes hældningsvinkel, v, er vinklen frax-aksen (førsteaksen) til linjen, regnet med fortegn.

For en ikke-lodret linje med ligningen y = a ⋅ x + b gælder, at a = tan(v) og v = tan–1(a)

16 Eksempel

Linjen med ligningen y = 2x –3 har hældningsvinklen v = tan–1(2) = 63,4°

Linjen med ligningen y = –0,3x har hældningsvinklen v = tan–1(–0,3) = –16,7° .

17Eksempel

Linjen med hældningsvinklen v = 32° har hældningskoefficienten a = tan(32°) = 0,62.

Linjen med hældningsvinklen v = –85° har hældningskoefficienten a = tan(–85°) = –11,4.

Man kan finde vinklen mellem to linjer ved at trække linjernes hældningsvinkler fra hinanden – husk at regne vinklerne med fortegn.

To linjer er parallelle, hvis vinklen mellem dem er 0 – også selvom de to linjer ikke er sammenfaldende. For ikke-lodrette linjer svarer det til, at linjerne har den samme hældningskoefficient.

18Eksempel

Vi vil finde vinklen v mellem linjerne l og m, der er givet ved ligningerne

l: y = 2x – 1 og m: y = –0,4x + 1

For at undgå forvirring kalder vi l’s hældningsvinkel vl og m’s hældningsvinkel v m. De to hældningsvinkler er: v

Vinklen v mellem l og m er da

v = vl – v m = 63,4° – 21,8° = 41,6°

19 Eksempel

To linjer, l og m, er givet ved ligningerne

l: y = 1,3x – 1 og m: y = –0,5x + 3

De har hældningsvinklerne

vl = tan–1(1,3) = 52,4 ° og v m = tan–1(–0,5) = –26,6°

Vinklen v mellem l og m er da

v = vl – v m = 52,4° – (–26,6°) = 79,0°

Bemærk, at vinklerne stadig skal trækkes fra hinanden, fordi vi regner vinklerne med fortegn. En negativ hældningskoefficient giver en negativ hældningsvinkel.

Når vinklen mellem to linjer er ret, altså 90°, siger vi, at linjerne er ortogonale eller vinkelrette.

20* Sætning

Hvis to rette (ikke-lodrette) linjer givet ved ligningerne y = a ⋅ x + b og y = c ⋅ x + d er ortogonale, er det ensbetydende med, at a ⋅ c = –1.

21 Eksempel

Linjerne med ligningerne y = 4x og y = –1 4 x + 3 er ortogonale, fordi 4 · (–1 4 ) = –1.

22 Eksempel

En linje, l, er givet ved ligningen y = 3x – 5. En anden linje, m, er ortogonal med l og går gennem punktet (6, 2). Vi vil gerne bestemme en ligning for m.

Først beregnes m’s hældningskoefficient. Vi ved, at de to linjer er ortogonale, og derfor skal produktet af linjernes hældningskoefficienter være 1. Kaldes m’s hældningskoefficient a, skal vi altså løse ligningen 3 · a = –1. Denne ligning har løsningen a = –1 3 , så det er m’s hældningskoefficient.

Sætning 8 kan nu benyttes til at finde linjens skæring med y-aksen, b: b = 2 – (–1 3 ) · 6 = 2 – (–2) = 4

Ligningen for m er således y = –1 3 x + 4.

23 Øvelse

a. Linjen l er givet ved ligningen y = 7x – 2. Bestem linjens hældningsvinkel, vl

b. Linjen m er givet ved ligningen y = –3x + 1. Bestem linjens hældningsvinkel, v m .

c. Bestem vinklen mellem linjerne l og m fra spørgsmålene ovenfor.

d. Linjen q har hældningsvinklen v q = –56° og går gennem punktet (8, 3). Bestem en ligning for q, og angiv denne på formen y = a ⋅ x + b

24 Øvelse

Betragt linjen l med ligningen y = 5x – 2. Punktet (2, 8) ligger på linjen.

a. Bestem ligningen for den linje, m, der er ortogonal med l, og som går gennem punktet (2, 8).

7.3 Skæring mellem linjer

25 Introduktion

Øresundsbroen er en såkaldt skråstagsbro. Vejbroen hænger i kabler, som er direkte forbundet til de lodrette pyloner.

Kablerne og vejbanen kan beskrives som rette linjer. Kablerne er fastgjort der, hvor linjerne skærer hinanden.

26 Eksempel

Kender man ligningen for en linje på formen y = a ⋅ x + b, kan man direkte aflæse linjens skæring med y-aksen ud fra værdien af b.

Linjen med ligningen y = 1 2 x + 4 skærer y-aksen i b = 4.

27* Sætning

En ret (ikke-vandret og ikke-lodret) linje med ligningen y = a ⋅ x + b skærer x-aksen i

x = –b a

28 Eksempel

En linje er givet ved ligningen y = 1 2 x + 4 . Vi aflæser af linjens ligning, at a = 1 2 og b = 4.

Mandividererettal, c,med enbrøk, a b ,vedatgangetallet meddenomvendtebrøk: a b cb a c =⋅

Vi kan dermed beregne, at linjen skærer x-aksen i x = –8, idet x 1 2 42 1 48=−=−⋅=−

29 Bemærkning

To rette linjer, som ikke er parallelle, vil altid have et skæringspunkt.

Skæringspunktets koordinater kan enten bestemmes ved aflæsning, eller de kan bestemmes ved beregning

30 Eksempel

To linjer, l og m, er givet ved ligningerne

l: y = 2x – 1 m: y = –x + 8

Først bemærker vi, at de to linjer ikke er parallelle, idet deres hældningskoefficienter er forskellige.

Når de to linjer indtegnes i et koordinatsystem, kan vi aflæse, at de skærer hinanden i punktet (3, 5).

31 Eksempel

Vi kan også bestemme skæringspunktet mellem linjerne l og m i forrige eksempel vedberegning.

Da der om l gælder, at y = 2x –1, kan vi indsætte 2x –1 på y’ets plads i ligningen for m, altså i ligningen y = –x + 8. Det gør vi, fordi de to y-værdier skal være ens i skæringspunktet.

Det giver os ligningen 2x – 1 = –x + 8, som vi kan løse:

2x – 1 = –x + 8

3x – 1= 8 Først har vi lagt x til på begge sider.

3x = 9 Dernæst har vi lagt 1 til på begge sider.

x = 3 Til sidst har vi divideret med 3 på begge sider.

Den fundne x-værdi er skæringspunktets x-koordinat. For at finde den tilhørende y-koordinat indsættes x = 3 i den ene ligning. Her indsætter vi i ligningen for l, men det bestemmer man selv.

y = 2 · 3 – 1 = 6 – 1 = 5

Konklusion: De to linjer skærer hinanden i punktet (3, 5), hvilket vi også aflæste.

Det, vi netop har gennemgået, er et eksempel på løsning af et ligningssystem bestående af to ligninger med to ubekendte, x og y.

I begyndelsen af eksemplet erstattede vi y i ligningen for m med det udtryk for y, som vi kendte fra ligningen for l. Dette kaldes at substituere.

32 Bemærkning

Hvis to rette linjer er parallelle, har de ikke nogen skæringspunkter, medmindre linjerne ligger oveni hinanden – så har de uendeligt mange skæringspunkter.

33 Øvelse

Betragt linjerne l og m med ligningerne

l: y = 3x – 16 og m: y = 2x – 10

a. Bestem linjernes skæringspunkt ved beregning.

b. Tegn, med CAS, linjerne i samme koordinatsystem, og kontrollér, at du har regnet rigtigt i spørgsmål a.

34 Øvelse

En linje, l, er givet ved ligningen y = 2x – 10 .

a. Bestem skæringspunkterne mellem linjen og koordinatsystemets akser.

b. Bestem ligningen for den linje, m, der er ortogonal med l, og som skærer x-aksen i x = 20.

c. Bestem ved beregning skæringspunktet mellem l og m

7.4 Afstande

35 Introduktion

Et forsyningsfirma skal levere gas til en by. Firmaet har allerede en gasledning, der passerer tæt på byen, som de kan forbinde til den nye gasledning, der skal gå ind til byen.

Hvor lang skal den nye ledning være? Hvor lang er den korteste afstand fra byen til den oprindelige gasledning?

I dette afsnit skal vi se på, hvordan man beregner afstande ved hjælp af koordinatgeometri. Vi skal se på afstanden mellem to punkter og på afstanden fra et punkt til en linje.

36* Sætning

Afstanden ()() AB =−+− mellem to punkter, A(x1, y1) og B(x2, y2), beregnes med formlen:

22 2121 ABxxyy =−+−

37 Eksempel

prx.dk/g754n

prx.dk/xhnv2

Et linjestykke erdendelafenret linje,dergårfraétpunkttilet andet.

Linjestykketfrapunktet A tilpunktet B betegnes AB.Længdenaf linjestykketbetegnes|AB|.

