Inkijkexemplaar KERN Wiskunde 4 havo wiskunde B deel 1

KERN WISKUNDE

HAVO B

LEERJAAR 4 DEEL 1

METHODECONCEPT / REDACTIE

Boom voortgezet onderwijs

AUTEURS

Benjamin del Canho

Maartje Elsinga

Gijs Langenkamp

Erik Leppen

Sibren Stienstra

Vera de Visser-Lagas

KERN WISKUNDE

HAVO B

LEERJAAR 4 DEEL 1

BOOM VOORTGEZET ONDERWIJS

© 2024 Boom voortgezet onderwijs, Meppel, The Netherlands

Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elek tronisch, mechanisch door fotokopieën, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Auteursrecht ten aanzien van tekst- en datamining en machinelearning is nadrukkelijk voorbehouden.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikelen 16h t /m 16m Auteurswet 1912 jo. besluit van 27 november 2002, Stb 575, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoeding te voldoen aan de Stichting Reprorecht te Hoofddorp (postbus 3060, 2130 kb , www.reprorecht.nl) of contact op te nemen met de uitgever voor het treffen van een rechtstreekse regeling in de zin van art. 16l, vijfde lid, Auteurswet 1912. Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16, Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot de Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten, postbus 3060, 2130 kb Hoofddorp, www.stichting- pro.nl).

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, recording or otherwise without prior written permission of the publisher. No part of this publication may be reproduced in the context of text and data mining for any other purpose which is not expressly permitted by law without permission of Boom Uitgevers.

isbn 978 94 6442 133 0 www.boomvoortgezetonderwijs.nl

KERN Wiskunde is een RTTI-gecertificeerde methode en onderscheidt vier soorten vragen:

r Reproductievragen

t1 Trainingsgerichte toepassingsvragen

t2 Transfergerichte toepassingsvragen

i Inzichtvragen

Voor meer informatie over de RTTI-systematiek, zie www.docentplus.nl.

Omslag

René van der Vooren, Amsterdam

Opmaak & technische tekeningen

PPMP, Wolvega & Integra Software Services, India

Inhoud

1 Formules en grafieken

wiskunde in de praktijk Hoe ver kan Mario springen? 8

1.1 Lineaire verbanden 12

1.2 Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden 18

1.3 Kwadratische formules 24

1.4 Kwadratische vergelijkingen 30

1.5 Wiskundige modellen 36

Toetsvoorbereiding 42

Extra opdrachten 44

2 Functies

wiskunde in de praktijk Het affiene cijfer 50

2.1 Functies 54

2.2 Extreme waarden en asymptoten 60

2.3 Algebraïsch, exact en grafisch numeriek 66

2.4 Wortelvergelijkingen en gebroken vergelijkingen 72

2.5 Transformaties 78

Toetsvoorbereiding 84

Extra opdrachten 86

3 Lijnen en cirkels

wiskunde in de praktijk Cirkelirrigatie 92

3.1 Afstanden 96

3.2 Lijnen 102

3.3 Stelsels vergelijkingen 108

3.4 Vergelijking van een cirkel 114

3.5 Snijpunten van cirkels en lijnen 120

Toetsvoorbereiding 126

Extra opdrachten 128

Vaardigheden 132

Register van begrippen 140

1 Formules en grafieken

Een wiskundig verband beschrijft de relatie tussen twee grootheden, bijvoorbeeld tussen het aantal liter brandstof dat je tankt en het bedrag dat je daarvoor moet betalen. Met een formule beschrijf je een wiskundig verband; met een grafiek maak je het verband zichtbaar. In dit hoofdstuk leer je werken met verbanden, formules en grafieken.

WISKUNDE IN DE PRAKTIJK

Hoe ver kan Mario springen? 8

1.1 Lineaire verbanden 12

1.2 Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden 18

1.3 Kwadratische formules 24

1.4 Kwadratische vergelijkingen 30

1.5 Wiskundige modellen 36

Toetsvoorbereiding 42

Extra opdrachten 44

PRAKTIJK

DOEL  Je leert hoe formules een rol spelen bij het ontwerpen van computerspellen.

Hoe ver kan Mario springen?

Mario is een van de beroemdste computerspelpersonages ter wereld. Hij is in 1981 bedacht door de Japanse ontwerper van computerspellen Shigeru Miyamoto en is al jarenlang de mascotte van het bedrijf Nintendo.

Mario begon zijn leven als Jumpman, een personage uit het spel Donkey Kong uit 1981. In 1983 verscheen hij als het hoofdpersonage in het spel Mario Bros op de Nintendo Entertainment System (NES). Het vervolgspel Super Mario Bros uit 1985 is het best verkochte Mariospel tot dusver.

In het spel Super Mario Bros bestuur je Mario en spring je over platforms, pak je bonussen en schakel je vijanden uit door erbovenop te springen. Hoe snel Mario kan lopen en hoe hoog hij kan springen, is bepalend voor het ontwerp van de levels in een spel.

Mario heeft op elk moment in het spel een positie in de spelwereld. Die positie kun je uitdrukken met coördinaten (x, y). De route die Mario neemt, vormt een grafiek , zoals je hieronder kunt zien. Zolang Mario op een platform staat, kan hij lopen en springen. Als Mario een sprong maakt, krijgt hij bij de afsprong een verticale snelheid mee. Omdat de verticale snelheid geleidelijk afneemt totdat Mario zijn hoogste punt bereikt, om vervolgens geleidelijk naar beneden toe te nemen , beschrijft Mario een parabool die je kunt beschrijven met een formule. Voor de parabolen I, II en III gelden de formules:  I: y = − 0,8 (x 3)2 + 3,2  II: y = − 0,8 (x 8,5)2 + 6,2  III: y = − 0,8 (x 14,5)2 + 3,2

Super Mario Bros uit 1985. Dit spel wordt door velen gezien als het startpunt van de populariteit van de Mariofranchise. Je ziet een paddenstoel die Mario kan pakken om te veranderen in Super Mario.

Met de formules op de linkerbladzijde kun je berekenen hoe ver en hoe hoog Mario bij een sprong komt. Zo ligt de top van parabool II bij x = 8,5. Als je deze waarde in de formule invult, krijg je: y = − 0,8 (8,5 8,5)2 + 6,2 = 6,2. Dit betekent dat Mario 6,2 hokjes hoog komt.

Om te bepalen of Mario over het gat tussen x = 13 en x = 16 kan springen, vul je x = 16 in de formule van parabool III in. Je krijgt: y = − 0,8 (16 14,5)2 + 3,2 = 1,4

Omdat 1,4 > 0, zal Mario de overkant halen.

Levels van computerspellen kunnen met behulp van formules zeer nauwkeurig worden doorgerekend. Zo kan bijvoorbeeld nagegaan worden of een sprong mogelijk is en of het level niet te moeilijk is. Maar spelontwikkelaars willen ook weten of spelers de levels leuk vinden. Dat bepalen ze door het spel te testen met echte mensen , die worden geobserveerd terwijl ze het spel uitproberen. Hierdoor ontdekken spelontwikkelaars waar nog problemen in de spelervaring zitten, zodat deze kunnen worden aangepakt voordat het spel aan het grote publiek wordt gepresenteerd.

Goomba (vijand)

Mario Koopa Troopa (vijand) Paddenstoel (bonus)

1 Bij een sprong van Mario hoort de formule

y = − 0,8x 2 + 6,4x 9,6

a Bij de formule kun je een tabel maken. Neem de tabel hieronder over en vul hem in. T1

x 2 3 4 5 6 y

b Teken de grafiek bij de formule. T1

c Wat voor soort grafiek is dit? R

d Bij welke waarde van x springt Mario en hoe hoog en hoe ver komt hij? T1

Bij x = 13 zit een gat van vier hokjes lang. Om hier overheen te springen, springt Mario bij

x = 12,5. Bij deze sprong hoort de formule

y = − 0,8 (x 14,5)2 + 3,2.

e Ga met een berekening na of Mario de overkant bereikt. T1

2 Mario springt bij x = 2,5 van platform A naar platform B. Hierbij hoort de formule

y = − 0,6 (x 5)2 + 4,75. Tussen de platformen hangt een muntje met middelpunt (5, 6).

3 Mario springt van een platform. Hierbij hoort de formule

y = − 0,4 (x 10)2 + 6,9. De afsprong is bij x = 6,5

a Teken in een assenstelsel de sprong van Mario. Teken ook het platform waar Mario vandaan springt. T2

Mario kan een power­up pakken waarmee hij konijnenoren krijgt. Hiermee kan hij hoger springen. Dan geldt voor zijn volgende sprong de formule

y = − 0,6 (x 10)2 + 9, 35.

b Hoeveel hokjes kan Mario met deze power­up hoger springen? T2

c Onderzoek of Mario ook verder kan springen met deze power­up. I

Met deze power­up kan Mario tijdens een sprong met zijn konijnenoren flapperen, waardoor hij zweeft. Hij volgt dan een lijn met richtingscoëfficiënt 0,25.

d Geef de formule van de lijn die je krijgt als Mario precies vanaf het hoogste punt van zijn sprong met zijn oren flappert. I

e Bij welke waarde van x landt Mario op de grond (y = 0) met deze techniek? I

a Ga met een berekening na of Mario platform B bereikt. T1

b Mario pakt het muntje als het middelpunt minder dan twee hokjes boven de grafiek ligt. Lukt het Mario om met deze sprong het muntje te pakken? T2

 Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:

 parabool

 formule en grafiek

T1 Ik kan met een formule nagaan of Mario over een gat of op een platform kan springen.

T2 Ik kan met formules bepalen welk pad Mario door de lucht aflegt, en ik kan daarmee rekenen.

I Ik kan onderzoeken hoe ver of hoe hoog Mario kan springen.

Framerate

Tijd is een continue variabele: er zitten geen gaten in de tijdlijn. In computerspellen verloopt tijd echter in ‘stappen’. Zo’n stap wordt een frame genoemd. In elk frame worden de nieuwe posities van alle spelobjecten berekend. Veel spellen werken met 30 frames per seconde (fps).

Snelheid wordt normaal uitgedrukt in km/h of m/s. In computerspellen kun je snelheid uitdrukken in hokjes per frame.

Als Mario in 20 frames tijd drie hokjes aflegt, is zijn snelheid 3 20 = 0,15 hokjes per frame.

Als Mario een sprong maakt, krijgt hij bij de afsprong een verticale snelheid mee, van bijvoorbeeld 0,4 hokjes per frame. De zwaartekracht wordt geprogrammeerd door de verticale snelheid elk frame met 0,02 hokjes per frame te laten afnemen. Je kunt dan berekenen dat Mario na 0,4 0,02 = 20 frames verticale snelheid 0 heeft en dus zijn hoogste punt bereikt.

