La recta de regressió per fer estimacions

Serveix la recta de regressió per estimar el valor de y que li correspon a un nou individu de qui es coneix el valor de x ? Per descomptat que podem fer l’estimació, però, quin grau de fiabilitat té?

Sembla raonable pensar que com més forta sigui la correlació, més fiable serà l’estimació, però, hi influeixen altres factors? Abans d’extreure conclusions definitives, vegem-ne alguns exemples.

|Exemple

1

La longitud d’un rail de via de tren a 0 °C és de 10 m. La taula del marge ens mostra els allargaments, A (en mm), a diferents temperatures, T (en °C). A partir de les dades de la taula, ens preguntam per l’allargament que s’obtendria per a temperatures de 30 °C i 100 °C.

El primer que feim és representar les dades en un núvol de punts. Observam en el marge que s’ajusten de forma gairebé exacta a una recta, la recta de regressió traçada en blau. I per això donam per cert que el coeficient de correlació és molt pròxim a 1.

Obtenim l’equació de la recta de regressió. Com que passa per (0, 0) i (50, 6), la seva equació és y = 50 6 x → y = 0,12x

Per a 30 °C obtenim y ^(30) = 3,6 mm, i per a 100 °C, y ^(100) = 12 mm. Les dues estimacions poden ser molt fiables, sobretot la primera, ja que el valor de la temperatura està en el tram dels valors controlats. En la segona estimació la temperatura està fora de l’interval de valors, però poc allunyada.

|Exemple 2

Les estatures, E (en cm), i els pesos, P (en kg), de 8 jugadors de bàsquet vénen donats en la taula del marge. Volem estimar, mitjançant la recta de regressió, el pes d’un nou fitxatge que té un alçada de 208 cm. Per a això, representam les dades i la recta de regressió i veim gràficament el pes que correspon a y ^(208) = 106

En aquest cas, la correlació no és tan alta com en l’anterior, per això, seria més prudent que diguéssim que el pes que correspon a 208 cm és relativament pròxim a 106; per exemple, entre 102 kg i 110 kg.

Pensa I Practica

1 Estima, amb les dades de l’exemple 1, l’allargament corresponent a una temperatura de 45 ºC. Consideres fiable l’estimació?

2 Estima, amb les dades de l’exemple 2, el pes d’un jugador nou amb una estatura de 180 cm. Consideres fiable l’estimació?

Estimacions

La estimación es tanto mejor cuanto mayor es |r |. La estimación solo debe hacerse para valores de x próximos a los datos.

➜

anayaeducacion.es

La recta de regressió per fer estimacions.

Exercici Resolt

Tornam a l’exemple del grup d’estudiants de l’exercici resolt de la pàgina 221 en què es relacionava l’altura amb la pressió atmosfèrica.

Calcula l’equació de la recta de regressió suposant que passa pels punts primer i darrer de la taula.

Estima la pressió atmosfèrica que correspon a altures de 600 m, 3 000 m i 5 000 m.

Com de fiable és cadascuna de les estimacions?

Quan podem fer estimacions?

Quines garanties d’èxit tenim quan feim estimacions basant-nos en la recta de regressió?

Com hem vist en els exemples anteriors, la seguretat en la previsió serà més alta com major sigui el coeficient de correlació en valor absolut. És a dir:

• Si |r | és proper a 1 es podrà dir que, probablement, el valor real serà proper a la nostra previsió.

• Si |r | és xicotet, hem d’abstenir-nos de fer previsions. Però encara per a valors grans de |r |, les previsions poden ser molt insegures si el punt de la recta de regressió sobre el qual feim l’estimació està molt allunyat dels punts coneguts. En l’exemple 1 de la pàgina anterior, consideram bastant segures les previsions d’allargament que vàrem fer per a temperatures de 30 °C i 100 °C. Molt menys segurs hauríem d’estar si, a partir de la fórmula, pretenguéssim fer estimacions per a 500 ºC; probablement es cometrien errors importants.

Trobam l’equació de la recta de regressió suposant que passa pels punts (0, 760) i (2 184, 580):

Efectuam les estimacions: y ^(600) = 710,6 y ^(3 000) = 512,8 y ^(5 000) = 348

Estimam, gairebé amb absoluta seguretat, una pressió atmosfèrica d’uns 710 mm a una altura de 600 m. També és molt fiable una estimació a una altura de 3 000 m.

No obstant això, no hem de confiar en l’estimació de la pressió a 5 000 m, ja que les observacions de què disposam (en què es basen els nostres càlculs) estan molt enfora d’aquesta altura.

Pensa I Practica

3 Estima, mitjançant la recta de regressió, la pressió corresponent a 1 000 m. És fiable l’estimació?

➜ anayaeducacion.es Estimació amb la recta de regressió.

4 Estima la pressió corresponent a una altura de 6 000 m. Comenta com de fiable és aquesta estimació.