Ariketak eta problemak

MENDERATZEN DUZU OINARRIZKOA?

Grafikoen interpretazioa. Ezaugarriak

1 Hona hemen gaixo batek izan duen sukarraren bilakaera:

Enuntziatuak, formulak eta taulak

4 Taula honek erakusten du zein izan den urtegi bateko ur-erreserba azken hiru urteetan. Urte bakoitzeko bost unetako datu zehatzak ditugu: a) Zenbat denbora egon da behaketan? b) Zer egunetan izan du maximo bat tenperaturak? Eta minimo bat? Zer tenperatura izan du? c) Zer denbora-tartetan igotzen da tenperatura eta zeinetan jaisten da? d) Aurkitu B.A.T [3,5; 5] tartean. e) Nora jotzen du tenperaturak denbora igaro ahala?

2 Hozkailutik edalontzi bete ur atera dugu. Grafiko honek denbora igaro ahala uraren tenperatura zein den erakusten du: a) Irudikatu hiru urteetako Aste-kop. - Erreserba, ardatz berdinetan funtzioaren grafikoak. Deskribatu. b) Datuen arabera, zer hilabete eta urtetan egon zen erreserba gehien? Eta gutxien? c) Zein da definizio-eremua? d) Datu horiekin, jakin dezakegu funtzio bakoitzaren barrutia? a) Egin balio-taula bat, eta, hortik abiatuta, idatzi y-ren balioa x-ren balioarekin erlazionatzen duen funtzioa. b) Zein da definizio-eremua?

5 Triangelu isoszele batek 20 cm-ko perimetroa du. Deitu x alde desberdinari eta y alde berdinei.

Definizio-eremua

6 Lortu honako kasu hauetako bakoitzaren definizio-eremua: a) Zer tenperatura dago hozkailu barruan? Eta kanpoan? b) Mikrouhinetik 98 °C-ra dagoen urez beteriko edalontzi bat atera dugu. Marraztu denbora igaro ahala izango duen tenperaturaren grafikoa. a) Nora jotzen du presioak altuera handitu ahala? b) Zer presio jasaten du 10 kmko altitudean hegan doan hegazkin

3 Presio atmosferikoa itsasoaren mailan da, batez beste, 760 mm-ko merkurio-zutabe batek egiten duena. Adierazteko, 760 mm de Hg idazten da.

Grafikoan altuera handitzen doan neurrian nola aldatzen den ageri da.

Funtzio linealak eta koadratikoak

7 Irudikatu funtzio lineal hauek: a) a) P (0, 0), m = 1 b) P (2, –1), m = 0 c) A (–2, 1), m = 2 1 d) A (1, 3), m = –3 5

8 Kalkulatu kasu hauetako bakoitzeko zuzenaren ekuazioa, eta irudikatu.

9 Aurkitu, kasu hauetako bakoitzean, A eta B puntuetatik igarotzen den zuzenaren ekuazioa: a) A (3, 0), B (5, 0) b) A (–2, – 4), B (2, –3) c) A (0, –3), B (3, 0) d) A (0, –5), B (–3, 1)

10 Kalkulatu funtzio lineal hauen ekuazioak: A B C D a) y = x 2 b) y = –x 2 + 3 c) y = (x – 3)2

11 Lotu grafiko bakoitza dagokion adierazpenarekin.

12 Egin balio-taula bat, eta eman x-ri [−4, 4] tarteko balio osoak honako funtzio hauek adierazteko: a) y = x 2 + 1 b) y = –x 2 + 4 c) y = –3x 2 d) y = 0,4x 2

Entrenatu Eta Praktikatu

13 Aurkitu ekuazioa, kasu hauetako bakoitzean, eta irudikatu: a) (1, –2) eta (–4, 3) puntuetatik igarotzen den zuzenarekiko paraleloa izanda, (2, –3) puntutik igarotzen den zuzena. b) (– 4, 2) puntutik igarotzen den proportzionaltasun zuzena. c) (18; –1,5) puntutik igarotzen den funtzio konstantea. a) y = 8 – x 2 b) y = 4 + (3 – x)2 c) a) yx yx 2 –2 = = * b) yx yx 4 2 –2 = =

14 Kasu hauetako bakoitzean, aurkitu parabolaren erpina, adierazi maximoa edo minimoa den, eta lortu ardatzekin dituen ebaki-puntuak. Irudikatu.