De gemiddelde verticale snelheid tussen de afsprong en het hoogste punt is de helft van de afsprongsnelheid, dus 0,4 2 = 0,2 hokjes per frame. In 20 frames is hij 20 · 0,2 = 4 hokjes gestegen. De horizontale verplaatsing tijdens die 20 frames is 20 · 0,15 = 3 hokjes. Nadat Mario zijn hoogste punt heeft bereikt, zal hij door de zwaartekracht steeds sneller naar beneden bewegen. Zijn verticale snelheid neemt daarbij met 0,02 hokjes per frame toe.

4 In een bepaald spel rent Mario 9 hokjes in 50 frames. Als Mario een sprong maakt, krijgt hij bij de afsprong een verticale snelheid van 0,5 hokjes per frame mee. Deze verticale snelheid neemt, totdat Mario zijn hoogste punt bereikt, elk frame met 0,02 hokjes per frame af.

a Hoe groot is Mario’s rensnelheid? Geef ook de juiste eenheid. T2

b Hoeveel frames na een afsprong bereikt Mario zijn hoogste punt? T2

c Hoeveel hokjes is hij horizontaal bewogen in die tijd? T2

d Hoeveel hokjes hoog springt hij? T2

e Hoe ver kan Mario springen tussen twee platforms op gelijke hoogte? Gebruik de symmetrie van de sprong. I

f Door te sprinten, verdubbelt Mario’s snelheid. Bovendien verandert zijn afsprongsnelheid van 0,5 naar 0,6 hokjes per frame. Hoeveel procent verder kan Mario dan springen? I

Lineaire verbanden

DOEL  Je leert werken met lineaire verbanden.

Lineaire formules De grafiek van een lineaire formule y = a x + b is een lijn. Hierin is a de richtingscoëfficiënt van de lijn en b het startgetal. De lijn snijdt de y ­as in het punt (0, b)

Hiernaast zie je bijvoorbeeld de lijn y = 2 3 x + 1

 De lijn snijdt de y ­as in het punt (0, 1)

 Als x met 1 toeneemt, neemt y met 2 3 toe.

Lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt zijn evenwijdig. Zo zijn de lijnen y = 2 3 x + 1 en y = 2 3 x 3 hiernaast evenwijdig.

Als je de coördinaten van twee punten A en B op een lijn weet, kun je de richtingscoëfficiënt van de lijn berekenen met:

a = verticale verandering horizontale verandering = Δy Δ x = yB − yA xB − xA

Je kunt daarna het startgetal b berekenen door de coördinaten van punt A of B in de formule te substitueren. Dit betekent dat je de x­ en y ­coördinaat van A of B invult in de formule.

Voorbeeld

Stel een formule op voor de lijn door de punten P (2, 10) en Q (6, 20).

 Een lineaire formule heeft de algemene vorm y = a x + b

 a = Δy Δ x = yQ − yP xQ − xP = 20 − 10 6 − 2 = 10 4 = 2,5

De formule heeft dus de vorm y = 2,5x + b

 Substitutie van de coördinaten van P geeft de vergelijking 10 = 2,5 · 2 + b. Dus b = 10 5 = 5 Je kunt ook de coördinaten van Q substitueren. Je krijgt dan ook b = 5

De formule voor de lijn is y = 2,5x + 5

Horizontale en verticale lijnen Een horizontale lijn heeft een richtingscoëfficiënt van 0. De bijbehorende formule heeft de vorm y = b, bijvoorbeeld de lijn y = 2. Een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt. De bijbehorende formule heeft de vorm x = p, bijvoorbeeld x = 3.

De Griekse hoofdletter Δ (delta) staat voor ‘differentie’, dat ‘verschil’ betekent.

5 Neem over en vul in. R

a Lijnen met dezelfde zijn evenwijdig.

b Een lijn heeft een richtingscoëfficiënt van 0.

c Een lijn heeft geen richtingscoëfficiënt.

6 Gegeven is de formule y = 0,4x + 2 T1

a Teken de grafiek van deze formule.

b Geef de coördinaten van de snijpunten van de grafiek met beide assen.

c Ga met een berekening na of het punt (−50, 20) op de grafiek ligt.

d Voor welke waarde van q ligt het punt ( 50, q) op de grafiek?

7 Stel formules op voor de lijnen k , l, m en n hieronder. T1 O x y m k l n

8 Stel formules op voor de lijnen die door de volgende punten gaan. T1

a (5, 6) en (8, 15)

b (−4, 10) en (8, 4)

c (3, 18) en (6, −5)

d (2, 7) en (11, 7)

9 Stel formules op voor de volgende lijnen. T1

a Lijn k gaat door het punt (0, 7) en heeft een richtingscoëfficiënt van −4.

b Lijn l gaat door het punt (3, 11) en heeft een richtingscoëfficiënt van 1 3

c Lijn m is evenwijdig aan de lijn y = 0,75x − 5 en snijdt de x­as in het punt (16, 0).

d Lijn n is horizontaal en snijdt de y­as in het punt (0, 1).

e Lijn s is evenwijdig aan de y­as en snijdt de x­as in het punt (2, 0).

10 Gegeven zijn de lijnen l : y = 5 x en m : y = 2 3 x. T1

a Geef voor beide lijnen aan of de lijn door de oorsprong gaat.

b Geef voor beide lijnen aan of de lijn stijgt of daalt.

c Teken de lijnen in één assenstelsel.

d De lijnen snijden elkaar. Geef de coördinaten van het snijpunt.

11 De tabel hieronder hoort bij een lineair verband. T2 x −2 0 2 4 6 8 y 2 5

a Neem de tabel over en vul hem verder in.

b Welke waarde van y hoort bij x = 12,5?

c Welke waarde van x hoort bij y = 8?

12 Ga na of de punten A(−8, 10), B (4, 25) en C(10, 32) op één lijn liggen. T2

Lineaire verbanden in de praktijk Lineaire verbanden kom je regelmatig in de praktijk tegen. Om de betekenis van variabelen duidelijk te maken, worden vaak andere letters dan x en y gebruikt.

Bij economische vraagstukken kan het bijvoorbeeld gaan over de kosten om een bepaald aantal producten te produceren. Stel, je hebt te maken met vaste kosten van € 2500,­ en met variabele kosten van € 1,45 per geproduceerd product. Er is dan een lineair verband tussen de kosten K (in euro’s) en het aantal geproduceerde producten q Hierbij hoort de formule K = 2500 + 1,45q. In deze formule is K uitgedrukt in q

Voorbeelden

1 Het verband tussen de hoeveelheden Q en R is lineair. Bij Q = 2 hoort R = 280 en bij Q = 6 hoort R = 192. Stel een formule op voor dit verband, waarbij R uitgedrukt is in Q.

 De formule heeft de vorm R = aQ + b.

 De grafiek gaat door de punten (2, 280) en (6, 192).

a = Δ R ΔQ = 192 280 6 2 = 88 4 = 22

De formule heeft dus de vorm R = 22Q + b.

 Substitutie van de coördinaten (2, 280) geeft 280 = 22 · 2 + b en dus b = 280 + 44 = 324.

De formule is R = 22Q + 324.

2 Als je een zakelijke rekening opent bij een bank, betaal je maandelijks een bedrag dat afhankelijk is van het aantal transacties. Op de site van een bank staat de volgende tabel.

aantal transacties

kosten (€) 10,40 16,40 23,90 38,90 68,90

Voor de maandelijkse kosten K in euro’s kun je een formule van de vorm K = aT + b opstellen, waarbij T het aantal transacties is. Bereken a en b

 De formule K = aT + b is een lineaire formule.

 a = 16,40 − 10,40 50 − 10 = 6 40 = 0,15

De formule heeft dus de vorm K = 0,15t + b

 Bij t = 10 hoort K = 10,40, dus 0,15 · 10 + b = 10,40.

Dit geeft b = 10,40 − 1,50 = 8,90.

Dus a = 0,15 en b = 8,90.

kosten (€) 10,40 16,40

13 Het verband tussen de variabelen z en m is lineair. Bij m = 3 hoort z = −2 en bij m = 8 hoort z = 18. T1

a Stel een formule op voor dit verband, waarbij z uitgedrukt is in m

b Stel een formule op voor dit verband, waarbij m uitgedrukt is in z

14 Naarmate je in een mijn dieper onder de grond komt, neemt de temperatuur toe. Per 100 m diepte neemt de temperatuur met ongeveer 3 °C toe. Neem aan dat het aan het aardoppervlak 10 °C is. T2

a Stel een formule op voor het verband tussen de temperatuur T in °C en de diepte d in m.

b Wat is de temperatuur op een diepte van 75 m? En op een diepte van 750 m?

15 De waarde van een machine neemt jaarlijks af. De waardedaling wordt de afschrijving genoemd. Hieronder zie je een tabel van de waarde van de machine gedurende de eerste acht jaar na aanschaf. Hierin is W de waarde van de machine in duizenden euro’s en t het aantal jaren na aanschaf. T1

16 In de Verenigde Staten wordt de temperatuur in graden Fahrenheit (°F) gemeten Hiernaast zie je:

 20 °C komt overeen met 68 °F;

 0 °C komt overeen met 32 °F.

Het verband tussen het aantal graden Celsius en het aantal graden Fahrenheit is lineair T2

a De temperatuur stijgt met 1 °C. Hoeveel graden Fahrenheit stijgt de temperatuur dan?

b Bij hoeveel graden Fahrenheit kookt water?

c Stel een formule op voor het verband tussen de temperatuur f in graden Fahrenheit en de temperatuur c in graden Celcius. Druk f uit in c.

d Geef ook een formule waarbij c uitgedrukt is in f.

17 In een bepaalde gemeente zijn de watertarieven voor huishoudelijk gebruik als volgt vastgesteld: T2

 Bij een verbruik van 0 tot 150 m 3 per kwartaal betaal je € 17,­ vastrecht plus € 1,40 per m 3

 Bij een verbruik boven de 150 m 3 per kwartaal betaal je een vast bedrag van € 227,­ plus € 1,20 voor elke m 3 boven de 150 m 3

a Laat zien dat het verband tussen t en W lineair is.

b Voor hoeveel euro is de machine aangeschaft?

c Bij de tabel kun je een formule opstellen van de vorm W = at + b. Bepaal a en b

d De verwachting is dat de machine in totaal twaalf jaar gebruikt wordt. De waarde die de machine dan nog heeft, is de restwaarde. Bereken die restwaarde.

a Hoeveel betaalt een inwoner met een verbruik van 100 m3 per kwartaal?

b Hoeveel betaalt een inwoner met een verbruik van 300 m3 per kwartaal?

c Teken een grafiek van het verband tussen het verbruik per kwartaal V (in m3) en het te betalen bedrag B (in euro’s).

d De grafiek van opdracht c bestaat uit twee delen. Stel voor beide delen een formule op.

