LOGICA Matematica
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ
Facultad de Humanidades
Profesorado de Enseñanza Media en Tecnología
Educativa
Curso: Lógica Matemática
Proyecto final
Nombre: Rocio Mayleth Carias Mayen
No. de carnet: 7274-22-20796
Sección: A
Principios de la logica…………………....................................5,6
Conjuntos…….……..……………………………………….….….7,8,9
Problemas de aplicación de conjuntos…………………..…..10,11,12
Calculo Propocisional…………………………………………...13,14
Formalización de las proposiciones………..….………….….15,16
Equivalencias logicas……………………………..……………..17,18
Razonamientos deductivos e inductivos……..…..………….19,20
Proposiciones Categoricas………..………….........................21,22
La estructura de un silogismo categorico…..……………….23,24
Calidad, Cantidad y distribucion de las proposiciones Categoricas y el cuadro de posiciones………………..….…25,26
Leyes de la inferencia……………………………………..........27,28
Determinación de la validez de un argumento utilizando
Tablas de verdad…………………………………………………29,30
Como se aplican las leyes de la inferencia y las leyes de equivalencia logica, para probar la validez de los
Indice Foro de participacion…………………......................................04
argumentos…………………………………………..………….31,32
Indice Cuantificadores……….………………….......................................33,34 Falacias de atinencia………………………………………………....35,36 Agradecimiento…………………………………………………………37
¿Qué es lógica?
La lógica es una disciplina filosófica y matemática que se ocupa del estudio de los principios y métodos que rigen el razonamiento válido y correcto. Es una herramienta fundamental para el pensamiento crítico y se utiliza para analizar y evaluar argumentos y proposiciones.
La lógica se basa en reglas y principios que determinan la validez de un razonamiento. Estos principios incluyen la identificación de las premisas (afirmaciones o proposiciones iniciales), la inferencia lógica (el proceso de llegar a una conclusión a partir de las premisas) y la coherencia interna del razonamiento.
La lógica se divide en diferentes ramas, como la lógica formal y la lógica informal. La lógica formal se ocupa de la estructura y las reglas formales del razonamiento, utilizando símbolos y fórmulas matemáticas para representar y analizar argumentos. La lógica informal, por otro lado, se enfoca en el razonamiento cotidiano y se preocupa por evaluar la fuerza y la debilidad de los argumentos en situaciones prácticas.
Principios de la lógica
Principios de la logica
¿Sabias qué?
Existen varios principios fundamentales en la lógica que establecen las bases para el razonamiento válido y correcto. A continuación, se presentan algunos de los principios más importantes:
Principio de identidad: Este principio establece que una afirmación es idéntica a sí misma, es decir, una proposición es verdadera si y solo si es igual a sí misma. Por ejemplo A" es una afirmación que cumple con el principio de identidad.
Principio de no contradicción: Este principio establece que una afirmación no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo y en el mismo sentido. En otras palabras, una proposición y su negación no pueden ser ambas verdaderas. Por ejemplo, "A es B" y "A no es B" no pueden ser ambas verdaderas al mismo tiempo.
Principio del tercero excluido: Este principio establece que una afirmación es verdadera o su negación es verdadera, no hay otra opción. No puede existir una tercera posibilidad. Por ejemplo, en relación a una afirmación "A", el principio del tercero excluido sostiene que "A" es verdadero o "no A" es verdadero.
Estos son solo algunos de los principios básicos de la lógica. La lógica se desarrolla en diferentes sistemas y enfoques, por lo que existen otros principios y reglas específicas dependiendo del sistema lógico utilizado
Conjuntos
¿Que es un conjunto?
Conjuntos
Es una colección o agrupación de objetos, números, elementos o conceptos que comparten alguna característica en común. Estos elementos se denominan miembros o elementos del conjunto. Los conjuntos se representan generalmente entre llaves {}.