15 Irudikatu aurreko atalean emandako funtzioak ardatz beretan, eta aurkitu beren ebaki-puntuak.

Ebatzi a) eta b) ataletako ekuazio-sistemak, eta egiaztatu lortu dituzun ebaki-puntuak sistemaren soluzioak direla.

16 Halley kometaren orbita oso elipse eszentrikoa da, eta fokuetako bat Eguzkian du. Funtzio honek erlazionatzen du kometatik Eguzkira dagoen distantzia denborarekin: 1755 1832 1909 1986 a) Funtzio periodiko bat da? Zein da bere periodoa? b) Zer urtetan hurbilduko da berriro Eguzkira?

17 Hona hemen 1 000 m-ko lasterketa batean helmugaratu diren aurreneko hiru atleten bilakaerari buruzko grafikoa: a) Zenbat denbora behar izan du bakoitzak? b) Zer unetan aurreratu dute elkar? c) Zein izan da bakoitzaren batezbesteko abiadura lasterketaren lehenengo erdian? Eta bigarrenean? b) Esan zer tartetan den gorakorra eta zeinetan beherakorra. c) Adierazi ardatzekin dituen ebaki-puntuak, eta aztertu funtzioaren zeinua. a) (4, 0) eta (–2, a) puntuetatik igarotzen den zuzenaren malda –1 izateko. b) y = bx + 2 zuzena (–3, 4) puntutik igarotzeko. c) y = 3x + c eta y = cx + 3 ekuazioak dituzten zuzenek 2 ordenatu-puntuan elkar ebakitzeko. Zein da dagokion abzisa? d) (d, –2) eta (4, e) puntuak y = x 2 1 3 – ekuazioa duen zuzenekoak izateko.

18 a) Aurkitu funtzio honen B.A.T. [0, 4], [5, 7], [−4, 0] eta [−2, 4] tarteetan.

19 Aurkitu zein izan behar den parametro ezezagunen balioa, zuzenek eta puntuek eskatutako baldintzak bete ditzaten. Irudikatu.

20 Aurkitu y = 3x 3 + 9x 2 – 3x – 9 funtzioaren

B.A.T. [–2, 0], [–1, 0], [–3, –1] eta [0, 1] tarteetan.

21 Aurkitu honako hauen definizio-eremuak: f (x) = x 9 –2 g (x) = xx67 –2 + h(x) = x 4– 2 j(x) = xx23 –2 ++

22 Kalkulatu parabola hauen erpinak, simetria-ardatzak eta ardatzekin dituzten ebaki-puntuak (baldin eta badituzte): a) y = 2x 2 b) y = 2(x – 5)2 c) y = 2(x – 5)2 + 2 d) y = –x 2 + 1 e) y = –(x + 1)2 + 1 f) y = –3x + 2x 2 a) Idatzi 1 cm-ko erradioa duen zilindro baten bolumena eta altuera erlazionatzen dituen funtzioa. b) Adierazi 1 cm-ko altuera duen zilindro baten bolumena eta oinarriaren erradioa erlazionatzen dituen funtzioa.

23 Gogoan izan zilindro baten bolumenaren formula V = πr 2h dela.

Ebatzi Problema Errazak

tenperatura (°C)

23 a) Erlazionatu kurba bakoitza urez betetako edalontzi baten tenperaturari buruzko enuntziatu hauetako batekin: b) Zer tenperaturatan dago etxea? Eta izozkailua? Eta hozkailua?

I. Mahaitik hartu eta hozkailura sartzean.

II. Hozkailutik atera eta mahai gainean uztean.

III. Mahaitik hartu eta izozkailura sartzean.

70 170 175 180 185 150 155 160 165 130 135 140 145 110 115 120 125 90 95 100 105 75 80 85 15 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 3 10 25 50 75 90 99 adina (urteak) neurria (cm) a) Estimatu beste neska hauen pertzentilak: c) Kalkulatu 1 cm-ko erradioa duen zilindro baten bolumena 1, 2, 3, 4 eta 5 cm-ko altueren kasuan. Irudikatu funtzioa. d) Aurkitu 1 cm-ko altuera duen zilindro baten altuera 1, 2, 3, 4 eta 5 cm-ko erradioen kasuan. Irudikatu funtzioa. e) Zer altuera du 1 cm-ko erradioa eta 37,68 cm3-ko bolumena duen zilindro batek? f ) Zenbateko erradioa du 1 cm-ko altuera eta 803,84 cm3-ko bolumena duen zilindro batek?