18 Een kweekvijver van 8 m bij 6 m bij 1,5 m wordt door een constante waterstroom gevuld met water. Om 9.50 u staat het water 8 cm hoog, en 20 minuten later staat het water 26 cm hoog. Om 10.50 u wordt de kraan dichtgedraaid. Bereken hoeveel liter water er dan in de kweekvijver zit. T2

19 In de loop van de vorige eeuw zijn mensen gemiddeld steeds langer geworden. Na 1980 is deze lengtegroei gestopt. Hieronder zie je voor verschillende generaties in Nederland de gemiddelde lengte op 19­jarige leeftijd in cm.

20 Hieronder zie je de lijnen l: y = x 4 2 en

m: y = 3x + 4 6 T2

1 2 3 4 O x y l m

a De lijnen lijken evenwijdig aan elkaar te zijn. Laat met behulp van de formules zien dat dit inderdaad zo is.

b De lijn x = 3 snijdt l in punt A en m in punt B. Bereken de lengte van lijnstuk AB.

 Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:

 lineaire formule

 lijn

 richtingscoëfficiënt en startgetal

 substitueren

 horizontale en verticale lijn

 y uitdrukken in x

T1 Ik kan lineaire verbanden herkennen en ermee rekenen. Ook kan ik een formule voor een lineair verband opstellen.

a Hoeveel procent langer zijn 19­jarige mannen geboren in 2001 gemiddeld dan 19­jarige mannen geboren in 1930? En hoe zit dat bij 19­jarige vrouwen van deze generaties? T2

b Onderzoek of de gemiddelde lengte van 19­jarige mannen in de periode 1930–1980 bij benadering lineair gegroeid kan zijn. Doe hetzelfde voor 19­jarige vrouwen. I

T2 Ik kan rekenen met lineaire verbanden in praktische situaties.

I Ik kan onderzoeken of er sprake kan zijn van een lineair verband.

bron: CBS

rodelijstsoorten

21 Er bestaat een zogenaamde rode lijst van diersoorten in Nederland die met uitsterven bedreigd worden. Daarom worden deze diersoorten ook wel rodelijstsoorten genoemd.

In onderstaand diagram is de ontwikkeling van de rodelijstsoorten in de periode 1997–2012 te zien. Hierbij zijn de aantallen aangegeven als percentage ten opzichte van het aantal in 1997. In het diagram is ook een rechte lijn getekend die de ontwikkeling van het aantal rodelijstsoorten benadert. Volgens deze benadering neemt het aantal rodelijstsoorten vanaf 1997 lineair af.

Een foto van een blauwe zandbij. Dit is een van de vele soorten bijen die het moeilijk hebben in Nederland. Dit komt onder andere door een tekort aan bloemen en het gebruik van bestrijdingsmiddelen.

In 2004 was het werkelijke aantal rodelijstsoorten 694. T2

a Hoeveel rodelijstsoorten waren er in 2000? En in 2003?

Met behulp van de lineaire afname volgens de getekende rechte lijn werd in 2013 een voorspelling gedaan voor het aantal rodelijstsoorten in 2020. Het daadwerkelijke aantal rodelijstsoorten in 2020 bleek 551 te zijn. Dit aantal is duidelijk hoger dan het aantal volgens de voorspelling.

b Bereken hoeveel het daadwerkelijke aantal rodelijstsoorten in 2020 verschilt met de voorspelling volgens de rechte lijn.

Naar examen havo wiskunde B 2021-II

Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden

DOEL  Je leert hoe je lineaire vergelijkingen en ongelijkheden kunt oplossen.

Lineaire vergelijkingen Hiernaast zie je de lijn y = − 0,5x + 3

In het snijpunt met de x­as geldt y = 0 en dus 0,5x + 3 = 0. Dit is een lineaire vergelijking. Je ziet dat de lijn de x­as snijdt in het punt (6, 0).

Voor x = 6 klopt de vergelijking, want −0,5 6 + 3 = 0. Daarom is x = 6 de oplossing van de vergelijking.

Balansmethode Lineaire vergelijkingen kun je oplossen met de balansmethode. Daarbij gelden de volgende regels:

1 Je mag bij beide kanten van de vergelijking hetzelfde optellen of van beide kanten hetzelfde aftrekken.

2 Je mag beide kanten met hetzelfde getal vermenigvuldigen of door hetzelfde getal delen (mits dat getal niet 0 is).

Als je een vergelijking stap voor stap met algebra oplost, los je de vergelijking algebraïsch op. Als je in de berekening nergens, ook niet in tussenstappen, afrondt, is het antwoord exact. De oplossing van 3x = 1 is bijvoorbeeld exact x = 1 3 en afgerond x ≈ 0,33.

Voorbeelden

Los exact op.

Werk eerst de breuken weg.

Werk eerst de haakjes weg.

4 Een lijn met startgetal 2 gaat door het punt (4, 9). Bereken de richtingscoëfficiënt

 De formule van de lijn heeft de vorm y = a x + 2. Hierin is a de richtingscoëfficiënt

 Substitutie van de coördinaten (4, 9) geeft:

4 a + 2 = 9

4 a = 7

a = 1,75

De richtingscoëfficiënt is 1,75.

22 Gegeven is de lijn y = 1,5x − 21 T1

a Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn met de assen.

b De lijn gaat door het punt (150, q) Bereken q

c De lijn gaat door het punt (p, −8) Bereken p

23 Los algebraïsch op. T1

a −2 − 4x = x − 11

b −7,5x + 40 = 2,5x

c 78 + 2,1x = 6x

d 2(3x + 9) = 4(2 x + 6)

24 Een boot vaart van Calais naar Dover.

Het Kanaal is daar 40 km breed. Voor de afstand d in km tot Dover geldt (bij benadering) de formule d = 40 − 0,52t. Hierin is t het aantal minuten na vertrek uit Calais. T1

a Hoeveel kilometer heeft de boot na een kwartier varen nog te gaan?

b Bereken algebraïsch in minuten nauwkeurig hoelang de overtocht duurt.

25 Gegeven is de vergelijking 2 3 x 5 = 4 5 x T1

a Met welk getal kun je links en rechts van het isgelijkteken vermenigvuldigen om de breuken weg te werken?

b Los de vergelijking op.

26 Los exact op.

a 5 6 x = x − 2 3 T1

b 1 2 x = − 2 3 x 4 T1

c 13 5 x + 4 = 21 2 x + 1 T1

d 1 2 x + 2 = 3 4 x + 1 6 T1

e 2 5(x 6) = 1 3(2 x 5) T2

f 5 x + 5 3 = x T2

27 Een lijn heeft een richtingscoëfficiënt van 4. Bereken het startgetal als de lijn: T1

a door het punt ( 4, 3) gaat; b de x­as in het punt (8, 0) snijdt.

28 Een lijn heeft een startgetal van 5.

a Bereken de richtingscoëfficiënt als de lijn door het punt (10, 20) gaat. T1

b Leg uit of er een richtingscoëfficiënt bestaat waarbij de lijn door de oorsprong gaat. T2

29 Autoverhuurbedrijf A rekent een vast bedrag van € 50,­ voor elke dag dat je een auto huurt plus € 0,40 per gereden kilometer. Bedrijf B rekent voor elke dag een vast bedrag van € 80,­ plus € 0,20 per gereden kilometer.

a Je wilt de auto één dag huren. Stel een vergelijking op waarmee je kunt bepalen bij welke gereden afstand d deze bedrijven even duur zijn. T1

b Los de vergelijking op. T1

c Vanwege gestegen kosten verhogen beide bedrijven de prijs per gereden kilometer met 5 cent. Leg uit of de afstand waarbij de bedrijven even duur zijn, verandert. T2

s nijpunten van lijnen Twee lijnen hebben altijd één snijpunt, tenzij ze evenwijdig zijn. Hiernaast zie je bijvoorbeeld dat de lijnen

l: y = x + 2 en m: y = 4x − 5 elkaar snijden in het snijpunt S. Je kunt de x­coördinaat van S berekenen door de formules aan elkaar gelijk te stellen:

x + 2=4x –5

x = 4x – 7 –3x = –7 –2 –4x :–3 –2 –4x :–3 = 2 x = 71

De y ­coördinaat van S kun je vinden door x = 2 1 3 in een van beide formules te substitueren. Substitutie in y = x + 2 geeft y = 2 1 3 + 2 = 4 1 3. De coördinaten van S zijn dus (2 1 3, 4 1 3).

Lineaire ongelijkheden Hierboven heb je gezien dat de lijnen

l: y = x + 2 en m: y = 4x − 5 elkaar snijden bij x = 2 1 3. Er geldt dan x + 2 = 4x − 5.

 Links van het snijpunt ligt l boven m. Daar geldt de ongelijkheid

x + 2 > 4x − 5. De oplossing van deze ongelijkheid is x < 2 1 3.

 Rechts van het snijpunt ligt l onder m. Daar geldt de ongelijkheid

x + 2 < 4x − 5. De oplossing van deze ongelijkheid is x > 2 1 3.

Een lineaire ongelijkheid kun je algebraïsch oplossen met de balansmethode. Je gebruikt dan dezelfde regels als voor het oplossen van lineaire vergelijkingen. Het teken < of > klapt om als je vermenigvuldigt met of deelt door een negatief getal. Zo is 4 > 1 en 4 < −1

Voorbeelden

1 5x − 3 ≥ 7x + 7

5x ≥ 7x + 10 2 x ≥ 10 x ≤ − 5

6(x − 2) ≤ 12 − 2 x 6x − 12 ≤ 12 − 2 x 6x ≤ 24 − 2 x 8x ≤ 24 x ≤ 3

30 Hieronder zie je de lijnen l: y = −0,5x + 1 en m: y = 1,25x + 4. Deze lijnen snijden elkaar in punt S T1

l

a Met welke vergelijking kun je de x­coördinaat van S vinden?

b Los deze vergelijking exact op.

c Bereken exact de coördinaten van S.

31 Gegeven is de vergelijking 13 5 x = 2 x − 1. T1

a Leg uit waarom de oplossing van deze vergelijking de x­coördinaat is van het snijpunt van de lijnen y = 13 5 x en y = 2 x − 1.

b Teken deze lijnen in één assenstelsel.

c Geef de oplossing van de vergelijking.

