17 minute read
EEN
EEN 'STRING ART'-PROBLEEM
VOOR VADER- OF MOEDERDAG MOEST IK OOIT 'PSEUDO'KUNSTWERKJES IN ELKAAR KNUTSELEN DOOR TOUWTJES OM NAGELTJES TE SPANNEN. MISSCHIEN HEB JE DAT ZELF OOK NOG WEL GEDAAN? PROFESSIONELEN MAKEN DIT ECHTER TOT ECHTE KUNSTWERKEN DIE WE ‘STRING ART’ NOEMEN.
HET PROBLEEM DAT IK IN DIT ARTIKEL BESPREEK, SITUEERT ZICH IN HET THEMA VAN DIE STRING ART. WIE EEN PROBLEMENWEDSTRIJD ORGANISEERT IN ZIJN KLAS, OF INSPIRATIE NODIG HEEFT VOOR EEN ‘PROBLEEM VAN DE MAAND’ KAN HIER MISSCHIEN GEBRUIK VAN MAKEN.
ANNE SCHATTEMAN REDACTIE UITWISKELING
PROBLEEMSTELLING We nemen een plank, tekenen er een cirkel op en kloppen nagels op de cirkellijn zo dat we de hoekpunten van een (regelmatige) veelhoek verkrijgen. We omspannen de nagels met een wollen draad door telkens een zelfde aantal nagels over te slaan, totdat we een symmetrische figuur verkrijgen. Soms lukt het om alle nagels te omspannen door maar één draad te gebruiken. Soms komen we echter vroeger dan verwacht terug aan in de eerste nagel; dan moeten we een nieuwe draad nemen en moeten we opnieuw vertrekken van de eerstvolgende nagel die nog niet omspannen werd. Kunnen we voorspellen hoeveel draadjes wol we zullen nodig hebben om alle nagels te omspannen? Stel het aantal punten op een cirkel. We starten in één punt en verbinden dit punt met een volgend punt door punten over te slaan. We draaien hierbij in de richting van de klok. We herhalen deze handeling totdat we terug in het eerste punt zijn terechtgekomen. Als er nog punten overblijven die niet verbonden werden, starten we opnieuw met het eerste vrije punt rechts van het startpunt. We blijven deze handelingen herhalen tot alle punten verbonden werden door koorden. Afhankelijk van de keuze van en , hoeveel gesloten circuits (dat aantal noteren we met ) van koorden moeten er gemaakt worden totdat alle punten bereikt zijn?
ANALYSE VAN HET PROBLEEM
Experiment 1
In onderstaand voorbeeld is en . In termen van nageltjes en wol, stellen we vast dat we met één draad toekomen ( ).
Experiment 2
In het geval en we twee draadjes nodig ( hebben ).
Zijn we klaar om een eerste hypothese te maken? Zeer zeker niet. Dit is een echt probleem dat een heus onderzoek vraagt. Om het probleem grondig te begrijpen en te analyseren moeten we verschillende speciale gevallen onderzoeken. Naarmate we meer begrijpen evolueert de keuze van de speciale gevallen zodat we tot ernstige hypothesen kunnen komen. Deze eerste fase van begrijpen en analyseren in het proces van problemen oplossen, werd door G. Polya benadrukt maar wordt zelden beleefd door leerlingen. Wiskundeproblemen moeten toch zo vaak al na enkele minuten opgelost zijn. moeten we het totale aantal nageltjes, , delen door het aantal nageltjes per circuit, Dit geeft . Dus .
Experiment 4
Het is duidelijk dat een aantal vragen zich opdringen: - Zijn alle gebruikte touwen even lang? - Wanneer zal één touw volstaan?
Is dat wanneer geen deler is van ? - Zijn er bijzondere resultaten te verwachten als een deler is van ?
We proberen opnieuw met en .
Experiment 3
We proberen met en en stellen vast dat we vier draden nodig hebben.
We komen tot een eerste hypothese:
Als een deler is van , dan is .
