Ebaki-puntuak ardatzekin.

Funtzio batek X ardatzarekin dituen ebaki-puntuek adierazten dute, kasu gehienetan, funtzioak hartzen dituen balioen zeinu-aldaketa (ebaki-puntuaren aurretik positiboak ziren eta ondoren negatiboak dira, edo alderantziz). Beraz, garrantzitsua da puntu horiek zein diren jakitea, motibo horrengatik eta beste batzuengatik. Funtzio bat adierazpen analitiko baten bidez ematen denean, y = f (x), oso erraza da ardatzekin dituen ebaki-puntuak lortzea:

• X ardatza non ebakitzen duen lortzeko, f (x) = 0 egin behar dugu.

• Una función solo puede cortar una vez al eje Y, se halla con f (0).

EBATZITAKO ARIKETA

Kalkulatu f (x) = x3 – 4x2 + x + 6 funtzioak ardatzekin dituen ebaki-puntuak. X ardatzarekin dituen ebaki-puntuak lortzeko, f (x) = 0 egingo dugu. x 3 – 4x 2 + x + 6 = 0 → x1 = –1, x2 = 2, x3 = 3

Funtzioak (–1, 0), (2, 0) eta (3, 0) puntuetan ebakitzen du X ardatza.

Y ardatzarekin duen ebaki-puntua lortzeko, f (0) kalkulatuko dugu. f (0) = 6, hau da, Y ardatza (0, 6) puntuan ebakitzen du.

Funtzio baten zeinua

Funtzio baten zeinua positiboa edo negatiboa izan daiteke. Funtzioa X ardatzaren gainetik badago, bere balioak positiboak dira, eta azpitik badago, negatiboak dira. f (x) funtzio baten zeinua aztertzeko, bi inekuazio ebatziko ditugu:

• f (x) > 0, eta soluzio horretan (tarte bat edo tarteen bilkura bat) f (x) positiboa izango da.

Ebatzitako Ariketa

Behatu funtzio honen zeinua: f (x) = x 3 – 4x 2 + x + 6

PENTSATU ETA PRAKTIKATU

• f (x) < 0, eta soluzio horretan funtzioa negatiboa izango da.

Badakigu funtzioa x1 = –1, x2 = 2, x3 = 3 denean baliogabetzen dela, eta, beraz, Behatu behar ditugun tarteak hauek dira:

• (–∞, –1) tartean, f (–2) = –20 < 0 denez → negatiboa

• (–1, 2) tartean, f (0) = 6 > 0 denez → positiboa

• (2, 3) tartean, f (2,5) = –0,875 < 0 denez → negatiboa

• (3, +∞) tartean, f (4) = 10 > 0 denez → positiboa

Oharra: Funtzioak eten bat izango balu punturen batean, x = a, kontuan hartu beharko litzateke abzisa hori tarteak aztertzean.

1 Aurkitu funtzio hauek ardatzekin dituzten ebaki-puntuak: a) f (x) = 3x – 2 b) f (x) = x 2 + x – 6 c) f (x) = x 3 – 2x 2 – x + 2 d) f (x) = x 2 + 2x + 1

2 Behatu aurreko ariketako funtzioetako bakoitzaren zeinua.

3 Aurkitu f (x) = xx 6 1 –2 + funtzioak ardatzekin dituen ebaki-puntuak, eta Behatu funtzioaren zeinua.

BEHATU

Denbora-lerroak, tenperatura bezala, jarraituak dira, baina etxebizitzaren prezioaren funtzioa puntuz eginda dago, eta bilakaera ikusteko lotzen dira lerro batekin.

Ohar Garrantzitsua

Funtzio jarraitu batean, x-ren aldaketak «txikiak» izaten direnean, y-n aldaketa «txikiak» eragiten ditu. Eten puntuetan (jauziak), berriz, x-ren aldaketa txiki batek (aparkalekuan minutu bat gehiago egotea) aldaketa handia eragin dezake y-n (2 €).

BEHATU

Hau da, y = x da x ≠ 2 bada, ezin dugulako zerorekin zatitu. Horregatik utzi dugu hutsune bat puntu horretan.

PENTSATU ETA PRAKTIKATU

Alboko funtzioa jarraitua da bere definizio-eremu osoan. Hurrengo hiru funtzio hauek, berriz, etenak dira: a a) c) b) a a a) Jauzi bat du a abzisa-puntuan. b) Adar infinituak ditu a puntuan. Hau da, funtzioaren balioak mugarik gabe hazten dira x aldagaia a-rantz hurbiltzen denean. c) Puntu bat falta zaio. Hau da, ez dago x = a puntuan definituta.