32 Bij twee winkels kun je foto’s laten afdrukken.

De prijs p in euro’s hangt af van het aantal foto’s a dat je laat afdrukken. De winkels gebruiken de volgende formules: T1

 winkel I: p = 3,30 + 0,75a

 winkel II: p = 4,90 + 0,70a

a Bereken welke winkel het goedkoopst is bij 24 foto’s.

b Bereken vanaf welk aantal foto’s winkel II goedkoper is dan winkel I

33 Gegeven is de ongelijkheid 2 x + 2 < x 4. T1

a Teken de grafieken van de formules y = 2 x + 2 en y = −x 4 in één assenstelsel.

b Wat is de oplossing van de ongelijkheid?

34 Los exact op. T1

a 2 x − 1 < 5x + 6

b 4 − 1 3 x > 1 5 6 x

c 6(2 x − 2) ≥ 2 − (x + 1)

d −2(3 − 3x) ≤ 6x + 10

e x − 2 7 < 5 4 x + 5 7

35 Als je een gewicht aan een veer hangt, rekt de veer verder uit naarmate het gewicht zwaarder is. Je kunt de lengte L in cm van een bepaalde veer berekenen met de formule:

L = m 75 + 8

Hierin is m de massa in gram van het gewicht dat aan de veer hangt.

Als het gewicht te zwaar is, knapt de veer. Dit gebeurt op het moment dat de veer meer dan 2,5 keer zo lang is als de veer zonder gewicht. Bereken de massa van het zwaarste gewicht dat je aan de veer kunt hangen zonder dat deze knapt. T2

36 Een econoom gaat ervan uit dat er een lineair verband is tussen de vraag naar een product en de prijs, en ook tussen het aanbod en de prijs. Hij gebruikt de volgende formules:

 vraag: qv = − 2p + 500

 aanbod: qa = 4p − 250

In deze formules zijn qv en qa de vraag en het aanbod in duizenden stuks, en is p de prijs van het product in euro’s.

a Wat is het effect van een prijsverhoging van € 5,­ op de vraag? En op het aanbod? T2

b Bereken bij welke prijs de vraag gelijk is aan het aanbod. T2

c Hoeveel producten worden er dan verkocht? T2

d Bij welke prijzen is het aanbod groter dan de vraag? T2

e Bereken bij welke prijs er een tekort van 75 000 stuks ontstaat. I

37 Als je de lengte van je voet weet, dan kun je je schoenmaat berekenen met de volgende formule:

schoenmaat ≈ 1,5 · voetlengte + 1,75

In deze formule vul je je voetlengte in cm in en rond je de uitkomst af op een half getal.

Is de uitkomst bijvoorbeeld 40,15, dan is je schoenmaat 40. Is de uitkomst 40,42, dan is je schoenmaat 40 1 2 T2

a Welke schoenmaat heeft iemand met een voetlengte van 24,6 cm?

b Iemand heeft schoenmaat 42. Wat is de minimale voetlengte van deze persoon? En de maximale? Geef beide antwoorden in mm nauwkeurig.

38 Je ziet hieronder de grafieken van y = x 1 en y = 2 x. Tussen de grafieken zijn verticale lijnstukken getekend. Twee van die lijnstukken hebben een lengte van 3. Om te bepalen welke waarden van x daarbij horen, kun je twee vergelijkingen opstellen. I x y O

a Welke twee vergelijkingen zijn dit?

b Los de vergelijkingen op.

c Bereken voor welke waarden van x het lijnstuk lengte 10 heeft.

 Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:

 lineaire vergelijking

 oplossing van een vergelijking

 balansmethode

 algebraïsch en exact

 snijpunt

 lineaire ongelijkheid

T1 Ik kan lineaire vergelijkingen en ongelijkheden oplossen.

T2 Ik kan lineaire vergelijkingen en ongelijkheden opstellen en oplossen in toegepaste situaties.

I Ik kan redeneren over vergelijkingen en ongelijkheden.

Een waaier van lijnen

39 Voor elke waarde van a is de grafiek van l: y = a x + 4(a 1) een lijn. Als je voor meerdere waarden van a de lijnen in één assenstelsel tekent, krijg je een waaier van lijnen.

–9–8–7–6–5–4–3–2–112

a Welke formule hoort bij lijn I? En bij lijn Iv? T2

b Teken lijn l voor a = 0,5. T2

c Bereken voor welke waarde van a lijn l door het punt (4, 3) gaat. T2

d Laat met de formule zien dat het punt ( 4, 4) op lijn l ligt, ongeacht de waarde van a I

e Bereken voor welke waarde van a lijn l lijn m: y = 2a x + 4 in de x­as snijdt. I

Kwadratische formules

DOEL  Je leert werken met kwadratische formules.

Kwadratische formules De grafiek van een kwadratische formule y = ax 2 + bx + c is een parabool. Een parabool is lijnsymmetrisch en heeft een top. Hiernaast zie je bijvoorbeeld de grafiek van y = x 2 2 x 1. Dit is een dalparabool met de verticale lijn x = 1 als symmetrieas. De coördinaten van de top zijn (1, 2)

De grafiek van een kwadratische formule y = ax 2 + bx + c met a ≠ 0 is een parabool.

 Als a > 0, is de grafiek een dalparabool.

 Als a < 0, is de grafiek een bergparabool.

Toppen van parabolen Vaak staat de formule van een parabool in een van onderstaande vormen.

 y = ax 2 + bx + c. Dit is de algemene vorm. De x­coördinaat van de top is xtop = − b 2a .

 y = a(x p)2 + q. De coördinaten van de top zijn ( p, q).

 y = a (x m)(x n). De coördinaten van de snijpunten met de x­as zijn (m, 0) en (n, 0). De symmetrieas ligt hier midden tussen, dus bij xtop = m + n 2 .

Voorbeelden

1 Gegeven is de parabool y = − 2(x − 3)(x + 7).

 Bereken de coördinaten van de top T van de parabool.

xtop = 3 − 7 2 = − 2 en ytop = − 2( 2 − 3)( 2 + 7 ) = − 2 · − 5 · 5 = 50

Dus T( 2, 50)

 Schrijf de formule in de vorm y = ax 2 + bx + c

Door de haakjes weg te werken, krijg je:

y = − 2(x − 3)(x + 7)

= − 2(x 2 + 4x − 21) = − 2x 2 − 8x + 42

2 Je ziet hiernaast de parabool met de formule y = 2,5x 2 17x Stel een vergelijking op voor de symmetrieas.

xtop = − 17 2 2,5 = 17 5 = 3,4

Dus de vergelijking voor de symmetrieas is x = 3,4

40 Gegeven is de kwadratische formule

y = x 2 2 x + 5 T1

a Neem de tabel over en vul hem in.

x −2 −1 0 1 2 3 4 y

b Teken de grafiek van de formule.

c Wat zijn de coördinaten van de top van de grafiek?

d Ga met een berekening na of de grafiek door het punt ( 12, 125) gaat.

41 Bepaal de coördinaten van de top van elk van de grafieken van de volgende formules. Geef ook steeds aan of de grafiek een berg­ of een dalparabool is. T1

a y = − 0,5x 2 − 4x + 6

b y = 2(x − 3)(x + 5)

c y = 1 3 (x + 4)2 + 4

42 Gegeven is de parabool y = −13 5 x 2 + 4x

a Laat met een berekening zien dat de parabool door de oorsprong gaat. T1

b Geef een vergelijking voor de symmetrieas van de parabool. T1

c Bepaal met behulp van de symmetrie van de parabool de coördinaten van het andere snijpunt van de parabool met de x­as. T2

43 Herleid de volgende formules naar de vorm

y = ax 2 + bx + c T1

a y = −(x 6)(x + 10)

b y = − 0,5(x + 4)2 + 6

c y = −(x 2)(x + 2)

44 Schets de grafieken van de volgende formules. In een schets hoef je de grafiek niet heel nauwkeurig te tekenen, maar moet het verloop van de grafiek wel duidelijk zijn.

Ook moet je de positie van de top en de snijpunten met de assen duidelijk aangeven. T1

a y = − (x − 2)2 + 3

b y = 2(x + 1)(x − 5)

c y = 0,5x 2 − 3x + 4

45 Bij een historische herdenking wordt een kanonskogel afgevuurd. De baan van de kanonskogel wordt beschreven door de formule h = 0,018a(72 a). Hierin is h de hoogte van de kanonskogel in m en a de horizontale afstand in m. T2 O h a

a Hoe ver komt de kanonskogel?

b Hoe hoog komt de kanonskogel? Geef je antwoord in meters nauwkeurig.

c Schrijf de formule zonder haakjes.

46 a Bereken voor welke waarde van a de parabool met de formule y = a (x − 4)(x − 5) de y ­as in het punt (0, − 4) snijdt. T2

b Bereken voor welke waarde van b de parabool met de formule y = −x 2 + bx + 4 de x­as bij x = 5 snijdt. T2

Kwadratische formule opstellen Er zijn verschillende manieren om een formule op te stellen bij een parabool. Welke manier je kiest, hangt af van de informatie die je over de parabool hebt.

 Vanuit de top

Als je de coördinaten van de top ( p, q) van een parabool weet, kun je een formule opstellen van de vorm y = a(x p)2 + q. Je hebt de coördinaten van een ander punt op de parabool nodig om a te berekenen.

Voorbeeld

1 Stel een formule op voor de parabool hiernaast.

De top van de parabool is het punt T(3, 2). De formule heeft

dus de vorm y = a (x 3)2 + 2.

Omdat het punt P(5, 4) op de parabool ligt, geldt:

a (5 3)2 + 2 = 4

4 a + 2 = 4

4 a = 2

a = 1 2

De formule is y = 1 2 (x 3)2 + 2.

 Vanuit de snijpunten met de x-as

Als je de snijpunten (m, 0) en (n, 0) van een parabool met de x­as weet, kun je een formule opstellen van de vorm y = a(x m)(x n).

Je hebt de coördinaten van een ander punt op de parabool nodig om a te berekenen.

Voorbeeld

2 Stel een formule op voor de parabool hiernaast.

De parabool snijdt de x­as in de punten ( 1, 0) en (3, 0)

De formule heeft dus de vorm y = a (x + 1)(x 3)

Omdat het punt Q(4, − 6) op de parabool ligt, geldt:

a (4 + 1)(4 3) = − 6

5a = − 6

a = −1,2

De formule is y = −1,2(x + 1)(x 3)

47 Hieronder zie je een parabool. T1 x y O

a Welke van de formules hieronder past bij de parabool?