Nu moeten we beslissen: gaan we eerst voor dit deelprobleem en proberen we dit te verklaren of zijn we ambitieus en proberen we toch vat te krijgen op het ganse probleem? Het eerste is zeker haalbaar. Als een deler is van , dan telt het eerste circuit hoekpunten. Al deze circuits zijn even lang omdat ze er op een rotatie na hetzelfde uitzien. Om het aantal circuits te kennen, We zien geen verschil met de allereerste situatie. We kunnen begrijpen waarom: we draaiden in het eerste voorbeeld drie achtsten van een cirkel in wijzerzin. In dit voorbeeld draaien we over vijf achtsten van een cirkel in tegenwijzerzin, wat overeen komt met een draaiing van drie achtsten van een cirkel in wijzerzin. Dus één draad moet opnieuw volstaan. We begrijpen nu waarom we dezelfde waarde verkrijgen, maar nog niet waarom het precies gelijk is aan 1.
Als dan geldt dat
Nieuwe hypothese:
De verklaring die we vonden in het voorbeeld kan onmiddellijk veralgemeend worden.
Experiment 5
We onderzoeken voor situaties waarbij , . de en
De eerste situatie bevestigt onze eerste hypothese.
Noch 3, noch 4 zijn een deler van 10. In het geval hebben we slechts één draad nodig, in het geval hebben we er twee nodig. Het zou dus fout zijn om te denken dat je maar één draad nodig hebt als geen deler is van . We proberen vat te krijgen op deze vraag door nog meer voorbeelden te onderzoeken: we kiezen alvast kleiner dan en geen deler van .
Vraag: Speelt het een rol mocht priemgetal zijn? een
Experiment 6
Kiezen we en waarden. , dan lijken ons interessante
Uit deze voorbeelden kunnen we de volgende conclusies trekken: - 4 is geen deler van 15 en 4 is niet priem; toch is het resultaat gelijk aan 1; - 6 is geen deler van 15 en toch is het resultaat niet gelijk aan 1; ; - 7 is geen deler van 15 en is wel priem. Het resultaat is gelijk aan 1.
In deze gevallen valt het op dat de getallen 4 en 7 geen gemeenschappelijke delers hebben met 15. We noemen zowel 4 als 7 relatief priem met 15.
Misschien kan men nu tot de volgende hypothese komen:
Als N en P relatief priem zijn, dan is er maar één draad nodig.
In het algemeen:
dan
We zouden kunnen experimenteren met priem en dan zou de hypothese versterkt worden. Wat zit hierachter? Er rijzen nieuwe vragen. - Welke rol speelt ‘deelbaarheid’ in dit probleem? - Wanneer kom ik voor de eerste keer terug aan in de eerste nagel? - Hoeveel nageltjes worden er door één draad omspannen?
OPLOSSING Deze essentiële vragen blijken pas nu belangrijk om tot de oplossing te komen. We komen de eerste keer terug in de startnagel aan wanneer we een veelvoud van nagels gepasseerd zijn en wanneer we een veelvoud van nagels gepasseerd zijn. De eerste keer gebeurt dit als we het nagels gepasseerd zijn. Elke de nagel werd omspannen, dus dat betekent: nagels werden door de draad omspannen. Het gekende verband
leert ons dat
Dus nagels werden
door de draad omspannen. Om de draden te tellen die nodig zijn om nagels te omspannen moeten we dus delen door
Besluit: we hebben draden nodig om de omspannen. nagels te
REFLECTIE In deze fase zijn we kritisch ten opzichte van de gevonden oplossing. We verifiëren onze bevindingen uit de experimenten met de gevonden oplossing.
Wordt het probleem moeilijker indien groter zou zijn dan ? Geen probleem: dan werken we met in plaats van . Het is misschien ook interessant om de meetkundige patronen te onderzoeken die verschijnen in plaats van het zuiver als een rekenkundig probleem te beschouwen. Je zou je bijvoorbeeld kunnen afvragen hoeveel verschillende regelmatige 15-puntige figuren er bestaan. En we zijn dan vertrokken voor een minstens even mooie zoektocht die leidt naar de totient-functie van Euler.
