Solem, Alseth, Nordberg - Tall og tanke 1

Hvilken matematikk er viktigst for elevene på 1. til 4. trinn?

Hvilke begreper og ferdigheter er fundamentale for elevenes videre læring av matematikk?

Hvordan kan lærere hjelpe elevene å forstå nye matematiske ideer samtidig som deres engasjement og entusiasme opprettholdes?

Dette er nøkkelspørsmål i Tall og tanke 1, matematikkundervisning på 1. til 4. trinn. Boka omhandler matematikken, elevenes kompetanseutvikling og undervisningen, og den viser hvordan lærere kan inspirere, motivere, utfordre og støtte elevene. Forfatterne legger vekt på klassesamtaler i matematikk, og de gir mange forslag til hvordan gode samtaler kan initieres, og hvordan lærere kan utfordre elevenes matematiske tenkning. Boka inneholder mange praktiske aktiviteter og rike oppgaver som engasjerer elevene, med eksempler på elevarbeider som viser elevenes løsningsmetoder og strategier.

Her er egne kapitler om de sentrale områdene elevene arbeider med. Til hvert fagområde beskrives elevenes utvikling fram mot mestring av sentrale begreper og ferdigheter: • • • • • •

Tall og tallforståelse Statistikk Regning Geometri Måling Algebra

Boka henvender seg til matematikklærere og studenter i lærerutdanning. Med forankring i internasjonal forskning og erfaringer fra klasserom er dette en viktig bok som vil bidra til å utvikle elevenes matematikkunnskap og gi barna et positivt møte med matematikkfaget.

Boka har en fortsettelse i Tall og tanke 2. Matematikkundervisning på 5.–7. trinn.

TALL OG TANKE 1

Gunnar Nordberg er pensjonert matematikklærer. Han har undervist i matematikkdidaktikk ved lærerutdanningen ved Høgskolen i Oslo. Han har mange års erfaring som underviser, veileder og kursholder for elever og lærere på alle trinn i grunnskolen. Nordberg er blant annet forfatter av boken Matematikkundervisning på mellomtrinnet, samt medforfatter i læreverket Multi for barnetrinnet.

•

www.gyldendal.no/akademisk

Bjørnar Alseth er læremiddelutvikler. Han har doktorgrad i barns læring av matematikk og har en bred interesse for matematikk, undervisning og elevers læring. Han har tidligere arbeidet med grunnog videreutdanning av matematikklærere og utvikling av nasjonale kartleggingsprøver i matematikk. Han var leder for læreplangruppa i matematikk til Kunnskapsløftet 2006. Alseth er forfatter av læreverket Multi og Tall og tanke 2. Matematikkundervisning på 5.–7. trinn.

• •

Heiberg Solem • Alseth • Nordberg

Ida Heiberg Solem er førstelektor i matematikk ved OsloMet – Storbyuniversitetet. Hun er opptatt av betydningen av kommunikasjonen i matematikklasserommet knyttet til undring og resonnement, argumentasjon og begrunnelse. Solem er forfatter av Det matematiske barnet og Tall og tanke. Matematikkundervisning på 1.–4. trinn, lærebøker for barnehage- og grunnskolelærerutdanning, og har publikasjoner nasjonalt og internasjonalt innen matematikkdidaktikk.

Ida Heiberg Solem Bjørnar Alseth Gunnar Nordberg

TALL OG TANKE 1

Matematikkundervisning på 1. til 4. trinn

1: Innledning 2: Tall og tallforståelse 3: Statistikk 4: Regning 5: Geometri 6: Måling 7: Algebra

Ida Heiberg Solem, Bjørnar Alseth og Gunnar Nordberg

tall og tanke 1 – Matematikkundervisning på 1. til 4. trinn

© Gyldendal Norsk Forlag AS 2018 1. utgave 2010 2. utgave 2018 ISBN 978-82-05-51229-0 Illustrasjonene fra Nordqvist: Bosse finner en stol © Sven Nordqvist / BONO 2018 Andre illustrasjoner: Eivind Vetlesen og Víctor Paiam (Basta illustrasjon & design – www.basta.no) Omslagsdesign: Eivind Vetlesen Layout og sats: Eivind Vetlesen Brødtekst: Minion Pro 10,5/14 pkt Papir: 90 g Amber graphic Trykk: Opolgraf, Polen 2018 Alle henvendelser om boka kan rettes til Gyldendal Akademisk Postboks 6730 St. Olavs plass 0130 Oslo www.gyldendal.no/akademisk akademisk@gyldendal.no Det må ikke kopieres fra denne boken i strid med åndsverkloven eller avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesse­organ for rettighetshavere til ­åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Alle Gyldendals bøker er produsert i miljøsertifiserte trykkerier.

Se www.gyldendal.no/miljo

Innhold

Innhold Forord ......................................................................................................................................................... 5 1: Innledning .......................................................................................................................................... 7 2: Tall og tallforståelse ............................................................................................................ 21 2.1 Begynnende tallforståelse ................................................................................................................

2.2 Å uttrykke matematikk ....................................................................................................................

2.3 Når tallene blir større ........................................................................................................................

2.4 Brøk .....................................................................................................................................................

