Taller de matemàtiques

INFORMA’T

Corbes de regressió

En aquesta unitat hem après a dibuixar i interpretar la recta que millor s’adapta a un núvol de punts (regressió lineal). No obstant això, hi ha casos en els quals el núvol de punts corresponent a una distribució bidimensional adopta formes com les que veus a la dreta (exponencial, logarítmica, polinòmica…).

Existeixen mètodes de matemàtica superior que permeten trobar tant les equacions de la recta de regressió com les de les altres corbes, i valorar el grau d’aproximació del núvol de punts a la corba trobada.

LLEGEIX, APRÈN PEL TEU COMPTE, INVESTIGA I ARGUMENTA

Mesuram la desigualtat: corbes de Lorenz i índex de Gini investiga

Els gràfics del marge s’anomenen corbes de Lorenz i representen la distribució de la riquesa entre la població de tres països diferents.

La verda passa pel punt (75, 10), això significa que en aquest país el 75 % més pobre posseeix un 10 % de la riquesa total. També passa per (96, 50), és a dir, el 4 % dels més rics posseeixen el 50 % de la riquesa total.

Analitza els tres gràfics representats i indica quin correspon a un país utòpic (tots tenen la mateixa riquesa); quin a un país molt injust, i quin, a un país moderadament just.

De vegades, en lloc de comparar amb gràfics, resulta més operatiu i més precís fer-ho amb nombres. Per aquest motiu va aparèixer el coeficient de Gini, que va ser una mesura desenvolupada per l’estadístic italià Corrado Gini el 1912.

L’índex de Gini és un nombre comprès entre 0 i 1: si fora 0, estaríem davant d’una perfecta igualtat (tots tenen el mateix) i si fos 1, la desigualtat seria absoluta (un ho té tot i els altres, res).

Per mesurar-ho podem usar les corbes de Lorenz. Si prenem l’àrea davall de la diagonal del quadrat com 1/2 (àrea d’un triangle rectangle de base i altura 1), el coeficient de Gini serà l’àrea que hi ha entre la bisectriu i la corba de Lorenz dividit per 1/2, és a dir, multiplicada per 2.

El coeficient de Gini se sol expressar com un percentatge, d’aquesta manera se’l coneix com índex de Gini.

Espanya, el 2021, tenia un índex de Gini de 33. Observa com estaven aleshores alguns altres països del món: Noruega: 25; Uruguai: 40; Brasil: 49; Tanzània: 40; Índia: 35; Estats Units: 42. Els països amb major i menor índex de Gini són, respectivament, Sud-àfrica amb 63 i Eslovàquia amb 23. Ten en compte que els menors índexs de Gini no coincideixen exactament amb els països més desenvolupats, ni els majors amb els menys desenvolupats, encara que segurament hi ha una certa correlació.

Cerca a Internet i fes una taula amb dades, com, per exemple, PIB, nivell de felicitat, esperança de vida i índex de Gini, de països més i menys desenvolupats. Després, estudia la correlació que hi ha entre diversos parells de variables i treu conclusions.

Autoavaluaci

1 De les següents distribucions bidimensionals, digues en quins casos la correlació és positiva, en quins és negativa i en quins no veus correlació: a) Altura d’una persona - Grandària del seu ca. b) Distància d’un viatge d’avió - Preu del bitllet. c) Latitud d’un lloc de l’hemisferi nord - Temperatura mitjana anual. d) Altura - Pressió atmosfèrica. e) Profunditat de la mar - Pressió de l’aigua.

2 Associa a cada una de les distribucions bidimensionals de l’exercici anterior una d’aquestes correlacions: r = –1 r = 0,83 r = –0,92 r = 0,23 r = 1

3 Associa cada núvol de punts amb una de les correlacions següents: r = 1 r = –0,83 r = 0,97 r = 0,18

➜ anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

5 S’han anotat les hores d’estudi de 10 estudiants de 4t A per preparar un examen de Matemàtiques, i la nota obtenguda en aquesta prova. Aquests són els resultats: a) Representa les dades en un núvol de punts. b) Traça-hi a ull la recta de regressió corresponent. c) Quin d’aquests valors és el coeficient de correlació? r = 0,64 r = 0,96 r = –0,87 r = 0,25 d) Si ho creus necessari, pots trobar el valor de amb la calculadora.

6 Sabem que la recta de regressió corresponent a les dades de l’exercici anterior té l’equació següent: y = 4,04 + 1,12x a) Estima quina nota obtendria un estudiant que hagués dedicat 3,5 hores a preparar l’examen. I si no hagués estudiat res (0 hores)? b) Consideres fiables aquestes estimacions? Explica per què. a) Quines variables que es relacionen en aquesta distribució bidimensional? b) Representa el núvol de punts. c) És una relació estadística o funcional? d) Traça-hi a ull la recta de regressió.

7 La correlació entre les temperatures mitjanes mensuals d’una ciutat i el temps mitjà que els seus habitants es queden a ca seva els caps de setmana és de –0,89. Et sembla raonable aquest valor? Explica-ho.

4 Aquests són les altures (en cm) i la talla del peu dels components de l’equip de judo de l’institut.

Serà positiva o negativa la correlació entre la pluja caiguda mensualment a la Corunya i el temps mitjà d’estada a casa els caps de setmana?

Reflexiona

Revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que es detectin. Per a això, descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica corresponent, reflexiona de manera individual i comparteix-ho en grup.

Posa A Prova Les Teves Compet Ncies

Fes l’autoavaluació competencial inclosa en anayaeducacion.es.