Funtzio koadratikoak 9

Funtzio koadratikoak

Iazko ikasturtean parabolak gainetik ikusi genituen. Orain, ordukoa berrikusi eta urrats bat gehiago emango dugu parabolen ikasketan.

Behatu parabola hauek eta horiei dagozkien ekuazioak:

Horiek guztiak aztertuta, honako baieztapen hauek egin ditzakegu: y = ax 2 + bx + c funtzioei, a ≠ 0 izanik, koadratiko esaten zaie, parabola bidez adierazten dira guztiak eta jarraituak dira Á osoan.

Parabola horietako bakoitzak Y ardatzarekiko ardatz paralelo bat du.

Parabolaren itxura a-ren araberakoa da; hau da, x 2-ren koefizientearen araberakoa, honela:

• Bi funtzio koadratikok x 2-ren koefiziente bera badute, horien parabolak berdinak dira, baina posizio desberdinetan egon daitezke.

• a > 0 bada, adarrak gorantz ditu; eta a < 0 bada, beherantz.

• Zenbat eta handiagoa izan |a |, orduan eta estuagoa da parabola.

BALIO-TAULAK KALKULAGAILUAREKIN

Kalkulagailuak modua ematen digu edozein funtziori dagokion balio-taula bat azkar eta modu eraginkorrean egiteko, guk nahi dugun tartean eta nahi ditugun gehikuntzekin. Begira nola egin dugun y = –x 2 + 3x + 4 funtzioaren kasuan.

�aukeran, hautatu 3:Tabla. f (x) agertuko da eta, ondoren, adierazpena sartu behar da. Kontuan izan x idazteko x ) teklak sakatu behar direla. x ) x + 3 x ) + 4= Ondorengo pantaila hau agertuko da, eta hor adierazi behar dituzu x-ren lehenengo eta azkeneko balioak eta pausoaren tamaina:

Gure kasuan, erpina x = 1,5 puntuan dagoenez, –2tik 5erako balioak emango dizkiogu, eta banaka goaz (pausoa)..

Funtzio koadratikoen adierazpena

Ekuazioaren bidez emandako funtzio koadratiko bat adierazteko, nahikoa da funtzioaren puntu batzuk lortzea. Lehenengo, parabolaren erpina kalkulatuko dugu; eta, gero, inguruko beste zenbait puntu.

• y = ax 2 + bx + c parabolaren erpinaren abzisa lortuko dugu → x0 = – a b 2

• Funtzioak erpinetik gertu dauden abzisa batzuetan zer balio hartzen duen kalkulatuko dugu.

• Ardatzekin dituen ebaki-puntuak lagungarriak izan daitezke adierazpenean:

— X ardatzarekin duena lortzeko, ebatzi ax 2 + bx + c = 0.

— Y ardatzarekin duena (0, c ) da.

EBATZITAKO ARIKETA

Irudikatu y = –x 2 + 3x + 4 ekuazioaren parabola.

Erpina lortuko dugu:

Abzisa: x0 = – 2 3 – = 1,5 → Ordenatua: f (1,5) = 6,25 → Erpina: (1,5; 6,25)

Erpinetik gertu dauden puntuak lortuko ditugu: x –2 –1 0 1 2 3 4 5 y – 6 0 4 6 6 4 0 – 6

Ikusten dugunez, parabolak bere ardatzarekiko duen simetria dela eta, erpinetik distantzia berera dauden puntuen ordenatuak bat datoz. Hau da, erpina x = 1,5 puntuan dagoenez, orduan f (1) = f (2); f (0) = f (3)…

Ageri ez diren balioak ikusteko, beherantz jo behar duzu kurtsorearekin.

– x 2 + 3x + 4 = 0 ekuazioak bi soluzio ditu: x = –1 eta x = 4; eta f (0) = 4 da. Dena dela, arda-tzekin dituen ebaki-puntu horiek taulan ageri dira.

PENTSATU ETA PRAKTIKATU

1 Lotu x 2-ren koefiziente bakoitza dagokion pa- rabolarekin:

• a = –1

• a = 2

• a = –3 1

• a = 2 1

• a = –3

2 Irudikatu parabola hauek: a) y = x 2 – 2x + 2 b) y = –2x 2 – 2x – 3 c) y = 3 1 x 2 + x – 2 d) y = –x 2 + 4 e) y = –2 1 x 2 + 2 f ) y = 3x 2 + 6x + 4

3 Irudikatu funtzio koadratiko hauen adierazpen grafikoak koadernoan: a) y = (x – 1) · (x – 3) b) y = 2(x – 2)2 c) y = 2 1 (x + 2) · (x – 2) d) y = (x – 1)2 + 5