Fractales Introducción alAnálisis Estructural
UniversidaddelBíoBío
EscueladeDiseñoIndustrial
IntroducciónalAnálisis
Estructural Profesor IzaúlParra
Estudiante
LissetteMuñozPinto
Informerealizadodurantela investigacióndeestructuras naturales. Concepción-Mayo2023.
Índice Prefacio 4 Resumen 5 Definición Fractales 6-7 Origen Histórico y Autores 8-12 Desarrollo de la temática 13-22 Referentes 23-25 Análisis y Reflexión 26 Conclusión 27 Bibliografía 28-29
“Las nubes nos son esferas, las montañas no son círculos, y la corteza no es lisa, ni el relámpago viaja en línea recta”.
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Benoit Mandelbrot.
Resumen
¿Qué tienen en común la corteza en los tallos y las venas en las hojas de las plantas, las ramificaciones y su expansión, los ríos, las plumas de un pavo real y un copo de nieve? Todo lo anterior, son ejemplos de fractales naturales.
Este concepto se le atribuye al matemático Benoit Mandelbrot (1982) quien en sus propias palabras estableció:
“Desarrollé una nueva geometría de la naturaleza y empecé a usarla en una serie de campos. Permite describir muchas de las formas irregulares y fragmentadas que nos rodean, dando lugar a teorías hechas y derechas, identificando una serie de formas que llamo fractales.” (p. 15) ₁
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¿
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Q u è s o n l o s F r a c t a l e s
?
La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular.
Para designar un objeto como fractal, debe tener ciertas características: “Las más útiles implican azar, y tanto sus regularidades como sus irregularidades son estadísticas. Las formas que describo aquí tienden a ser, también, escalantes, es decir su grado de irregularidad y/o fragmentación es idéntico a todas las escalas.” (Mandelbrot, 1982, p. 15) ₂
Estructura geométrica fragmentada. O aparentemente “irregular”, la cual posee un ordenamiento que se repite a diferentes escalas.
Recursividad. Es decir, a pesar de que nos alejemos o nos acerquemos, siempre veremos la misma estructura.
Autosimilitud. Corresponde a la propiedad de un objeto, en el que el todo es exacta o aproximadamente similar a una parte de sí mismo.
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Historia
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Los fractales existen desde todos los tiempos. A pesar de que se entendía que las dimensiones sólo podían medirse en números enteros, a finales del siglo XIX, los matemáticos habían descubierto lo contrario.
Edward Lorenz en “La esencia del caos”, explica la investigación de determinadas estructuras que la mayoría consideraba "misteriosas" y que poseían la particularidad de tener dimensión fraccionaria. Estos redefinieron el concepto de dimensión de tal manera que las curvas, las superficies y los sólidos siguieran siendo uni, bi y tridimensionales.
Estos conjuntos con dimensiones fraccionarias dejarían de ser desconocidos gracias a Benoit Mandelbrot con sus ensayos como: “Fractales: Forma, azar y dimensión” y “La geometría fractal de la naturaleza”, donde finalmente se establece el concepto de fractal.
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Esta reivindicación de la forma y esencia de la naturaleza y de su complejidad llegó por primera vez con el articulo de Mandelbrot “¿Qué longitud tiene la costa de Gran Bretaña?”. Este contenía una pregunta: ¿cuál era la esencia de la línea de un litoral?, la cual se convirtió en el punto de partida de su pensamiento.
Mandelbrot observó el efecto de ver un objeto desde distancias distintas y a escalas diferentes, donde pudo llegar a la conclusión de que cualquier litoral es de longitud infinita, es decir, que la longitud depende de la largura de la regla.
Puedes leer el artículo original o la versión en español descargando su libro "La geometría fractal de la naturaleza", que contiene el artículo en el capítulo 2, página 49, escaneando los siguientes respectivos QR:
Artículo original en inglés Libro en español
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Principales
s
Karl Weierstras
Georg Cantor
Giuseppe Peano 11
Helge vonKoch
Benoit Mandelbrot
Waclaw Sierpinski
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Félix Hausdorff
"Las mismas estructuras patológicas que inventaron los matemáticos para escapar del naturalismo del siglo XIX han resultado ser inherentes a muchos de los objetos que nos rodean."