Afstanden mellem punkterne A(5, –2) og B(1, 9) er ( ) ( ) ( ) 2222 159(2)41116121117,170 3 AB =−+−−=−+= =+=

38 Eksempel

Figuren viser tværsnittet af en tagkonstruktion til et hus. Tværsnittet er indlagt i et koordinatsystem. Enheden er meter. Vi vil beregne længden af det skrå spær, der går mellem punkterne B(8, 3) og C(4, 5). Vi indsætter i formlen: ( )22 48(5324,)047 BC =−+−== Det skrå spær skal altså være 4,47 meter langt.

39 Eksempel

Betragt igen tagkonstruktionen. Punktet E skal ligge midt på spærret. Det skal altså ligge midt mellem punkterne B og C. Koordinaterne må derfor være gennemsnittet af koordinaterne til B og C:

40 Sætning

Midtpunktet, M, for linjestykket mellem to punkter, A(x1,y1) og B(x2,y2), har koordinaterne

1212 22 , xxyy M ++

Hvis man skal bevæge sig den kortest mulige afstand fra et punkt ind til en linje, skal man gå i den retning, således at man bevæger sig vinkelret ind på linjen

Når vi taler om afstandenfraetpunkttilenlinje, er det altid underforstået, at det er denne afstand, der menes.

41* Sætning (dist-formlen)

Afstanden dist(P, l ) fra punktet P(x1, y1) til linjen l med ligningen y = a x+b er 11 2 1 dist(,) axby a Pl ⋅+− + =

42 Eksempel

Afstanden fra punktet P(–2,1) til linjen l med ligningen: y = –2x + 5 er 2 2(2)51 8 5 (2)1 d3,5 ist(,)8 Pl −⋅−+− −+ ===

43 Bestemmelse af afstand mellem punkt og linje ved konstruktion

Afstanden fra et punkt, P, til en linje, l, kan også findes ved hjælp af konstruktion i et geometriprogram. Eksempelvis ved at udføre følgende fire trin:

(1) Indtegn linjen l og punktet P.

(2) Konstruer en linje vinkelret på l og gennem P.

(3) Bestem skæringspunktet mellem de to linjer.

(4) Bestem afstanden fra P til dette skæringspunkt med måleværktøjet.

44 Øvelse

a. Beregn afstanden mellem punkterne A(1, 5) og B(3, 2).

b. Bestem koordinaterne til midtpunktet, M, af linjestykket fra A til B

45 Øvelse

a. Betragt igen tagkonstruktionen. Beregn længden af det skrå spær, der går mellem punkterne C(4, 5) og G(5.5, 3).

46 Øvelse

a. Beregn afstanden fra punktet P(3,2) til linjen l med ligningen y = 0,5x – 4.

b. Bestem afstanden fra punktet Q(5,–2) til linjen m med ligningen y = 2x + 4 ved hjælp af konstruktion i et geometriprogram.

47 Øvelse

Firmaet fra introduktion indlægger et koordinatsystem på et kort over byen og omegnen. Enhederne på både x- og y-koordinaterne er kilometer. Byen befinder sig i punktet (30, 10), og den gamle gasledning er givet ved ligningen y = 3x.

a. Beregn, hvor lang den nye gasledning skal være.

7.5 Cirklens ligning

48 Introduktion

Racerbanen Pista Di Nardò i det sydlige Italien er formet som en cirkel med radius 2 km. Vi vil i dette afsnit se på den matematiske beskrivelse af cirkler.

En cirkel er en punktmængde, der opfylder, at alle punkter i mængden har den samme afstand, r, til et særligt punkt, C. En cirkel udgøres derfor kun af cirklens periferi og ikke af selve skiven.

Q(2, 0)

C(a, b) P(x, y)

P(5, –4)

C(2, –4)

R(2, –6)

r kaldes cirklens radius, og C kaldes cirklens centrum.

49* Sætning

Cirklen med centrum i C(a, b) og med radius r er beskrevet ved ligningen (x – a)2 + (y – b)2 = r 2

Denne ligning kaldes cirklens ligning.

50 Eksempel

Cirklen med centrum i punktet C(2, –4) og med radius r = 3 har ligningen (x – 2)2 + (y – (–4))2 = 32 der kan reduceres til (x – 2)2 + (y + 4)2 = 9

51 Eksempel

Punktet P(5, –4) ligger på cirklen fra eksemplet ovenfor. Det kan ses ved, at når punktets koordinater indsættes i cirklens ligning, fås et sandt udsagn: (5 – 2)2 + ((–4) + 4)2 = 9 og dermed 32 + 02 = 9

Man kan også se det ved, at afstanden |CP| = 3 er lig med cirklens radius.

Q(2, 0) ligger uden for cirklen, da |CQ| = 4 er større end r = 3, og R(2, –6) ligger inden for cirklen, da |CR| = 2 er mindre end r = 3.

52 Eksempel

Ud fra ligningen for en cirkel kan vi aflæse cirklens centrums koordinater samt radius. Betragt cirklen givet ved ligningen (x + 6)2 + (y – 4)2 = 25.

Radius er r = 5, fordi vi kan aflæse, at r 2 = 25.

Cirklens centrums x-koordinat er a = –6. Det kan vi se, fordi x – a skal være lig med x + 6. Det kan kun lade sig gøre, når a = –6. Cirklens centrums y-koordinat er b = 4. Cirklen har således centrum i (–6, 4).

53 Eksempel

Cirklen fra eksempel 50 havde ligningen (x – 2)2 + (y + 4)2 = 9. Hæves de to parenteser ved hjælp af første og anden kvadratsætning, får vi 2222

2224249xxyy +−⋅⋅+++⋅⋅=

den første parentesden anden parentes

Trækker vi 9 fra på begge sider af lighedstegnet og reducerer, fås da

x 2 – 4x + y 2 + 8y + 11 = 0

Dette er også en ligning for den cirkel, der har centrum i C(2, –4) og radius 3. Det er bare sværere at se, og hverken centrum eller radius kan aflæses direkte.

54 Eksempel

En cirkel er givet ved ligningen x 2 – 6x + y 2 + 10y + 30 = 0. Hvad er koordinaterne til cirklens centrum, og hvad er dens radius?

For at svare på det spørgsmål, bliver vi nødt til at omskrive cirklens ligning til formen (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 fra sætning 49. Det kan gøres som følger:

Ganges parenteserne i cirklens ligning på denne form ud, fås x 2

I den givne ligning skal det led, der kun indeholder x (inklusive fortegn), svare til –2 · a · x, og det led, der kun indeholder y (inklusive fortegn), skal svare til –2 · b · y.

Dermed må der gælde, at a = 3 og b = –5, idet

–2 · 3 · x = –6x og –2 · (–5) · y = 10y

Med disse værdier af a og b får vi

(x – 3)2 = x 2 – 6x + 9 og dermed x 2 – 6x = (x – 3)2 – 9 (y + 5)2 = y 2 + 10y + 25 og dermed y 2 + 10y = (y + 5)2 – 25

Vi genkender henholdsvis x 2 – 6x og y 2 + 10y i den givne ligning, der nu kan omskrives:

22 (3)9(5)25300 xy−−++−+=

Når tallene på venstresiden lægges sammen, giver de –4. Lægges 4 til på begge sider af lighedstegnet, får vi (x – 3)2 + (y + 5)2 = 4.

Nu står cirklens ligning på den ønskede form, og vi aflæser, at cirklen har centrum i C(3, –5), og at dens radius er r = 2, da 4 = 22

55 Øvelse

En cirkel har centrum i C(–2, 7) og radius r = 5.

a. Bestem en ligning for cirklen, og afgør ved beregning, om punktet P(2,10) ligger på cirklen.

56 Øvelse

Bestem radius samt koordinaterne til centrum for cirklerne givet ved følgende ligninger:

a. (x + 9)2 + (y – 16)2 = 64 b. x 2 + 2x + y 2 + 16y + 40 = 0

Førsteogandenkvadratsætning:

Denneformforomskrivningtilet kvadratpåentoleddetstørrelse kaldes kvadratkomplettering.

7.6 Cirkler og linjer

57 Introduktion

Den cirkelformede racerbane Pista de Nardò krydses af flere lige veje. Geometrisk kan dette opfattes som skæringen mellem en cirkel og forskellige rette linjer.

58 Skæring mellem linje og cirkel

En cirkel og en linje kan enten skære hinanden i to punkter, have ét skæringspunkt (et røringspunkt), eller slet ikke skære hinanden.

Eventuelle skæringspunkter kan findes ved at substituere linjens ligning ind i cirklens ligning. Det resulterer i en andengradsligning, der kan løses på almindelig vis.

Antallet af løsninger til andengradsligningen angiver antallet af skæringspunkter mellem cirklen og linjen.