A continuación se presentan algunos conceptos y términos claves relacionados con los conjuntos:
Elemento: Un elemento es un miembro individual de un conjunto. Por ejemplo, en el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8}, cada número es un elemento del conjunto.
Conjunto vacío: Es el conjunto que no tiene elementos. Se denota por el símbolo Ø o {}. Por ejemplo, el conjunto de números negativos mayores que 10 no tiene elementos y se representa como {}.
Subconjunto: Un conjunto A se considera subconjunto de otro conjunto B si todos los elementos de A también están presentes en B. Se denota por el símbolo . Por ejemplo, si A es el ⊆ conjunto de números pares {2, 4, 6} y B es el conjunto de números enteros {1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces A es un subconjunto de B, ya que todos los elementos de A están también en B.
Conjunto universal: que contiene todos los elementos considerados en un contexto dado. Se denota por el símbolo U. Por ejemplo, si estamos hablando de números enteros, el conjunto universal sería el conjunto de todos los números enteros.
¿sabias que?
Existen varios tipos de conjuntos: A continuación encontraras algunos
Conjunto infinito: Un conjunto infinito es aquel que tiene un número infinito de elementos. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales {1, 2, 3, 4, ...} es un conjunto infinito.
Conjunto finito: Un conjunto finito es aquel que tiene un número determinado de elementos, es decir, un número finito de miembros. Por ejemplo, el conjunto de los días de la semana {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} es un conjunto finito.
Conjunto vacío: También conocido como conjunto nulo, es aquel que no tiene ningún elemento. Se denota por el símbolo Ø o {}. Es importante destacar que el conjunto vacío es un conjunto válido y cumple con todas las propiedades de los conjuntos.
Conjunto unitario: Un conjunto unitario es aquel que contiene un solo elemento. Por ejemplo, el conjunto {5} es un conjunto unitario, ya que solo tiene el número 5 como elemento
Problemas de aplicación de conjuntos
Problemas de aplicación de conjuntos
Problemas de intersección y unión: Estos problemas implican la determinación de la intersección o unión de conjuntos. Por ejemplo, se puede pedir encontrar la intersección de dos conjuntos para identificar los elementos que tienen en común.
Problemas de inclusión y exclusión: En estos problemas, se utilizan principios de inclusión y exclusión para contar elementos en conjuntos. Por ejemplo, se puede plantear un problema en el que se deben contar los elementos que cumplen ciertas condiciones y se deben tener en cuenta las intersecciones y exclusiones entre conjuntos.
¿Que es un algoritmo?
Un algoritmo es una secuencia finita de pasos o instrucciones precisas y bien definidas que permiten resolver un problema o llevar a cabo una tarea específica.
¿sabias que?
Un buen algoritmo debe cumplir con ciertas características, como:
• Precisión: Los pasos deben ser precisos y no ambiguos, de modo que se pueda entender claramente qué se debe hacer en cada etapa del proceso.
• Finitud: El algoritmo debe tener un número finito de pasos, lo que significa que debe tener un punto de inicio y un punto de finalización
• Determinismo: Para una entrada o conjunto de datos específicos, el algoritmo debe producir siempre el mismo resultado o salida
• Eficiencia: El algoritmo debe ser eficiente en términos de tiempo y recursos utilizados. Se busca que el algoritmo resuelva el problema de la manera más rápida y eficiente posible.
Calculo proposicional
Calculo proposicional
Es una rama de la lógica que se centra en el estudio de las proposiciones o declaraciones, así como las relaciones lógicas que se establecen entre ellas. En el calculo proposicional, las proposiciones se consideran unidades básicas de significado y se analizan sus combinaciones y operaciones lógicas.
Una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas al mismo tiempo. Por ejemplo, "El sol es una estrella" y "2+2=5" .
En el cálculo proposicional, se utilizan símbolos para representar proposiciones y operadores lógicos para combinar o modificar proposiciones. Algunos de los elementos básicos utilizados en el cálculo proposicional son:
1. Variables proposicionales: Son símbolos que se utilizan para representar proposiciones específicas. Se suelen representar con letras minúsculas, como p, q, r, etc.
