Exercicis i problemes

27 Aquesta funció relaciona l’espai recorregut per una moto amb el temps.

a) A quina distància està l’àrea de descans?

b) Troba la TVM en els intervals [0, 9], [0, 5] i [6, 9].

c) Quina és la velocitat mitjana en el primer tram abans del descans? I en el segon? Quina relació hi ha entre les velocitats mitjanes i les TVM de l’apartat anterior?

d) Troba la velocitat mitjana del viatge.

28 Un cos, en caiguda lliure, adquireix una velocitat que augmenta uns 35 km/h cada segon. Deixem caure una bolla de ferro des dalt d’un penya-segat.

a) Escriu l’expressió analítica de la funció que relaciona el temps des que es va deixar caure amb la velocitat a la qual cau.

b) Representa-la en uns eixos.

c) Suposant que la bolla no es frena amb l’aire, quina velocitat durà als 3 s? I als 10 s?

d) Si la bolla xoca contra el terra a una velocitat de 420 km/h, quant ha tardat a caure?

29 L’altura, h, a la qual es troba en cada instant, t, una fletxa que tiram amb l’arc cap amunt amb una velocitat de 40 m/s és h = 40t – 5t 2 .

a) Representa gràficament la funció.

b) Digues quin és el seu domini de definició.

c) En quin moment aconsegueix l’altura màxima? Quina és aquesta altura?

d) En quin moment es clava la fletxa a terra?

e) En quin interval de temps la fletxa està a una altura superior a 35 metres?

30 Resol analíticament i gràficament aquests sistemes:

32 Observa aquests gràfics funcions discontínues i contesta les preguntes: b) Quin n’és l’eix de simetria? c) Quins en són els punts de tall amb els eixos? a) Quins són els punts de discontinuïtat? Explica la raó de discontinuïtat en cada punt. b) Quin és el domini de definició? c) Indica, si té, els màxims i els mínims relatius. d) En quins intervals és creixent? I decreixent?

31 a) Calcula b i c perquè el vèrtex de la paràbola y = x 2 + bx + c estigui en el punt (3, 1).

Per Pensar Un Poc M S

33 Enguany, na Verònica ha aconseguit collir de la seva producció 240 kg d’alvocats que avui es vendrien a 1,20 €/kg. A partir d’ara, cada dia que passa se’n tuden 4 kg, però el preu augmenta 0,10 €/kg. Quan ha de vendre els alvocats per obtenir el màxim benefici? Quin serà aquest benefici?

34 Amb un rectangle de cartolina de 50 cm × 20 cm, volem fabricar una caixa amb tapadora.

a) Escriu el volum en funció de x, V (x).

b) Donant valors a x, representa el gràfic de V (x).

c) Quin és el domini de V (x)?

35 Donada la següent funció periòdica:

36 Troba l’expressió analítica corresponent a cada una de les paràboles representades:

37 Dibuixa i escriu l’equació, en cada cas, de les paràboles que compleixen aquestes condicions: a) L’eix és x = 2, el coeficient de la x 2 és –1 i talla l’eix X en un sol punt. b) Té el vèrtex en el punt (3, –2) i té la mateixa forma que y = x 2 c) Té el vèrtex en l’origen de coordenades i passa pel punt (–3, –18). a) Observa que si x = 3 cm, AS = 7 – 3 = 4 cm. Quant mesura PS ? Quina és l’àrea del nou quadrat? b) Quina és la funció que relaciona x amb l’àrea del quadrat? Indica’n el domini. c) Usa una escala adequada a cada eix i representa-la. a) Què podem dir de la TVM de la funció en l’interval [6, 8]? I en l’interval [11, 13]? b) Quina TVM té la funció en [3, 6]? c) Quina és la taxa de variació mitjana de la funció en l’interval [4, 9]? I en [8, 43]? a) Pren O com a origen i troba l’equació de la trajectòria de la pilota des que surt del trampolí fins que toca l’aigua.

38 Dibuixa un quadrat ABCD de 7 cm de costat. Sobre el costat AB, marca un punt P que disti x de A, i dibuixa un nou quadrat PQRS inscrit en l’anterior.

39 Una funció, f (x), és periòdica de període 5, i la seva TVM en [1, 3] és 1.

40 En una piscina hi ha un trampolí a 6 m de l’aigua. Des d’allí, deixam caure una pilota rodant i cau a l’aigua a 10 m de la vertical del trampolí. La trajectòria és una paràbola amb vèrtex en el punt de caiguda.

Tamb Pots Fer Aix

41 Observa que el gràfic de y = f (x) talla l’eix X en x = –2, x = 0 i x = 4. Pren valors positius en els intervals

(–2, 0) i (4, +∞), i negatius en (– ∞, –2) i (0, 4).

Tenint això en compte, podem afirmar que:

• El domini de definició de la funció y = ()fx 1 és Á – {–2, 0, 4}.

• El domini de definició de la funció y = ()fx és [–2, 0] ∪ [4, +∞).

Raonant de manera similar, digues el domini de definició de y = ()fx 1 i y = ()fx , per a les següents funcions donades pels gràfics: m b) Dona’n el domini de definició.