I y = a(x + 2)2 + 4

II y = a(x 2)2 + 4

III y = a(x + 2) 4

b Bepaal de waarde van a door de coördinaten van een punt op de parabool in de formule te substitueren.

Let op: gebruik hiervoor niet de top.

48 Hieronder zie je een parabool. T1

–4–3–2–112345

a Welke van de onderstaande formules past bij de parabool?

I y = a(x + 3)(x 4)

II y = a(x 3)(x + 4)

III y = a(x + 3)(x + 4)

b Bepaal de waarde van a door de coördinaten van een punt op de parabool in de formule te substitueren.

Let op: gebruik hiervoor niet een snijpunt met de x­as.

49 Stel een formule op voor elk van de parabolen hieronder. T1 x y O I II

50 a Stel een formule op voor de parabool die door de punten (5, 0), (10, 0) en (12, −28) gaat. T1

b Stel een formule op voor de parabool met top (10, 6) die de y­as in het punt (0, 4) snijdt. T1

51 Gegeven is de formule y = 2(x 1)(x + 2).

a Bereken de coördinaten van de top van de grafiek. T1

b Schrijf de formule in de vorm y = a (x p) 2 + q T2

52 Voor elke waarde van p is de grafiek van y = 2x 2 + 6x + p een parabool. Hieronder zie je de grafiek voor twee waarden van p T2

54 Een parabool snijdt de lijn y = 4 bij x = 2 en x = 6. Verder gaat de parabool door het punt (7, −2)

a Leg uit waarom je bij deze parabool een formule van de vorm y = a (x 2)(x 6) + 4 kunt opstellen. I

b Bereken a T2

c Schrijf de formule in de vorm

y = ax 2 + bx + c T2

 Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:

a Voor welke waarden van p zijn de parabolen getekend?

b Waarom is de x­coördinaat van de top van de parabool voor elke waarde van p hetzelfde? Geef ook de waarde van xtop.

c De y­coördinaat van de top is niet steeds hetzelfde. Bereken p als ytop = 6.

53 Leg voor de volgende parabolen uit of je de bijbehorende formule in de vorm y = a (x m)(x n) kunt schrijven.

a een dalparabool met ytop = 8 T2

b een dalparabool met ytop = −2 T2

c een bergparabool met ytop = 0 I

 kwadratische formule

 parabool

 top

T1 Ik kan de coördinaten van de top van een parabool berekenen. Ook kan ik een formule opstellen bij een parabool.

T2 Ik kan in toegepaste situaties rekenen met kwadratische formules.

I Ik kan redeneren over parabolen.

Viaduc de g arabit

55 Het Viaduc de Garabit is een spoorbrug die tussen 1880 en 1884 over de rivier de Truyère in Frankrijk is gebouwd. De onderste boog is bij benadering een deel van een parabool.

In de onderstaande figuur is de boog in een assenstelsel geplaatst, waarbij het beginpunt van de boog zich in de oorsprong bevindt.

Verder is de afstand tussen het beginpunt en het eindpunt van de boog 165,00 m en bevindt de top van de onderste boog zich 51,858 m boven de x­as.

De parabool is te beschrijven met een formule van de vorm y = ax 2 + bx

Bereken de waarden van a en b. Geef je eindantwoord in vier decimalen. T2

Naar examen havo wiskunde B 2019-II

1.4 Kwadratische vergelijkingen

DOEL  Je leert hoe je kwadratische vergelijkingen kunt oplossen.

Kwadratische vergelijkingen De algemene vorm van een kwadratische vergelijking is ax 2 + bx + c = 0 met a ≠ 0. Er zijn verschillende manieren om een kwadratische vergelijking algebraïsch of exact op te lossen:

 De vergelijking herleiden naar de vorm x 2 = c of (x b)2 = c

De vergelijking heeft:

 twee oplossingen als c > 0;

 één oplossing als c = 0;

 geen oplossingen als c < 0.

Voorbeeld

1 5 (x 1) 2 = 120 (x 1)2 = 24 x 1 = − √24 ∨ x 1 = √24 x = − √24 + 1 ∨ x = √24 + 1

 De vergelijking herleiden naar de vorm A · B = 0 door te ontbinden in factoren. Dit leidt tot A = 0 ∨ B = 0.

Voorbeelden

2 6x 2 15x = 0

3x (2 x 5) = 0

3x = 0 ∨ 2 x 5 = 0

x = 0 ∨ 2 x = 5

x = 0 ∨ x = 21 2

3 3x 2 + 30x = 33

3x 2 + 30x − 33 = 0

x 2 + 10x − 11 = 0

(x + 11)(x − 1) = 0

x = − 11 ∨ x = 1

herleid op 0 deel door 3 ontbind in factoren

 Je kunt altijd de abc-formule gebruiken. Je moet dan wel eerst zorgen dat de vergelijking in de vorm ax 2 + bx + c = 0 staat. Je kunt aan de discriminant D = b 2 4 ac zien hoeveel oplossingen er zijn.

De vergelijking heeft:

 twee oplossingen als D > 0;

 één oplossing als D = 0;

 geen oplossingen als D < 0

Voorbeelden

4 2x 2 + 6,5 = 4x

2x 2 − 4x + 6,5 = 0 D = 16 + 52 = 68 > 0

herleid op 0 bereken de discriminant 5 11 4x 2

Er zijn twee oplossingen:

x = 4 −  √68 4 ∨ x = 4 +  √68 4

x ≈ 1,06 ∨ x ≈ −3,06

+

x − 4 = 0 D = 4 − 20 = − 16 < 0

Er zijn geen oplossingen. x =

de abc-formule

herleid op 0 bereken de discriminant

56 Gegeven is de vergelijking x 2 5x + 6 = 0 T1

a Los deze vergelijking op door te ontbinden in factoren.

b Los deze vergelijking ook op door de abc-formule te gebruiken.

c Welke manier is het snelst?

57 Gegeven is de vergelijking 2(x 3)2 + 4 = 12

a Waarom hoef je de haakjes niet weg te werken om deze vergelijking algebraïsch op te lossen? T1

b Los deze vergelijking algebraïsch op. T1

c Leg uit waarom je bij de vergelijking (x 3)2 = 4x wel eerst de haakjes weg moet werken om deze algebraïsch op te kunnen lossen. T2

d Los deze vergelijking algebraïsch op. T2

58 Los exact op.

a 2x 2 = 18x T1

b x 2 + 12 x = −36 T1

c 3x 2 + x = x 2 3x T1

d 2(x + 6)2 + 2 = − 4 T1

e 0,5(4 x) 2 = 4 T1

f x 2 + 3x = 1 T1

g (x 1)(x + 2) = 2 x T2

h 2(x + 4)2 = 17 − x T2

59 Los algebraïsch op. Rond indien nodig af op drie decimalen.

a 0, 5x 2 + 2 x = −3 T1

b 2,7x 2 = 1,3x + 4 T1

c 1 12 3 x 2 = 2 x T1

d 2 7(2 x 6)(3 x) = 0 T2

60 Gegeven is de parabool y = x 2 10x + 21 T2

a Wat zijn de coördinaten van het snijpunt van de parabool met de y-as?

b Bereken algebraïsch de coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as.

c Bereken de coördinaten van de snijpunten van de parabool met de lijn y = − 4

61 Je kunt met behulp van de discriminant D = b 2 4 ac de ligging van een parabool y = ax 2 + bx + c ten opzichte van de x-as bepalen. T1

a Neem over en vul in <, > of = . i ii iii x

b Schets de ligging van de parabool als a > 0 en D = 0

62 Hieronder zie je dat de parabolen p1 : y = x 2 + 6x 3 en p2 : y = x 2 + 4x elkaar één keer snijden. Bereken exact de coördinaten van dit snijpunt. T2

Kwadraat afsplitsen De kwadratische uitdrukking x 2 8x + 10 kun je ook schrijven als (x 4)2 6, want:

(x 4)2 6 = x 2 8x + 16 6 = x 2 8x + 10

Het herleiden van x 2 8x + 10 tot de vorm (x 4)2 6 heet kwadraat afsplitsen. Kwadraat afsplitsen kan handig zijn, omdat je bij de formule y = (x 4)2 6 direct de coördinaten (4, − 6) van de top kunt aflezen. Ook kun je vergelijkingen van de vorm (x 4)2 6 = 0 snel oplossen, zonder dat je de abc­formule hoeft te gebruiken.

Bij het kwadraat afsplitsen maak je gebruik van het merkwaardige product (x + p)2 = x 2 + 2px + p 2 .

 Om bij x 2 + 6x het kwadraat af te splitsen, gebruik je het merkwaardige product (x + 3)2. Als je de haakjes wegwerkt, krijg je (x + 3)2 = x 2 + 6x + 9. Je moet x 2 + 6x krijgen, dus nu heb je 9 te veel. Daarom trek je er nog 9 vanaf: x 2 + 6x = (x + 3)2 9.

 De kwadratische uitdrukking x 2 + 6x + 35 bestaat uit x 2 + 6x en het getal 35. Omdat x 2 + 6x = (x + 3)2 9, geldt dat

x 2 + 6x + 35 = (x + 3)2 9 + 35 = (x + 3)2 + 26.

Kwadraat afsplitsen: x 2 + bx + c = (x + b 2)2 (b 2)2 + c

Voorbeelden

Splits het kwadraat af.

x 2 + 8x

= (x + 4)2 − 42

= (x + 4)2 16

x 2 12 x

= (x 6)2 − 62

x + p)

= x 2 + 2px + p 2 1 3 4 2 x 2 3x + 2 = (x 1,5)2 − 1,52 + 2 = (x 1,5)2 − 0,25 x 2 + 2 x + 5 = (x + 1)2 − 12 + 5 = (x + 1)2 + 4

= (x 6)2 36

5 Los de vergelijking x 2 + 4x 3 = 0 exact op door het kwadraat af te splitsen.

x 2 + 4x 3 = 0

(x + 2)2 2 2 3 = 0

(x + 2)2 = 7

x + 2 = − √7 ∨ x + 2 = √7

x = −2 √7 ∨ x = −2 + √7

63 Gegeven is de formule y = x 2 + 16x + 52 T1

a Laat zien dat (x + 8)2 − 12 en x 2 + 16x + 52 gelijk aan elkaar zijn.

b Geef de coördinaten van de top van de grafiek van y = x 2 + 16x + 52.

64 Gegeven is de formule x 2 − 4x + 9 T1

a Laat zien dat (x − 2)2 + 5 en x 2 − 4x + 9 gelijk aan elkaar zijn.

b Geef de oplossingen van de vergelijking

x 2 − 4x + 9 = 14.