22 29 41 65

3: Statistikk ............................................................................................................................................ 81 3.1 Hva er statistikk? ............................................................................................................................... 82 3.2 Å stille spørsmål ................................................................................................................................ 85 3.3 Å samle inn og sortere data.............................................................................................................. 87 3.4 Å illustrere og tolke data .................................................................................................................. 92 3.5 Typetall, median og gjennomsnitt ................................................................................................... 99

4: Regning ............................................................................................................................................. 107 4.1 Regning med tall opp til 20 ............................................................................................................

4.2 Om å velge regningsart ...................................................................................................................

4.3 Barn bruker og utvikler metoder ..................................................................................................

4.4 Multiplikasjon og divisjon ............................................................................................................

4.5 Faktakunnskap og hoderegningsstrategier ..................................................................................

108 118 125 146 165

3

5: Geometri .......................................................................................................................................... 183

5.1 Klassifisering .................................................................................................................................... 184 5.2 Mangekanter og sirkler ................................................................................................................... 196 5.3 Geometriske former i tre dimensjoner ......................................................................................... 214 5.4 Veksle mellom to og tre dimensjoner .......................................................................................... 222 5.5 Symmetri og speiling ....................................................................................................................... 243 5.6 Mønster ............................................................................................................................................ 250 5.7 Plassering – orientering ................................................................................................................. 259

6: Måling ............................................................................................................................................... 279 6.1 Måling som generelt begrep ..........................................................................................................

6.2 Lengde ..............................................................................................................................................

6.3 Areal ..................................................................................................................................................

6.4 Volum ...............................................................................................................................................

6.5 Vekt og veiing ..................................................................................................................................

6.6 Tid og tidsmåling ............................................................................................................................

280 288 298 309 318 330

7: Algebraisk tenkning .............................................................................................................. 339 7.1 Generalisert aritmetikk ................................................................................................................... 342 7.2 Å oppdage mønster ......................................................................................................................... 350 7.3 Funksjoner ....................................................................................................................................... 357

Litteraturliste ............................................................................................................................... 377 Register ................................................................................................................................................. 381

5

Forord Matematikkundervisningen i grunnskolen skal forberede elevene på videre skolegang og på et liv utenfor skole og utdanning. For det 21. århundret betyr det at mens begrepsforståelse, faktakunnskaper og ferdigheter fremdeles er viktig, skal elevene også utvikle sin kreativitet og mer komplekse kompetanser, som evne til problemløsning, samarbeid og kommunikasjon. For 40 år siden handlet matematikkundervisningen mye om at elevene satt hver for seg og lærte noen bestemte metoder for å løse ulike oppgavetyper. Fremdeles skal elevene beherske effektive metoder, men nå er det like viktig at elevene lærer å gå løs på utfordringer og bruker sin kreativitet til selv å finne løsningsmetoder, gjerne i samtale og tett samarbeid med andre.

For å gjøre dette trenger elevene matematikklærere som kan inspirere og motivere, utfordre og støtte dem i deres utvikling av et bredt spekter av kompetanser. Elevene trenger lærere som kan legge til rette for praktisk, utforskende og teoretisk arbeid som ivaretar og utvikler deres matematikkunnskap. Tall og tanke 1 er en lærebok som gir lærere og lærerstudenter hjelp til dette.

Tall og tanke 1 er basert på forskning og teorier om matematikk, om barns læring av matematikk og om undervisning i matematikk. Dette ligger til grunn for struktureringen av innholdet, og det vises flere steder til aktuell litteratur. Fremstillingen er imidlertid først og fremst praktisk basert. I det aller meste av boken springer beskrivelser, analyser og diskusjoner ut av konkrete eleveksempler og praktiske undervisningssituasjoner. På den måten har boken klasserommets praksis som utgangspunkt. Samtidig har boken utviklingen av den aktive profesjonsutøvelsen som mål. I boken blir den didaktiske diskusjonen knyttet til kjernen av virksomheten til alle matematikklærere: Hvordan legge til rette for en best mulig opplæring som bidrar til elevenes læring av et konkret lærestoff? Forankringen i praksis medfører at boken kan brukes som en praktisk håndbok som gir konkrete tips til bruk i klasserommet. Her gis forslag til for eksempel en lang rekke undervisningsaktiviteter og spørsmål og temaer til diskusjon med elevene.

Til den andre utgaven av Tall og tanke 1 har vi gjort noen store og mange små endringer. Av store endringer har vi strøket kapitlet om læreplanen til Kunnskapsløftet (kap. 2 i 1. utgaven). I stedet har vi lagt til en beskrivelse av matematiske prosesser til slutt i kap. 1. I tillegg har vi lagt til et kapittel om algebra på småtrinnet, kap. 7, og i kap. 3 har vi lagt til et delkapittel om det å bruke modeller i løsningen av tekstoppgaver.

Målet med boken er at lærere og studenter skal få det beste ut av sitt møte med elevene og det matematiske fagstoffet. Til det er boken et godt, praktisk redskap, samtidig som den teoretiske forankringen gir leseren mulighet til å forstå hvorfor de forskjellige rådene blir gitt.

Oslo, juni 2018

Ida Heiberg Solem

Bjørnar Alseth

Gunnar Nordberg

1 Til forlagsredaktør Kjell Aakerøes minne

1: Innledning

1

8

Tall og tanke

Det har vært store endringer i matematikkundervisningen de siste par tiårene.