Anek 15 urte eta 170 cm-ko garaiera du, eta 90 pertzentilean dago. Hau da, populazioaren % 90 baino garaiagoa da, eta, beraz, % 10 baino baxuagoa.

• Esther: 13 urte; 160 cm • Eider: 11 urte; 135 cm

• Miren: 8 urte; 117 cm

• Maider: 12 urte; 150 cm b) Olatz 75 pertzentilean badago eta 13 urte baditu, zer garaiera du? c) Zenbat urte ditu Leirek, jakinda 105 cm-ko garaiera duela eta 25 pertzentilean dagoela? a) Zer distantziatara dago atsedengunea? b) Aurkitu B.A.T. [0, 9], [0, 5] eta [6, 9] tarteetan. c) Zein da batezbesteko abiadura atsedengunera iritsi aurreko lehenengo zatian? Eta bigarrenean? Zer erlazio dago batezbesteko abiaduren eta aurreko ataleko B.A.T. balioen artean? d) Kalkulatu bidaiaren batezbesteko abiadura. a) Idatzi bola erortzen utzi den unetik igarotzen den denbora eta erorketan daraman abiadura erlazionatzen dituen funtzioaren adierazpen analitikoa. b)Irudikatu ardatz batzuetan. c) Airearen marruskadura-indarrak bolari ez diola eragiten onartzen badugu, zer abiadura izango du 3 s-ra? Eta 10 s-ra? d) Bolak 420 km/h-ko abiaduran jo badu lurraren kontra, zenbat denbora behar izan du lurreraino iristeko?

26 Aurkitu funtzio koadratiko baten ekuazioa, jakinda bere grafikoa (parabola bat) (0, 0), (1, –3) eta (5, 5) puntuetatik igarotzen dela.

27 Funtzio honek erlazionatzen ditu motor batek ibilitako espazioa eta denbora.

28 Erorketa librean dagoen gorputz batek segundoko 35 km/h handitzen doan abiadura hartzen du. Labar baten ertzetik burdinazko bola bat jausten utzi dugu.

29 Arku batekin gorantz 40 m/s-ko abiaduraz jaurti dugun gezi batek t une bakoitzean daukan h altuera funtzio honek ematen digu: h = 40t – 5t 2 a) Adierazi grafikoki funtzioa. b) Esan zein den definizio-eremua. c) Zer unetan lortzen du altuera maximoa? Zein da altuera hori? d) Zer unetan joko du geziak lurra? e) Zer denbora-tartetan dago gezia 35 metrotik gorako altueran?

30 Ebatzi analitikoki eta grafikoki sistema hauek:

32 Aztertu funtzio etenen grafiko hauek eta erantzun bakoitzaren kasuan:

31 a) Kalkulatu b eta c zein izan behar diren x2 + bx + c parabolaren erpina (3, 1) puntuan egoteko. b) Zein da bere simetria-ardatza? c) Zein dira ardatzekin dituen ebaki-puntuak? a) Zein dira eten-puntuak? Azaldu puntu bakoitzeko etenaren arrazoia. b) Zein da bere definizio-eremua? c) Adierazi maximo eta minimo erlatiboak, baldin baditu. d) Zer tartetan da gorakorra? Eta beherakorra?

APUR BAT GEHIAGO PENTSATZEKO a) Idatzi bolumena x-ren funtzioan, V (x). b) Eman balioak x-ri, eta irudikatu V (x)-ren grafikoa. c) Zein da V (x)-ren definizio-eremua?

33 Aurten Bittorik 240 kg ahuakateko uzta bildu du, eta gaur 1,20 €/kg-an salduko lirateke. Dena dela, gaur bertan hasita, igarotzen den egun bakoitzeko 4 kg zapuztuko dira, baina prezioa 0,10 €/kg handituko da. Noiz saldu behar ditu ahuakateak irabaziak maximoak izateko? Zenbatekoa izango da irabazi hori?

