Funcions lineals 8

Funcions lineals en la vida quotidiana

La ciència està plena de funcions en les quals les variacions de les causes influeixen proporcionalment en les variacions dels efectes. Totes aquestes funcions es diuen lineals i es representen mitjançant rectes. Vegem-ne un exemple:

Si d’una molla penjam diferents pesos, es produeixen diversos allargaments. És a dir, la longitud de la molla és funció del pes que s’hi penja. I és interessant destacar que aquesta funció és lineal.

➜ Representa la funció de proporcionalitat y = mx i escriu-ne el pendent.

➜ anayaeducacion.es Representació gràfica d’una funció lineal.

En concret, suposam que la molla sense estirar fa 30 cm i que s’allarga 15 cm per cada quilogram que hi penjam. La relació és: y = 30 + 15x (y: longitud en cm; x: pes en kg)

El domini de definició d’aquesta funció és [0, 6], suposant que per a pesos de més de 6 kg la molla es deteriora.

Funció de proporcionalitat: y = mx

y = mx

Per exemple, l’espai recorregut a velocitat constant, v, en funció del temps és: e = v · t, on v és el pendent de la recta que relaciona e amb t.

Funció constant: y = n la funció

Es representa mitjançant una recta paral·lela a l’eix X El pendent és 0.

0

La recta y = 0 coincideix amb l’eix X. n X

Per exemple, la distància d’un satèl·lit artificial a la Terra és constant, no depèn del temps, t. L’equació seria d = 36 000, d: distància, en km; t: temps, que no apareix a l’equació.

Expressió general de la funció lineal: y = mx + n

0 50 100 1 2 3 4 5 6 y = 30 + 15x longitud (cm) pes (kg) y = mx + n n Y X 100 32 50 100 C F F = 32 + 1,8C 150

Per exemple, la recta F = 32 + 1,8C, representada en el marge, permet passar de graus centígrads, C, a graus Fahrenheit, F.

➜ Representa una recta i escriu l’equació a partir d’un punt i el pendent.

Atenci

Aquesta fórmula és molt útil. Aprèn a usar-la!

Equació d’una recta en la forma punt-pendent

Amb molta freqüència hem d’escriure l’equació d’una recta coneixent-ne un punt i el pendent. La donam a continuació:

Punt: P (x0, y0) Pendent: m Ecuació: y = y0 + m(x – x0) justificació

• y = y0 + m (x – x0) és una expressió de 1r grau. Per tant, és una recta.

• El coeficient de la x és m. Per tant, el pendent és m.

• Si donam a x el valor x0 → y = y0 + m (x0 – x0) = y0 + m · 0 = y0. Per a x = x0 hem obtengut y = y0, és a dir, passa per (x0, y0).

❚ Recta donada peR dos punts

Per trobar l’equació de la recta que passa per dos punts, procedim així:

➜ Representa una recta i escriune la equació a partir de dos punts.

Exercici Resolt

Troba l’equació de cada una de les rectes següents: a) Passa per (–5, 7) i té un pendent de 5 –3 . b) Passa per (–2, 7) i per (4, 5).

Pensa I Practica

1 Representa les funcions següents: a) Ecuació: y = 7 – 5 3 (x + 5). Això ja és l’equació de la recta.

• A partir dels dos punts, n’obtenim el pendent.

• Amb el pendent i un dels punts, n’obtenim l’equació.

➜ anayaeducacion.es Repassa l’equació punt-pendent.

Podem simplificar-la: y = 7 – 5 3 x – 5 3 · 5 → y = 4 – 5 3 x b) Començam trobant-ne el pendent: m = 42() 57 6 2 3 1 ––– ==

Equació de la recta que passa per (–2, 7) i amb pendent és – 3 1 : y = 7 – 3 1 (x + 2) → y = 3 19 – 3 1 x a) y = 2x b) y = 3 2 x c) y = – 4 1 x d) y = –3 7 x

2 Representa: a) y = 3 b) y = –2 c) y = 0 d) y = –5

3 Representa aquestes funcions: a) y = 2x – 3 b) y = 3 2 x + 2 c) y = – 4 1 x + 5 d) y = –3x – 1 a) Escriu l’equació del cost d’una bossa de patates en funció del pes. b) Escriu l’equació del cost d’una bossa de tomàtigues en funció del pes. c) Representa les funcions anteriors.

4 Un objecte mòbil, en l’instant inicial, està a 3 m de l’origen i se’n fa enfora a una velocitat de 2 m/s. Troba l’equació de la seva distància a l’origen en funció del temps i representa-la.

➜ anayaeducacion.es Calcula el pendent d’una recta.

5 El preu de les patates al mercat és d’1 €/kg, i el de les tomàtigues, 2 €/kg.

6 Amb les dades que se’t donen, troba l’equació de cada una de les rectes següents: a) Passa per (–3, –5) i té un pendent de 9 4 . b) Passa per (0, –3) i té un pendent de 4. c) Passa per (3, –5) i per (–4, 7).