(Mandelbrot, 1982, p. 18) ₃
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Matemáticamente, los fractales aportan una complejidad extra a las figuras irregulares, lo que significa una dimensión adicional a la tridimensionalidad.
En base a su estudio, se estableció una ecuación que se repite infinitamente, la cual denominamos como iteración, que se describe como el acto y consecuencia de reiterar o repetir.
Para ello, explicaremos los casos mencionados anteriormente y que fueron esenciales para su conocimiento:
FuncióndeWeierstrass
Es una función continua en todo punto y no es diferenciable (que no posee dominio en un subconjunto de los números reales) en ninguno. Además, es una curva de dimensión fractal (explicada más adelante) superior a 1.
Puedes ver cómo crece aumentando n, escaneando el QR que te llevará al enlace
La función es continua dado que las sumas son continuas y la serie es uniformemente convergente.
Otra propiedad, es su condición fractal. Si bien su gráfico no es rigurosamente autosemejante, la dimensión del mismo gráfico no es uno ni dos.
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ConjuntodeCantor
El conjunto o polvo de Cantor es un subconjunto fractal del intervalo real [0,1].
Es presentado por George Cantor en 1883, sin embargo, este conjunto ya había sido estudiado en 1875 por el matemático Henry John Stephen Smithes, quien falleció antes de establecer sus ideas.
La construcción del conjunto es mediante la remoción de partes de una figura geométrica, según el siguiente algoritmo:
1. El primer paso es tomar el intervalo [0, 1].
2. El segundo paso es quitarle su tercio interior, es decir el intervalo abierto (1/3; 2/3).
3. El tercero es quitar a los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores, es decir los intervalos abiertos (1/9; 2/9) y (7/9; 8/9).
4. Los pasos siguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.
Para ver el proceso, puedes realizarlo en el siguiente Qr, presionando en "Next step":
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¿Dónde podemos encontrar el Polvo de Cantor en la naturaleza?
Antiguamente, se creía que el anillo de Saturno era único, pero con el tiempo, se fue descubriendo que tenía cortes produciendo distintos anillos de diversa opacidad.
16 L O S A N I L L O S D E S A T U R N O
CurvadePeano
La curva de Peano es un tipo de curva continua que "recubre" todo el plano, la cual se obtiene mediante una sucesión de curvas continuas sin intersecciones que convergen a una curva límite.
CopodenievedeKoch
Su formación es a partir de un segmento al que se le realizan de forma indefinida los siguientes pasos:
Escanea el QR para visualizar la sucesión de las curvas de Peano
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Escanea el QR para ver cómo se hace el copo de nieve de Koch
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Si esta construcción se realiza en los tres lados de un triángulo equilátero se obtiene el Copo de nieve de Koch.
TriángulodeSierpinski
El triángulo de Sierpinski se construye desde un solo triángulo que, con cada iteración, irá eliminando el centro del triángulo generando espacios vacíos.
Mismo caso ocurre con la alfombra de Sierpinski, que realiza el proceso anterior con un cuadrado que se divide infinitamente en 9 partes, dejando un vacío en el centro.
Posterior a eso, se creó la esponja de Menger, que lleva el cuadrado plano anterior a la tridimensionalidad del cubo.
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Escanea el QR para ver un video que combina el mundo de Sierpinski
"Topológicamente hablando, la alfombra de Sierpinski es una curva plana universal y la esponja de Menger es una curva espacial universal, que nos lleva a un espacio de dimensión superior."
(Mandelbrot, (1982), p. 207) ₄
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DimensiónfractaldeHausdorff
Corresponde a una medida métrica del concepto de dimensión de un espacio, que permite definir una dimensión fraccionaria (no entera) para un objeto.
Ejemplo de estimación de la dimensión de Hausdorff para la costa de gran Bretaña.