34 50 cm × 20 cm neurriko laukizuzen-itxurako kartulina batekin tapa eta guzti daukan kaxa bat egin nahi dugu.

35 Honako funtzio periodiko hau emanda:

Eman periodoa eta zein diren funtzioaren balioak x = 1;

= 3;

= –9;

= 20;

= 23 eta x = 42 denean.

36 Idatzi ondoren adierazitako parabola hauetako bakoitzari dagokion adierazpen analitikoa:

37 Irudikatu kasu hauetako bakoitzean emandako baldintzak betetzen dituzten parabolak eta idatzi beren ekuazioak: a) Ardatza x = 2 da, x 2-ren koefizientea –1 da, eta puntu bakar batean ebakitzen du X ardatza. b) Erpina (3, –2) puntuan du eta y = x 2 kurbaren forma bera du. c) Erpina koordenatuen jatorrian du, eta (–3, –18) puntutik igarotzen da. a) Ikusten duzunez x = 3 cm bada, AS = 7 – 3 = 4 cm da. Zein da PS -ren neurria? Zein da karratu berriaren azalera? b) Zer funtzio erlazionatzen du x karratuaren azalerarekin? Adierazi bere definizio-eremua. c) Erabili eskala egoki bat ardatz bakoitzean, eta irudikatu. a) Zer esan dezakegu funtzioak [6, 8] tartean duen B.A.T.-i buruz? Eta [11, 13] tartean duenari buruz? b) Zein da funtzioaren B.A.T. [3, 6] tartean? c) Zein da funtzioaren batezbesteko aldakuntza tasa [4, 9] tartean? Eta [8, 43] tartean? a) Hartu O jatorri moduan eta aurkitu pilotak tranpolinetik irteten denetik ura ukitzen duen arte egiten duen ibilbidearen ekuazioa. b) Eman bere definizio-eremua.

38 Marraztu 7 cm-ko aldea duen ABCD karratu bat. AB aldearen gainean, markatu A-tik x-ra dagoen P puntu bat, eta marraztu PQRS karratu berri bat, barruan inskribatuta.

39 f (x) funtzio bat periodikoa da, 5 periododuna, eta bere B.A.T. [1, 3] tartean 1 da.

40 Igerileku batean tranpolin bat da uretatik 6m-ra. Han goian pilota bat aske utzi dugu eta uretara erori da, tranpolinaren bertikaletik 10 m-ra. Ibilbidea parabola bat da, eta erpina erorketa-puntuan du.

Hau Ere Egin Dezakezu

41 Ikusten duzunez y = f (x) funtzioaren grafikoak X ardatza x = –2, x = 0 eta x = 4 puntuetan ebakitzen du. Balio positiboak hartzen ditu (–2, 0) eta

(4, +∞) tarteetan, eta negatiboak

(–∞, –2) eta (0, 4) tarteetan.

Hori kontuan izanda, hau baieztatu dezakegu:

• y = ()fx 1 funtzioaren definizio-eremua Á – {–2, 0, 4} da

• y = ()fx funtzioaren definizio-eremua [–2, 0] ∪ [4, +∞) da.

Arrazoitu modu berean, eta esan zein den y = ()fx 1 eta y = ()fx funtzioen definizio-eremua, grafikoen bidez emandako funtzio hauen kasuan:

10 m a) Y X

Y X b) a) Y X

Y X

Y X d) c) Y X c) Y X b) Y X d)

ULERTU DUZU? HAUSNARTU

42 Esan, arrazoituta, zuzena ala okerra den: a) Funtzio bat etena bada puntu batean, puntu hori ez da definizio-eremukoa. b) Puntu bat ez bada funtzio baten definizio-eremukoa, funtzioa ezin da jarraitua izan puntu horretan. c) Funtzio periodikoak jarraituak dira beti. d) Zuzen baten malda da bere edozein tartetako B.A.T. e) Funtzio periodiko baten B.A.T. 0 da periodoa adinako luzera duen edozein tartetan. f ) Parabola batean tarte bateko B.A.T. 0 bada, erpina tarte horretako erdiko puntuan dago. g) Linealak ez diren funtzio guztiek dauka maximo edo minimo erlatibo bat gutxienez. h) Funtzio periodiko bat beherakorra bada bere definizio-eremu osoan, orduan ez da jarraitua.