7 Funcions I

El concepte de funció ha anat evolucionant i perfilant-se al llarg del temps. Quins requisits s’han exigit a aquest concepte?

— Una funció relaciona dues variables.

— Les funcions descriuen fenòmens naturals.

— Les relacions funcionals poden ser descrites mitjançant fórmules (relacions algebraiques).

— Les funcions poden ser representades gràficament. Les següents són algunes de les contribucions més importants per perfilar el paper de les funcions i la seva definició formal:

• Nicolau Oresme (segle xiv) va ser el primer a descriure les lleis de la naturalesa com a relacions de dependència entre dues variables.

• Galileu (segle xvi) va usar per primera vegada l’experimentació (va dissenyar, experimentar, mirar, anotar...) per establir numèricament aquestes relacions.

• Descartes (segle xvii), amb l’algebrització de la geometria, va propiciar que les funcions poguessin ser representades gràficament.

• Leibniz (segle xvii), el 1673, va utilitzar per primera vegada la paraula funció per designar aquest tipus de relacions.

• Euler (segle xviii) va anar perfilant el concepte, al qual va donar precisió i generalitat. Va presentar una definició general molt rigorosa, que no dista molt de la que empram actualment. Va aportar la nomenclatura f (x).

• Dirichlet (segle xix) va ampliar el concepte de funció admetent, finalment, que una relació entre dues variables pot ser funció encara que no hi hagi una expressió analítica que la descrigui.

Amb el que ja saps, resol-ho

Un exemple de funció

Un rellotge de sol no és exacte pel fet que la Terra, en el seu moviment al voltant del Sol, no va sempre a la mateixa velocitat.

El gràfic següent mostra en quants de minuts s’avança o es retarda el rellotge de sol en el transcurs d’un any.

A partir d’això, ens podem fer infinitat de preguntes:

En quina data s’avança més?

En quina data es retarda més?

Què passarà l’any següent? I a l’altre?

Aquest comportament es repeteix cada any. Recorda que aquests tipus de funcions s’anomenen periòdiques

A quina velocitat cauen els objectes?

En l’Europa del segle xvi, la influència d’Aristòtil (filòsof del segle IV aC) era extraordinària i les seves creences no es qüestionaven. Segons Aristòtil, si es deixen caure dos cossos de pesos diferents, el més pesant arribarà abans a terra. Es conta que Galileu, sent professor novençà de la Universitat de Pisa, va desmuntar aquesta creença mitjançant una experiència pública: va deixar caure dos objectes metàl·lics de pesos molt diferents des de la torre de Pisa. Varen caure simultàniament. D’aquesta manera va demostrar les seves tesis però va ser expulsat de la universitat. És possible que en l’anècdota anterior hi hagi molt de mite. No obstant això, sí que és cert que va experimentar sobre la caiguda d’un cos per un pla inclinat, controlant distàncies i temps.

❚ Reflexiona

1. a) Explica per què és periòdica la funció que descriu els avançaments o retards del rellotge de sol al llarg de l’any.

b) Indica en quines dates és exacte.

2. Es deixa caure una bolla per un raïl lleument inclinat i es mesura la distància que recorre en diferents temps: a) Representa les dades anteriors en una quadrícula com la que tens a l’esquerra. Usa’ls per a obtenir la corba corresponent. b) Comprova que els valors obtenguts responen (amb molt bona aproximació) a la següent relació: e = 10t 2

EXERCICI RESOLT

Explica per què és funció la relació següent: Càrrega el teu mòbil al 100 % i apunta cada 15 min el percentatge de càrrega que té, fins que s’esgoti totalment.