2. Conectivos lógicos: Son símbolos que se utilizan para combinar o modificar proposiciones y establecer relaciones lógicas entre ellas. Algunos de los conectivos lógicos comunes son la negación (~ o ¬), la conjunción (^ o ),∧ la disyunción (v o ),∨ la implicación (→) y la doble implicación (↔), como se mencionó anteriormente.
3. Reglas de inferencia: Son reglas formales que permiten realizar inferencias válidas en el cálculo proposicional. Estas reglas establecen cómo se pueden combinar y manipular proposiciones para obtener conclusiones lógicamente válidas.
Formalización de las proposiciones
Formalizacion de las proposiciones
Es el proceso de representar y expresar las proposiciones en un lenguaje formal y simbólico, generalmente utilizando el cálculo proposicional o algún otro sistema formal de lógica.
La formalización de las proposiciones implica la traducción de las afirmaciones y declaraciones del lenguaje natural a un lenguaje formal, en el cual se utilizan símbolos y reglas precisas para representar y manipular proposiciones. Esto se hace con el fin de eliminar ambigüedades y ambigüedades inherentes al lenguaje natural y establecer un marco riguroso para el razonamiento lógico.
En el contexto del cálculo proposicional, la formalización de las proposiciones implica asignar variables proposicionales a las diferentes afirmaciones y utilizar los conectivos lógicos (negación, conjunción, disyunción, implicación, etc.) para combinar y relacionar estas proposiciones. Se pueden utilizar símbolos como p, q, r, etc., para representar proposiciones específicas, y luego se aplican las reglas y axiomas del cálculo proposicional para derivar conclusiones y evaluar la validez lógica de los argumentos.
Un dato curioso sobre la formalización de las proposiciones es que a lo largo de la historia, diferentes sistemas formales de lógica han sido propuestos para representar y manipular proposiciones de manera precisa. Uno de los sistemas más conocidos es el cálculo proposicional clásico, también llamado lógica de dos valores, que utiliza los conectivos lógicos de negación, conjunción, disyunción, implicación y doble implicación.
Equivalencias Lógicas
Las equivalencias lógicas se basan en la lógica proposicional y se utilizan para simplificar y transformar expresiones lógicas de manera algebraica y lógica. Estas equivalencias se derivan de las leyes y reglas de inferencia de la lógica y pueden aplicarse para simplificar expresiones complejas, demostrar teoremas y facilitar el razonamiento lógico.
Son relaciones de igualdad entre dos expresiones lógicas que tienen el mismo valor de verdad en todas las posibles asignaciones de verdad a las variables involucradas.
Algunas de las equivalencias lógicas más comunes incluyen:
Leyes de doble negación: ~~p ≡ p
Leyes de idempotencia: p ^ p ≡ p p v p ≡ p
Leyes asociativas: (p ^ q) ^ r ≡ p ^ (q ^ r) (p v q) v r ≡ p v (q v r)
Leyes distributivas: p ^ (q v r) ≡ (p ^ q) v (p ^ r) p v (q ^ r) ≡ (p v q) ^ (p v r)
Leyes conmutativas: p ^ q ≡ q ^ p p v q ≡ q v p
Leyes de identidad: p ^ verdadero ≡ p p v Falsa ≡ p
¿Sabias? Qué? Las equivalencias lógicas permiten simplificar expresiones, reescribir argumentos de manera más compacta y facilitar el análisis y el razonamiento lógico
Razonamientos Deductivos e inductivos
Razonamientos deductivos e inductivos
Los razonamientos deductivos e inductivos son dos formas distintas de argumentación utilizadas en la lógica y el razonamiento lógico.
