10 WISKUNDE & ONDERWIJS
KAARTEN IN DE LES WISKUNDE (DEEL 2*) DIDIER DESES
* Voor deel 1 en referenties : zie Wiskunde & Onderwijs, nr. 163, 245-251.
4. DRIEHOEK VAN PASCAL 4.1 Definitie en gebruik De driehoek van Pascal is een gekend onderwerp in de lessen wiskunde. De driehoek van Pascal is volgende getallendriehoek.
De getallen worden als volgt berekend. Op elke zijde van de driehoek staat telkens 1. De getallen in de driehoek zijn de som van de twee getallen erboven.
• In de combinatoriek wordt het aantal keuzen van p objecten geteld dat gemaakt kan worden uit een totaal van n verschillende objecten, zonder welbepaalde volgorde en zonder herhaling. Het aantal keuzen wordt gegeven door middel van combinaties of binomiaal coëfficiënten.
Voor de combinaties geldt volgende formule:
Deze driehoek heeft zeer vele eigenschappen. We geven hier enkele van de meest gekende. • De getallen in de nde rij van deze driehoek zijn de coëfficiënten van de uitwerking van
Deze formule is equivalent met de formule die de driehoek van Pascal genereert. De combinaties zijn dus de getallen uit de driehoek van Pascal.
• Indien we beide vorige punten samenzetten, bekomen we de stelling die bekend staat onder de naam Binomium van Newton. Het bewijs ervan toont dat een stelling uit de analyse (het uitwerken van veeltermen) soms een combinatorisch bewijs kan hebben.