65 a Laat zien dat x 2 + 12 x en (x + 6)2 − 36 gelijk aan elkaar zijn. T1

b Geef de oplossingen van de vergelijking

x 2 + 12 x = 10. T1

66 Neem over en vul in. T1

a x 2 + 12 x = (x + ...)2 ...

b x 2 6x = (x + ...)2 ...

c x 2 + 5x = (x + )2

d x 2 + 2 x + 14 = (x + )2

e x 2 8x 8 = (x + )2

67 Splits het kwadraat af. T1

a x 2 + 4x

b x 2 10x

c x 2 25x

d x 2 + 4x + 3

e x 2 6x + 6

f x 2 7x 14

68 Werk eerst de haakjes weg en splits vervolgens het kwadraat af. T2

a (x − 1)(x + 5)

b (x + 9)(x + 1)

69 Los exact op door het kwadraat af te splitsen. T1

a x 2 + 2 x − 4 = 0

b x 2 − 6x + 7 = 0

c x 2 + 5x − 2,75 = 0

d x 2 − 3x + 6 = 0

70 Gegeven is de vergelijking 2x 2 + 6x = −10 T1

a Deel alle termen van de vergelijking door 2 en herleid de vergelijking naar de vorm x 2 + bx + c = 0.

b Los de vergelijking op door het kwadraat af te splitsen. Rond af op twee decimalen.

71 De grafiek van de formule y = x2 – 15x + 45 snijdt de x­as in de punten A en B. T2

a Splits het kwadraat af in de formule.

b Wat zijn de coördinaten van de top van de grafiek?

c Bereken de lengte van lijnstuk AB. Rond je antwoord af op twee decimalen.

d Bereken zonder de abc­formule te gebruiken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de lijn y = x + 1. Rond je antwoord af op twee decimalen.

72 Veel mensen denken dat 1 L water precies

1 kg weegt. Dit is niet helemaal juist. Het gewicht hangt namelijk af van de temperatuur. Er geldt de volgende formule:

Δ M = − 7,3T 2 + 58,4T − 116,8

Hierin is Δ M de afwijking in milligram van 1 L water ten opzichte van 1 kg bij een temperatuur van T °C. T2

a Neem de tabel over en vul hem in. Rond af op één decimaal.

T (°C) 1 2 5 20

Δ M (mg)

b Bij welke temperatuur weegt 1 L water precies 1 kg?

c Bij welke temperatuur is 1 L water het zwaarst?

73 Een boer wil met 600 meter gaas twee even grote rechthoekige stukken weiland afzetten zoals in de figuur hieronder. Noem de lengte van de stukken in meter x.

74 Leg aan de hand van de figuur hieronder uit dat x 2 + 4x = (x + 2)2 − 4. I 1 1 1 1 x x

75 In deze opdracht leid je met behulp van kwadraat afsplitsen de abc­formule af. Gegeven is de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 met a ≠ 0. I

a Laat zien dat je deze vergelijking kunt herleiden naar x + b 2a − b 2 4a 2 + c a = 0.

b Toon aan dat hieruit de abc­formule volgt.

 Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik weet met welke technieken je een kwadratische vergelijking kunt oplossen. Verder ken ik de betekenis van volgende begrippen:

 kwadratische vergelijking

 ontbinden in factoren

 abc­formule

 discriminant

 kwadraat afsplitsen

 merkwaardig product

T1 Ik kan kwadratische vergelijkingen algebraïsch oplossen.

T2 Ik kan kwadratische vergelijkingen in toegepaste situaties opstellen en oplossen.

a Voor de totale oppervlakte A in m2 geldt de formule A = x(300 1,5x). Toon dit aan. I

b Bereken bij welke afmetingen de stukken de grootste oppervlakte hebben. T2

c De boer zet in totaal 12 600 m2 weiland af. Bereken algebraïsch de afmetingen van elk stuk. Er zijn twee mogelijkheden. Geef ze allebei. T2

I Ik kan de abc­formule bewijzen.

Wielrenners en training

76 Voor wielrenners is het belangrijk om te weten welk vermogen ze bij een bepaalde weerstand kunnen leveren. Om dit te onderzoeken, wordt een wielrenner in een testruimte op een speciale fiets gezet. De weerstand kan handmatig worden ingesteld. De wielrenner probeert vervolgens bij deze weerstand zo veel mogelijk vermogen te leveren. Het blijkt dat het vermogen afhangt van de weerstand. Hiervoor geldt de volgende formule:

P1 = 0,05 S (230 S ) met 10 ≤ S ≤ 200

Hierin is P1 het vermogen dat deze wielrenner levert in watt en S de weerstand. T2

a Bereken op algebraïsche wijze bij welke weerstand het vermogen maximaal is.

Voor een tweede wielrenner geldt bij hetzelfde onderzoek de volgende formule:

P2 = 11,3S 0,0475S 2 met 10 ≤ S ≤ 200

Bij een bepaalde weerstand leveren beide wielrenners hetzelfde vermogen.

b Bereken op algebraïsche wijze dit vermogen.

Naar examen havo wiskunde B1 2009-I

Wiskundige modellen

DOEL  Je leert hoe je met een grafische rekenmachine tabellen en grafieken kunt maken en je leert werken met wiskundige modellen.

g rafieken plotten Je kunt met je grafische rekenmachine een tabel of grafiek bij een formule maken. Je moet dan de formule in je grafische rekenmachine invoeren. Grafieken tekenen met je grafische rekenmachine heet plotten

 Voor een tabel geef je de beginwaarde en de stapgrootte aan.

 Voor het plotten van de grafiek geef je aan tot hoe ver de assen moeten lopen. Dit worden de vensterinstellingen genoemd.

Linksonder zie je bijvoorbeeld een tabel met beginwaarde x = 0 en stapgrootte 1 bij de formule y = x 4 8x 2. Daarnaast zie je een plot en een schets van de grafiek.

tabel van y = x4 8x2 plot van de grafiek van y = x 4 − 8x 2

Let op: je gebruikt bij het invoeren van de formule altijd de variabelen x en y. Als je bijvoorbeeld de formule K = − 0,05q 2 + 4 q wilt invoeren, voer je de formule y = − 0,05x 2 + 4x in.

Let goed op hoe een vraag gesteld is.

 Staat er ‘Schets de grafiek van …’, dan mag je de grafiek eerst plotten met je grafische rekenmachine en hoef je bij de schets geen getallen bij de assen te zetten.

 Staat er ‘Teken de grafiek van …’, dan maak je eerst een tabel en zet je wel getallen bij de assen.

schets van de grafiek van y = x 4 − 8x 2 O x y

77 Gegeven is de formule y = 0,2x 3 − x 2 T1

a Maak met je grafische rekenmachine een tabel met beginwaarde –2 en stapgrootte 1.

b Plot de grafiek waarbij de x­as van –2 tot 6 loopt. Maak ook een schets.

c Plot de grafiek waarbij de x­as van − 8 tot 8 loopt. Maak ook een schets.

78 Gegeven is de formule y = 4x 8 2 x 6

a Maak met je grafische rekenmachine een tabel met beginwaarde 0 en stapgrootte 1. Wat zie je in de tabel bij x = 3? Geef hiervoor een verklaring. T2

b Welke waarde van y hoort bij x = 5? T1

c Verander de beginwaarde naar 80 en de stapgrootte naar 5. Welke waarde van y hoort bij x = 80? En bij x = 85? Rond af op twee decimalen. T1

d Plot de grafiek voor x > 3 en maak een schets. T1

79 Een bedrijf produceert drinkflessen. Voor de productiekosten K in euro's geldt de formule

K = 0,1q 3 − 15q 2 + 800 q. Hierin is q de productie in honderdtallen. De maximale productie is 15 000 flessen per maand.

a Bereken K bij een productie van 11 000 flessen per maand. T1

b Plot de grafiek van de formule en maak een schets. T1

In januari zijn er 6400 flessen gemaakt. In februari lag de productie 10% hoger.

c Bereken hoeveel hoger de kosten K in februari waren dan in januari. T2

d Het bedrijf heeft de flessen voor € 5,50 per stuk verkocht. De winst bereken je door de kosten van de opbrengst af te trekken. Met hoeveel procent is de winst in februari gestegen ten opzichte van januari? T2

80 Plot de grafieken van de volgende formules en maak van die plots een schets. Zorg steeds dat het verloop van de grafiek goed te zien is en schrijf je vensterinstellingen op. T1

a y = 0,5x 4 + 4x 2

b y = 5 √x 2

c y = 0,1x(x 2 9)(x 2 25)

81 De baan van een projectiel wordt beschreven door de formule h = 0,015a(120 a). Hierin is h de hoogte van het projectiel en a de afgelegde horizontale afstand, beide in m. T2

a De baan van het projectiel is een parabool. Bereken de coördinaten van de top en van de snijpunten met de x­as.

b Welke vensterinstellingen zijn handig om de parabool te plotten?

c Plot de grafiek en maak een schets.

82 Iemand heeft de volgende plot gemaakt bij de formule y = − 30x 3 + 4x 2. Laat met een schets zien dat deze vensterinstellingen niet geschikt zijn om het verloop van de grafiek rond x = 0 goed in beeld te krijgen. T2

Wiskundig model Vaak is een formule bij een praktijksituatie een benadering van de werkelijkheid. In zo’n formule zijn bijvoorbeeld onbelangrijke details weggelaten, zodat de formule makkelijker te gebruiken is. Ook kan er een vereenvoudigde formule opgesteld zijn die zo goed mogelijk bij de gegevens past. Je werkt dan met een wiskundig model

Voorbeeld

Een patiënt neemt een medicijn in dat in het bloed wordt opgenomen. De concentratie C van het medicijn kan worden benaderd met de formule C = 4t t 2 + 1. Hierbij is C de concentratie in mg per liter bloed en t het aantal uur na inname. Deze formule kun je alleen gebruiken als t ≥ 0.

Om bij deze formule een grafiek te plotten, voer je de formule y = 4x x 2 + 1 in je grafische rekenmachine in. Let op: gebruik x voor de onafhankelijke variabele.

Door eerst met je grafische rekenmachine een tabel te maken, kun je inschatten welke vensterinstellingen geschikt zijn om de grafiek goed in beeld te krijgen. Maar je kunt ook in­ of uitzoomen als je de grafiek niet goed in beeld hebt. Neem bijvoorbeeld x van 0 tot 12 en y van 0 tot 3. Je ziet in de grafiek dat de concentratie 1 uur na inname maximaal is. Daarna neemt de concentratie af.