Nye læreplaner legger stadig mer vekt på det å kunne bruke matematikk i videre skolegang og i livet utenfor skolen. Faktakunnskap og ferdigheter er fremdeles viktig, men vel så viktig er det å kunne bruke denne kunnskapen til å løse praktiske oppgaver, til å takle nye og ukjente problemer, til å resonnere og argumentere, og til å forklare sammenhenger. Det elevene skal lære i matematikk, handler dermed først og fremst om forståelse: Det er et mål at elevene forstår de ulike matematiske begrepene, hvordan de er bygget opp, hvordan de henger sammen med hverandre, og hvordan de kan brukes. En slik forståelse danner det beste fundamentet for videre læring. Samtidig vil elevene med denne forståelsen kunne nærme seg oppgaver med et bredt spekter av strategier. Dette er viktigere enn at elevene behersker en bestemt løsningsmetode, blant annet fordi vi nå har hjelpemidler (som for eksempel lommeregner på mobiltelefonen), som kan løse de mer tekniske sidene av arbeidet.

En konsekvens av dette er at undervisningen i større grad må engasjere elevene i tenkeaktiviteter og mindre i «pugg og drill». I innledningen til matematikkplanen i læreplanen fra 2006, LK06 er det formulert slik: «Matematikkfaget i skolen medverkar til å utvikle den matematiske kompe­tansen som samfunnet og den einskilde treng. For å oppnå dette må elevane få høve til å arbeide både praktisk og teoretisk. Opplæringa vekslar mellom utforskande, leikande, kreative og problemløysande aktivitetar og ferdigheitstrening.»

Dette er like sentralt i nyere læreplaner, og vårt utgangspunkt for denne boka har vært å forsøke å ivareta dette. Vi finner det hensiktsmessig å innføre begrepene produktiv og reproduktiv praksis (fra van den Heuvel-Panhuizen 2001).

• Produktiv praksis fokuserer på det å bruke kjente kunnskaper til å utforske noe ukjent og er dermed knyttet til problemløsning.

• Reproduktiv praksis fokuserer på det å automatisere og huske noe man allerede har utforsket, for å befeste kunnskapen.

Det er ikke alltid entydig hvilken praksis det er elevene er engasjert i. Dette kan variere – det som for noen elever er produktiv praksis, vil for andre være reproduktiv (og for enkelte kanskje direkte uproduktiv). Et spill som innebærer utforsking den ene uka, kan være nyttig som ren reproduktiv praksis uka etter. Det som er viktig, er at læreren bevisst veksler mellom de to praksisformene, siden de

1: Innledning

9

legger til rette for ulike tenkeprosesser hos elevene, og de utvikler dermed ulike deler av elevenes kompetanse.

Produktiv praksis – noen eksempler Følgende oppgave ble gitt til en gruppe elever på 1.–4. trinn: Du arbeider på en sykkelfabrikk. Hver dag får du 10 hjul til å lage sykler. Du kan enten lage trehjulssykler eller vanlige sykler (med to hjul). Hva slags sykler kan du lage?

Elevene på 1. trinn hadde disse forslagene: Odin

Sameera

Lars

Lasse

Hannah

Ingvild

(Fra lærer Marit Skei Andersen, Melløs skole, Moss)

10

Tall og tanke

De mange ulike løsningene gir oss et frodig bilde av hva som skjer når elevene selv får lov å utvikle sine metoder. Samtidig gir det oss som lærere en enestående sjanse til innsikt i elevenes tenkning og ståsted. Elevene benytter ulike uttrykksformer og strategier når de løser disse oppgavene. For Lasse og Lars er brikker et viktig hjelpemiddel for å komme i gang, men etter kort tid legger de dem til side. Dermed blir tegning helt vesentlig for å løse oppgaven for alle disse elevene. Mens Odin tegner syklene med mange detaljer, velger de fleste andre bare å tegne hjul. Vi ser også at tegningene av hjulene blir stadig forenklet. Lasse slutter å fargelegge sine, Sameera og Hannah slutter å tegne eiker. Det å forenkle uttrykksformer er viktig i matematikk – tegningene skal være et hjelpemiddel til tenkningen, ikke et mål i seg selv (Solem og Strand 2006). Både Lars, Sameera og Hannah lager en oversikt over sine funn gjennom bruk av tegning og tallsymboler. Det å systematisere er sentralt blant annet for å kunne oppdage og formulere sammenhenger i matematikk – og elevenes løsninger viser at dette er fullt mulig alt fra første trinn.

I arbeidet med oppgaven over spiller læreren en helt sentral rolle. For det første presenterer hun oppgaven for elevene og forsikrer seg om at alle har en tilstrekkelig god forståelse av problemet – uten at hun begynner å løse oppgaven for elevene. For det andre legger hun til rette for og oppmuntrer til bruk av ulike representasjonsformer. For det tredje er hun i stand til å gi elevene utfordringer «der de er». Hun ser at Odin tegner sykkel etter sykkel, og minner ham på at han hadde ti hjul om dagen. Det får Odin til å gruppere syklene. Hun utfordrer Lasse til å finne ut hvor mange sykler han kan lage hvis han jobber i tre dager, og ber Lars skrive ned hva han har funnet ut («dag nummer 1» 2–2 og 2–3). Hun møter Ingvild, som ser en kobling til tidligere arbeid med tierfamilier, ved å skrive ned de to første regnestykkene etter diktat fra eleven og deretter la henne skrive de to siste selv. Hun spør Sameera om det er flere muligheter enn de to rekkene av hjul hun alt har tegnet, og ser at Hannah blir opptatt av sammenhengen mellom antall hjul og antall kjøretøy: «Hvis du skulle skrive opp det du har funnet ut nå, hvordan kunne du gjøre det?» Spørsmålet fører til at Hannah lager en systematisk oversikt som går utover det hun allerede har tegnet. Lærerens aktive rolle i å utfordre elevene er helt vesentlig for elevenes læringsutbytte (Askew mfl. 1997, Clarke mfl. 2002).