10 m a) Y X a) Y X

Y X

Y X b) Y X d) c) Y X c) Y X d) b) Y X

HO HAS ENTÈS? REFLEXIONA

42 Digues, raonadament, si és vertadera o falsa: a) Si una funció és discontínua en un punt, aquest punt no pertany al domini de definició. b) Si un punt no pertany al domini de definició d’una funció, aquesta no pot ser contínua en aquest. c) Una funció periòdica sempre és contínua. d) El pendent d’una recta és la TVM de qualsevol dels seus intervals. e) La TVM d’una funció periòdica en qualsevol interval de longitud igual al període és 0. f ) Si en una paràbola la TVM d’un interval és 0, el vèrtex està en el punt mitjà d’aquest interval. g) Totes les funcions no lineals tenen almenys un màxim o un mínim relatiu. h) Si una funció periòdica és decreixent en tot el seu domini, aleshores no és contínua.

Estudi Conjunt De Diverses Funcions

Un autobús arranca de la parada i, a poc a poc, va guanyant velocitat. N’Àlvar, na Beatriu i na Carolina han quedat fora en el moment de la sortida i cada un intenta accedir a l’autobús de manera diferent.

• N’Àlvar s’ha despistat i ha de córrer per agafar-lo.

• Na Beatriu, que està a 80 m per davant de l’autobús en el moment que aquest arranca, decideix esperar-lo i agafar-lo quan passi pel seu costat.

• Na Carolina arriba tan tard que la porten amb motocicleta fins que aconsegueix acostar-s’hi.

Aquestes són les representacions gràfiques d’aquests quatre moviments (el de l’autobús i els dels tres passatgers):

Podem fer-nos preguntes relatives a cada un per separat:

• Quant tarda l’autobús a recórrer els primers 80 m? I els següents 80 m? Quina distància ha recorregut als 10 s?

• A quina velocitat corre cada un dels viatgers?

Però més interessants són les preguntes que relacionen dos gràfics:

• Quant tarda l’autobús a arribar fins a na Beatriu? Quina és la seva velocitat en aquest instant? Li resultarà possible a na Beatriu pujar a aquesta velocitat?

• Quan i on aconsegueix n’Àlvar agafar l’autobús? Quines velocitats duen l’autobús i n’Àlvar en aquest moment? Li resultarà fàcil pujar a l’autobús?

Reflexiona

L’equació del moviment de l’autobús en els primers segons és , yt 1 48 2 = Comprova que l’equació del moviment de na Carolina és y = 20(t – 18) i troba les equacions de n’Àlvar i na Beatriu.

Respon les mateixes preguntes que es varen plantejar abans a partir de les quatre equacions.

Velocitats

Per esbrinar la velocitat dels passatgers, divideix l’espai recorregut entre el temps emprat. La velocitat de l’autobús en cada instant pots obtenir-la aproximadament.

Autoavaluaci

1 Observa el valor d’una empresa des que es va fundar.

valor (milions d’euros) temps (mesos)

4 8 12 16 20 24 a) Quin era el seu valor en el moment de l’obertura? b) A quant es va reduir el seu valor després de 4 mesos? c) Quina és la TVM en l’interval [4, 12]? Dona el resultat en milers d’euros per mes. d) Descriu si té màxims o mínims relatius. e) Quina sembla la tendència per als pròxims mesos?

2 Observa el gràfic i respon: a) Indica’n el domini i el recorregut. c) Digues quins són els punts de tall amb els eixos. d) Estudia’n el signe.

3 Troba el domini de definició d’aquestes funcions: a) j (x) = x2 – 16 b) f (x) = x 48 + c) g (x) = x 7 1 – d) h(x) = xx215 –2 + e) ()fx 1 f ) () () x h fx a) y = 2x + 3 b) y = 2 – x 2 3 c) Passa per (–2, 1) i té pendent m = 1/2. d) Passa pels punts (2, 5) i (4, 3). e) Passa per l’origen de coordenades i és paral·lela a la recta y = 2x – 1. f ) Funció de proporcionalitat que passa per (–3, 5). g) Funció constant que passa per (2, –2).

4 Representa cada una d’aquestes rectes i, en el cas que no estigui donada per la seva expressió analítica, escriu-la.

5 Troba el vèrtex d’aquestes paràboles i representa-les: a) y = x 2 2 – 2 b) y = x 2 + 4x – 5 c) y = (5 – x)(x + 1) d) y = –(x – 3)2 – 1 b) Quin és el seu vèrtex? És un màxim o un mínim? c) Indica en quin interval creix i en quin decreix. a) Si la base del quadre mesuràs 0,5 m, quant mesuraria l’altura? I la superfície? b) Quina és l’expressió que ens dona la superfície, S, per a una base qualsevol, b? Representa-la. c) Per a quin valor de la base s’obté la superfície màxima? Quant val aquesta superfície?

➜ anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

6 a) Troba la paràbola que passa per (0, 0), (1, 6) i (–1, −2).

7 Calcula la TVM de la funció d’equació y = x 2 + 4x – 5 en els intervals [–5, 2], [–2, 1] i [1, 2].

8 Amb un llistó de fusta de 3 metres de llarg, volem fabricar un marc per a un quadre.

9 Observa aquesta funció periòdica: a) Quin és el període? b) Troba els seus valors en: x = 0; x = –6; x = –3; x = 2; x = 4; x = 40; x = –40; x = 42. a) Anomena x la distància de P a AB i escriu la funció que relaciona aquesta distància amb l’àrea del rectangle. b) Digues el seu domini i representa-la.

10 En el quadrat ABCD, per a cada punt P de la diagonal AC es forma un rectangle.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

Reflexiona

Revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que es detectin. Per a això, descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica corresponent, reflexiona de manera individual i comparteix-ho en grup.

Posa A Prova Les Teves Compet Ncies

Fes l’autoavaluació competencial inclosa en anayaeducacion.es.