83 Kijk nog eens naar het voorbeeld op de linkerbladzijde. Voor een goede werking van het medicijn moet de concentratie C boven de 1 mg/L blijven. T1

a Neem onderstaande tabel over en vul hem in.

T 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

C 1,06

b Rond welk tijdstip is de concentratie net boven de 1 mg/L?

c Voor een nauwkeuriger antwoord kun je in de tabel stappen van 0,01 nemen. Maak met je grafische rekenmachine een nieuwe tabel en lees bij benadering af op welk moment de concentratie te laag dreigt te worden.

84 Met de formule r = 1 200 · v 2 kun je een schatting maken van de remweg van een auto op droog wegdek. Hierin is r de remweg in m en v de snelheid van de auto in km/h.

a Bereken met de formule de remweg bij een snelheid van 130 km/h op een droog wegdek. T1

b Maak met je grafische rekenmachine een tabel bij de formule met beginwaarde v = 80 en stapgrootte 5. T1

c Plot de grafiek en maak een schets. T1

Bij een nat wegdek wordt de remweg langer. Je kunt de remweg dan schatten met de formule r = 3 400 v 2

d Een auto rijdt 120 km/h. Hoeveel meter langer wordt de remweg op een nat wegdek ten opzichte van een droog wegdek? T2

e Zoek uit bij welke snelheid de remweg op een nat wegdek 25 m langer is dan op een droog wegdek. T2

85 Een bepaalde soort plant groeit het eerste jaar sneller dan het tweede jaar. Je kunt de hoogte van de plant in de eerste twee jaar benaderen met de formule h = 3,5t + 2 t + 8 . Hierin is h de hoogte van de plant in meter en t de tijd na het planten in maanden. T1

a Hoe hoog was de plant toen hij werd geplant?

b Hoe hoog is de plant na twee jaar?

c Maak een tabel met stapgrootte 4 voor de eerste twee jaar.

d Plot de grafiek van de formule. Maak ook een schets.

e Hoeveel maanden na het planten zal de plant boven de 2,5 m uitkomen?

86 Een hoeveelheid N1 groeit volgens de formule

N1 = − 0,2t 4 + 79t 2 + 20t. Hierin is t de tijd in dagen met t = 0 op 1 maart 2024 om 0.00 u. T2

a Onderzoek na hoeveel dagen de hoeveelheid verdwenen is.

b Op welke datum bereikt N1 een maximum?

Een andere hoeveelheid N2 groeit volgens de formule N2 = 1250 √t + 550

c Schets de grafieken van N1 en N2 in één assenstelsel.

d Op welke datums zijn de hoeveelheden even groot?

87 De sinaasappels hieronder zijn gestapeld als een vierzijdige piramide. Er zijn vier vierkante lagen. De piramide bevat daarom

12 + 22 + 32 + 42 = 30 sinaasappels. In het algemeen heb je voor n lagen 1 6 n(n + 1)(2n + 1) sinaasappels nodig. T2

a Neem de tabel over en vul hem in.

aantal lagen n 5 10 15 20

aantal sinaasappels

b Hoeveel lagen kun je maken met 1000 sinaasappels?

Je kunt de sinaasappels ook stapelen als een driezijdige piramide. De lagen zijn dan driehoeken. Een stapel van n lagen bevat dan 1 6 n(n + 1)(n + 2) sinaasappels.

c Hoeveel sinaasappels bevat een stapel van twaalf lagen in een vierzijdige piramide meer dan in een driezijdige?

d Een piramidevormige stapel sinaasappels met n vierkante lagen bevat 20 sinaasappels meer dan een stapel met n driehoekige lagen. Bepaal n e Een groenteboer heeft sinaasappels in een vierzijdige piramide van 20 lagen gestapeld. Hoeveel lagen had hij met dit aantal sinaasappels kunnen maken als hij een driezijdige piramide had gestapeld?

88 Hieronder zie je een plot van de grafiek van y = 5 √225 x 2 . De getallen op de assen zijn weggelaten. I O

a Welke vensterinstellingen zijn er gebruikt?

b Verklaar aan de hand van de formule waarom de grafiek twee randpunten heeft.

 Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik weet wat het verschil is tussen grafieken schetsen en grafieken tekenen en ik ken de betekenis van de volgende begrippen:

 plotten

 vensterinstellingen

 wiskundig model

T1 Ik kan tabellen maken en grafieken plotten met de grafische rekenmachine. Ook kan ik met eenvoudige wiskundige modellen rekenen.

T2 Ik kan met allerlei wiskundige modellen rekenen.

I Ik kan redeneren over formules.

Leeglopend vat

89 Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 decimeter heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm3) en is geheel gevuld met water. Aan de kraan onder aan het vat wordt een pomp aangesloten. Hiermee wordt per minuut 60 liter water uit het vat gepompt. Daardoor zal de waterspiegel met constante snelheid dalen. De hoogte h in decimeter van de waterspiegel is afhankelijk van de tijd t in minuten vanaf het moment waarop de pomp wordt aangezet. Op tijdstip t = 0 geldt dus h = 32 T2

a Teken de grafiek die het verband weergeeft tussen de hoogte h en de tijd t bij het leegpompen van het vat.

Door de kraan open te draaien, kun je het vat zonder de pomp laten leegstromen. Tijdens het leeglopen is op een aantal momenten de waterhoogte h in decimeter gemeten. De resultaten staan in de volgende tabel.

t (min) 0 30 60 90 120 h (dm) 32 23 16 10 5

Bij deze tabel past de formule h = 0,0008t 2 0,32t + 32.

b Laat zien dat deze formule inderdaad goed bij deze tabel past.

c Toon met behulp van de formule aan dat het vat in 3 uur en 20 minuten leegloopt.

d De snelheid waarmee de waterspiegel daalt, neemt voortdurend af. Toon dit aan met behulp een schets van de grafiek.

Op een gegeven moment is het vat geheel gevuld met water en laat men het leegstromen. De tijd die nodig is om de eerste 4000 liter te laten wegstromen is korter dan de tijd die nodig is voor de tweede 4000 liter.

e Bereken hoeveel korter. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.

Naar examen havo wiskunde B 2002-II

Toetsvoorbereiding

Kijk aan het eind van elke paragraaf of je de begrippen kent en het leerdoel hebt bereikt. Zo niet, lees dan de uitleg nog eens goed door of bekijk de uitlegvideo’s. Maak daarna de volgende opdrachten.

 Wiskunde in de praktijk

90 Mario staat op een platform en maakt bij x = 2 een sprong. Tussen x = 2,5 en x = 6,5 zit een gat. Bij de sprong hoort de formule

y = − 0,8x 2 + 6,4x 7,6. Ga met een berekening na of Mario de overkant bereikt. T1

 § 1.1

93 Bij een autoverhuurbedrijf kun je een auto huren onder de volgende voorwaarden: T2

 Je betaalt een vast bedrag van € 75,­

 Voor de eerste 100 km betaal je niets extra.

 Elke kilometer boven de honderd kost € 1,50.

a Wat moet je betalen als je 250 km rijdt?

b Stel voor afstanden a > 100 km een formule op waarbij de huurprijs p is uitgedrukt in a.

91 Gegeven is de lijn l : y = 0,25x 4 T1

a Teken lijn l. Zorg ervoor dat de snijpunten met de assen zichtbaar zijn.

b Ga met een berekening na of het punt (−64, −20) op l ligt.

c Lijn m snijdt l in de y­as en gaat door het punt (5, 6). Stel een formule op voor m

92 a Stel een formule op voor de lijn door de punten (−2, 8) en (6, 3) T1

b Lijn m is evenwijdig aan de lijn y = 1 5x + 2 en gaat door het punt (4, 3). Stel een formule op voor m T1

c Lijn n is verticaal en snijdt de x­as in het punt (5, 0). Stel een formule op voor lijn n T1

d Stel een formule op voor de lijn door de punten (−2, − 4) en (3, − 4). T1

c Teken een grafiek van de huurprijs. Neem a van 0 tot 300 km.

 § 1.2

94 Los op. T1

a x + 6 = 4x − 10

b 3 − 2(x − 5) = − 4x

c 0,5x + 5 < 2,5x − 9

d 2 + 1 1 3x ≥ 2 3x

95 a Een lijn heeft een richtingscoëfficiënt van 5. Bereken het startgetal als de lijn door het punt ( 2, 8) gaat. T1

b Een lijn heeft een startgetal van 3. Bereken de richtingscoëfficiënt als de lijn de x­as bij x = 10 snijdt. T2

 § 1.3

96 Bepaal de coördinaten van de toppen van de parabolen met de volgende formules. T1

a y = 0,5(x 2)2 + 7

b y = 2x 2 6x

c y = 5(x 5)(x + 3)

97 Stel een formule op voor elk van de parabolen hieronder. T1 –3–2–112345 –2 –3 –4 –5 –1 1 2 3 4 O x y I II  § 1.4

98 Los exact op. T1

a (x 3)2 + 4 = 12

b 2x 2 + 6x = 8

c x 2 + 8x 3 = 0

d 1 3 x 2 = 4x

99 Bereken algebraïsch de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van de formules y = (x 3)2 2 en y = 2 x T1

101 In een bak zit heet water dat afkoelt. Je kunt de temperatuur van het water benaderen met de formule T = 667 0,22t + 23. Hierin is T de temperatuur in °C en t de tijd in minuten na 8.00 u. T2

a Hoe warm is het water volgens de formule om 8.00 u? En om 9.30 u? Rond af op hele graden.

b Plot de grafiek van de formule. Maak ook een schets.

c Zodra de temperatuur tot 12 °C is gedaald, wordt automatisch een verwarmingselement ingeschakeld, waardoor het water weer opwarmt. Hoe laat is dit volgens de formule het geval?

