6 UITWISKELING
ONEINDIGE SOMMEN EN ONEIGENLIJKE INTEGRALEN IN DE DERDE GRAAD KOMEN ER VERSCHILLENDE CONTEXTEN AAN BOD WAARBIJ HET BEGRIP ONEINDIG TEGENINTUÏTIEVE REACTIES UITLOKT. DAARBIJ MOET BIJZONDERE ZORG BESTEED WORDEN AAN EEN GOEDE INTERPRETATIE VAN HET BEGRIP ONEINDIG. L U C VA N D E N B R O E C K , A N N E S C H AT T E M A N ,
ONEINDIGE SOMMEN De oude Grieken hadden het er moeilijk mee te aanvaarden dat een oneindige som van positieve getallen eindig kon zijn. Dit is onder andere de kern van de paradoxen van Zeno.
R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G
… een eindige Dat de rij som heeft, kun je ook makkelijk op een meetkundige manier inzien door tegels en delen van tegels samen te leggen. Als je alle oppervlakten van de tegels in figuur 1 bij elkaar telt, kun je de oppervlakte van twee tegels zo dicht benaderen
In het vijfde jaar maken de leerlingen kennis met de som van rekenkundige en meetkundige rijen. De somformule voor n opeenvolgende termen van een meetkundig rij
toont aan dat de meetkundige reeks (of de rij van de partieelsommen) convergeert, dit wil zeggen dat een eindig getal is, als en slechts als de reden q tot het interval ]-1, 1[ behoort. Op deze manier wordt de klassieke overtuiging dat ‘de som van oneindig veel positieve getallen oneindig is’ duidelijk tegengesproken.
Figuur 1 Totale oppervlakte is twee tegels
als je wilt en zal de oppervlakte van twee tegels niet overschreden worden (zie figuur 1). Een andere rij waarvan de oneindige som soms tot misverstanden leidt, is de harmonische rij. Nicolas Oresme (1323-1382) toonde al in