Razonamiento deductivo: Es un proceso lógico que parte de premisas o afirmaciones generales y utiliza reglas y principios lógicos para llegar a una conclusión específica y necesaria. En un razonamiento deductivo, si las premisas son verdaderas y el razonamiento es válido, entonces la conclusión debe ser verdadera. Se basa en la idea de que la conclusión está contenida lógicamente en las premisas.
Por ejemplo:
Premisa 1: Todos los mamíferos son vertebrados.
Premisa 2: Todos los perros son mamíferos.
Conclusión: Por lo tanto, todos los perros son vertebrados.
Razonamiento inductivo: Es un proceso lógico que parte de observaciones o datos específicos y utiliza estas observaciones para inferir una conclusión general o probable. A diferencia del razonamiento deductivo, el razonamiento inductivo no garantiza la verdad de la conclusión, sino que la hace probable o plausible. Se basa en la idea de que si una muestra representativa de casos particulares respalda una conclusión general, entonces es probable que la conclusión sea verdadera.
Por ejemplo:
Observación 1: He visto cinco gatos negros y todos tienen el pelo suave.
Observación 2: Vi otro gato negro hoy y también tiene el pelo suave.
Conclusión: Por lo tanto, todos los gatos negros tienen el pelo suave.
Dato importante
• El razonamiento deductivo parte de premisas generales para llegar a una conclusión necesaria, mientras que el razonamiento inductivo parte de observaciones específicas para llegar a una conclusión general o probable.
• Ambos tipos de razonamiento son importantes y se utilizan en diferentes contextos para el razonamiento lógico y la toma de decisiones.
Proposiciones categóricas
Proporciones categóricas
Las proposiciones categóricas son una forma específica de proposiciones que establecen una relación entre dos categorías o clases de objetos. Se utilizan en la lógica tradicional, especialmente en el sistema desarrollado por Aristóteles.
Una proposición categórica se compone de dos partes principales: el sujeto y el predicado, que están conectados por un verbo copulativo (ser o estar). El sujeto se refiere a la clase o categoría de objetos sobre la cual se hace una afirmación, y el predicado se refiere a una propiedad o característica atribuida a esa clase de objetos.
Las proposiciones categóricas se representan comúnmente utilizando letras y letras mayúsculas para representar las categorías. Por ejemplo:
• Todos los A son B (A es el sujeto y B es el predicado)
• Ningún A es B
• Algunos A son B
• Algunos A no son B
La estructura de un silogismo Categórico
La estructura de un silogismo categórico
La estructura de un silogismo categórico se basa en las proposiciones categóricas y sigue una forma específica. Un silogismo categórico consta de tres proposiciones categóricas: una premisa mayor, una premisa menor y una conclusión. Cada una de estas proposiciones sigue una estructura fija y se conecta para formar el razonamiento deductivo.
Ejemplo de una estructura de un silogismo categórico:
Premisa mayor: Todos los [sujeto de la conclusión] son [predicado de la conclusión].
Premisa menor: Algunos [sujeto de la conclusión] son [predicado de la conclusión].
Conclusión: Por lo tanto, algunos/todos [sujeto de la conclusión] son [predicado de la conclusión].
Los silogismos categóricos se clasifican en diferentes figuras (Figura 1, Figura 2, Figura 3 y Figura 4) y modos (modus ponens, modus tollens,) según la posición de los términos en las premisas. Estas variaciones en la estructura afectan las reglas y las inferencias válidas en el silogismo categórico.
Calidad, cantidad y distribución de las proposiciones categóricas y el cuadro de posición
Calidad, cantidad y distribución de las proposiciones categóricas y el cuadro de posición
En el estudio de los silogismos categóricos, se utilizan los conceptos de calidad, cantidad y distribución de las proposiciones categóricas, así como el cuadro de posición. Estos conceptos ayudan a analizar y evaluar la validez de los silogismos categóricos.
Cuadro de posición: El cuadro de posición es una representación gráfica que muestra la posición de los términos (sujeto y predicado) en las premisas y en la conclusión de un silogismo categórico. El cuadro de posición se utiliza para evaluar la validez de un silogismo y verificar si los términos están distribuidos correctamente en las premisas y la conclusión.