 Hoofdstuk 1

102 Los exact op. T2

a 2 9(x 7) = 10

b 7 + 1 3 x 2 + 2 x = 0

c (x 1)2 + 4 = x 2

d x + 4 5 = 3

e (x 3)(x 4) = 2

103 Voor elke waarde van c is de grafiek van y = x 2 6x + c een parabool.

 § 1.5

100 Gegeven is de formule y = 0,5x 3 − 4x 2 T1

a Maak met je grafische rekenmachine een tabel met stapgrootte 2. Neem vervolgens onderstaande tabel over en vul hem in. x −4 −2 0 2 4 y

b Plot de grafiek van de formule en maak een schets.

a Bereken voor welke waarde van c het punt (3, −7 ) de top van de parabool is T2

b Leg uit dat de toppen van de parabolen op de lijn x = 3 liggen. T2

c Voor welke waarde(n) van c ligt de top boven de x­as? T2

d Voor een bepaalde waarde van c snijdt de parabool de lijn y = x 2 in het punt (1, 3). Bereken algebraïsch de coördinaten van het andere snijpunt van de parabool met deze lijn. I

Extra opdrachten

 § 1.1

104 Gegeven is de lijn l: y = 10 − 2 x

a Teken lijn l T1

b Ga met een berekening na of het punt (−30,4; 70,8) op l ligt. T1

c Voor welke waarde van q ligt het punt (150, q) op l? T1

d Lijn l snijdt de y ­as in punt A. Ga na of de punten A, B (−5, 0) en C(10, 30) op één lijn liggen. T2

105 Een zwembad wordt gevuld met water.

In de tabel zie je de waterhoogte H in cm na t uur. T1

t 0 2 4 6 8 10 H 40 72 104 136 168 200

a Leg uit hoe je aan de tabel kunt zien dat het verband tussen H en t lineair is.

b Stel een formule op voor dit verband.

106 Lijn m gaat door het punt (−4, 8) en is evenwijdig aan de lijn door de punten P (8, 4) en Q (24, 12). Stel een formule op voor m T2

108 Hieronder zie je de lijnen

l: y = 3 11x + 3 en m: y = 2 7x − 2. T1

y O x l m –12

a Hoe kun je aan de formules zien dat deze lijnen niet evenwijdig zijn?

b Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen.

109 Gegeven is de lijn l: y = x + 1 4 . T2

a Bereken de coördinaten van de snijpunten van l met de assen.

b De lijn gaat door het punt (24, q).

Bereken q.

c De lijn gaat door het punt (p, −108)

Bereken p

110 Je wilt een lekkage in de badkamer laten repareren en hebt de keuze uit twee loodgieters.

 § 1.2

107 Los exact op. T1

a 3(4x 1) = 9 7x

b 2 x 3 = x

c 6x 4 ≥ 11x + 5

d 21 2 p + 1 > 13 4 p 8

 Loodgieter A heeft een uurtarief van € 55,­ en vraagt € 30,­ voorrijkosten.

 Loodgieter B heeft een uurtarief van € 63,­ en vraagt geen voorrijkosten.

a Stel voor beide loodgieters een formule op voor de prijs p in euro’s voor een klus van t uur. T1

b Bereken wanneer loodgieter A goedkoper is dan loodgieter B. T1

c Een klus is bij loodgieter B € 14,­ duurder dan bij loodgieter A. Bereken hoelang deze klus duurt. T2

 § 1.3

111

Bepaal de coördinaten van de toppen van de parabolen met de volgende formules.

a y = 0,25x 2 + 4x 6 T1

b y = −3(x 6)(x 10) T1

c y = 0,3(x + 2,5)2 5 T1

d y = 2(x + 4)(x + 2) + 8 T2

112 a De coördinaten van de top van een parabool zijn (4, 5). De parabool snijdt de y ­as in het punt (0, −2). Stel een formule op voor deze parabool. T1

b Een parabool gaat door de punten ( 4, 0), ( 1, 0) en ( 6, 5). Bereken de coördinaten van de top van deze parabool. T2

113 De parabool y = ax 2 + 4x 3 gaat door het punt (2, 7 ). Bereken de coördinaten van de top van de parabool. T2

 § 1.4

114 Los exact op. T1

a x 2 9x = −20

b 0,5(x + 4)2 3 = 10

c 4x 2 + 16x 16 = 0

115 Een bedrijf gebruikt de formule

W = −1,8q 2 + 450 q 8500 om de verwachte winst te berekenen. Hierin is W de verwachte winst in euro’s bij een productie van q artikelen. T2

a Bereken bij welke productie de verwachte winst maximaal is.

b Bereken algebraïsch bij welke producties de verwachte winst € 15 125,­ is.

c Bij welke productie is de winst even hoog als bij een productie van honderd artikelen?

Tip: Gebruik de symmetrie van de grafiek.

 § 1.5

116 Tijdens een onweersbui hoor je de donder een paar seconden later dan je de bliksemflits ziet. Dit komt doordat geluid veel langzamer door de lucht beweegt dan licht. Meestal wordt ervan uitgegaan dat de snelheid van het geluid 330 m/s is. In werkelijkheid is de snelheid van het geluid afhankelijk van de luchttemperatuur. In de tabel zie je voor enkele temperaturen T wat de geluidssnelheid v is.

T (°C) 0 5 10 20 35

v (m/s) 330 333 336 342 351

Bij deze tabel past de formule

v = 20 √273 + T . T2

a Laat zien dat deze formule inderdaad goed bij de tabel past.

b Bereken met de formule de snelheid van het geluid bij een luchttemperatuur van 25 °C.

c Onderzoek bij welke luchttemperatuur de snelheid van het geluid 318 m/s is.

d Je hoort de donder acht seconden nadat je een bliksemschicht ziet. Hoe ver is het onweer als het 0 °C is? En als het 35 °C is?

117 Als je plotseling met de auto moet remmen, heb je eerst tijd nodig om te reageren. De stopafstand is de totale afstand die je aflegt vanaf het moment dat je iets ziet totdat je stilstaat. Vaak wordt de reactietijd in het verkeer op 1 seconde gesteld. Voor twee auto’s gelden de volgende formules:

 auto I: stopafstand = 0,140 v 2 + v

 auto II: stopafstand = 0,125 v 2 + v

Hierin is de stopafstand in m en v de snelheid in m/s. T2

a Bereken voor beide auto’s de stopafstand bij een snelheid van 90 km/h.

b Plot in één scherm de grafieken van beide formules voor snelheden van 0 tot 130 km/h. Maak ook een schets.

c Vanaf welke snelheid is de remweg van auto I meer dan 6 m langer dan die van auto II?

 Hoofdstuk 1

118 Een bezoek aan een museum kost € 13,­. T1

a Stel een formule op voor het verband tussen de kosten K en het aantal bezoeken N, waarbij je K uitdrukt in N

Je kunt ook een voordeelkaart kopen. Zo’n kaart kost € 28,­. Je krijgt dan het hele jaar 40% korting op elk bezoek aan het museum.

b Wat zijn de kosten bij twaalf bezoeken met een voordeelkaart?

c De formule voor de kosten met een voordeelkaart K v heeft de vorm K v = pN + q. Bereken p en q.

d Bereken met een ongelijkheid vanaf hoeveel bezoeken per jaar het goedkoper is om een voordeelkaart te kopen.

119 Je kunt de hoogte van de kabel van een hangbrug boven het water benaderen met de formule h = 0,0005(a 250)2 + 38,75. Hierin is h de hoogte en a de horizontale afstand vanaf pyloon 1, beide in meter. T2

pyloonpyloon

wegdek

gemiddelde waterhoogte

a Bereken de afstand tussen de twee pylonen.

b Bereken de minimale hoogte van de kabel boven het water.

120 De oppervlakte van een rechthoekige tuin is 150 m 2. De lengte is 5 m groter dan de breedte. Bereken door een vergelijking op te stellen de lengte en de breedte van de tuin. T2

121 In een tuin komt een cirkelvormige vijver met een straal van r meter. Om de vijver heen komt een ringvormig pad van 2 meter breed.

r m2m

a Bereken de oppervlakte van het pad als r = 3. Geef je antwoord in hele m2 nauwkeurig. T2

b Bereken voor welke waarde van r de oppervlakte van het pad 75 m2 is. Geef je antwoord in decimeters nauwkeurig. I

122 Een bedrijf loost continu met chloride verontreinigd water in een rivier.

Een chemicus van het bedrijf heeft na metingen bepaald dat de concentratie C van chloride (in mg/L) stroomafwaarts in de rivier benaderd kan worden met de formule:

C = 80 + 1248 20d + 4

Hierin is d de afstand tot de fabriek in km. T2

a Hoe groot is de concentratie van chloride stroomafwaarts vlak bij het loospunt van de fabriek?

b Hoe groot is de concentratie chloride op 500 m stroomafwaarts van de fabriek?

c Met hoeveel procent neemt de concentratie chloride in de eerste 3 km stroomafwaarts af?

d Vanaf welke afstand stroomafwaarts is de concentratie chloride lager dan 250 mg/L?

123 Hieronder zie je twee parabolen.

a Bereken exact de coördinaten van het snijpunt van deze parabolen. T1

b Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de parabool y = x2 − 4x − 1 met de x­as. T1

c Neem over en vul in:

x 2 − 4x − 1 = (x + …)(x − …) T2

d Hoe kun je aan de parabool y = x2 + 2 x + 3 zien dat je de vergelijking x 2 + 2 x + 3 = 0 niet kunt ontbinden in factoren? T2

124 Een bedrijf verkoopt telefoonhoesjes.

De opbrengst kun je berekenen met de formule R = 7,5q. Hierin is R de opbrengst in euro’s bij q verkochte hoesjes. De kosten die het bedrijf maakt, kun je berekenen met de formule K = 4,3q + 1200. Hierin zijn K de kosten in euro’s. T2

a De winst W kun je berekenen door de kosten van de opbrengst af te trekken.

Geef een formule voor W

b Teken de grafiek van W voor q ≤ 1000.

c Bereken de coördinaten van het snijpunt van de grafiek met de horizontale as. Wat is de betekenis van dit snijpunt?

d Bereken voor welke waarde van q de winst 240 euro bedraagt.

125 Bij tennis is het net aan de zijkanten hoger dan in het midden. Dit komt omdat het touw waar het net aan hangt, iets doorhangt. De bovenrand van een net hangt aan de zijkanten op een hoogte van 1,07 m en in het midden op een hoogte van 0,91 m. Het net is 10,06 m breed.

In een assenstelsel wordt het midden van het net op de y ­as geplaatst en de onderkant van het net op de x­as. Zie de figuur hieronder.

–2–3–4–5–112345 O x y 1

Voor de bovenrand geldt bij benadering de formule van de vorm y = px 2 + q. Hierbij zijn x en y in meters en ligt x tussen −5,03 en 5,03.

Bereken de waarden van p en q die uit de gegevens volgen. Geef p in drie decimalen en q in twee decimalen. T2

Naar examen havo wiskunde B 2019-I

126 Hieronder zie je de parabool y = − 0,5x 2 + 4x en de lijn y = x. Waar de parabool boven de lijn ligt, zijn verticale lijnstukken getekend. O y x

a Bereken algebraïsch de coördinaten van het rechter snijpunt van de parabool met de x­as. T2

b Bereken algebraïsch de coördinaten van het rechter snijpunt van de parabool met de lijn y = x T2

c Bereken de maximale lengte die het langste verticale lijnstuk kan hebben. I