Mijn oud-leerlingen zullen bij het eventueel lezen van deze tekst dit probleem waarschijnlijk herkennen als het Chokotoff-probleem, genoemd naar de beloning die ik uitreikte na het vinden van de oplossing.
BRONNEN http://www.mathcats.com/crafts/ stringart.html http://www.stringartfun.com/section. php/3/1/techniques http://www.youtube.com/watch?v=_ vBNQvKnGEU
Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 28/1. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info.
1−70
71−140
141−210
211−280 5665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648 281−350 2133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643 351−361 67892590360 ... PAUL LEVRIE, FACULTEIT TOEGEPASTE INGENIEURSWETENSCHAPPEN, UNIVERSITEIT ANTWERPEN
Op 14 maart was het π-dag, een feestdag voor de Ter vergelijking: in 1946 berekende ENIAC, de eerste is van de Zweed Jonas von Essen (29 jaar), met 24063 decimalen? Het wereldrecord
wiskundigen, maar dit jaar in mineur gevierd. Spijtig, want 14 maart 2020 was de eerste officiële Internationale echte elektronische computer, 2037 decimalen van π in 70 uur. staat sinds 2015 op naam van de Indi ¨ er Suresh Kumar Sharma (nu 24 jaar), met 70030 decimalen.
dag van de wiskunde. Inderdaad, UNESCO heeft op 26 ... het π-record van november 2016 sinds de vorige
π-dag al twee keer gebroken is? In
november 2019 beslist om 14 maart te verheffen tot die status. Maar niet getreurd, het is niet te laat om het uitgebreid over het getal π te hebben. Wist je bijvoorbeeld dat... 2016 berekende Peter Tr ¨ ub π e biljoen decimalen van π. Dus 22 459 157 718 361 cijfers. De computer begon de berekening op 29 juli en was ermee klaar op 11 november 2016. Ter vergelijking: in 1946 berekende ENIAC, de eerste echte elektronische computer, 2037 decimalen van π in 70 uur.
• … het getal 360, dat duidelijk wel wat te maken heeft met π en met de cirkel, al helemaal in het begin van de decimale ontwikkeling van π voorkomt en wel op de plaatsen: 359/360/361? (zie figuur 1)
• … het Europees record memoriseren van decimalen van π sinds 7 maart 2020 in handen is van de Zweed Jonas von Essen (29 jaar), met 24 063 decimalen? Het wereldrecord staat sinds 2015 op naam van de Indiër Suresh Kumar Sharma (nu 24 jaar), met 70 030 decimalen. Daarbij werd toen de formule van Machin gebruikt: Daarbij werd de formule van Machin gebruikt:
… het π-record van november 2016 sinds de vorige π-dag al twee keer gebroken is? In 2016 berekende Peter Trüb π e biljoen decimalen van π. Dus 22 459 157 718 361 cijfers. De computer begon de berekening op 29 juli en was ermee klaar op 11 november 2016. π 4 = 4 · Bgtg 1 5 − Bgtg 1 239 . (u weet wel, die formule die te bewijzen is met complexe getallen: inderdaad, omdat (5 + i) 4 · (239 − i)=2 2 13 4 (1 + i), (Je weet wel, die formule die te bewijzen is met complexe getallen: inderdaad, omdat
1
π 4 = 4 · Bgtg 1 5 − Bgtg 1 239 .
(5 + i) 4 · (239 − i)=2 2 13 4 (1 + i),
1 volgt dit onmiddellijk uit de goniometrische schrijfwijze van een complex getal, en de formule van De Moivre).
Op π-dag 2019 werd bekendgemaakt dat Emma Haruka Iwao, Developer Advocate bij Google, in de cloud 31 415 926 535 897 (dus 31,4 biljoen) decimalen van π had berekend. Rekentijd: 121 dagen.
