D omini de definició 3

En la funció y = x 2 podem donar a x un valor qualsevol i obtenim el corresponent valor de y. Deim que aquesta funció està definida en tot Á o bé que el seu domini de definició és Á o (–∞, +∞).

No obstant això, en la funció y = x no podem donar a x valors negatius. El seu domini de definició és [0, +∞).

Per què es restringeix el domini de definició?

Dom f pot quedar restringit per una de les causes següents:

Impossibilitat de realitzar alguna operació. Això passa si en f (x) hi ha:

• Denominadors. Els valors que fan zero un denominador no estan en el domini de definició.

Per exemple, per a f (x) = x 3 1 + , el domini és el conjunt de tots els reals excepte x = –3. És a di, Dom f = (–∞, –3) ∪ (–3, +∞).

• Arrels quadrades. No estan en el domini de definició els valors que fan que l’expressió dins de l’arrel sigui negativa.

Per exemple, per f (x) = x 2 – , els valors x < 2 no estan en el domini de definició. Per tant, Dom f = [2, +∞).

Context real de què s’ha extret la funció

Per exemple, si A = l 2 representa l’àrea d’un quadrat en funció del costat, el domini és (0, +∞), ja que la longitud del costat ha de ser un nombre positiu.

Voluntat de qui proposa la funció.

Així, podem referir-nos a la funció y = 2x definida en (0, 4] sense més raó que el fet que vulguem fer-ho.

➜ anayaeducacion.es

Reforça el càlcul de dominis.

EXERCICI RESOLT

Troba el domini de definició de les funcions donades per les seves expressions analítiques: a) y = xx28 1 2 b) y = x5 + denominador, de manera que no pertanyen al domini de definició.

Quan no es diu el contrari, el domini de definició és tan ampli com permeten les operacions que componen l’expressió analítica de la funció.

PENSA I PRACTICA

1 Troba el domini de definició de les funcions següents:

Observa en aquest gràfic del valor de l’euríbor el 2022, la importància dels punts de tall amb els eixos.

• El tall amb l’eix Y correspon al valor al començament de l’any.

• El tall amb l’eix X mostra quan deixa de ser negatiu.

Signe d’una funció 4

Talls amb els eixos.

Els punts de tall d’una funció amb l’eix X en la majoria dels casos indiquen el canvi de signe dels valors que pren (abans del punt de tall eren positius i després passen a ser negatius, o viceversa). Per aquest i altres motius és important conèixer aquests punts.

Quan una funció ve donada mitjançant una expressió analítica, y = f (x), és fàcil trobar els punts de tall amb els eixos:

• Per trobar on talla l’eix X, feim que f (x) = 0.

• Una funció només pot tallar una vegada a l’eix Y, es troba amb f (0).

Exercici Resolt

Calcula els punts de tall amb els eixos de f (x) = x 3 – 4x 2 + x + 6

Per trobar els punts de tall amb l’eix X, feim f (x) = 0. x 3 – 4x 2 + x + 6 = 0 → x1 = –1, x2 = 2, x3 = 3 f (0) = 6, és a dir, talla l’eix Y en el punt (0, 6).

La funció talla l’eix X en els punts (–1, 0), (2, 0) i (3, 0).

El punt de tall amb l’eix Y es troba calculant f (0).

Signe d’una funció

El signe d’una funció pot ser positiu o negatiu. Si la funció està per damunt de l’eix X, els valors seran positius i, si està per davall, negatius.

Per estudiar el signe d’una funció f (x), resolem dues inequacions:

• f (x) > 0, en la seva solució (interval o unió d’intervals) f (x) serà positiva.

• f (x) < 0, en la seva solució la funció serà negativa.

Exercici Resolt

Estudia el signe d’aquesta funció: f (x) = x 3 – 4x 2 + x + 6

Sabem que la funció s’anul·la en x1 = –1, x2 = 2, x3 = 3, per la qual cosa els intervals a estudiar són:

• En (–∞, –1), com que f (–2) = –20 < 0 → negativa

• En (–1, 2), com que f (0) = 6 > 0 → positiva

• En (2, 3), com que f (2,5) = –0,875 < 0 → negativa

• En (3, +∞), com que f (4) = 10 > 0 → positiva

Atenció: Si la funció tengués una discontinuïtat en un cert punt, x = a, s’hauria de tenir en compte aquesta abscissa per estudiar els intervals.

PENSA I PRACTICA

1 Troba els punts de tall amb els eixos d’aquestes funcions: a) f (x) = 3x – 2 b) f (x) = x 2 + x – 6 c) f (x) = x 3 – 2x 2 – x + 2 d) f (x) = x 2 + 2x + 1

2 Estudia el signe de les funcions de l’exercici anterior.

3 Troba els punts de tall amb els eixos i estudia el signe de la funció f (x) = xx 6 1 –2 + .

OBSERVA

Les línies temporals com la temperatura són contínues, però la funció del preu de l’habitatge està feta de punts que s’uneixen amb una línia per veure l’evolució.

O Bservaci Important

En una funció contínua, a «petites» variacions de la x corresponen variacions també «petites» de la y. Mentre que en els punts de discontinuïtat (amb salt) una variació petita de la x (un minut més a l’aparcament) pot produir una variació gran (2 €) en la y.

OBSERVA () y x xx x xx x 2 2 2 2 –––– 2 == =

És a dir, y = x si x ≠ 2, perquè no podem dividir per zero. Per això deixam un buit en aquest punt.

Pensa I Practica

La funció del marge és contínua en tot el domini de definició. No obstant això, les tres funcions següents són discontínues: a a) c) b) a a a) Presenta un salt en el punt d’abscissa a. b) Té branques infinites en el punt a. És a dir, els valors de la funció creixen indefinidament quan la x s’aproxima a a. c) Li falta un punt. És a dir, no està definida en x = a.

Per què són discontínues?

Una funció és contínua quan no presenta discontinuïtats de cap tipus. Una funció és contínua en un interval [a, b ] si no hi presenta cap discontinuïtat.

|

Exemples

Hi ha molts aparcaments que continuen cobrant «per hores». Això vol dir que només per entrar ja es paga 1 h. Si s’hi està 1h i 10 min es paguen 2 h. El primer dels dos gràfics següents descriu aquesta forma de pagament. És una funció amb diversos punts de discontinuïtat per salts.

Els usuaris prefereixen que les tarifes es regeixin per la funció amb el gràfic 2 . Evidentment, és contínua.

Les funcions següents presenten discontinuïtats:

Aquesta perquè té branques infinites.

1 Construeix una funció similar a la 1 , però per al cas que es pagui 1 € cada mitja hora. Quina de les opcions de pagament et pareix més justa?

I aquesta perquè hi falta un punt.

➜ anayaeducacion.es Funcions contínues i discontínues.

2 Analitza la funció 3 per a valors «pròxims a 2». Comprova que quan x val 1,9; 1,99; 1,999; 2,01; 2,001, la y pren valors «molt grans».

EXERCICI RESOLT

Indica els intervals en què és creixent i en què és decreixent la funció de la dreta donada gràficament.