Arbeidet vi har beskrevet over, er et eksempel på det vi forstår som produktiv praksis – elevene driver utforskende virksomhet der de tar i bruk kunnskaper de allerede har, til å finne løsninger på nye problemer. Det er naturligvis ikke slik at denne type arbeid må knyttes til en spesiell type oppgaver, elevene kan arbeide på samme måte innenfor alt nytt stoff i matematikk. Elevene kan finne ulike

1: Innledning

tallfamilier ved selv å lage regnestykker der svaret hele tiden blir et bestemt tall mellom 1 og 10 (se eleveksemplet til høyre).

De kan bruke kunnskapene om tiervenner og addisjon med tall under 10 til å løse oppgaver med større tall: 26 + 7 → 30 + 3 → 33 (først tiervenn til 6, deretter sjuervenn til 4). Kjennskap til gangetabellen og erfaringer med oppdeling av tall i tiere og enere kan de utnytte til å utforske multiplikasjon med flersifrede tall: 12 · 8 = 10 · 8 + 2 · 8 = 80 + 16 = 96. I stedet for å bli fortalt at et kvadrat har fire like lange sider og fire rette vinkler, kan elevene starte med en samling mangekanter og selv utforske og beskrive likheter og forskjeller.

Produktiv praksis blir det også når en 2. klasse diskuterer dagens tall som er 16, og tre elever vil finne ut hva 16 er kvadratroten av. Utgangspunktet var at den gang dagens tall var 5, hadde en elev sagt at 5 var kvadratroten av 25. De hadde lært av en elev i parallellklassen at det var fordi 5 · 5 var 25. Så nå ville de finne hva som skulle stå i kvadratrottegnet i dag ved å regne ut 16 · 16. Læreren fortalte at de satt dypt konsentrert i 20 minutter og ville ikke engang være med på en liten lek klassen hadde. Slikt blir det utforskende matematikk av!

Reproduktiv praksis – noen eksempler Det å øve på ferdigheter er viktig, fordi det gjør at elevene kan bruke kreftene sine på mer utfordrende tankeprosesser og på å utvikle sin matematiske kompetanse videre. Det å ha automatisert tiervennene og gangetabellene legger et viktig grunnlag for å utforske regning med flersifrede tall. Det som blir viktig i denne sammenhengen, er at slik «øving» på faktakunnskaper blir meningsfull for elevene og ikke handler om å gjøre flest mulig utfyllingsoppgaver. Det kan gjøres ved at lærer viser hvordan faktakunnskapene stadig kommer til nytte i ulike sammenhenger. En annen mulighet er å sette øvingen inn i mer motiverende og inspirerende rammer, som muntlige aktiviteter og spill.

En «terning» fra 0 til 9 er alt vi trenger for å øve tiervenner. En elev kaster, den andre sier tiervennen. Eller læreren kaster og elevene skal vise tiervennen

11

Svaret er 10

12

Tall og tanke

med fingrene. I «tre på rad med gangetabellen» skal elevene si et passende gange­ stykke før de setter brikken på svaret. Spillet gir god mulighet til tilpassing ettersom tallene kan varieres i tråd med elevenes ønsker og behov: 2-, 5- og 10-gangen:

6-, 7- og 8-gangen:

12

30

40

28

42

72

15

8

16

56

63

18

25

45

100

64

48

49

Differensiert matematikkundervisning Differensiert undervisning – eller tilpasset opplæring – betyr at alle elever skal få utfordringer tilpasset eget nivå. I lærebøker er dette ofte blitt gjort ved at elevene følger ulike «spor» og dermed arbeider med helt ulike oppgaver. Vi mener det er mer fruktbart å ta utgangspunkt i felles oppgaver og aktiviteter, og at tilpasning til enkeltelever og elevgrupper skjer innenfor aktivitetene. En samlet organisering gir lærer mulighet til å styre det faglige arbeidet i større grad, for eksempel gjennom en felles innledning hvor lærer initierer en oppgave eller aktivitet og knytter den til noe elevene har arbeidet med tidligere. En samlet organisering gir også læreren mulighet til en felles oppsummering av arbeidet, hvor elevene kan dele strategier, uttrykksmåter, metoder og resonnement fordi alle refererer til det samme utgangspunktet. I oppsummeringen kan lærer framheve de viktigste mate­matiske poengene i elevenes erfaringer og på den måten la undervisningsøkten peke framover mot det elevene skal arbeide med senere.

Differensieringen kan gjøres på ulike måter, og vi har alt sett på hvordan endring av uttrykksformer kan brukes for å tilpasse vanskelighetsgraden. En annen god metode er å variere tallene. I eksempelet med sykkelhjulene ble dette gjort ved at elevene fra 3. trinn også fikk mulighet til å lage personbiler (4 hjul) og lastebiler (6 hjul). Jentene fra 4. trinn var misfornøyde med å skulle jobbe på en sykkelfabrikk, hvorfor kunne det ikke heller være en fiolinfabrikk? Læreren endret umiddelbart konteksten til å handle om å bygge fioliner (4 strenger), gitarer (6 strenger) og hardingfeler (8 strenger). I tillegg fikk jentene 20 – ikke 10 – strenger hver dag.