Op 29 januari 2020 werd een punt gezet achter de berekening (en de controle) van de eerste 50 biljoen decimalen van π door Timothy Mullican. Het rekenen nam 303 dagen in beslag. Voor beide records werd de volgende formule van de gebroeders Chudnovsky gebruikt: Deze twee formules, die ogenschijnlijk niet veel met elkaar gemeen hebben, kunnen toch bewezen worden op dezelfde manier. We doen dit hier à la Euler, dat wil zeggen: zonder ons al te druk te maken in convergentie en dergelijke. We maken hiervoor uitsluitend gebruik van een formule die vaak voorkomt op een integraalformularium:
Deze laatste formule bewijzen is heel wat moeilijker, we wagen er ons dan ook niet aan. In plaats daarvan geven we hier het bewijs van 2 andere prachtige formules gerelateerd aan π, met name
(2)
de productformule van John Wallis (van rond 1650):
en van een formule die hieruit is afgeleid door herhaald gebruik van (1):
Merk op dat de eerste formule ook werkt van rechts naar links, en dan wordt ze:
(Erg nuttig! Dit is de waarschijnlijk de kortste manier om de moeilijke integraal te berekenen: neem )
de formule die bekend is van het Bazelprobleem. Dit probleem dateert van 1644 (Pietro Mengoli) en werd opgelost door Leonhard Euler in 1735, toen hij bewees dat
We kunnen starten met , maar ook met en doen beide, waarbij we (1) telkens opnieuw gebruiken:
of nog, na vermenigvuldiging van beide leden van de tweede met sin :
Dan integreren we tussen en wat erg vlot gaat door de aanwezigheid van de factor
in elke term:
Tot slot integreren we beide leden tussen
en
, en we gebruiken daarbij de volgende speciale gevallen (2):
Dit geeft dan:
Indien we de eerste delen door , dan vinden we de Bazel-formule:
De tweede delen we door en herschikken we wat:
Merk op dat dit niet het product van Wallis is, maar wel een som. Maar bijna op magische wijze valt deze som als een kaartenhuisje (maar op een ordelijke manier) in elkaar:
en dit is wel degelijk de productformule van Wallis.
En wees gerust, we kunnen bovenstaande allemaal ook wiskundig hard maken.
Omdat π-dag niet bedoeld is als een ernstige feestdag, nog dit: wist je al dat ... oplosbaar is met origami? Hieronder zie je een oplossing voor (1) (met dank aan Dmcq voor de figuur).
• … in het beruchte proces van O.J. Simpson de geloofwaardigheid van de FBI-getuige special agent Roger Martz (een scheikundige van de FBI Forensic Science Research Unit, in Quantico) in twijfel werd getrokken omdat hij niet in staat was om de waarde van het getal π te geven?
• … indien je op de meest gebruikte rekentoestellen (0.5)! intikt, dat je dan een getal krijgt dat met π te maken heeft? Welke waarde krijg je dan?
• … M38 een grote sterrenhoop is in het sterrenbeeld Auriga (Voerman) waar je in de constellatie van de helderste sterren de Griekse letter π zal herkennen? En dat Robert Matthews in 1995 de positie van de sterren aan de hemel heeft gebruikt om een benadering van π te vinden (titel van de publicatie: Pi in the sky)?
• … van de drie Delische problemen uit de oudheid (enkel met passer en liniaal (1) een hoek in drie gelijke delen verdelen, (2) een ‘kubus verdubbelen’ d.w.z. construeren en (3) het getal π construeren) enkel (3), ook wel de kwadratuur van de cirkel genoemd, niet
• … men het getal π (of toch een benadering ervan) kan terugvinden in het alfabet? Schrijf het volledige alfabet op, in hoofdletters, maar begin bij de letter H (en eindigen doe je dus bij G).
HIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFG
Schrap dan alle letters die een verticale symmetrieas hebben.
JKL N PQRS Z BCDEFG
• … er ook totaal oninteressante weetjes bestaan over het getal π (zoals het vorige)?
