F uncions quadràtiques 9

Funcions quadràtiques

El curs passat vàrem fer una introducció suau a l’estudi de les paràboles. Ara repassarem allò i avançarem una mica més, centrant-nos en el tractament.

Observa les següents paràboles amb les respectives equacions:

Analitzant-les, podem realitzar les afirmacions següents:

Les funcions y = ax 2 + bx + c, amb a ≠ 0, anomenades quadràtiques, es representen totes mitjançant paràboles i són contínues en tot Á.

Cadascuna d’aquestes paràboles té un eix paral·lel a l’eix Y.

La seva forma depèn de a, coeficient de x 2, de la manera següent:

• Si dues funcions quadràtiques tenen el mateix coeficient de x 2, les paràboles corresponents són idèntiques, encara que poden estar situades en posicions diferents.

• Si a > 0, tenen les branques cap amunt, i si a < 0, cap avall.

• Com més gran sigui |a |, més estilitzada és la paràbola.

Taules De Valors Amb Calculadora

La calculadora ens permet elaborar, de manera ràpida i eficient, una taula de valors corresponent a qualsevol funció, en l’interval que vulguem i amb els increments desitjats. Observa com ho feim per a la funció y = –x 2 + 3x + 4. Es tria 3:Taula en l’opció de �. Apareix f (x) i, a continuació, s’introdueix l’expressió. Ten en compte que per escriure la x s’han de pitjar les tecles x ) .

x ) x + 3 x ) + 4= Apareix aquesta pantalla, on has d’indicar el primer i el darrer valor de x i la grandària del pas:

Representació de funcions quadràtiques

Per representar una funció quadràtica donada per l’equació, només s’han d’obtenir uns quants dels seus punts. Començarem calculant el vèrtex de la paràbola, per trobar, després, alguns punts que l’envolten.

• Trobam l’abscissa del vèrtex de la paràbola y = ax 2 + bx + c → x0 = – a b 2

• Calculam el valor de la funció en algunes abscisses pròximes al vèrtex.

• Els talls amb els eixos ens poden venir bé per a la representació:

— Amb l’eix X, es resol l’equació ax 2 + bx + c = 0.

— Amb l’eix Y, és el (0, c ).

Exercici Resolt

Representa la paràbola d’equació y = –x 2 + 3x + 4.

Obtenim el vèrtex:

Abscissa: x0 = – 2 3 – = 1,5 → Ordenada: f (1,5) = 6,25 → Vèrtex: (1,5; 6,25)

Obtenim punts pròxims al vèrtex:

En el nostre cas, com que el vèrtex està en x = 1,5, donam els valors de –2 a 5 i anam d’1 en 1 (pas).

Per veure els valors que no surten, has de moure’t cap avall amb el cursor.

Podem observar que, a causa de la simetria de la paràbola respecte al seu eix, les ordenades dels punts que estan a la mateixa distància del vèrtex coincideixen. És a dir, com que el vèrtex està en x = 1,5, llavors f (1) = f (2); f (0) = f (3)…

Vegem que – x 2 + 3x + 4 = 0 té dues solucions, x = –1 i x = 4; i que f (0) = 4. Però aquests punts de tall amb els eixos ja apareixen en la taula.

Pensa I Practica

1 Associa cadascun dels coeficients de la x 2 amb la paràbola corresponent:

• a = –1

• a = 2

• a = –3 1

• a = 2 1

• a = –3

➜ anayaeducacion.es Representa funcions quadràtiques.

2 Representa les paràboles següents: a) y = x 2 – 2x + 2 b) y = –2x 2 – 2x – 3 c) y = 3 1 x 2 + x – 2 d) y = –x 2 + 4 e) y = –2 1 x 2 + 2 f ) y = 3x 2 + 6x + 4

3 Dibuixa en la teva llibreta la representació gràfica d’aquestes funcions quadràtiques: a) y = (x – 1) · (x – 3) b) y = 2(x – 2)2 c) y = 2 1 (x + 2) · (x – 2) d) y = (x – 1)2 + 5