Det å variere tallene betyr ikke nødvendigvis at læreren må lage oppgavene selv. I lærebøkene kan det være oppgaver hvor elevene selv kan velge tall. Det gir

1: Innledning

mulighet til tilpassede utfordringer. Det skjer imidlertid ikke av seg selv, så det er viktig at lærer er på vakt for eksempel overfor elever som velger enklere tall enn det som gir dem gode matematiske utfordringer. Også en lærebok med ferdig oppstilte oppgaver kan inneholde den samme mulighet til tilpasning – slik som vist nedenfor, der eleven er blitt oppmuntret til selv å føye til siffer for å gjøre oppgavene vanskeligere:

En tredje mulighet til differensiering ligger i det å utvide problemstillingen for dermed å gi nye matematiske utfordringer. Elevene på 3. trinn fikk oppfølgingsspørsmålet: Hvis dere lager samme type sykkel eller bil hver dag, hvor mange lager dere da på seks dager?

Denne oversikten ga læreren en mulighet til å drøfte løsningene med elevene: Hvorfor ble det dobbelt så mange tohjulssykler som biler? Og tre ganger så mange sykler som lastebiler? Tallene i oppgaven er langt fra tilfeldig valgt – ti hjul i seks dager gir seksti hjul, og alle kjøretøyene har et antall hjul som er faktor i 60. Det gir gode muligheter til å koble problemstillingen til arbeid med gangetabellene. Videre kan oppgaven lett utvides: Hvilke løsninger får vi om vi holder på i to uker? Hva om vi lager kjøretøy med 5, 10, 12 eller 15 hjul (også faktorer i 60)?

Summen av elevbesvarelser på disse sidene viser hvordan den samme oppgaveteksten kan tilpasses og videreutvikles slik at alle elevene fra 1. til 4. trinn får utfordringer på sitt nivå. For elevene var det svært inspirerende å se alle løsningene når alle hadde hatt det samme utgangspunktet. Oppgaven ga mulighet for bruk av ulike representasjonsformer, til å uttrykke og finne sammenhenger, utnytte kunnskaper i addisjon og i gangetabellen.

13

14

Tall og tanke

Om god matematikkundervisning Matematikkundervisningen skal altså legge mer vekt på produktive praksiser preget av betydelige bidrag fra elevene. Gjennom denne deltakelsen legges det til rette for at elevene i stor grad er aktive i å konstruere sin egen kunnskap. Dette konstruktivistiske læringsparadigmet har som utgangspunkt at det å lære er en tilpasningsprosess hvor den enkelte tolker og organiserer sine erfaringer. Det er ikke kun å gjenta eller huske det læreren sier, men å konstruere en forståelse som gjør den enkelte i stand til å utvikle ferdigheter som kan brukes i et bredt spekter av utfordringer (se for eksempel Jaworski, 1996). Dette paradigmet har de senere årene fått betydelig empirisk dekning. For eksempel er det gjennomført et par omfattende studier av lærere som har elever som skårer svært bra på nasjonale tester i matematikk (Askew mfl. 1997, Clarke mfl. 2002). Det er gjennomgående blant disse lærerne at alle elevene får faglige utfordringer tilpasset sitt nivå. På den måten stimuleres hver enkelt elev til å konstruere kunnskap ut fra sitt ståsted. Denne tilpasningen gjøres innenfor aktivitetene, slik det ble gjort i eksemplet med sykkehjul over, og ikke ved at hver elev arbeider med sitt. Alle elevene deltar i de samme aktivitetene, om enn på ulike måter og på ulike nivåer. På den måten kan elevene samarbeide, de kan hjelpe hverandre, og ikke minst: De kan lære av hverandre. Et annet gjennomgående trekk blant disse lærerne er at de legger ofte opp til konstruktive diskusjoner, noe som framhever et sosiokulturelt perspektiv på læring (se for eksempel Säljö, 2001). Diskusjonene kommer i stand for det første ved at elevene har noe å diskutere gjennom de felles aktivitetene. For det andre blir diskusjonene meningsfulle ved at elevene oppfordres til å komme med egne bidrag til å løse oppgavene på de måtene som de selv finner best. Siden elevene dermed kan komme opp med ulike løsningsmetoder, dannes et behov for blant annet å • • • •

beskrive egne løsningsmetoder begrunne eller argumentere for hvorfor ens metode er riktig prøve å forstå andres metoder diskutere fordeler og ulemper med ulike metoder

Om alle kopierte læreren og løste oppgaven på samme måte, ble det ikke særlig behov for diskusjoner. I stedet blir klasserommet hos disse lærerne en arena for kreativ tenkning, for diskusjoner, sammenligninger og forhandlinger rundt ulike løsningsmetoder. Hver enkelt elevs resonnement og løsningsforslag verdsettes, ikke ved å gi inntrykk av at alt er like lurt, men ved å illustrere at det kan danne et utgangspunkt for matematiske drøftinger, for forståelse og for videreutvikling av samme eller av nye metoder. Hensikten med dette er å gi hver elev tillit til

1: Innledning

egne evner, slik at de vil gå løs på oppgaver og problemer ved å tenke gjennom matematikken som er involvert, og derigjennom prøve å finne mulige løsningsstrategier. Matematikk handler da først og fremst om å tenke, ikke om å «huske Den rette metoden».