• … weerman Armand Pien dit jaar precies 100 jaar geleden geboren werd, en dat hij de BV is die het meeste gedaan heeft voor de bekendheid van het getal Pi? Als we stripfiguren bij BV’s mogen rekenen, dan zou het Piet Pienter zijn.
• … er varianten bestaan van wat wellicht de beroemdste formule is voor het getal π, namelijk
de formule van MadhavaGregoryLeibniz (Leibniz: rond 1670):
Die varianten vinden we zo:
Een beetje uitleg: het begint tegen de linkse kantlijn. Als je die getallen bij elkaar optelt, dan krijg je volgens Leibniz als som . Schuif dan één isgelijkteken naar rechts, waar we die getallen hebben herschreven met behulp van de identiteit:
Als we in die kolom de getallen die onder elkaar staan optellen, dan vallen er termen weg (zie doorhalingen). Wat er overblijft, zie je een kolom verder naar rechts. Dan herschrijven we de tweede factor van die getallen met behulp van de identiteit:
en bij optellen vallen er weer getallen weg. Wat overblijft, staat rechts. We vinden dus de volgende nieuwe reeks:
Als we op een gelijkaardige manier nog een stap zetten, dan vinden we deze nieuwe reeks:
Na dit zwaardere rekenwerk, dat overigens allemaal wiskundig legaal is, tot slot nog dit: wist je dat...
• … de eerste 127 decimalen van π gememoriseerd kunnen worden met behulp van het volgende gedicht (waarvan de auteur onbekend is)? (Vakoverschrijdend?)
En ken je dit π-gedicht al? Het is van de hand van Amanda Gefter. (Een woord met 10 letters staat voor het cijfer 0.)
• … in de 19de eeuw werd bewezen dat de kwadratuur van de cirkel (zie vroeger) onmogelijk is, maar er vóór die tijd heel wat grote koppen waren die het toch probeerden? Onder hen Leonardo Da Vinci, die in de kantlijn van een van zijn notaboeken schrijft dat hij klaar is met het probleem: “In de nacht van Sint-Andreasdag maakte ik een einde aan de kwadratuur van de cirkel.” Waarschijnlijk was dit in het jaar 1504. Hieronder zie je een detail (na wat draaien en spiegelen).
• … er in 2013 een roman is verschenen die in het teken staat van het getal π? Dit is de korte inhoud op de website van de uitgever:
Joachim, een student van de École Normale Supé rieure Ulm, is de favoriet van Elsa Maarek, een filosofiedocente met een passie voor de Oudheid. De twee worden inge schakeld om een reeks gruwelijke moorden op het onderwijzend per soneel in de straten van Parijs te onderzoeken. De misdaden dragen het teken van het getal Pi en beantwoorden aan een ritueel dat bekend is bij Elsa, die haar scriptie schreef over de offers van de Eleusis religie. Bovendien verkoopt de vrouw van de eerste overledene een kostbare codex die is geïdenti ficeerd als een palimpsest. Er wordt beweerd dat het manuscript een geschrift is van Archimedes waarin hij de oplossing van Pi geeft, dat wil zeggen de oplossing van het mysterie van de schepping van de wereld...
• … er limericks zijn over π?
• …Picasso, ondanks zijn naam, geen schilderij heeft gemaakt van het getal π (links?), maar dat er wel andere kunstenaars geïnspireerd zijn door π (rechts Squared Circle (1968), Crockett Johnson)? (zie afbeeldingen onderaan)
• …dat de erg populaire Mathologer (pseudoniem voor Burkard Polster) recent een youtube-filmpje postte waarin al de bekendste formules voor het getal pi (noot voor de corrector: als griekse letter) worden afgeleid. Je vindt het hier: https://www.youtube.com/ watch?v=WL_Yzbo1ha4
There once was a girl who loved pi I never could quite fathom why To her it’s a wonder To me just anumber Its beauty revealed by and by (Tom Wilson)
(2020 - zie ook jaarlijks op http://www.eoswetenschap.eu/wiskunde-sexy/)