Zergatik dira etenak?

Funtzio bat jarraitua da ez daukanean inolako etenik.

Funtzio bat jarraitua da [a, b ] tartean, tarte horretan etenik ez badu.

|Adibideak

Aparkaleku askotan «orduka» kobratzen dute. Horrek esan nahi du aparkalekuan sartu baino ez 1 h ordaindu behar dela. Eta 1 h eta 10 min egonez gero, 2 h. Behean dauden bi grafikoetako lehenengoak ordaintzeko modu hori adierazten du. Jauzi erako hainbat eten-puntu dituen funtzio bat da.

Erabiltzaileek nahiago dute tarifak ezartzeko 2 grafikoa duen funtzioa erabiltzea. Argi dagoenez, jarraitua da.

Honako funtzio hauek etenak dituzte:

2)2

Honek, adar infinituak dituelako. Eta honek, puntu bat falta duelako.

1 Eraiki 1 funtzioaren antzekoa, baina kontuan hartuz ordu erdirik behin 1 € gehiago ordaindu behar dela. Ordaintzeko bi moduetako zein iruditzen zaizu bidezkoena?

2 Behatu 3 funtzioa «2tik hurbil» dauden balioetarako. Egiaztatu x-k 1,9; 1,99; 1,999; 2,01; 2,001 balio duenean y-k «oso balio handiak» hartzen dituela.

EBATZITAKO ARIKETA

Adierazi zer tartetan den gorakorra eta zer tartetan den beherakorra eskuinean grafikoki emanda dagoen funtzioa.

PENTSATU ETA PRAKTIKATU

Funtzio baten aldaketak 6

Pertsonen batezbesteko garaiera bizitzako lehenengo bi urteetan funtzio gorakorra da (zenbat eta zaharrago, orduan eta garaiera gehiago).

Pertsonek bere bizitzako lehenengo bi urteetan lo egiten duten denbora (loorduan egunean) funtzio beherakorra da (zenbat eta zaharrago, orduan eta lo-ordu gutxiago).

Ondo dakizun moduan, funtzioak ezkerretik eskuinera aztertzen dira: zer bilakaera duten y-ren balioek x-ren balioak handitzen direnean. Beraz, honako definizio hauek emango ditugu: f funtzioa gorakorra da tarte batean baldin eta: si x2 > x1 denean, f (x2) > f (x1) bada

Modu berean, f funtzioa beherakorra da tarte batean baldin eta:

Funtzio bat gorakorra izan daiteke tarte batzuetan eta beherako beste tarte batzuetan.

Funtzioa [–7, 11] tartean dago definituta.

Gorakorra da (–7, –3) eta (1, 11) tarteetan.

Beherakorra da (–3, 1) tartean. –7 11

1 Aztertu eskuineko funtzioa eta adierazi zer tartetan den gorakorra eta zer tartetan beherakorra.

(Onartuko dugu funtzioa marraztuta ikusten duzun tarteetan soilik dagoela definituta).

ALDAKUNTZA-TASA ABSOLUTUA ETA ERLATIBOA

Aldakuntza-tasa absolutuak ematen digu aldagai batek une jakin batetik osteko beste une batera daukan aldaketa. Adibidez, lanbidearteko gutxieneko soldata 735,90 €-koa izan bazen hilean 2018an, eta 1 000 €-koa 2022an, 2018-2022 tartean 264,10 €-ko igoera edo aldakuntza absolutua izan du. Denbora-tarte bateko aldakuntza-tasa erlatiboa da aldakuntza absolutuaren eta aldagaiak hasierako unean hartu zuen balioaren arteko zatidura. Emaitza ehunekoetan ematen da. Beraz, lanbidearteko gutxieneko soldataren aldakuntza erlatiboa 2018-2022 tartean hau izan da:

, , 735 90 264 10 = 0,3589, hau da, % 35,89ko igoera.

EBATZITAKO ARIKETAK

1 Kalkulatu eskuinean grafikoki emandako funtzioaren batezbesteko aldakuntza tasa [1, 5] eta [5, 8]

Batezbesteko aldakuntza tasa (B.A.T.)

Funtzio batek tarte batean duen aldakuntzaren (handitzea edo txikiagotzea) azkartasuna neurtzeko, batezbesteko aldakuntza-tasa edo B.A.T. erabiltzen da.

B

A f (b) f (b) – f (a) b – a f (a) b a f funtzioaren [a, b ] tarteko batezbesteko aldakuntza-tasa da funtzioaren aldakuntzaren eta tartearen luzeraren arteko zatidura.