Den utviklingen som har skjedd de siste tiårene, har hatt store konsekvenser for matematikklærerne. Satt på spissen handlet det tidligere mye om å demonstrere standardmetoder. Deretter var jobben å overvåke elever som satt hver for seg og løste rekker av nokså likelydende oppgaver, og sjekke om metoden ble riktig brukt. Nå er det i stedet lærerens jobb å legge til rette for at hver elev utvik­ler sin egen tenkning. Det innebærer at læreren må ha et godt blikk for elevene og deres matematiske utvikling. Læreren må være i stand til å vurdere matematikkompetansen til den enkelte elev, for dermed å kunne tilpasse oppgaver og aktiviteter til hver elev eller til grupper av elever. I tillegg må læreren ha et godt blikk for matematikken. Læreren må gjennom innspill og kommentarer, gjennom tilpassede oppgaver og hjelpemidler, gi elevenes arbeid en gunstig retning. Det betyr at læreren noen ganger må være tydelig til stede med konkrete faglige innspill. Andre ganger er det viktig at læreren holder seg unna, siden det tross alt er elevene som skal utføre tenkningen. Læreren må også ha blikk for faget på den måten at læreren setter begrepene og aktivitetene inn i en større faglig sammenheng. Det gjøres ved å framheve og utnytte sammenhenger og strukturer i faget, for eksempel ved å vise hvordan ulike deler av faget henger sammen, ved å vise at fagstoff elevene arbeider med, henger sammen med noe de har lært tidligere, og ved å vise hvordan fagstoffet kan knyttes til praktisk bruk. Og naturligvis må læreren ha godt blikk for undervisningen. Læreren må veksle mellom ulike undervisningsformer, mellom produktiv og reproduktiv praksis. Elevene må få passende tid til utforsking (ikke for mye, ikke for lite). De må få anledning til å automatisere faktakunnskaper og effektivisere regnemetoder. Det må framheves hvordan gode fakta og ferdigheter er til nytte i utforsking og problemløsning, samtidig som det å bedrive problemløsning også styrker faktakunnskapene og ferdighetene. I tillegg må elevene stadig oppfordres til å beskrive arbeidet sitt og tenkningen sin, til å forklare og begrunne.

Det må både gjøres til læreren og ikke minst i diskusjoner med de andre elevene.

De sentrale faktorene i matematikkopplæringen: Matematikken

Elevene

Undervisningen

15

16

Tall og tanke

Læreren har dermed en utfordrende jobb. Vi har nå en bredere forståelse av hva matematisk kompetanse er. Videre har vi erkjent at elevene utvikler matematisk forståelse svært ulikt, samtidig som vi vet hvor viktig det er å komme hver enkelt elev i møte. For å møte den enkelte elev på den ene siden og arbeide mot ambisiøse faglige mål på den andre stilles det store krav til læreren og til under­ visningen. Det er på ingen måte blitt enklere å være matematikklærer! Men forhåpentligvis vil det at faget er åpnere og bredere og i større grad vektlegger høyere ordens tenkning, gjøre faget og undervisningen mer variert, morsommere, mer utfordrende og ikke minst: viktigere.

Matematiske prosesser Det er ingen enkel oppgave å beskrive hva elevene skal lære i matematikkundervisningen, og hvilken kompetanse det er elevene skal utvikle. Sammenlign disse to formuleringene fra hovedområdet Måling for småtrinnet fra 1987 (M87) og 2006 (LK06).

M87

LK06

• Måling av lengde, masse, volum • Innføring av de vanligste enhetene for lengde, masse og volum • Myntenheter: Kroner og øre • Klokken • Kalenderen

Målet for opplæringen er at eleven skal kunne • anslå og måle lengde, areal, volum, masse, temperatur, tid og vinkler • bruke ikke-standardiserte måleenheter og forklare hensikten med standardiserte måleenheter, og gjøre om mellom vanlige måleenheter • sammenligne størrelser med passende måleredskaper og enkel beregning med og uten digitale hjelpemidler

I M87 beskrives det elevene skal lære, som en liste av innholdsoverskrifter. I LK06 er det lagt til verb som beskriver hva elevene skal kunne gjøre med dette innholdet: De skal kunne anslå, måle, bruke, forklare og sammenligne størrelser. Denne utviklingen samsvarer med at matematikkdidaktiske forskere på 90-tallet utviklet gode beskrivelser av prosessaspektet ved matematisk kunnskap. Det å beskrive slike prosesser er et forsøk på å fange det som faktisk skjer når matematikk blir brukt.