Ejemplo:
• Premisa mayor: Todos los gatos son mamíferos. (A afirmativa y universal)
• Premisa menor: Algunos mamíferos son perros. (I afirmativa y particular)
• Conclusión: Por lo tanto, algunos perros son gatos. (I afirmativa y particular)
En este ejemplo, las proposiciones categóricas son de calidad afirmativa (A e I) y la premisa mayor es universal, mientras que la premisa menor y la conclusión son particulares. Ambos términos, "gatos" y "perros", están distribuidos en la premisa menor y la conclusión, pero solo el término "mamíferos" está distribuido en la premisa mayor.
La calidad y cantidad de las proposiciones categóricas se refieren a si son afirmativas o negativas, y si son universales o particulares, respectivamente. La distribución de los términos indica si se toman universalmente o particularmente en una proposición. El cuadro de posición es una herramienta visual para analizar y evaluar la validez de los silogismos categóricos mediante la verificación de la correcta distribución de los términos.
Leyes de inferencia
Leyes de inferencia
Son principios o reglas lógicas que nos permiten realizar inferencias válidas y razonamientos deductivos. Estas leyes nos ayudan a derivar conclusiones lógicas a partir de premisas dadas. A continuación, mencionaré algunas de las leyes de inferencia más comunes:
Existen varias leyes de inferencia
Determinación
Determinación de la validez de un argumento utilizando tablas de verdad
Es un método formal para evaluar la validez lógica de un razonamiento deductivo. Se basa en construir una tabla que muestra todas las posibles combinaciones de verdad de las proposiciones involucradas en el argumento y luego examinar si la conclusión es verdadera en todas las filas en las que todas las premisas son verdaderas.
Aquí tienes los pasos para determinar la validez de un argumento utilizando tablas de verdad:
1. Identifica las premisas y la conclusión del argumento.
2. Asigna letras proposicionales a cada una de las proposiciones involucradas en el argumento. Puedes usar letras como p, q, r, etc., para representar proposiciones.
3. Construye una tabla de verdad con columnas para cada proposición y para las premisas y la conclusión.
4. Completa la tabla de verdad asignando los valores de verdad posibles (verdadero o falso) a las proposiciones involucradas. Asegúrate de considerar todas las combinaciones posibles.
• 5. Evalúa el valor de verdad de cada premisa y la conclusión en cada fila de la tabla de verdad. Utiliza las reglas de lógica para determinar el valor de verdad de las proposiciones compuestas (mediante el uso de conectivos lógicos como negación, conjunción, disyunción, implicación, etc.).
• 6. Examina las filas en las que todas las premisas son verdaderas y verifica si la conclusión también es verdadera en esas filas. Si la conclusión es verdadera en todas las filas en las que todas las premisas son verdaderas, el argumento se considera válido. De lo contrario, se considera inválido.
Como se aplican las leyes de la inferencia y las leyes de equivalencia lógica, para probar la validez de los argumentos
Para probar la validez de un argumento utilizando las leyes de inferencia y las leyes de equivalencia lógica, se sigue un enfoque deductivo. Aquí tienes los pasos generales a seguir:
1. Identificar las premisas y la conclusión del argumento.
2. Representar las premisas y la conclusión utilizando proposiciones simbólicas. Asignar letras proposicionales como p, q, r, etc., a cada proposición.
3. Utilizar las leyes de equivalencia lógica para simplificar las premisas y la conclusión. Utilizar las leyes de negación, conjunción, disyunción, implicación, etc., para transformar las proposiciones y reducir la complejidad del argumento. Puedes utilizar tablas de verdad, equivalencias conocidas o técnicas de simplificación para aplicar estas leyes.