B.A.T. de f en [a, b ] = () () ba fb fa –– f gorakorra bada [a, b ] tartean, orduan f -ren B.A.T. [a, b ] tartean > 0; eta f beherakorra bada [a, b ] tartean, orduan f -ren B.A.T. [a, b ] tartean < 0. Kontuz! Ez da nahitaez aurkakoa gertatu behar; hau da, f -ren B.A.T. [a, b ] tartean positiboa bada, funtzioak ez du zertan gorakorra izan tarte horretan; zati bat gorakorra eta beste bat beherakorra izan daiteke (ondoren datorren 2. adibide ebatzian gertatzen den bezala). b) Nolakoa da funtzioa tarte horietako bakoitzean?

Ikusten duzunez, f -ren B.A.T. [a, b ] tartean da AB zuzenkiaren malda.

2 a) Aurkitu zein den y = x2 – 4x + 5 funtzioaren B.A.T. [2, 4] eta [0, 3] tarteetan.

PENTSATU ETA PRAKTIKATU b) Grafikoa aztertuta, ikusten dugu funtzioa gorakorra dela [2, 4] tartean. Ikusten duzunez, nahiz eta B.A.T. negatiboa izan [0, 3] tartean, funtzioak zati beherakor bat du tarte horretan ([0, 2] tartea), baina zati gorakor bat ere bai ([2, 3] tartea). f

2 Aurkitu alboan adierazitako f funtzio honen batezbesteko aldakuntza tasa (B.A.T.), [1, 3], [3, 6], [6, 8], [8, 9] eta [3, 9] tarteetan.

3 Aurkitu y = x 2 – 4x + 5 funtzioaren B.A.T. (2. ariketa ebatzia) [0, 2], [1, 3] eta [1, 4] tarteetan.

1 3 6 8 9 a) y = 2x – 2 b) y = x3 – 2x + 1 c) y = –3

4 Aurkitu honako funtzio hauen B.A.T. [–1, 1], [0, 3] eta [2, 5] tarteetan.

Ebatzitako Ariketak

1 Adierazi zein diren honako funtzio honen maximoak eta minimoak.

2 Aurkitu funtzio honen maximoak eta minimoak.

Maximoak eta minimoak

Ezkerreko grafikoak erakusten du gazte baten pisuak izan duen bilakaera gaztearen bizitzako 3 urtetan. 16 urterekin 50 kg inguru zituen. Pisua hartu zuen, 55 kg-ra iristeraino. Hortik aurrera, 52 kg-ra jaitsi zen, baina berriro goraka egin eta 19 urterekin 70 kg-ko pisua izatera iritsi zen.

Ez dago zalantzarik hiru urte horietan pisu minimoa 16 urterekin izan zuela, eta maximoa, 19 urterekin. Baina beste bi unetan maximo erlatibo bat (55 kg) eta minimo erlatibo bat (52 kg) izan zituen.

Funtzio batek maximo erlatiboa du puntu batean funtzioak puntu horretan ondoko puntuetan baino balio handiagoa hartzen duenean. Kasu horretan, funtzioa gorakorra da maximoraino eta beherakorrik hortik aurrera. Modu berean, f funtzioak minimo erlatiboa badu puntu batean, beherakorra da puntu hori baino lehen eta gorakorra hortik aurreral.

Funtzioak maximo erlatiboa baino balio handiagoak eta minimo erlatiboa baino balio txikiagoak har ditzake beste puntu batzuetan. Funtzio batek tarte batean hartzen duen balio handienari maximo absolutua esaten zaio. Era berean, funtzio batek tarte batean hartzen duen balio txikienari minimo absolutua esaten zaio.

Maximo erlatibo bat du –3 abzisa puntuan. Bere balioa 2 da. Minimo erlatibo bat du (1, –5) puntuan. Bere maximo absolutua bat dator maximo erlatiboarekin. Minimo absolutu bat du (–7, –6) puntuan.

Maximo erlatibo bat du (–3, 4) puntuan, eta bi minimo erlatibo (–5, 3) eta (5, –2) puntuetan. Bere minimo absolutua bat dator minimo erlatiboetako batekin, (5, –2). Bi maximo absolutu ditu: (–8, 5) eta (8, 5).

Pentsatu Eta Praktikatu

1 Aztertu eskuinean adierazitako funtzioa eta adierazi zein diren bere maximoak eta minimoak (erlatiboak eta absolutuak).

Funtzio Baten Limitea

Joera horiei funtzioaren limite esaten zaie. Batxilergoan limiteak bereizten eta kalkulatzen ikasiko dugu.