Utgangspunktet for et matematisk arbeid er at en person går løs på en oppgave eller utfordring hvor matematikk kan komme til nytte. Oppgaven kan være praktisk eller rent matematisk. Om den er praktisk, må personen identifisere den rele-

1: Innledning

vante informasjonen. Deretter må personen organisere innholdet i oppgaven i tråd med relevante matematiske begreper, kanskje gjøre forenklinger og/eller generaliseringer. Ofte er det avgjørende å finne en god måte å representere opplysningene i oppgaven og hvordan de henger sammen, på. Det innebærer som oftest å ta i bruk matematiske symboler og et formelt matematikkspråk. Når oppgaven har fått en gjenkjennelig matematisk form, kan personen bruke sine matematiske kunnskaper, som fakta, begreper og ferdigheter, til å løse den. Noen ganger holder det med enkle beregninger, andre ganger kreves omfattende prosedyrer. Til sist skal svar og løsningsmetode formidles, gjerne etter at personen har vurdert arbeidet sitt, om svaret virker rimelig, og om alle utregninger ser riktige ut.

Det er dermed mange tankeprosesser som inngår i et matematisk arbeid.

En viktig bidragsyter i beskrivelsen av disse prosessene har vært den amerikanske matematikklærerforeningen, NCTM. I deres bok Principles and Standards for School Mathematics (NCTM 2000) beskrives det matematiske lærestoffet i form av seks standarder. De fem første er tradisjonelle innholdsområder: tall og regning, algebra, geometri, måling og statistikk og sannsynlighet. Den sjette standarden skiller seg ut fra de fem første og beskriver fem matematiske prosesser: problemløsning, resonnement og bevis, kommunikasjon, sammenhenger og representasjoner (uttrykksformer). Disse prosessene inngår i alle de fem innholdsområdene og forteller hvordan elevene skal arbeide med matematikk innen alle deler av faget.

De fem matematiske prosessene beskrives mer detaljert i tabellen nedenfor.

Problemløsning Elevene skal kunne løse oppgaver, både matematiske og praktiske, hvor de på forhånd ikke har en metode eller faktakunnskap som umiddelbart gir et svar. De skal kunne bruke og tilpasse et bredt spekter av passende strategier, og reflektere over løsningsprosessen. De skal også utvikle ny matematisk kunnskap gjennom problemløsning.

Det er individuelt hvilke oppgaver det er som leder til problemløsning. Et problem for en elev er ikke nødvendigvis et problem for en annen elev. Oppgaven: «Live har 5 bøker i sekken sin. Så legger hun 3 bøker til i sekken. Hvor mange bøker er det i sekken nå?», leder ikke til problemløsning for en elev som vet at 5 og 3 er 8 til sammen, eller som har utviklet en metode for fingertelling som gir svaret. Men det kan lede til problemløsning for en elev som ikke har lært tallkombinasjonen, og som ikke umiddelbart vet hvordan disse størrelsene kan representeres. Andre oppgaver er mer åpne eller krevende, og de leder til problemløsning for de fleste elevene, som «Hvor mange dager er det igjen til jul?» og «I en sykkelbutikk er det 33 hjul, fordelt på 2-hjuls og 3-hjuls sykler.

Hvor mange sykler av hver type er det i butikken?»

17

18

Tall og tanke

Resonnement og bevis Elevene skal forstå at resonnement og bevis er en viktig del av matematikken.

De skal kunne komme med matematiske påstander og undersøke disse. De skal kunne utvikle og vurdere matematiske argumenter og bevis.

Alt fra småtrinnet må elevene etter å ha enten gjettet på eller beregnet svar og løsninger få anledning til å utvikle argumenter for å bevise (eller motbevise) og forklare forslagene sine. Ofte kan elevene være mer interesserte i å komme fram til et svar enn å begrunne hvorfor et svar er riktig. Da kan lærer øke fokuset på hvorfor ved å oppgi svaret. I stedet for å stille spørsmålet «Hva er 10 – 3 ?» og deretter be om begrunnelse, kan lærer spørre: «Hvorfor er 10 – 3 = 7?» Dette er forklaringen til en elev på første trinn: «Det er 10 personer. Og så drar 3 av dem (angitt ved at tre av dem sier ‘Ha det’). Så er det 7 igjen.»

Kommunikasjon Elevene skal kunne bruke matematisk språk til å uttrykke matematiske ideer og utvikle sin matematiske tenkning gjennom kommunikasjon. De skal kunne kommunisere sin matematiske tenkning til lærer og til andre elever, samt å forstå og vurdere tenkningen til andre. Kommunikasjonen må ikke bare foregå skriftlig.

I undervisningen må elevene få anledning til å snakke om og med matematikk. De må forklare svarene sine og beskrive løsningsmetoder, både til hverandre og i klassesamtaler. Lærer spiller en viktig rolle i å initiere slike samtaler og å styrke fagligheten i dem. En viktig faktor er å gi elevene muligheter til selv å utvikle løsningsmetoder, i motsetning til der elevene kun kopierer lærerens eller lærebokas metode. Når de selv utvikler metoder, blir det noe å samtale om: Hvordan løste du oppgaven? Hvorfor gir den metoden riktig svar? Virker metoden alltid, eller passer den bare til noen tall? Var det noen som brukte en annen metode? Hvilke av metodene var enkle å forstå? Hvilke var enkle å bruke?

Elevene bør også oppfordres til å kommentere hverandres metoder.

1: Innledning

Sammenhenger Elevene skal kunne kjenne igjen og utnytte sammenhenger mellom matematiske ideer, begreper og metoder. De skal kunne kjenne igjen og bruke matematikk i praktiske kontekster utenfor matematikken.