59 Eksempel

En linje, l, er givet ved ligningen y = 2x – 4, og en cirkel er givet ved ligningen (x – 1)2 + (y – 3)2 = 25 . Vi vil beregne koordinaterne til eventuelle skæringspunkter mellem linjen og cirklen.

prx.dk/67ws6

Først substitueres udtrykket for y fra linjens ligning med y i cirklens ligning: (x – 1)2 + ((2x – 4) – 3)2 = 25

Vi har nu en ligning med én ubekendt, x. Når vi reducerer og ganger parenteserne ud ved hjælp af kvadratsætningerne, ser vi, at det er en almindelig andengradsligning:

Førsteogandenkvadratsætning:

(a + b)2 = a 2 + b2 +2ab

(a – b)2 = a 2 + b2 –2ab

prx.dk/333c8

Andengradsligningen har koefficienterne a = 5, b = –30 og c = 25. Dermed bliver diskriminanten, d:

d = (–30)2 – 4 · 5 · 25 = 900 – 500 = 400

Løsningerne til andengradsligningerne er

Idet ligningen har to løsninger, så har linjen to skæringspunkter med cirklen.

Vi finder skæringspunkternes y-koordinater ved at indsætte de fundne x-værdier i linjens ligning:

x = 5: y = 2 · 5 – 4 = 6

x = 1: y = 2 · 1 – 4 = –2

Skæringspunkterne er (5, 6) og (1, –2).

60 Eksempel

En cirkel er givet ved ligningen (x – 1)2 + (y – 4)2 = 2. Vi vil bestemme cirklens

skæringspunkter med y-aksen

y-aksen svarer til en lodret linje med ligningen x = 0. Denne ligning kan vi substituere ind i cirklens ligning, men denne gang er det x, som skal byttes ud (med 0).

Vi får

(0 – 1)2 + (y – 4)2 = 2

Når vi reducerer og hæver parenteserne, kommer vi frem til andengradsligningen y 2 –8y + 15 = 0.

Den ubekendte hedder godt nok y, men det betyder ingenting. Ligningen løses på almindelig vis, og vi får løsningerne y = 3 og y = 5.

Cirklen skærer altså y-aksen i punkterne (0, 3) og (0, 5).

61 Øvelse

En cirkel er givet ved ligningen (x – 2)2 + (y + 1)2 = 5, og en linje er givet ved ligningen y = x – 4. Linjen og cirklen har to skæringspunkter.

a. Bestem, uden brug af CAS, koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem linjen og cirklen.

62 Øvelse

a. Eftervis ved beregning, at cirklen fra eksempel 60 ikke skærer linjen med ligningen y = 2.

63 Øvelse

Racerbanen Pista di Nardò indlægges i et koordinatsystem, så banens centrum får koordinaterne C(3, 3). Enheden på koordinaterne er km, så radius er r = 2. a. Opskriv ligningen for den cirkel, som banen udgør.

En vej krydser banen. Vejen kan beskrives ved den rette linje l med ligningen y = 0,4x + 0,6. De to steder, hvor vejen og banen skærer hinanden, er der en tunnel under racerbanen.

b. Bestem, ved beregning med CAS, koordinaterne til de to tunneller.

c. Konstruér situationen i dit geometriprogram, og aflæs skæringspunkternes koordinater.

Skal man finde cirkels skæringspunkter med x-aksen, kan man substituere med y = 0 i cirklens ligning.

7.7 Cirkeltangenter

64Introduktion

Vejsving konstrueres som cirkelbuer. En cirkelbue er en del af en cirkel.

Før og efter svinget er vejen en ret linje. Dette kan eksempelvis konstrueres, så de rette linjer er tangenter til cirklen.

65Definition

En tangent til en cirkel er en ret linje, som rører cirklen i netop ét punkt.

C(3, 2)

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 y x y = 2x + 1

prx.dk/d64j2

r Linjen gennem punktet P(x1, y1) med hældning a har ligningen y = a · (x – x1) + y1.

66Eksempel

Linjen med ligningen y = 2x + 1 er tangent til cirklen med ligningen (x – 3)2 + (y – 2)2 = 5. Se figuren.

Man kan kontrollere, om en linje er tangent til en cirkel, ved at beregne afstanden fra linjen til cirklens centrum. Hvis der er tale om en tangentlinje, vil denne afstand netop være cirklens radius.

Fra cirklens ligning kan vi aflæse, at cirklens centrum har koordinaterne

C(3, 2), og at radius er r = 5 . Vi kontrollerer: dist(P, l ) 2 2312 555 55 21 ⋅+− + ==== 5 5 5 =

Vi ser, at afstanden netop er radius, og dermed er linjen en tangent til cirklen.

67Sætning

For en linje, l, og en cirkel med centrum i C og radius r, gælder, at hvis:

(1) dist(C, l ) < r, så har linjen og cirklen to skæringspunkter.

(2) dist(C, l ) = r, så har linjen og cirklen ét røringspunkt, og l er derfor en tangent til cirklen.

(3) dist(C, l ) > r, så har linjen og cirklen ingen skæringspunkter.

68Eksempel

Betragt cirklen med centrum i C(–4, 1) og radius r = 10. Punktet P(–1, 2) ligger på cirklen, og vi vil finde en ligning for tangenten til cirklen i punktet P.

Ligningen for en linje kan bestemmes ud fra linjens hældningskoefficient og et punkt på linjen.

Idet tangenten går gennem røringspunktet, P, mangler vi kun af finde hældningskoefficienten. Den finder vi ved at udnytte, at tangenten til en cirkel er ortogonal med linjen fra cirklens centrum, C, til røringspunktet, P

prx.dk/bz8me y x

Kald tangentens hældningskoefficient a og hældningskoefficienten af linjestykket CP for c

Hældningen af CP kan beregnes ud fra de to punkters koordinater

Tangenten og linjestykket CP er ortogonale, så

Hvis to rette linjer givet ved ligningerne y = a · x + b og y = c · x + d er ortogonale, er det ensbetydende med, at a · c = –1.

Vi ved nu om tangenten, at den har hældning a = –3, og at den går gennem punktet P(–1, 2). Vi kan opskrive ligningen

(1)

Tangentens ligning er y = –3x –1.

69 Ligning for tangent til cirkel ved konstruktion

Man kan også bestemme ligningen for en tangent til en cirkel ved hjælp af konstruktion i et geometriprogram. Ligningen i det foregående eksempel kunne eksempelvis være fundet ved at følge disse fire trin:

(1) Indtegn en cirkel med centrum i C(–4, 1) og radius r = 10, og afsæt punktet P(–1, 2).

(2) Afsæt linjestykket fra C til P

(3) Afsæt en vinkelret linje til CP, der går gennem P. Dette er tangenten.

(4) Benyt programmet til at bestemme ligningen for den fundne tangent.

70 Øvelse

En cirkel er givet ved ligningen (x – 2)2 + (y – 3)2 = 5, og punktet P(1, 5) ligger på cirklen.

a. Bestem en ligning for tangenten til cirklen i punktet P ved beregning.

b. Kontrollér, at den fundne ligning er korrekt, ved at beregne afstanden fra cirklens centrum til tangenten.

c. Bestem også tangentens ligning ved hjælp af konstruktion.

71 Øvelse

En cirkel er beskrevet ved ligningen x 2 + 2x + y 2 – 4y – 8 = 0.

a. Omskriv ligningen, så den er på formen (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 .

b. Angiv cirklens radius og koordinaterne til centrum.

c. Vis, at punktet P(2, 4) ligger på cirklen.

d. Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der går gennem P

7.8 Ræsonnementer og beviser 1

72 Introduktion

I afsnittet her skal vi bevise sætninger om linjer og linjers hældning. Vi skal blandt andet se nærmere på, hvordan den trigonometriske funktion tangens kan bruges til at sammenknytte en linjes hældningskoefficient med dens hældningsvinkel.

Derved skal vi også rundt om en række trigonometriske begreber og indsigter om retvinklede trekanter og om to overgangsformler for sinus og cosinus, som bedst kan forstås ud fra enhedscirklen.

[15 Sætning]

En ret linjes hældningsvinkel, v, er vinklen frax-aksen (førsteaksen) til linjen, regnet med fortegn.

For en ikke-lodret linje med ligningen y = a ⋅ x + b gælder, at a = tan(v) og v = tan–1(a)

Tangens i retvinklet trekant.

73 Bevis for sætning 15

Vi deler beviset op i tre tilfælde: linje med positiv hældningskoefficient, vandret linje og linje med negativ hældningskoefficient:

Positiv hældning: a > 0

Hældningskoefficienten er netop defineret som ændringen i y-koordinaten, når x-koordinaten får en tilvækst på 1. På baggrund heraf tegner vi den røde retvinklede trekant, der ses til højre.

Ved at anvende formlen for tangens i en retvinklet trekant får vi

prx.dk/nckf8

tan(v) = a 1 som kan reduceres til tan(v) = a

sin(v)

tan(v) = q p r p q v x l: y = a · x + b y v a 1 1 –1 y x 1

sin(–v)

cos(v) v –1 –v cos(–v)

Vinklen v ligger i intervallet ]0; 90[, så når tan(v) = a, kan vi finde vinklen ved hjælp af "invers tangens": v = tan–1(a).

Vandret linje: a = 0

Hvis linjen er vandret, er hældningsvinklen v = 0°. Da tan(0°) = 0, gælder formlen også i dette tilfælde.

