Tendència i periodicitat 7

Un paracaigudista salta d’un avió a una determinada altura. La seva velocitat creix molt ràpidament al principi, però segons passa el temps, tendeix a estabilitzar-se a causa del fet que la força del fregament de l’aire s’iguala a la gravetat. Aquest és el gràfic de la funció que relaciona la velocitat amb el temps:

Observam que la velocitat a partir d’un cert moment s’estabilitza al voltant d’un valor. Podem afirmar que:

En passar el temps, la velocitat tendeix a 55 m/s (198 km/h).

Hi ha funcions en què, encara que només en coneguem un tros, podem predir com es comporten lluny de l’interval en què han estat estudiades, perquè tenen branques amb una tendència molt clara.

Exercicis Resolts

1 En netejar el congelador, ha quedat en un tassó un tros de gel. Representa el gràfic de la variació de la temperatura d’aquesta aigua sabent que el gel surt del congelador a –10 °C, i tarda mitja hora a posar-se a 0 °C i 2 h més a descongelar-se. La temperatura exterior és de 20 °C.

2 A quant tendeix el volum d’un cub quan creix la seva aresta?

El gel puja de temperatura fins a arribar a 0 °C. A partir d’aquí, es descongela a poc a poc mantenint la temperatura de 0 °C fins que es liqua per complet. Després, augmenta la temperatura de l’aigua que tendeix a igualar-se amb la de l’habitació on es troba.

El volum d’un cub en funció de l’aresta és V = l 3. Com més gran sigui l’aresta, més gran en serà el volum.

És a dir, el volum creix indefinidament. Això s’expressa de la manera següent: Quan l’aresta creix indefinidament, el volum tendeix a infinit.

En aquest gràfic es representa el començament d’una funció periòdica de període 7. Esbrina els valors d’aquesta funció en els punts d’abscisses a = 10;

Periodicitat

En el marge s’ha representat la variació de l’altura d’una cabina d’una roda de fira quan aquesta fa una volta. Tarda mig minut (30 segons), i en aquest temps puja, arriba al punt més alt, baixa i arriba a terra. Però aquest moviment es repeteix una vegada i una altra. La seva representació gràfica és aquesta: a = 10 → f (10) = f (3) = 3 (ja que 10 = 7 · 1 + 3, i cada 7 unitats es repeteix el valor de la funció) b = 19 → f (19) = f (5) = 4 (pues 19 = 7 · 2 + 5) c = 418,5 → f (418,5) = f (5,5) = 3 (ja que 418,5 = 7 · 59 + 5,5) d = 1 778 → f (1 778) = f (0) = 0 (ja que 1 778 = 7 · 254)

En aquesta funció, el que passa en l’interval [0, 30] es repeteix reiteradament. Es tracta d’una funció periòdica de període 30.

Funció periòdica és aquella que té un comportament que es repeteix cada vegada que la variable independent recorre un cert interval. La longitud d’aquest interval s’anomena període.

Pensa I Practica

1 La quantitat de radioactivitat que posseeix una substància es redueix a la meitat cada any. El gràfic adjunt descriu la quantitat de radioactivitat que hi ha en una porció d’aquesta substància en transcórrer el temps.

A quant tendeix la radioactivitat amb el pas del temps?

2 La cisterna d’uns serveis públics s’omple i es buida, automàticament, cada dos minuts, seguint el ritme del gràfic adjunt.

a) Dibuixa el gràfic corresponent a 10 min.

b) Quanta aigua hi ha a la cisterna en els instants següents?

I) 17 min II) 40 min 30 s

III) 1 h 9 min 30 s allargament d’una molla