Det er vesentlig at det er tydelige sammenhenger mellom elevenes praktiske erfaringer utenfor skolen, i andre skolefag og det de møter av formell matematikk på skolen. Dette er særlig viktig for de yngste elevene. I tillegg er det viktig at sammenhenger innenfor faget løftes fram og utnyttes. Gode anledninger for det dukker gjerne opp når elevene løser en oppgave på ulike måter. Da vil de ulike løsningene gjerne involvere ulike begreper og på den måten vise hvordan de henger sammen. For eksempel kan oppgaven «Per kaster en ball 17 m, Pål kaster ballen 8 m, hvor mye lengre kaster Per?» løses med subtraksjon («Jeg tenker at 17 minus 8 er 9.») og med addisjon («Jeg vet at 8 + 8 er 16, så da må 8 + 9 være 17.»). Den viser dermed sammenhengen mellom addisjon og subtraksjon.

Det kan være særlig nyttig å vise sammenhenger regning har med måling og geometri. Konkrete eksempler på det er: • speilsymmetri og dobling/halvering (halvparten kommer på hver side av symmetrilinja) • omkrets og addisjon (finn omkretsen ved å legge sammen sidene) • areal/volum og multiplikasjon (lengde · bredde)

Representasjoner Elevene skal kunne skape og bruke varierte representasjoner i arbeidet med matematikk. I det ligger å kunne velge og overføre mellom ulike representasjonsformer.

Elevene kan representere (uttrykke) matematikk på mange ulike måter. Holm (2002) beskriver med utgangspunkt i Bruner representasjoner på fire nivåer.

Det mest nærliggende for de yngste elevene er å bruke 1) konkreter, som brikker, fingre m.m. Dernest kommer det å lage tegninger, enten 2) realistiske eller 3) ikoner (som at en sirkel står for en bil). På det høyeste og mest abstrakte nivået er 4) de matematiske symbolene. En elev på 2. trinn fikk denne oppgaven: Lise har 20 perler. Hun legger dem i esker, med fire perler i hver eske. Hvor mange esker trenger hun? Dette er divisjon, noe eleven ikke hadde lært noe om på skolen. Undersøkelser viser imidlertid at elever i 5–6 års alder kan løse slike oppgaver, om de er fortrolige med å uttrykke innholdet i oppgaven med konkreter (Carpenter mfl, 1993). Med klosser kan eleven for eksempel finne fram 20 og legge dem i grupper på fire: Denne eleven hadde ikke klosser, så hun tegnet. Først 20 sirkler, og deretter fire esker med fire sirkler i hver. Så telte hun perlene i eskene, 16. Deretter telte hun 16 av de 20 sirklene og så at det ennå var 4 sirkler igjen, nok til en femte eske.

Senere vil eleven bli såpass fortrolig med tallsymbolene at hun kan løse slike oppgaver uten å tegne. Eleven vil imidlertid også da ha nytte av å veksle mellom ulike representasjonsformer, symboler, tegninger, konkreter, særlig i møtet med mer utfordrende oppgaver.

19

20

Tall og tanke

I nordisk sammenheng har rapporten til Niss og Jensen (2002) hatt innflytelse på forståelsen av hva matematisk kompetanse er. Her beskrives det elevene skal lære, i form av åtte kompetanser, som i store trekk samsvarer med de fem prosessene til NCTM. De åtte kompetansene til Niss og Jensen er delt i to grupper. Fire av kompetansene handler om problemløsning, om å spørre og svare i og med matematikk, mens de fire andre handler om kommunikasjon, om å omgås språk og redskaper i matematikk. Kort fortalt kan det derfor sies at på et overordnet plan er det å kunne løse problemer og å kommunisere i og med matematikk selve hensikten med matematikkfaget i skolen. Det elevene først og fremst skal lære i matematikkundervisningen, er å gjennomføre slike prosesser.

Når det er sagt, er det også sånn at for å kunne løse problemer og for å kommunisere i matematikk trengs viktige faktakunnskaper, ferdigheter og begrepsforståelse. Prosessene handler om bruk av innhold, så elevene må også lære de spesifikke innholdselementene. Det vesentlige er at undervisningen inneholder begge delene, både prosessaspektet og de mer tradisjonelle innholdselementene.

Det er empirisk belegg for at det er gunstig å vektlegge prosesser i matematikkundervisningen. I en studie sammenligner Askew mfl. (1997) 90 lærere fordelt på tre grupper etter hvor stor framgang elevene deres hadde i tall og regning i løpet av et år. Lærerne svarer på spørreskjema, og et utvalg blir intervjuet og observert i klasserommet. Den ene gruppen lærere består av de som har elever med større framgang enn gjennomsnittet. Disse lærerne skiller seg fra de øvrige på vesentlige måter. Det som kjennetegner lærerne til elevene med størst utvikling, er at de vektlegger • • • • • •

problemløsning og å utfordre alle elevene sammenhenger i faget, både innenfor og på tvers av de ulike fagområdene ulike representasjonsformer og bruker varierte ord, symboler, diagrammer elevenes egne løsningsmetoder, som elevene beskriver, forklarer og begrunner diskusjoner i klasserommet utvikling av mentale ferdigheter (hoderegning)

Siden disse punktene sammenfaller godt med de matematiske prosessene i tabellen over (s. 17–19), kan det konkluderes med at det å vektlegge prosessaspektet i matematikkundervisningen ikke kun er viktig for å lære disse prosessene, det er også gunstig for utviklingen av den øvrige matematiske kompetansen.