Negativ hældning: a < 0

Først skal vi en 'lille tur omkring' enhedscirklen, som vi også beskæftigede os med i KernestofMat1. Ud fra enhedscirklen i margenen kan vi se, at sin(–v) = –sin(v) og at cos(–v) = cos(v)

Det giver os følgende om -v, når v er positiv: sin()sin()sin() cos()cos()cos() tan()tan() vvv vvv vv −===−=−

Heraf kan vi konkludere, at hvis vi tager tangens til en negativ vinkel, får vi et negativt tal, så længe vinklen ligger i intervallet ]–90;0[. Omvendt vil tan–1(a), hvor a er en negativ hældningskoefficient, også give en negativ hældningsvinkel.

Formlen gælder altså også for negative hældningskoefficienter og negative hældningsvinkler.

Hermed er sætningen bevist.

[9 Sætning]

Den ikke-lodrette rette linje, der går gennem punktet (x1, y1), og som har hældningskoefficienten a, har ligningen y = a ⋅ (x – x1) + y1

74 Bevis for sætning 9

Linjens ligning er y = a x + b. Idet punktet (x1, y1) ligger på linjen, vil der gælde, at y1 = a x1 + b.

Vi isolerer b ved at trække a · x1 fra på begge sider: b = y1 – a · x1. Dette udtryk for b kan vi nu indsætte i linjens ligning, der efterølgende omskrives.

Sidste linje er netop, hvad vi gerne ville vise, og beviset er dermed slut.

[27 Sætning]

En ret (ikke-vandret og ikke-lodret) linje med ligningen y = a ⋅ x + b skærer x-aksen i x = –b a

75 Bevis for sætning 27

Ligesom i beviset ovenfor tager vi udgangspunkt i ligningen for en ikke-lodret linje, det vil sige y = a ⋅ x + b. Idet linjen heller ikke er vandret, ved vi, at a ≠ 0.

Linjen skærer x-aksen, når y er 0. Det giver os ligningen 0 = a ⋅ x + b . Vi isolerer x ved at trække b fra på begge sider af lighedstegnet og efterfølgende dividere med a, hvilket vi gerne må, da a ikke er 0. Beviset er nu slut.

76 Øvelse

a. Skriv alle tre beviser ned på papir, og forklar udregningerne og ræsonnementerne med egne kommentarer rundt omkring.

Sætte uden for en parentes: I udtrykket p · q – p · r ser vi, at p er en fælles faktor i de to led. Vi kan derfor sætte p uden for parentes og får p · q – p · r = p · (q – r)

7.9 Ræsonnementer og beviser 2

77 Introduktion

I dette afsnit beviser vi sætningen om, at hvis to linjer er ortogonale, så vil produktet af deres hældningskoefficienter give –1.

I beviset bruges Pythagoras’ sætning på to forskellige måder. Dels på den sædvanlige måde, hvor vi bruger sætningen til at knytte en forbindelse mellem sidelængderne i en retvinklet trekant, dels omvendt, hvor man ud fra en viden om sammenhængen mellem en trekants sidelængder kan konkludere, at den må være retvinklet.

Denne sidste påstand er indskrevet uden bevis til sidst i afsnittet.

[20 Sætning]

Hvis to rette (ikke-lodrette) linjer givet ved ligningerne y = a ⋅ x + b og y = c ⋅ x + d er ortogonale, er det ensbetydende med, at a ⋅ c = –1.

78 Bevis for sætning 20

Beviset deles op i to. Først vil vi bevise, at hvis linjerne er ortogonale, så medfører det, at a c = –1. Dernæst vil vi bevise, at hvis a c = –1, så medfører det, at linjerne er ortogonale.

Første del

Vi antager, at linjen l med ligningen y = a x + b og linjen m med ligningen y = c · x + d er ortogonale.

På figuren har vi indtegnet de to linjer samt to retvinklede trekanter, PQS og PSR. Da linjerne er ortogonale, vil trekanten PQR også være retvinklet.

Vi kan også se, at hvis linjerne er ortogonale, må den ene hældningskoefficient være positiv, og den anden negativ. På tegningen er a positiv, og c negativ.

Vi vil benytte Pythagoras’ sætning i de tre trekanter. I trekant PQS er siden PQ hypotenusen. Vi har valgt, at længden af PS er 1, således at længden af QS netop er hældningskoefficienten a. Det giver os

I trekant PSR er siden PR hypotenusen. Hældningskoefficienten c er negativ, så længden af SR er –c. Ved at anvende Pythagoras' sætning får vi:

Bemærk, at disse to resultater om | PQ | og | PR | gælder, uanset om linjerne er ortogonale eller ej.

Vi ser nu på den store trekant, PQR. Ud fra længderne af QS og SR, som vi netop har fundet, kan vi beregne længden af QR

QR = QS + SR  = a + (–c) = a – c

Anvendes Pythagoras' sætning ligeledes på trekant PQR, får vi

QR ² = PQ ² + PR ² (a – c)2 = (1 + a 2) + (1 + c 2) Vi kan udtrykke disse længder vha. a og c.

–2 · a · c = 2 Vi ser, at a 2 og c 2 går ud. a · c = ()() 2 2 =+ −=+++ +−=+++ −=

a 2 + c 2 – 2 · a · c = 1 + a 2 + 1 + c 2 Vi bruger en kvadratsætning på venstre side og hæver plusparenteserne på højre side.

Vi dividerer med –2 på begge sider. a · c = –1 Vi indser, at ()()

= –1.

Vi har nu vist, at hvis linjerne er ortogonale, er a c = –1.

Anden del

Vi antager nu, at a · c = –1. Beviset af denne del går ud på at indse, at man kunne have lavet beregningerne ovenfor i omvendt rækkefølge (da alle ligningerne er ensbetydende):

a · c = –1 a · c = ()() 2 2

Vi kan nu benytte den omvendte Pythagoras’ sætning til at konkludere, at trekant PQR er retvinklet, og at den rette vinkel er P.

Hermed er det vist, at linjerne er ortogonale, og beviset er dermed slut.

79 Sætning

Hvis der om de tre sider a, b og c i en trekant ABC gælder, at c 2 = a 2 + b2, så er trekanten retvinklet, og det er vinklen over for siden c, som er ret.

Denne sammenhæng kaldes Pythagoras' omvendte sætning

7.10 Ræsonnementer og beviser 3

80Introduktion

I dette afsnit vil vi bevise sætningen om afstanden mellem to punkter. I beviset inddrages begrebet absolut værdi og en påstand om, hvordan man kan bestemme afstanden mellem to tal, a og b, på en tallinje.

81Definition

Den absolutte værdi x af et tal, x, er en stykkevist defineret funktion givet ved forskriften

Den absolutte værdi af x kaldes også den numeriske værdi af x.

82Eksempel

Ifølge definitionen af absolut værdi er:

= 3

prx.dk/8mzmg

Vi ser altså, at den absolutte værdi af et tal populært sagt ’gør tallet positivt’. Man kan også sige, at den absolutte værdi af et tal angiver, hvor stort tallet er uden hensyn til dets fortegn.

Idet ethvert tal forskelligt fra 0 bliver positivt, når det opløftes i anden potens, og fordi det at tage kvadratroden af et tal er det modsatte af at opløfte i anden, gælder også om den absolutte værdi af x, at

83Eksempel

Vi vil løse ligningen 3 + x = 5. Det kan vi gøre som følger: Omskrivningen ovenfor er blevet anvendt. Begge sider er blevet opløftet i anden. Vi har taget kvadratroden på begge sider.

prx.dk/75ff4

I den næstsidste linje er det vigtigt at huske, at både 52 = 25 og (–5)2 = 25. Det er derfor, der skal stå ±5 på højresiden af lighedstegnet i den linje.

Ligningen har løsningerne x = 2 og x = –8.

Afstanden mellem to tal, a og b, på en tallinje fortæller, hvor langt man skal ’gå’ for at komme fra det ene tal til det andet. Afstanden er den samme, uanset om man går fra a til b eller fra b til a.

Derfor er afstande, ligesom sidelængder, altid positive. En afstand kan dog også godt være 0, men det betyder, at de to tal ligger lige oveni hinanden – de er de samme. Dette kan udtrykkes som en sætning:

84 Sætning

Afstanden mellem de to tal a og b på tallinjen er a – b .

Vi er nu klar til at bevise formlen for afstanden mellem to punkter:

[36 Sætning]

Afstanden ()() AB =−+− mellem to punkter, A(x1, y1) og B(x2, y2), beregnes med formlen: ()() 22 2121 ABxxyy =−+−

85 Bevis for sætning 36

Betragt figuren. Afstanden mellem de to punkter A og B er længden af det stiplede røde linjestykke.

Vi kan danne en retvinklet trekant ved at tegne en lodret linje gennem A og en vandret linje gennem B. Disse to linjers skæringspunkt kalder vi C Trekant ABC er retvinklet, så vi kan anvende Pythagoras’ sætning.