ConjuntodeMandelbrot
El conjunto de Mandelbrot se genera iterando una función simple en los puntos del plano complejo. Los puntos que producen un ciclo (el mismo valor una y otra vez) pertenecen al conjunto, mientras que los puntos que divergen (dan valores cada vez mayores) se encuentran fuera de él.
Explora el Conjunto de Mandelbrot en el siguiente applet
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Referentes
De acuerdo a lo anterior, es que podemos analizar los fractales que componen la naturaleza y cómo la mayoría de fenómenos naturales, considerados irregulares o caóticos, tienen un patrón y forma específica que se repite en copias más pequeñas infinitamente.
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Simmons Hall del Massachusetts Institute of Technology, diseñadoporStevensHoll EEUU
KT Landmark Tower / Studio Daniel Liebeskind + G.Lab* by GansamArchitects&Partners.Seúl,CoreadelSur.
A r q u i t e c t u r a a c t u a l y a n t i g u a
CastillodelMonte Bari,Italia
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BasílicadelaSagradaFamiliaporAntoniGaudí Barcelona,España
ObrasdeM.C.Escher. "MetamorfosisII"
A r q u i t e c t u r a y a r t e f r a c t a l
Arquitecturadecatedralesgóticas CatedraldeNotreDame París,Francia
"Serpientes" Escher
"Relatividad" Escher
"Lacaradelaguerra" SalvadorDalí
"Postesazules" JacksonPollock
FRACTAL VIENE DEL LATÍN FRACTUS EL VERBO
CORRESPONDIENTE ES FRANGERE QUE SIGNIFICA «ROMPER EN PEDAZOS»
«FRAGMENTADO»
TAMBIÉN SIGNIFICA «IRREGULAR», CONFLUYENDO
AMBOS
SIGNIFICADOS EN EL TÉRMINO DE FRACTAL.
Análisisyreflexión
La geometría fractal es interdisciplinaria, ya que nos permite descubrir cómo se comporta la naturaleza y gracias a ella, poder aplicarla en nuestro día a día con otras maneras de generar estructuras. Entre ellas, las que ya existían sin saber que eran fractales y las que vendrán a futuro en la arquitectura y las nuevas tecnologías.
ÁLGEBRA PROCEDE DEL ÁRABE JABARA = UNIR, ATAR. ¡FRACTAL Y ÁLGEBRA SON ETIMOLÓGICAMENTE OPUESTOS!
CONSTRUCCIONES DE LA PREHISTORIA CIENCIAS Y MATEMÁTICAS COMPLEJAS LO DESCONOCIDO Y CAÓTICO
IRREGULARIDAD FRAGMENTADO
FRACTAL
RAMIIFICACIONES
MONTAÑAS
RÍOS
NATURALEZA
CUERPO HUMANO
Aquello nos demuestra que gran parte de lo que nos rodea es fractal y que todo ese caos contiene un orden y reiteración infinita, por lo que es necesario lo "raro" en nuestra vida en medio de lo que es aparentemente simétrico o perfecto.
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Conclusión
Los fractales existen desde todos los tiempos y su estudio permitió darle explicación al “caos”, tanto matemática como naturalmente. Gracias a quienes se atrevieron a descubrirla para que podamos reconocerla hoy en día.
Todo lo que es aparentemente irregular tiene un orden estructural y es parte de la mayoría de nuestro entorno, como en los ríos o las raíces de una planta, hasta en nosotros mismos en el sistema respiratorio.
Sus diversas construcciones y composiciones datan desde la antigüedad, cuando los matemáticos determinaron la dimensión fractal y la función que la reconoce como continua e iterativa. Por otro lado, también es parte de obras muy simétricas como la arquitectura de Dalí y también en el arte abstracto como la pintura de Pollock. Actualmente, la geometría fractal sigue siendo un tanto desconocida y su aplicación en la actualidad podría ser una gran oportunidad para nuevas formas de diseño.
27
₁,₂,₃,₄ Mandelbrot, Benoit. (1985). La Geometría Fractal de la Naturaleza. Recuperado de https://padlet.com/izaulpa/introducci-n-al-an-lisisestructural-ktj2fzjj57gua2n6/wish/2568836033
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Bibliografía 28
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Bibliografía 29