4. Aplicar las leyes de inferencia para realizar inferencias válidas. Utilizar las leyes de Modus Ponens, Modus Tollens, Silogismo Hipotético, Silogismo Disyuntivo, entre otras, para derivar nuevas proposiciones a partir de las premisas simplificadas. Asegurarse de aplicar las reglas de inferencia de manera correcta y precisa.
5. Continuar aplicando las leyes de inferencia y las leyes de equivalencia lógica de manera sistemática hasta llegar a la conclusión o hasta que no se puedan realizar más inferencias. Realizar todas las inferencias posibles y utilizar todas las reglas lógicas pertinentes para analizar la validez del argumento.
6. Si se puede llegar a la conclusión utilizando las premisas y las reglas lógicas aplicadas, entonces el argumento es válido. Si en algún punto se llega a una contradicción o no se puede llegar a la conclusión utilizando las premisas y las reglas lógicas aplicadas, entonces el argumento es inválido.
Como se aplican las leyes de la inferencia y las leyes de equivalencia lógica, para probar la validez de los argumentos
Cuantificadores
Cuantificadores
Los cuantificadores son términos utilizados en lógica y matemáticas para expresar la cantidad o el alcance de una afirmación sobre un conjunto de elementos. Hay dos tipos principales de cuantificadores: el cuantificador universal () y el cuantificador existencial ().∀∃
El cuantificador universal () se utiliza para expresar ∀ que una afirmación es verdadera para todos los elementos de un conjunto.
El cuantificador existencial () se utiliza para expresar ∃
Los cuantificadores son esenciales para el razonamiento lógico y la formulación precisa de proposiciones y teoremas en matemáticas.
Permiten expresar afirmaciones generales sobre conjuntos de elementos y analizar la relación entre diferentes conjuntos y propiedades.
Las falacias de atinencia
Las falacias de atinencia
Son errores lógicos en los que el argumento no se relaciona directamente con el tema en discusión o no proporciona información relevante para la conclusión. Estas falacias son técnicas retóricas que intentan persuadir a alguien utilizando argumentos aparentemente persuasivos, pero que en realidad son engañosos o irrelevantes.
Algunas de las falacias de atinencia más comunes incluyen:
Falacia ad hominem: Atacar al argumentador en lugar de refutar sus argumentos. Se desacredita o se critica a la persona en lugar de abordar el contenido de su argumento.
o Ejemplo: "No debemos escuchar a Juan sobre la educación, ya que es un ex convicto".
Falacia del hombre de paja: Distorsionar o exagerar el argumento del oponente para facilitar su refutación. Se crea una versión más débil o distorsionada del argumento original para refutarlo.
o Ejemplo: "Los defensores del control de armas quieren quitar todas las armas a todos los ciudadanos".
Falacia de la petición de principio: Esta falacia ocurre cuando se asume como verdadera la conclusión que se intenta probar, sin ofrecer pruebas adicionales o argumentos sólidos. Se da por sentado lo que se está tratando de demostrar. o Ejemplo: "Debemos seguir las órdenes del líder porque el líder siempre tiene la razón".
Falacia del argumento de autoridad: Esta falacia se comete cuando se apela a la autoridad de una persona o fuente como evidencia suficiente para respaldar un argumento, sin proporcionar pruebas adicionales. Se asume que algo es cierto solo porque una figura de autoridad lo afirma.
o Ejemplo: "El famoso científico PITTER afirma que el cambio climático no está relacionado con la actividad humana, por lo tanto, no debemos preocuparnos al respecto".
Falacia de la generalización apresurada: Esta falacia ocurre cuando se llega a una conclusión generalizada basada en una muestra insuficiente o no representativa de evidencia. Se saca una conclusión demasiado amplia a partir de una cantidad limitada de información.
o Ejemplo: "Probé un plato de comida en ese restaurante una vez y estaba malo, por lo tanto, todos los platos de ese restaurante deben ser malos".
Gracias por compartir un poquito de su conocimiento con nosotros licenciado, que Dios lo bendiga siempre.