Den sidste linje er netop, hvad vi skulle vise, og beviset er nu slut.

86 Øvelse

a. Bestem den absolutte værdi af tallene 4, –6 og 0,2.

87 Øvelse

Løs ligningerne:

88 Øvelse

a. Tegn grafen for funktionen f givet ved forskriften

7.11 Ræsonnementer og beviser 4

89 Introduktion

I dette afsnit begynder vi med at bevise sætningen om, hvordan man kan beregne afstanden mellem en linje og et punkt.

I beviset for afstandsformlen udnyttes, at hvis to trekanter er ligedannede, er der en bestemt skalafaktor mellem længderne af parvist ensliggende sider i trekanterne. En anden måde at sige det på er, at forholdet mellem ensliggende siders længder er konstant.

Til sidst i afsnittet udledes cirklens ligning ud fra en anden afstandsformel, nemlig den, der gælder for afstanden mellem to punkter.

[41 Sætning]

Afstanden dist(P, l) fra punktet P(x1, y1) til linjen l med ligningen y = a x+b er 11

, y

dist(,)

90 Bevis for sætning 41

Den søgte afstand er den korteste afstand mellem punktet og linjen. Det er afstanden mellem punktet P og punktet R på tegningen: |PR|. Hvis vi tegner et lodret linjestykke fra P til linjen l og kalder skæringspunktet med linjen for Q, danner PQR en retvinklet trekant.

Vi konstruerer nu en anden retvinklet trekant, ABC, ud fra et tilfældigt punkt, C, på linjen l. Vi sørger for, at |CA| = 1, således at |AB | = |a|, idet a er linjens hældningskoefficient.

De to trekanter PQR og ABC er ensvinklede, da de begge er retvinklede, og ∠PQR = ∠ABC

Da de to trekanter er ensvinklede, kan vi konkludere, at |||| |||| PRPQ CACB =

Vi er på jagt efter afstanden |PR|, så den isoleres: || || |||| PQ CB PRCA=⋅

Det lodrette linjestykke PQ har længden |PQ | = |a · x1 + b – y1|, og vi har allerede fastslået, at |CA| = 1.

Længden af linjestykket CB kan beregnes med Pythagoras’ sætning for trekant ABC:

Vi kan nu indsætte udtrykkene for |CA |, |PQ | og |CB | i udtrykket for |PR |:

Da |PR | netop er den søgte afstand, har vi vist, at

dist(,)

Vi har i det ovenstående antaget, at linjen ikke er vandret. Hvis linjen er vandret, er afstanden b – y1 . Formlen giver det samme:

by ⋅+−−−

Hermed er sætningen bevist.

Vi vil nu udlede cirklens ligning ud fra formlen for afstanden mellem to punkter.

En cirkel er i matematisk forstand en punktmængde, hvor alle punkter ligger i samme afstand til centrum. Punktmængden udgør altså det, vi også kalder periferien.

[49 Sætning]

Cirklen med centrum i C(a, b) og med radius r er beskrevet ved ligningen (x – a)2 + (y – b)2 = r 2

Denne ligning kaldes cirklens ligning

91 Bevis for sætning 49

Betragt et vilkårligt punkt, P(x, y), på cirkelperiferien. Afstanden PC  mellem dette punkt og cirklens centrum C(a,b) er netop radius, r

Vi indsætter i afstandsformlen: 22 22 222 ||()() ()() ()() PCxayb rxayb rxayb =−+− =−+− =−+−

Vi er kommet frem til cirklens ligning, og beviset er dermed slut.

Scan QR-koden for at komme til facitlisten.

Opgave 701

a. Undersøg, om punktet (2, 1) ligger på linjen givet ved ligningen y = 3x – 5.

b. Undersøg, om punktet (3, 2) ligger på linjen givet ved ligningen y = –4x + 11.

c. Undersøg, om punktet (3, 5) ligger på linjen givet ved ligningen 5x – 2y – 5 = 0.

Opgave 702

Bestem hældningsvinklen for linjerne givet ved ligningerne:

a. y = 3x – 2

b. y = –2x + 1

c. y =0,4x – 3,6

d. 4 5 11 yx=−+

e. y = 3 – 0,01x

f. y = 6

g. 3x + 6y – 3 = 0

h. x = 2

Opgave 703

Bestem ligninger for nedenstående linjer:

a. En linje med hældningskoefficienten 3, som går gennem punktet (4, 1).

b. En linje med hældningskoefficienten –5, som går gennem punktet (–1, 7).

c. En linje med hældningskoefficienten 2 5 , som går gennem punktet (9, 2).

d. En linje med hældningsvinkel 32°, som går gennem punktet (–3, 6).

e. En linje med hældningsvinkel –76°, som går gennem punktet (8, 15).

f. En linje med hældningsvinkel –89°, som går gennem punktet (1, 3).

Opgave 704

To linjer, n og m, er givet ved ligningerne

n: y = 3x – 1 og m: y = 2x + 1.

a. Bestem skæringspunktet mellem linjerne uden CAS.

b. Tegn linjerne på ternet papir uden brug af CAS.

c. Bestem vinklen mellem linjerne.

Opgave 705

To linjer, n og m, er givet ved ligningerne

n: y = 5x – 16 og m: y = –2x + 5.

a. Bestem skæringspunktet mellem linjerne uden CAS.

b. Bestem vinklen mellem linjerne.

Opgave 706

To linjer, n og m, er givet ved ligningerne

n: y = –x + 3 og m: y = –3x – 1.

a. Bestem skæringspunktet mellem linjerne uden CAS.

b. Bestem vinklen mellem linjerne.

Opgave 707

To linjer, n og m, er givet ved ligningerne

n: y = 0,3x + 12,1 og m: y = –3,5x + 1.

a. Tegn linjerne i samme koordinatsystem med CAS.

b. Bestem skæringspunktet mellem linjerne med CAS.

c. Bestem vinklen mellem linjerne.

Opgave 708

To linjer, n og m, er givet ved ligningerne

n: 16 1713yx=+ og m: 12 11 2 yx=−+

c. Bestem vinklen mellem linjerne. prx.dk/xcb5x

g. En linje, som går gennem punkterne (2, 7) og (5, –2).

a. Tegn linjerne i samme koordinatsystem med CAS.

b. Bestem skæringspunktet mellem linjerne med CAS.

Opgave 709

To linjer, n og m, er givet ved ligningerne

n: y = 8x – 2 og m: y = 7x + 3.

a. Bestem linjernes skæringspunkt ved at løse to ligninger med to ubekendte med CAS.

Opgave 710

Afgør, uden brug af CAS, om nedenstående par af linjer er ortogonale eller ej.

a. y = 2x + 11 og y = 4x – 1

b. y = 5x + 3 og 1 5 2 yx=+

c. y = –3x + 1 og 1 3 11 yx=−

d. y = 0,25x + 10 og y = –4x + 3

Opgave 711

En linje er givet ved ligningen l: y = 5x + 3.

a. Bestem, uden CAS, ligningen for den linje, der er ortogonal med l, og som går gennem punktet P(2, 13).

b. Bestem, ved konstruktion i CAS, ligningen for den linje, der er ortogonal med l, og som går gennem punktet Q(1, 8).

Opgave 712

a. Bestem, uden CAS, afstanden mellem punkterne P(4, 3) og Q(8, 6).

b. Bestem, med CAS, afstanden mellem punkterne P(9, 1) og Q(34, –3).

c. Bestem, med CAS, afstanden mellem punkterne P(–4, 2) og Q(–8, –5).

Opgave 713

Punkterne P og Q har koordinaterne P(5, 1) og Q(–11, 7).

a. Bestem længden af linjestykket PQ

b. Bestem koordinaterne til punktet R, som ligger midt mellem P og Q.

Opgave 714

Figuren viser tværsnittet af tagkonstruktionen til et hus. Det er indlagt i et koordinatsystem. Enheden er meter.

Punkterne A, B og C har koordinaterne A(0,3), B(8, 3) og C(7, 5).

a. Konstruér trekant ABC i dit geometriprogram.

b. Mål længden af linjestykket AB med dit geometriprogram.

c. Mål ∠BAC med dit geometriprogram.

Punktet D ligger midt på linjestykket AC

d. Bestem D’s koordinater med dit geometriprogram.

Linjestykket DE er ortogonalt med linjestykket AC

e. Konstruér linjestykket DE, og bestem koordinaterne til punktet E, som er skæringspunktet mellem DE og AB.

f. Bestem længden af det skrå spær EC

Opgave 715

Bestem afstandene mellem nedenstående punkter og linjer ved hjælp af dist-formlen.

a. Afstanden mellem punktet P (4, 2) og linjen givet ved ligningen l : y = 8x + 2.

b. Afstanden mellem punktet P (15, –11) og linjen givet ved ligningen l : y = x + 5.

c. Afstanden mellem punktet P (–1, –6) og linjen givet ved ligningen l: 1 3 4 yx=−+ .

Opgave 716

Bestem afstandene mellem nedenstående punkter og linjer ved hjælp af konstruktion i dit geometriprogram.

a. Afstanden mellem punktet P (3, 2) og linjen givet ved ligningen l : y = 5x – 3.

b. Afstanden mellem punktet P (–10, 3) og linjen givet ved ligningen l : y = –3x + 15.

c. Afstanden mellem punktet P (4, –9) og linjen givet ved ligningen l : y = 0,7x + 3,9.

Opgave 717

En trekant er udspændt af punkterne A(1, 6), B(2, 3) og C(5, 1).

a. Bestem længden af siden AC.

b. Bestem længden af højden h fra punktet B til siden AC, ved hjælp af dist-formlen.

c. Benyt resultaterne ovenfor til at bestemme arealet af trekant ABC.

Opgave 718

Bestem en ligning for nedenstående cirkler.

a. En cirkel med centrum i (3, 1) og radius 5.

b. En cirkel med centrum i (–2, 6) og radius 2.

c. En cirkel med centrum i (4, –9) og radius 8 .

Opgave 719

Konstruér nedenstående cirkler med dit geometriprogram. Aflæs deres ligninger.

a. En cirkel med centrum i (4, 8) og radius 3.

b. En cirkel med centrum i (6, –1) og radius 10

c. En cirkel med centrum i (2, –7). Derudover oplyses det, at punktet (3, 1) ligger på cirklen.

Opgave 720

En cirkel er givet ved ligningen (x – 1)2 + (y – 2)2 = 13.

Afgør, om følgende punkter ligger inden for cirklen, på cirklen, eller uden for cirklen.

a. (0, 0)

b. (1, 2)

c. (4, 0)

d. (–2, 4)

Opgave 721

Nedenfor er givet ligningerne for fem cirkler. Angiv for hver ligning koordinaterne til cirklens centrum samt cirklens radius.

a. (x – 3)2 + (y – 5)2 = 16

b. (x – 10)2 + (y – 8)2 = 5

c. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 11

d. (x – 1)2 + (y + 7)2 = 25

e. (x + 5)2 + (y + 16)2 = 3

Opgave 722

En cirkel er beskrevet ved ligningen

x 2 + 6x + y 2 + 4y – 3 = 0.

a. Omskriv, med CAS, ligningen, så den er på formen (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 .

b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

Opgave 723

En cirkel er beskrevet ved ligningen

x 2 + 2x + y 2 + 4y = –4.

a. Omskriv, med CAS, ligningen, så den er på formen (x – a)2 + (y – b)2 = r 2

b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

Opgave 724

En cirkel er beskrevet ved ligningen

x 2 + 2x + y 2 – 10y + 22 = 0.

a. Tegn cirklen med dit geometriprogram.

b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

Opgave 725

En cirkel er beskrevet ved ligningen

x 2 + 2x + y 2 + 4y = 20.

a. Tegn cirklen med dit geometriprogram.

b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

Opgave 726

En cirkel er beskrevet ved ligningen

x 2 – 4x + y 2 – 8y + 16 = 0.

a. Omskriv, uden CAS, ligningen, så den er på formen (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 .

b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

Opgave 727

En cirkel er beskrevet ved ligningen

x 2 – 6x + y 2 – 8y = 0.

a. Omskriv, uden CAS, ligningen, så den er på formen (x – a)2 + (y – b)2 = r 2

b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

Opgave 728

En cirkel er beskrevet ved ligningen

x 2 – 4x + y 2 + 6y = 3.

a. Omskriv, uden CAS, ligningen, så den er på formen (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 .

b. Angiv cirklens radius og centrums koordinater.

Opgave 729

En cirkel, C, og en linje, l, er givet ved ligningerne

C: (x – 3)2 + (y + 2)2 = 12 og l: y = –x + 4.

a. Tegn cirklen og linjen i dit geometriprogram.

b. Bestem skæringspunkterne mellem cirklen og linjen.

Opgave 730

En cirkel, C, og en linje, l, er givet ved ligningerne

C: (x + 1)2 + (y – 2)2 = 27 og l: y = 3x + 8.

a. Tegn cirklen og linjen i dit geometriprogram.

b. Bestem skæringspunkterne mellem cirklen og linjen.

Opgave 731

En cirkel, C, og en linje, l, er givet ved ligningerne

C: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 18 og l: y = x + 1.

a. Bestem, uden brug af CAS, skæringspunkterne mellem cirklen og linjen.

Opgave 732

En cirkel, C, og en linje, l, er givet ved ligningerne

C: (x + 3)2 + (y – 6)2 = 5 og l: y = x + 6.

a. Bestem, uden brug af CAS, skæringspunkterne mellem cirklen og linjen.

Opgave 733

a. Er linjen med ligningen y = 3x – 5 tangent til cirklen med ligningen (x – 4)2 + (y + 3)2 = 10?

b. Er linjen med ligningen y = 3,5x – 5 tangent til cirklen med ligningen (x + 5)2 + (y – 4)2 = 53?

c. Er linjen med ligningen y = –1,5x + 11 tangent til cirklen med ligningen (x – 3)2 + (y – 1)2 = 13?

Opgave 734

Besvar spørgsmålene ved konstruktion i dit geometriprogram.

a. En cirkel er givet ved ligningen (x – 5)2 + (y – 2)2 = 20. Bestem ligningen for tangenten til cirklen i punktet (1, 4).

b. En cirkel er givet ved ligningen (x – 8)2 + (y + 2)2 = 40. Bestem ligningen for tangenten til cirklen i punktet (2, –4).

c. En cirkel har centrum i C(–5, –1) og radius r = 40 . Bestem ligningen for en tangent til cirklen i punktet (–3, 5).

Opgave 735

Besvar spørgsmålene uden brug af CAS.

a. En cirkel er givet ved ligningen

(x – 2)2 + (y – 1)2 = 10. Bestem ligningen for tangenten til cirklen i punktet (5, 2).

b. En cirkel er givet ved ligningen (x – 7)2 + (y + 1)2 = 5. Bestem ligningen for tangenten til cirklen i punktet (6, –3).

c. En cirkel er givet ved ligningen

(x + 5)2 + (y – 3)2 = 13. Bestem ligningen for tangenten til cirklen i punktet (–2, 1).

Facitliste

1. Andengradspolynomier

a. g

b. f 's toppunkts koordinater er (–1, 1). g's toppunkts koordinater er (1, 3).

c. For f er c = 2. For g er c = 1.

d. For både f og g er fortegnet for koefficienten b positivt.

a. d = 616

b. (260, 3080)

c. 260 rejser

d. 3080000 kr.

b. d = 28

c. 1 , 3  =  7 , 3  = 

a. d = 64. Idet d er større end 0, så har andengradsligningen to løsninger. De er: x = –2 og x = 6.

b. d = –23. Idet d er mindre end 0, så har andengradsligningen ingen løsninger.

c. d = 0. Idet d er lig med 0, så har andengradsligningen én løsning. Den er: x = –7.

a. f(x) = –0,2 ∙ (x + 4) ∙ (x – 4)

c. (0, 3.2)

d. Den nye værdi skal være a = –0,4.

a. d = 64. d > 0, så andengradspolynomiet har to rødder.

b. x = –1 og x = 7.

c. f(x) = (x + 1) · (x – 7)

= 

d. 1 , 3  =  7 , 3

a. For f: d = 36, for g: d = 0, for h: d = 1.

b. For f: x = –1 og x = 2, for g: x = 1, for h: x = 3 og x = 4.

Som det ses af graferne, stemmer skæringspunkterne overens med resultatet i spørgsmål b.

a. 4. grad

b. Mulighed for 0, 1, 2, 3 eller 4 rødder.

f har 2 rødder.

d. x = –2,97 og x = –1,44.

a. f(x) = –0,3x · (x + 3) · (x + 2) · (x – 1) = –0,3x 4 – 1,2x3 – 0,3x 2 + 1,8x

b. x = –3, x = –2, x = 0 og x = 1.

a. f har fem rødder. De er: x = –2, x = 0, x = 1, x = 3 og x = 5

c. Nej. Man kan eksempelvis se, at f har roden x = 4, men grafen skærer ikke x-aksen i x = 4.

2. Funktionsteori

c. Dm(f ) = ℝ og Vm(f ) = ℝ. Dm(g) = ℝ og Vm(g) = ]0; ∞[.

a. Dm(f ) = ]0; 7] og Vm(f ) = ]1; 4].

b. ]1; 2] og [5; 7].

c. [2; 5]

a. f(–1) = 2, f(4) = 7 og f(5) = 5.

c. f(x ) = 2 har løsningen x = –1, og f(x ) = 4 har løsningerne x = 1 og x = 5,5.

a. f(1) = 1 og f(3) = 7. b. 1 2 3 4 8 6 4 2 y x f c. x = 2,59

a. Nulpunkt: x = 5. Funktionen er negativ i intervallet ]–∞; 5[ og positiv i intervallet ]5; ∞[.

b. Nulpunkt: x = 15. Funktionen er negativ i intervallet ]–∞; 15[ og positiv i intervallet ]15; ∞[.

c. Nulpunkt: x = –5. Funktionen er negativ i intervallet ]–∞; –5[ og positiv i intervallet ]–5; ∞[.

d. Nulpunkt: x = 500. Funktionen er positiv i intervallet ]–∞; 500[ og negativ i intervallet ]500; ∞[.

Løsningerne er x = –3, x = 1 og x = 4.

a. Funktionen er negativ i intervallerne [–4; 3[ og ]1; 4[, og den er positiv i intervallerne ]–3; 1[ og ]4; 6].

a. x = –1, x = 2 og x = 3.

b. –2 –1 1 2 3 4 10 –10 –20 y x f

c. Funktionen er positiv i intervallerne ]–1; 2[ og ]3; 4], og den er negativ i intervallerne [–2; –1[ og ]2; 3[.

b. Nulpunkter: x = –2 og x = 5. Funktionen er positiv i intervallerne ]–∞; 2[ og ]5; ∞[, og den er negativ i intervallet ]–2; 5[.

• et globalt minimumssted i x = –1 med den globale minimumsværdi f(–1) = –23.

• et globalt maksimumssted i x = 4 med den globale maksimumsværdi f(4) = 102.

• et lokalt minimumssted i x = 6 med den lokale minimumsværdi f(6) = 26.

a. g(3) = –1, f(3) = 2 og f(–1) = 0.

b. f (g(3)) = 0, g(f(3)) = 8 og g(f(–1)) = –5.

a. h(g(x)) = 1 − x + 5 og g(h(x)) = –1 x + 5.

b. h(g(2)) = 1 3 og g(h(2)) = 9 2 = 4,5.

a. Indre funktion: g(x) = x 3 + 2 x 2

Ydre funktion: f(x) = x .

b. Indre funktion: g(x) = x – 1.

Ydre funktion: f(x) = x 5 .

a. p(x) = 2x + 2

f er aftagende i intervallet ]–∞; 3], og den er voksende i intervallet [3; ∞[. Minimumsstedet er x = 3, og minimumsværdien er f(3) = 1.

g er aftagende i intervallerne [–3; –1] og [4; 6], og g er voksende i intervallet [–1; 4]. g har:

• et lokalt maksimumssted i x = –3 med den lokale maksimumsværdi f(–3) = 53.

a.Grafenfor g børliggeforskudt2tilvenstreog 7nediforholdtilgrafenfor f.

58 a.

b. c skalvære–3,og k skalvære2.Detvilsige

h(x)= g (x–(–3)) +2= g(x+3)+2.

3. Differentialregning

9 a.2 b.2

10 a. 1 2

18 a.12og–12 b.6,90og–12

c.6

a.–8og8 b.–4,–60og8 c.–5

a. x0 –3–2–10123 g ′(x0) –12–8–404812

b.ogc. y = 4x y x –3 –2 –1 1 2 3 4 12 8 4 –4 –8 –12

d.Regressionslinjenharligningen y =4x.Ifølge formlener g ′(x)=4x.Detpassersammen.

a. f1 ′(x)=–8

b. f2 ′(x)=7x6

c. f3 ′(x)=100x99

d. f4 ′(x)=–3x –4

e. f5 ′(x)=1,5x ·ln(1,5)

a.–1 4 og–1 100 .

a.Temperaturenaftagermed4,4graderpr.minut efter2minutter.

a. g′(x)=5x ·ln(5)+5x 4

b. h′(x)=5· 1 2 x

c. f ′(x)=10x –6x 2

a. p ′(x) = 6x 2 – 8x + 3 og p ′(2) = 11.

b. 17

a. f1 ′(x) = 2x ln(x ) + x

b. f2 ′(x) = 5x x + (5x – 2) · 1 2 x

c. f3 ′(x) = 2 1 x · e3x + 1 x · 3 · e3x

d. f4 ′(x) = 20 · (2x – 34)9

e. f5 ′(x) = − 20 (x 2 + 5) 2

f. f6 ′(x) = e2x3 + 8x · (6x 2 + 8)

a. f ′(x) = 3 1500 25 x x ⋅

b. f ′(x) = 3750. Fortolkning: Ved begyndelsen af det 5. år, efter hun er begyndt at træne, vokser hendes præmiesum med hastigheden 3750 kroner pr. år.

a. h 10,50,10,010,00001

as 1,41,31,221,2021,200002

b. 1,2. Man får det samme med formlen.

4. Differentialregningens anvendelser

a. Funktionen g er aftagende i intervallet ]–∞;7] og voksende i intervallet [7;∞[.

a. y = 2x + 2 39

b. Funktionen f er voksende i intervallerne ]–∞;0] og [2;∞[. Den er aftagende i intervallet [0;2].

a. P er positiv, hvor Q er voksende, og negativ, hvor Q er aftagende. Konklusion: P er graf for f ′ , og Q er graf for f.

a. En mulig graf for f. f y

En mulig graf for g. g y x –12 –8 –4 4 8 12 5 4 3 2 1

c. En mulig graf for h. h y

a. V ′(x) = 12x 2 − 60x + 50, og x = 1,06. b. Det største volumen fås, når højden er 1,06. 20

5. Binomialfordelingen

a. xi 128

P(X = xi) 0,50,350,15

b. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1 x y

c. P(X = 8) = 0,15

a. xi 123456

P(X = xi) 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

b. P(X = 4) = 1 6 = 0,167

c. P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1 6 + 1 6 + 1 6 = 3 6 = 0,5

d. 1 – P(X = 4) = 1 – 1 6 = 0,833

a. xi 123

P(X = xi) 0,250,150,6

b. P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0,25 + 0,15 = 0,4

a. xi 5010–150

P(X = xi) 0,30,60,1

b. µ = 6

c. Var(X) = 3024 , σ = 55

a. Hvis beløbene eksempelvis ændres til 30, 10 og –90, fås samme middelværdi, mens spredningen bliver 33,2 i stedet for 55.

a. X er binomialfordelt, fordi vi har:

• 10 uafhængige gentagelser af

• basiseksperimentet ”kast en 4-sidet terning” med to udfald, hvor succes er 2’er, og fiasko er ”ikke 2’er”, og hvor der ved hver gentagelse er samme sandsynlighed, p = 1 4 , for succes.

Antalsparameteren er n = 10, og sandsynlighedsparameteren er p = 1 4 .

b. X kan antage værdierne 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

c. P(X = 1) = 0,188 og P(X = 2) = 0,282.

a. X er binomialfordelt, fordi vi har:

• 5 uafhængige gentagelser af

• basiseksperimentet ”kast en (skæv) mønt” med to udfald, hvor succes er plat, og fiasko er ”ikke plat”, og hvor der ved hver gentagelse er samme sandsynlighed, p = 0,3, for succes.

Antalsparameteren er n = 5, og sandsynlighedsparameteren er p = 0,3.

b. X kan antage værdierne 0, 1, 2, 3, 4, 5.

c. P(X = 3) = 0,132

a. X er binomialfordelt, fordi vi har:

• 25 uafhængige gentagelser af

• basiseksperimentet ”kast en 6-sidet terning” med to udfald, hvor succes er 6’er, og fiasko er ”ikke 6’er”, og hvor der ved hver gentagelse er samme sandsynlighed, p = 1 6 , for succes.

µ = 25 6 = 4,17 og σ = 1,86.

b. 4

a. X er binomialfordelt, fordi vi har:

• 40 uafhængige gentagelser af

• basiseksperimentet ”træk et kort”med to udfald, hvor succes er ”en ruder”, og fiasko er ”ikke en ruder”, og hvor der ved hver gentagelse er samme sandsynlighed, p = 1 4 , for succes.

µ = 10. Det betyder, at gennemføres binomialeksperimentet med de 40 trækninger mange gange, vil vi i gennemsnit forvente at trække 10 rudere.

b. σ = 2,7. Intervallet er 4,5 til 15,5 gange.

a. og b. P(X = 0) = 0,42

a. X er binomialfordelt, fordi vi har:

• 6 uafhængige gentagelser af

• basiseksperimentet ”drej på lykkehjulet” med to udfald, hvor succes er ”gevinst”, og fiasko er ”ingen gevinst”, og hvor der ved hver gentagelse er samme sandsynlighed, p = 0,3 for succes.

b. P(X = 4) = 0,06. Dette tal fortæller, at der er 6 % sandsynlighed for at få 4 gevinster, hvis lykkehjulet drejes 6 gange.

6. Binomialtest

a. K = {0, 1, 2, … , 16, 17, 33, 34, … , 50} og

A = {18, 19, … , 31, 32}.

b. Udfaldet 29 ligger i acceptområdet. Der er dermed ikke belæg for at påstå, at mønten ikke er ærlig.

a. X er binomialfordelt, fordi vi har:

• 100 uafhængige gentagelser af

• basiseksperimentet ”træk et lod” med to ud-

fald, hvor succes er gevinst, og fiasko er ”ikke gevinst”, og hvor der ved hver gentagelse er samme sandsynlighed, p = 0, 2, for succes. Antalsparameteren er n = 100, og sandsynlighedsparameteren er p = 0, 2.

b. Ja

a. H0: Andelen af blå pastiller er 30 %.

b. Nulhypotesen skal forkastes. Et muligt svar til slikfabrikanten kunne være: Din maskine er ikke indstillet til at producere 30 % blå pastiller.

a. p = 0,63 %. Konklusion: p-værdien er mindre en 5 %, så vi forkaster nulhypotesen og må acceptere den alternative hypotese: Vælgertilslutningen har ændret sig.

a. p = 1,6 %. Konklusion: p-værdien er mindre en 5 %, så vi forkaster nulhypotesen og må acceptere den alternative hypotese: Terningen erskæv.

a. Populationen er alle stemmeberettigede i Danmark. Stikprøven er de 1000 adspurgte personer.

b. Nej, formentlig ikke. Blandt de adspurgte vil der sandsynligvis være en større andel, som dagligt bruger offentlige transportmidler, end i hele populationen.

7. Analytisk plangeometri

a. (1, 7) gør. (2, 2) gør ikke. (3, –1) gør.

a. y = –2x + 5. a = –2 og b = 5.

a. y = –5x + 38

a. 81,9°

b. −71,6°

c. 153,4°

d. y = –1,48x + 14,86

a. y = −0, 2x + 8,4

a. (6, 2)

a. Skæringspunkt med x-aksen: (5, 0).

Skæringspunkt med y-aksen: (0, –10).

b. y = –0, 5x + 10

c. (8, 6)

a. 3,61

b. (2, 3.5)

a. 2,5 meter

a. 4,02

b. 7,16

a. 25,3 km

a. (x + 2)2 + (y – 7)2 = 25. P(2, 10) ligger på cirklen.

a. Centrum: C(–9, 16). Radius: r = 8.

b. Centrum: C(–1, – 8). Radius: r = 5.

a. (1, –3) og (4, 0).

a. (x – 3)2 + (y – 3)2 = 4

b. (1.87, 1.35) og (4.96, 2.58).

a. y = 0,5x + 4, 5

b. Afstanden er lig med cirklens radius, som er r= 5 .

a. (x + 1)2 + (y – 2)2 = 13

b. Centrum: C(–1,2). Radius: r= 13

d. y = −1,5x + 7

a. 4, 6 og 0,2

a. x = −2 eller x = 10.

b. x = −2 eller x = 2.

c. x = −5 eller x = 1.

–3 –2 –1

Absolutværdi 150

Acceptabelværdi 119

Acceptområde 119

Addition 28-29

Afledetfunktion 62

Aftagende 37,48-49

Akse 25,80

Andenakse 25

Andengradsligning 13

Andengradspolynomium 8,14-15

Antalsparameter 126-127

Associativelov 29

Basiseksperiment 102

Bias 124-125

Binomialeksperiment 102

Binomialfordeltstokastiskvariabel 102

Binomialkoefficient 95

Binomialtest 118-131

Bolle, ==+=+  44

Brøk 30

Centrumicirkel 140

Cirkel 140-145

Cirkeltangent 144

Cirklensligning 140

Cosinustil v,cos(v) 34,131

Definitionsmængde 36

Delmængde 27

Differens 14,30

Differenskvotient 68

Differensreglen 64

Differentiabel 70-73,84

Differentialkvotient 70

Diskriminant 10

Distributivelov 29

Division 28

Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem 80-81

Eksponent 16

Eksponentielnotation 56

Ekstremum(flertal:ekstrema) 43

Ekstremumspunkt 43

Ekstremumssted 43

Ekstremumsværdi 43

Element 24

Enhedscirklen 34,131,146

Enkeltlogaritmisk koordinatsystem 80-81

Estimat 124

Estimationafbasissandsynlighed 124

Faktor

28,88,147

Faktorisering 14,129

Fejlaftype1 125

Fejlaftype2 125

Foreningsmængde 26

Fortegnsvariation 40-41,51

Funktion 36ff

Funktionsværdi 39,41

Fællesmængde 26

Førsteakse 25

Gaffelforskrift 38-39

Globaltekstremum 8

Globaltmaksimum 43

Globaltminimum 43

Graf 8,36

Grundmængde 27

Grundtal 31

Grænseværdi 69

Heletal, Z 24,26

Hypotese 120

Hældningskoefficient 132,146

Hældningsvinkel 134,146

I Indrefunktion 44

Interval 25

Intervalendepunkt 25

Irrationaletal 24

K Kombination 95

Kommutativelov 29,107

Komplementærmængde 27

Konfundering 124

Konstant(funktion) 37

Konstantled 132

Konstantreglen 64

Koordinater 25

Koordinatsystem 25

Kumuleretsandsynlighed 103

Kvadrant 25

Kvadratkomplettering 141

Kvadratrod 31

Kvadratsætningerne 30

Kvotient 28

Kædereglen 66,76

L Led 28

Ligningssystem 130

Linjestykke 138

Lodretlinje 133

Lokaltekstremum 43

Lokaltmaksimum 43,82

Lokaltminimum 43,82 M

Maksimum(flertalmaksima)8.43

Middelværdi 100,104

Minimum(flertalminima) 8.43

Modelafvigelse 55

Modelværdi 55 Monoton 37

Monotoniforhold 42,82

Monotonilinje 83

Multiplikation 28 Mængde 24

Mængdedifferens 27 N Naturligetal, N 24

Negativ(funktion) 40 Nulhypotese 120 Nulpunkt 40 Nulreglen 14,97

Nævner 30 O

Observeretværdi 55

Omløbsretning 134 Optimering 86 Ortogonalelinjer 134

Outlier 114

Parabel 8,18

Parallelforskydning 46

Parenteser 28,30

Permutation 95 Population 120

Positiv(funktion) 40

Potens 28,31

Potensopløftning 28

Produkt 66,97

Produktreglen 66

Punkt 25

Punktsandsynlighed 106

p-værdi 122

Pythagoras'omvendtesætning149

R Radius 140

Rationaletal, Q 24

Reelletal, R 24

Regningsarterneshierarki 28

Retlinje 132

Retningspunkt 34,131

Rod 28

Roduddragning 28

Røringspunkt 58

Sammensatfunktion 44,66

Sandsynlighed 98

Sandsynlighedsfelt 98

Sandsynlighedsfordeling 99

Sandsynlighedsparameter 102

Sekant 68

Signifikansniveau 120

Signifikantafvigelse 119

Sinustil v,sin(v) 34

Skjultvariabel 125

Skæringspunkt 136-137

Spredning 100,104

Stigningstal 132

Stikprøve 120

Stikprøveandel 124

Stokastiskvariabel 98

Stykkevistdefineretfunktion 38

Substituere 137

Subtraktion 28

Sum 30,64

Sumreglen 64

Systematiskfejl 125

Tallinje 24

Tangenstil v,tan(v) 131

Tangent 58,144

Tangentensligning 86,145

Toligningermedtoubekendte130,137

Toppunkt 8,10

Tosidetbinomialtest 120

Tretrinsreglen 70

Tæller 30

U Udfald 98

Vandretvendetangent 82,85

Variabel 98-108

Varians 101

Vinkelmellemlinjer 134

Vinkelrettelinjer 25,135

Voksende 37,48-49

Væksthastighed 58-59,77

Værdimængde 36

X x-akse 8,25

y-akse 8,25

Ydrefunktion 44 Æ

Ægtedelmængde 27

Billedfortegnelse

Alamy:42

Colourbox:40,102ø,144

Getty:18,48,70,72,88,108,146,148,150,152

Glamgrid:142

Interpresent:16

LibraryofCongress:14

NASA:140

PerGregersen:99

Shutterstock:8,10,12,36,38,46,61,77tv,77th,82,84,104,111,125ø,125n,134,136,138

Thinkstock:44,60,62,64,65,66,67,75,87,100,102n,106,118,120,122,124,126,127

WikimediaCommons:58,68,132

*Pås.124refererestildenneundersøgelse:prx.dk/r8nay

Kernestof Mat 2 hf

Denne udgave af Kernestof Mat2 er målrettet matematikundervisningen på hf-uddannelsen ifølge læreplanerne fra 2024. Bogen dækker anden del af kernestoffet på B- og A-niveau.

Bogen har en let og overskuelig opbygning. Hvert opslag er et afgrænset, øvelsesbaseret læringsforløb. En facitliste til alle øvelser findes bagerst i bogen.

Flere end 130 QR-koder undervejs i bogen linker til screencasts med uddybende forklaringer på begreber, formler, sætninger og beviser.

Videoerne er også velegnede til flipped classroom-undervisning og til eksamensforberedelse.

Alle kapitler afsluttes med opgaver, der følger den faglige progression. På bogens website er der facitlister til alle bogens opgaver.

Mellem bogens kapitler er der træningssider med enkle forklaringer og korte opgaver til vedligeholdelse af basale regnefærdigheder og repetition af grundlæggende begreber som regningsarternes hierarki, algebra, brøkregning med videre.

Bogens website: prx.dk/kernestof